資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第47講 離散型隨機變量的分布列、均值與方差
1．隨機變量的有關概念
隨機變量：隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量，常用字母，…表示．
離散型隨機變量：所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量．
2．離散型隨機變量分布列的概念及性質
（1）離散型隨機變量的分布列的概念
設離散型隨機變量X可能取的不同值為，，…，，X取每一個值 (i＝1，2，…，n)的概率，則下表稱為隨機變量X的概率分布，簡稱為X的分布列.
… …
… …
有時也用等式表示X的分布列．
（2）離散型隨機變量的分布列的性質
①(i＝1，2，…，n)；
②．
3．必記結論
（1）隨機變量的線性關系
若是隨機變量，，是常數，則Y也是隨機變量．
（2）分布列性質的兩個作用
①利用分布列中各事件概率之和為1可求參數的值．
②隨機變量所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求相關事件的概率．
4．離散型隨機變量的均值與方差
一般地，若離散型隨機變量的分布列為：
… …
… …
（1）稱為隨機變量X的均值或數學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．
（2）稱為隨機變量的方差，它刻畫了隨機變量與其均值的平均偏離程度，其算術平方根為隨機變量X的標準差．
5．均值與方差的性質
若，其中為常數，則也是隨機變量，
且；
6．二項分布的期望、方差：
若，則,.
題型一：離散型隨機變量分布列
1．（黑龍江哈爾濱市第六中學校高二月考）設離散型隨機變量的分布列為
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.1 0.3
若隨機變量，則等于（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】A
【詳解】
因為，
所以或.
故選：A
2．（全國高二課時練習）已知隨機變量ξ只能取三個值，其概率依次成等差數列，則該等差數列公差的取值范圍是（ ）
A． B．
C．[－3，3] D．[0，1]
【答案】B
【詳解】
解：由題意得：
設隨機變量ξ取x1，x2，x3的概率分別為a－d，a，a＋d，則由分布列的性質得
(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故，
由，解得.
所以公差的取值范圍是.
故選：B
3．（全國高二課時練習）隨機變量ξ的所有可能的取值為1，2，3，…，10，且，則的值為（ ）
A． B． C．110 D．55
【答案】B
【詳解】
∵隨機變量ξ的所有可能的取值為1，2，3，…，10，
且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，
∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，
∴55a＝1，∴a＝
故選：B.
4．（全國）袋中裝有大小相同的5個球，分別標有1，2，3，4，5五個號碼，現在在有放回的條件下依次取出兩個球，設兩個球的號碼之和為隨機變量，則ξ所有可能取值的個數是（ ）
A．25 B．10 C．15 D．9
【答案】D
【詳解】
由題意得：兩個球的號碼之和可能為2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9個.
故選：D
5．（全國）拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點數與第二枚骰子擲出的點數的差為，則“”表示試驗的結果為（ ）
A．第一枚為5點，第二枚為1點
B．第一枚大于4點，第二枚也大于4點
C．第一枚為6點，第二枚為1點
D．第一枚為4點，第二枚為1點
【答案】C
【詳解】
拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點數與第二枚骰子擲出的點數的差為X，
所以“X>4”即“X=5”，
表示試驗的結果為第一枚為6點，第二枚為1點，
故選：C
6．（全國）若為非負實數，隨機變量的分布列為
0 1 2
則的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【詳解】
由題分布列的性質，可得且，解得，
又由，
所以的最大值為.
故選：B.
7．（全國高二單元測試）設離散型隨機變量的分布列為：
1 2 3
則的充要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
解：由離散型隨機變量X的分布列知：
當EX=2時，，解得P1=P3，
當P1=P3時，P1+P2+P3=2P1+P2=1.
EX=P1+2P2+3P3=4P1+2P2=2.
∴EX=2的充要條件是P1=P3.
故選：C.
8．（河南高二期末（理））若隨機變量的分布列如下表，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
由分布列的性質，得，，，
所以，當且僅當時，等號成立，
故選：.
9．（黑龍江哈爾濱三中高二月考）已知隨機變量的概率分布如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
由離散型隨機變量分布列的性質，可知，所以.
故選：C.
10．（全國）已知隨機變量的分布列如表所示.
0 1 2 3
若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
解：由隨機變量的分布列知，的可能取值為0，1，4，9，
且，，
，，
∵，
∴實數滿足.
故選：B.
題型二：離散型隨機變量的均值和方差
1．（全國高二單元測試）已知離散型隨機變量的分布列為
1 2 3
則的數學期望（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【詳解】
.
故選：A.
2．（全國高二單元測試）已知隨機變量，則隨機變量的方差為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因為，所以.
故選：D.
3．（黑龍江哈爾濱市第六中學校高二月考）已知一組數據的方差是1，那么另一組數據，，，，，的方差是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
設，依題意得，
則，
即另一組數據，，，，，的方差是.
故選：D
4．（全國高二課時練習）設隨機變量的方差，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
.
故選：C.
5．（全國高二課時練習）已知隨機變量的分布列為，.則等于（ ）
A．6 B．9
C．3 D．4
【答案】A
由題意得,
.
故選：A.
6．（全國高二課時練習）已知隨機變量滿足，則＝（ ）
A．6 B．8
C．18 D．20
【答案】C
【詳解】
∵D(X)＝2，∴D(3X＋2)＝9D(X)＝18.
故選:C.
7．（天津市薊州區擂鼓臺中學）為了展示中華漢字的無窮魅力，傳遞傳統文化，提高學習熱情，某校開展“中國漢字聽寫大會”的活動為響應學校號召高二9班組建了興趣班，根據甲、乙兩人近期8次成績所得數據分別為
甲:68，69，71，72，74，78，83，85;
乙:65，70，70，73，75，80，82，85.
（1）求甲、乙兩人成績的平均數和中位數;
（2）現要從甲、乙兩人中選派一人參加比賽，從統計學的角度你認為派哪位學生參加比較合適
【答案】（1）甲、乙的平均數、中位數分別為{75，73}、{75，74}；（2）甲成績穩定.
【詳解】
（1）甲的平均數為= (68+69+71+72+74+78+83+85)÷8=75，中位數為(72+74)÷2=73，
乙的平均數為=(65+70+70+73+75+80+82+85)÷8=75，中位數為(73+75)÷2=74.
（2）甲的方差為s12=[(68-75)2+(69-75)2+(71-75)2+ (72-75)2+(74-75)2+(78-75)2+(83-75)2+
(85-75)2]÷8=35.5，
乙的方差為s22=[(65-75)2+(70-75)2+(70-75)2+(73-75)2+(75-75)2+(80-75)2+(82-75)2+(85-75)2] ÷8=41，
∵s12∴甲成績穩定.
8．（四川南充·（理））隨機拋擲一枚質地均勻的骰子，設向上一面的點數為.
（1）求的分布列；
（2）求和.
【答案】（1）分布列見解析；（2）3.5；2.92.
【詳解】
（1）由題意，的可能取值為且各點面的概率均為，
∴的分布列為
1 2 3 4 5 6
（2）；
.
9．（福建省永春第二中學高二期末）設隨機變量具有分布列：
1 2 3 4 5
求這個隨機變量的與
【答案】3，27
【詳解】
，
因為，
，
所以．
10．（浙江麗水·高二課時練習）為降低霧霾等惡劣氣候對居民的影響，某公司研發了一種新型防霧霾產品．每一臺新產品在進入市場前都必須進行兩種不同的檢測，只有兩種檢測都合格才能進行銷售，否則不能銷售．已知該新型防霧霾產品第一種檢測不合格的概率為，第二種檢測不合格的概率為，兩種檢測是否合格相互獨立．
（1）求每臺新型防霧霾產品不能銷售的概率；
（2）如果產品可以銷售，則每臺產品可獲利40元；如果產品不能銷售，則每臺產品虧損80元（即獲利元）．現有該新型防霧霾產品3臺，隨機變量表示這3臺產品的獲利，求的分布列及數學期望．
【答案】（1）；（2）分布列見解析，期望為
【詳解】
（1）設事件表示“每臺新型防霧霾產品不能銷售”
事件表示“每臺新型防霧霾產品能銷售”
所以
所以
（2）根據（1）可知，
“每臺新型防霧霾產品能銷售”的概率為
“每臺新型防霧霾產品不能銷售”的概率為
所有的可能取值為：，，，
則
所以的分布列為
所以
則
11．（浙江麗水·高二課時練習）某運動員射擊一次所得環數的分布列如下：
8 9 10
0．4 0．4 0．2
現進行兩次射擊，且兩次射擊互不影響，以該運動員兩次射擊中最高環數作為他的成績，記為．
（1）求該運動員兩次命中的環數相同的概率；
（2）求的分布列和數學期望．
【答案】（1）0.36；（2）見解析，9.2
【詳解】
（1）兩次都命中8環的概率為
兩次都命中9環的概率為
兩次都命中10環的概率為
設該運動員兩次命中的環數相同的概率為
（2）的可能取值為8，9，10
，
，
，
的分布列為
8 9 10
0．16 0．48 0．36
12．（甘肅城關·蘭州一中高三月考（理））現有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數大于2的人去參加乙游戲.
（Ⅰ）求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；
（Ⅱ）求這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數的概率；
（Ⅲ）用，分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數，記，求隨機變量的分布列與數學期望.
【答案】（1）（2）（3）
【詳解】
解：依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的概率為.設“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件(i＝0,1,2,3,4)，則
（Ⅰ）這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率
（Ⅱ）設“這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數”為事件B，則，
由于與互斥，故
所以，這4個人去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數的概率為
（Ⅲ）ξ的所有可能取值為0,2,4.由于與互斥，與互斥，故
，
．
所以ξ的分布列是
ξ
0
2
4
P
隨機變量ξ的數學期望中小學教育資源及組卷應用平臺
第47講 離散型隨機變量的分布列、均值與方差
1．隨機變量的有關概念
隨機變量：隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量，常用字母，…表示．
離散型隨機變量：所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量．
2．離散型隨機變量分布列的概念及性質
（1）離散型隨機變量的分布列的概念
設離散型隨機變量X可能取的不同值為，，…，，X取每一個值 (i＝1，2，…，n)的概率，則下表稱為隨機變量X的概率分布，簡稱為X的分布列.
… …
… …
有時也用等式表示X的分布列．
（2）離散型隨機變量的分布列的性質
①(i＝1，2，…，n)；
②．
3．必記結論
（1）隨機變量的線性關系
若是隨機變量，，是常數，則Y也是隨機變量．
（2）分布列性質的兩個作用
①利用分布列中各事件概率之和為1可求參數的值．
②隨機變量所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求相關事件的概率．
4．離散型隨機變量的均值與方差
一般地，若離散型隨機變量的分布列為：
… …
… …
（1）稱為隨機變量X的均值或數學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．
（2）稱為隨機變量的方差，它刻畫了隨機變量與其均值的平均偏離程度，其算術平方根為隨機變量X的標準差．
5．均值與方差的性質
若，其中為常數，則也是隨機變量，
且；
6．二項分布的期望、方差：
若，則,.
【題型一：離散型隨機變量分布列】
1．（黑龍江哈爾濱市第六中學校高二月考）設離散型隨機變量的分布列為
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.1 0.3
若隨機變量，則等于（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
2．（全國高二課時練習）已知隨機變量ξ只能取三個值，其概率依次成等差數列，則該等差數列公差的取值范圍是（ ）
A． B．
C．[－3，3] D．[0，1]
3．（全國高二課時練習）隨機變量ξ的所有可能的取值為1，2，3，…，10，且，則的值為（ ）
A． B． C．110 D．55
4．（全國）袋中裝有大小相同的5個球，分別標有1，2，3，4，5五個號碼，現在在有放回的條件下依次取出兩個球，設兩個球的號碼之和為隨機變量，則ξ所有可能取值的個數是（ ）
A．25 B．10 C．15 D．9
5．（全國）拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點數與第二枚骰子擲出的點數的差為，則“”表示試驗的結果為（ ）
A．第一枚為5點，第二枚為1點
B．第一枚大于4點，第二枚也大于4點
C．第一枚為6點，第二枚為1點
D．第一枚為4點，第二枚為1點
6．（全國）若為非負實數，隨機變量的分布列為
0 1 2
則的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．2
7．（全國高二單元測試）設離散型隨機變量的分布列為：
1 2 3
則的充要條件是（ ）
A． B． C． D．
8．（河南高二期末（理））若隨機變量的分布列如下表，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
9．（黑龍江哈爾濱三中高二月考）已知隨機變量的概率分布如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
則（ ）
A． B． C． D．
10．（全國）已知隨機變量的分布列如表所示.
0 1 2 3
若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型二：離散型隨機變量的均值和方差】
1．（全國高二單元測試）已知離散型隨機變量的分布列為
1 2 3
則的數學期望（ ）
A． B．2 C． D．3
2．（全國高二單元測試）已知隨機變量，則隨機變量的方差為（ ）
A． B． C． D．
3．（黑龍江哈爾濱市第六中學校高二月考）已知一組數據的方差是1，那么另一組數據，，，，，的方差是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（全國高二課時練習）設隨機變量的方差，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（全國高二課時練習）已知隨機變量的分布列為，.則等于（ ）
A．6 B．9
C．3 D．4
6．（全國高二課時練習）已知隨機變量滿足，則＝（ ）
A．6 B．8
C．18 D．20
7．（天津市薊州區擂鼓臺中學）為了展示中華漢字的無窮魅力，傳遞傳統文化，提高學習熱情，某校開展“中國漢字聽寫大會”的活動為響應學校號召高二9班組建了興趣班，根據甲、乙兩人近期8次成績所得數據分別為
甲:68，69，71，72，74，78，83，85;
乙:65，70，70，73，75，80，82，85.
（1）求甲、乙兩人成績的平均數和中位數;
（2）現要從甲、乙兩人中選派一人參加比賽，從統計學的角度你認為派哪位學生參加比較合適
8．（四川南充·（理））隨機拋擲一枚質地均勻的骰子，設向上一面的點數為.
（1）求的分布列；
（2）求和.
9．（福建省永春第二中學高二期末）設隨機變量具有分布列：
1 2 3 4 5
求這個隨機變量的與
10．（浙江麗水·高二課時練習）為降低霧霾等惡劣氣候對居民的影響，某公司研發了一種新型防霧霾產品．每一臺新產品在進入市場前都必須進行兩種不同的檢測，只有兩種檢測都合格才能進行銷售，否則不能銷售．已知該新型防霧霾產品第一種檢測不合格的概率為，第二種檢測不合格的概率為，兩種檢測是否合格相互獨立．
（1）求每臺新型防霧霾產品不能銷售的概率；
（2）如果產品可以銷售，則每臺產品可獲利40元；如果產品不能銷售，則每臺產品虧損80元（即獲利元）．現有該新型防霧霾產品3臺，隨機變量表示這3臺產品的獲利，求的分布列及數學期望．
11．（浙江麗水·高二課時練習）某運動員射擊一次所得環數的分布列如下：
8 9 10
0．4 0．4 0．2
現進行兩次射擊，且兩次射擊互不影響，以該運動員兩次射擊中最高環數作為他的成績，記為．
（1）求該運動員兩次命中的環數相同的概率；
（2）求的分布列和數學期望．
12．（甘肅城關·蘭州一中高三月考（理））現有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數大于2的人去參加乙游戲.
（Ⅰ）求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；
（Ⅱ）求這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數的概率；
（Ⅲ）用，分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數，記，求隨機變量的分布列與數學期望.

展開更多......

收起↑