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第46講 超幾何分布與二項分布
1. 二項分布
在次獨立重復試驗中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設每次試驗中事件發(fā)生的概率是，此時稱隨機變量服從二項分布，記作，并稱為成功概率
在次獨立重復試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率()
2. 超幾何分布：
在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件{}發(fā)生的概率即
0 1 … m
…
其中，且，，
如果隨機變量的分布列具有上表的形式，則稱隨機變量服從超幾何分布.
【題型一：超幾何分布】
1．（全國高二課時練習）一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，還有4個同樣大小的白球，編號為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個球，有如下幾種變量：
①表示取出的最大號碼；
②表示取出的最小號碼；
③取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，表示取出的4個球的總得分；
④表示取出的黑球個數(shù)．
這四種變量中服從超幾何分布的是(　　)
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
2．（全國高二課時練習）盒中有10個螺絲釘，其中3個是壞的.現(xiàn)從盒中隨機抽取4個，則概率是的事件為（ ）
A．恰有1個是壞的 B．4個全是好的
C．恰有2個是好的 D．至多有2個是壞的
3．（全國高二課時練習）下列隨機事件中的隨機變量服從超幾何分布的是（ ）
A．將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數(shù)為
B．從7男3女共10名學生干部中隨機選出5名學生干部，記選出女生的人數(shù)為
C．某射手的射擊命中率為0.8，現(xiàn)對目標射擊1次，記命中的次數(shù)為
D．盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1個球且不放回，記第一次摸出黑球時摸取的次數(shù)為
4．（全國高二課時練習）袋中有除顏色外完全相同的3個白球和2個紅球，從中任取2個，那么下列事件中發(fā)生的概率為的是（ ）
A．都不是白球
B．恰有1個白球
C．至少有1個白球
D．至多有1個白球
5．（全國高二單元測試）在15個村莊中有7個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X表示這10個村莊中交通不方便的村莊數(shù)，則下列概率中等于的是（ ）
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
6．（全國）一個班級共有30名學生，其中有10名女生，現(xiàn)從中任選三人代表班級參加學校開展的某項活動，假設選出的3名代表中的女生人數(shù)為變量，男生的人數(shù)為變量，則等于
A． B．
C． D．
7．（全國高二單元測試）某社區(qū)為積極配合消防宣傳工作，準備成立由4名業(yè)主組成的志愿者招募宣傳隊，現(xiàn)初步選定5男4女共9名業(yè)主為候選人，每名候選人被選為志愿者招募宣傳隊隊員的機會是相同的．記為女業(yè)主當選人數(shù)，求的分布列．
8．（全國高二單元測試）某校高二年級某班的物理課外活動小組有5名男生，4名女生，從中選出3人參加物理競賽考試，用表示其中男生的人數(shù)．
（1）請列出的分布列；
（2）求選出的3人中至少有2名男生的概率．
9．（全國高二課時練習）從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機抽取件，假設事件“取出的件產(chǎn)品都是二等品”的概率.
（1）求從該批產(chǎn)品中任取件是二等品的概率；
（2）若該批產(chǎn)品共件，從中任意抽取件，表示取出的件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求的分布列．
【題型二：二項分布】
1．（全國）如果，則使最大的值（ ）
A．3 B．4
C．4或5 D．3或4
2．（全國高二單元測試）已知隨機變量服從二項分布，則＝（ ）
A． B． C． D．
3．（全國）已知隨機變量服從二項分布，當時，的最大值是（ ）．
A． B． C． D．
4．（福建上杭一中）《乘風破浪的姐姐》是一檔深受觀眾喜愛的電視節(jié)目，節(jié)目采用組團比賽的方式進行，參賽選手需要全部參加完五場公開比賽，其中五場中有四場獲勝，就能取得參加決賽的資格.若某參賽選手每場比賽獲勝的概率是，則這名選手能參加決賽的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（福清西山學校高二期中）某籃球運動員每次投籃投中的概率是，每次投籃的結(jié)果相互獨立，那么在他10次投籃中，記最有可能投中的次數(shù)為，則的值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（全國高二專題練習）下列說法正確的個數(shù)是
①某同學投籃的命中率為0.6，他10次投籃中命中的次數(shù)是一個隨機變量，且；
②某福彩中獎概率為，某人一次買了8張，中獎張數(shù)是一個隨機變量，且；
③從裝有5個紅球、5個白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球為止，則摸球次數(shù)是隨機變量，且
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
7．（全國高二課時練習）若，則使最大的的值是（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．4
8．（全國（文））將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是，則小球落入袋中的概率為（ ）
A． B． C． D．
9．（北京延慶·高二期中）甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球次均命中的概率為．
（1）求甲投球次，命中次的概率；
（2）若乙投球次，設命中的次數(shù)為，求的分布列．
10．（浙江麗水·高二課時練習）某單位舉辦2020年杭州亞運會知識宣傳活動，進行現(xiàn)場抽獎，盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“亞運會會徽”或“五環(huán)”圖案；抽獎規(guī)則是：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“五環(huán)”卡即可獲獎，否則，均為不獲獎.卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復進行.
（Ⅰ）活動開始后，一位參加者問：盒中有幾張“五環(huán)”卡？主持人答：我只知道，從盒中抽取兩張都是“會徽”卡的概率是，求抽獎者獲獎的概率；
（Ⅱ）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人依次抽獎，用表示獲獎的人數(shù)，求的分布列及的值.
11．（全國高二單元測試）我校高一年級研究性學習小組共有9名學生，其中有3名男生和6名女生.在研究性學習過程中，要進行兩次匯報活動（即開題匯報和結(jié)題匯報），每次匯報都從這9名學生中隨機選1 人作為代表發(fā)言.設每人每次被選中與否均互不影響.
（1）求兩次匯報活動都由小組成員甲發(fā)言的概率；
（2）設為男生發(fā)言次數(shù)與女生發(fā)言次數(shù)之差的絕對值，求的分布列和數(shù)學期望.中小學教育資源及組卷應用平臺
第46講 超幾何分布與二項分布
1. 二項分布
在次獨立重復試驗中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設每次試驗中事件發(fā)生的概率是，此時稱隨機變量服從二項分布，記作，并稱為成功概率
在次獨立重復試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率()
2. 超幾何分布：
在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件{}發(fā)生的概率即
0 1 … m
…
其中，且，，
如果隨機變量的分布列具有上表的形式，則稱隨機變量服從超幾何分布.
題型一：超幾何分布
1．（全國高二課時練習）一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，還有4個同樣大小的白球，編號為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個球，有如下幾種變量：
①表示取出的最大號碼；
②表示取出的最小號碼；
③取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，表示取出的4個球的總得分；
④表示取出的黑球個數(shù)．
這四種變量中服從超幾何分布的是(　　)
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【詳解】
對于①，當X表示最大號碼，比如表示從黑球編號為中取3個黑球，
而表示從6個黑球和編號為的白球共7個球中取3個球，
故該隨機變量不服從超幾何分布，同理②中的隨機變量不服從超幾何分布.
對于③，的可能取值為，
表示取出4個白球；
表示取出3個白球1個黑球；
表示取出2個白球2個黑球；
表示取出1個白球3個黑球；
表示取出4個黑球；
因此服從超幾何分布.
由超幾何分布的概念知④符合，
故選：B.
2．（全國高二課時練習）盒中有10個螺絲釘，其中3個是壞的.現(xiàn)從盒中隨機抽取4個，則概率是的事件為（ ）
A．恰有1個是壞的 B．4個全是好的
C．恰有2個是好的 D．至多有2個是壞的
【答案】C
【詳解】
對于A，事件的概率為；
對于B，事件的概率為；
對于C，事件的概率為；
對于D，事件的概率為.
故選C.
3．（全國高二課時練習）下列隨機事件中的隨機變量服從超幾何分布的是（ ）
A．將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數(shù)為
B．從7男3女共10名學生干部中隨機選出5名學生干部，記選出女生的人數(shù)為
C．某射手的射擊命中率為0.8，現(xiàn)對目標射擊1次，記命中的次數(shù)為
D．盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1個球且不放回，記第一次摸出黑球時摸取的次數(shù)為
【答案】B
【詳解】
解：由超幾何分布的定義可判斷，只有B中的隨機變量服從超幾何分布.
故選：B.
4．（全國高二課時練習）袋中有除顏色外完全相同的3個白球和2個紅球，從中任取2個，那么下列事件中發(fā)生的概率為的是（ ）
A．都不是白球
B．恰有1個白球
C．至少有1個白球
D．至多有1個白球
【答案】D
【詳解】
P(都不是白球)＝＝，P(恰有1個白球)＝＝，P(至少有1個白球)＝＝，P(至多有1個白球)＝＝.
故選：D.
5．（全國高二單元測試）在15個村莊中有7個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X表示這10個村莊中交通不方便的村莊數(shù)，則下列概率中等于的是（ ）
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
【答案】C
【詳解】
X服從超幾何分布，P(X＝k)＝，故k＝4，
故選：C.
6．（全國）一個班級共有30名學生，其中有10名女生，現(xiàn)從中任選三人代表班級參加學校開展的某項活動，假設選出的3名代表中的女生人數(shù)為變量，男生的人數(shù)為變量，則等于
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
由題得,
所以.
故選：C.
7．（全國高二單元測試）某社區(qū)為積極配合消防宣傳工作，準備成立由4名業(yè)主組成的志愿者招募宣傳隊，現(xiàn)初步選定5男4女共9名業(yè)主為候選人，每名候選人被選為志愿者招募宣傳隊隊員的機會是相同的．記為女業(yè)主當選人數(shù)，求的分布列．
【答案】分布列見解析.
【詳解】
由題意知，的取值為0，1，2，,3，4的超幾何分布，
因此，，
，，
．
故的分布列為：
0 1 2 3 4
8．（全國高二單元測試）某校高二年級某班的物理課外活動小組有5名男生，4名女生，從中選出3人參加物理競賽考試，用表示其中男生的人數(shù)．
（1）請列出的分布列；
（2）求選出的3人中至少有2名男生的概率．
【答案】（1）分布列見解析；（2）.
【詳解】
（1）依題意，得隨機變量X服從參數(shù)為9，3，5的超幾何分布，即，
因此，，，．
所以X的分布列為：
X 0 1 2 3
P
（2）由（1）中分布列可知，
故選出的3人中至少有2名男生的概率是．
9．（全國高二課時練習）從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機抽取件，假設事件“取出的件產(chǎn)品都是二等品”的概率.
（1）求從該批產(chǎn)品中任取件是二等品的概率；
（2）若該批產(chǎn)品共件，從中任意抽取件，表示取出的件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求的分布列．
【答案】（1）；（2）分布列見解析.
【詳解】
（1）設任取一件產(chǎn)品是二等品的概率為，依題意有，
解得或（舍），
故從該批產(chǎn)品中任取件是二等品的概率為；
（2）若該批產(chǎn)品共件，由（1）知其二等品有（件），故的可能取值為、、，
，，，
所以，隨機變量的分布列如下表所示：
題型二：二項分布
1．（全國）如果，則使最大的值（ ）
A．3 B．4
C．4或5 D．3或4
【答案】D
【詳解】
解：，得．
所以當時，，
當時，，
其中時，，
從而或4時，取得最大值，
故選：D
2．（全國高二單元測試）已知隨機變量服從二項分布，則＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
.
故選：C
3．（全國）已知隨機變量服從二項分布，當時，的最大值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
解：因為隨機變量服從二項分布，
所以，
所以，
，
，
，
∴，
故選：B．
4．（福建上杭一中）《乘風破浪的姐姐》是一檔深受觀眾喜愛的電視節(jié)目，節(jié)目采用組團比賽的方式進行，參賽選手需要全部參加完五場公開比賽，其中五場中有四場獲勝，就能取得參加決賽的資格.若某參賽選手每場比賽獲勝的概率是，則這名選手能參加決賽的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
由題意可知五場中獲勝的場次，
所求選手能參加決賽的概率.
故選：D
5．（福清西山學校高二期中）某籃球運動員每次投籃投中的概率是，每次投籃的結(jié)果相互獨立，那么在他10次投籃中，記最有可能投中的次數(shù)為，則的值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【詳解】
記投籃命中的次數(shù)為隨機變量，
由題意，，
則投籃命中次的概率為，
由得，即，即，
解得，又，
因此時，取最大值.
即該運動員10次投籃中，最有可能投中的次數(shù)為次.
故選：D.
6．（全國高二專題練習）下列說法正確的個數(shù)是
①某同學投籃的命中率為0.6，他10次投籃中命中的次數(shù)是一個隨機變量，且；
②某福彩中獎概率為，某人一次買了8張，中獎張數(shù)是一個隨機變量，且；
③從裝有5個紅球、5個白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球為止，則摸球次數(shù)是隨機變量，且
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】C
【詳解】
①某同學投籃的命中率為0.6，該同學投籃10次，是一個獨立重復試驗，所以他10次投籃中命中的次數(shù)是一個隨機變量，且，所以該命題正確；
②某福彩中獎概率為，某人一次買了8張，相當于買了8次，每次中獎的概率都為，相當于做了8次獨立重復試驗，中獎張數(shù)是一個隨機變量，且，所以該命題正確；
③從裝有5個紅球、5個白球的袋中，由于它是有放回地摸球，直到摸出白球為止，所以它不是一個獨立重復性試驗，因為當時，概率為，當時，概率為，當時，概率為，依次類推，即每次試驗摸到白球的概率不相等，所以它不是獨立重復性試驗，所以不服從,所以該命題錯誤.
故選：C
7．（全國高二課時練習）若，則使最大的的值是（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．4
【答案】B
【詳解】
解：，
則，得，
所以當時，，
當時，，
從而時，取得最大值．
故選：B．
8．（全國（文））將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是，則小球落入袋中的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
由于小球每次遇到黑色障礙物時，有一次向左和兩次向右或兩次向左和一次向右下落時，小球?qū)⒙淙階袋，所以．
故選：C．
9．（北京延慶·高二期中）甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球次均命中的概率為．
（1）求甲投球次，命中次的概率；
（2）若乙投球次，設命中的次數(shù)為，求的分布列．
【答案】（1）；（2）答案見解析．
【詳解】
解：（1）設“甲投球一次命中”為事件，
則，
故甲投球次命中次的概率為
（2） 設“乙投球一次命中”為事件．
由題意得， 解得，
所以，
由題意得服從，則
0 1 2 3
10．（浙江麗水·高二課時練習）某單位舉辦2020年杭州亞運會知識宣傳活動，進行現(xiàn)場抽獎，盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“亞運會會徽”或“五環(huán)”圖案；抽獎規(guī)則是：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“五環(huán)”卡即可獲獎，否則，均為不獲獎.卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復進行.
（Ⅰ）活動開始后，一位參加者問：盒中有幾張“五環(huán)”卡？主持人答：我只知道，從盒中抽取兩張都是“會徽”卡的概率是，求抽獎者獲獎的概率；
（Ⅱ）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人依次抽獎，用表示獲獎的人數(shù)，求的分布列及的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析
【詳解】
（Ⅰ）設“會徽”卡有張，因為從盒中抽取兩張都是“會徽”卡的概率是，所以有，，所以“五環(huán)”圖案卡片的張數(shù)為4，故抽獎者獲獎的概率為；
（Ⅱ）由題意可知本題中的離散型隨機變量服從二項分布，即，
，，
，，
，的分布列為：
0 1 2 3 4
.
11．（全國高二單元測試）我校高一年級研究性學習小組共有9名學生，其中有3名男生和6名女生.在研究性學習過程中，要進行兩次匯報活動（即開題匯報和結(jié)題匯報），每次匯報都從這9名學生中隨機選1 人作為代表發(fā)言.設每人每次被選中與否均互不影響.
（1）求兩次匯報活動都由小組成員甲發(fā)言的概率；
（2）設為男生發(fā)言次數(shù)與女生發(fā)言次數(shù)之差的絕對值，求的分布列和數(shù)學期望.
【答案】（1）. （2）見解析.
解析：
（1）記“兩次回報活動都是由小組成員甲發(fā)言”為事件.由題意，得事件的概率，即兩次匯報活動都是由小組成員甲發(fā)言的槪率為.
（2）由題意，的可能取值為2，0，每次匯報時，男生被選為代表的概率為，女生被選為代表的概率為.；，所以，的分布列為：
的數(shù)學期望.

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