資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第48講 正態分布
1.正態曲線及其性質
1．正態曲線及其性質
(1)正態曲線：
函數，其中實數()為參數，我們稱的圖象為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線．
(2)正態曲線的性質：
①曲線位于軸上方，與軸不相交；
②曲線是單峰的，它關于直線對稱；
③曲線在處達到峰值；
④曲線與軸之間的面積為1；
⑤當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移，如圖甲所示；
⑥當一定時，曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；越小．曲線越“瘦高”．總體分布越集中，如圖乙所示：
　
甲　　　　　　　　　　　乙
2．正態分布
一般地，如果對于任何實數()，隨機變量滿足則稱隨機變量服從正態分布(normal distribution)．正態分布完全由參數μ和σ確定，因此正態分布常記作．如果隨機變量服從正態分布，則記為．
3．正態總體三個特殊區間內取值的概率值
①
②
③
4．原則
通常服從正態分布的隨機變量只取之間的值．
1．（全國高二學業考試）設隨機變量，函數沒有零點的概率是0.5，則（ ）
附：若，則，.
A．0.1587 B．0.1355 C．0.2718 D．0.3413
2．（全國高二單元測試）某軍工企業為某種型號的新式步槍生產了一批槍管，其口徑誤差（單位：微米）服從正態分布，從已經生產出的槍管中隨機取出一只，則其口徑誤差在區間內的概率為（ ）
（注：若隨機變量服從正態分布，則，）
A．31.7% B．27.18%
C．13. 55% D．4.5%
3．（全國高二課時練習）某工廠生產一種螺栓，在正常情況下，螺栓的直徑X(單位：mm)服從正態分布．現加工10個螺栓的尺寸(單位：mm)如下：101.7，100.3，99.6，102.4，98.2，103.2，101.1，98.8，100.4，100.0．，有P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997．根據行業標準，概率低于0.003視為小概率事件，工人隨機將其中的8個交與質檢員檢驗，則質檢員認為設備需檢修的概率為（ ）
A． B． C． D．
4．（全國高二課時練習）已知隨機變量X服從正態分布即，且P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，若隨機變量X～N(5,1)，則P(X＞6)≈（ ）
A．0.341 3 B．0.317 4
C．0.158 7 D．0.158 6
5．（全國高二課時練習）隨機變量服從正態分布N(1,4)，若，則 ( )
A． B． C． D．
6．（全國高二課時練習）已知隨機變量服從正態分布，且，則實數的值為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（全國高二課時練習）某市教學質量檢測中，甲、乙、丙三科考試成績的正態分布圖如圖所示(由于人數眾多，成績分布的直方圖可視為正態分布)，下列說法中正確的是（ ）
A．甲科總體的標準差最小 B．丙科總體的平均數最小
C．乙科總體的標準差及平均數都居中 D．甲、乙、丙總體的平均數不相同
8．（山東廣饒一中高三月考）設隨機變量，已知，則（ ）
A．0.95 B．0.05 C．0.975 D．0.425
9．（全國高二單元測試）設X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，這兩個正態曲線如圖所示，下列說法正確的是（　　）
A．P(Y≤μ1)≥P(Y≤μ2)
B．P(X≥σ1)≥P(X≥σ2)
C．若t<0，則P(X≤t)≤P(Y≤t)
D．若t<0，則P(X≥t)≤P(Y≥t)
10．（河南高二期末（理））某袋裝加碘食鹽的質量（單位：克）服從正態分布，某超市在進貨前要在廠家隨機抽檢這種食鹽袋，則質量在內的袋數約為（ ）
附：若，則，．
A． B． C． D．
11．（濟南市歷城第二中學高三開學考試）某地政府為解除空巢老年人缺少日常護理和社會照料的困境，大力培育和發展養老護理服務市場.從2016年開始新建社區養老機構，下表是該地近五年新建社區養老機構數量對照表：
年份 2016 2017 2018 2019 2020
年份代碼（） 1 2 3 4 5
新建社區養老機構（） 12 15 20 25 28
（1）根據上表數據可知，與之間存在線性相關關系，用最小二乘法求關于的經驗回歸方程；
（2）若該地參與社區養老的老人，他們的年齡近似服從正態分布，其中年齡的有人，試估計該地參與社區養老的老人有多少人？
參考公式：線性回歸方程，，.
參考數據：，
12．（全國高二課時練習）在某校舉行的數學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似地服從正態分布N(70，100)．已知成績在90分以上(含90分)的學生有12人．
（1）試問此次參賽學生的總數約為多少人？
（2）若成績在80分以上(含80分)為優，試問此次競賽成績為優的學生約為多少人？
附正態分布3σ概率表：
P(μ－σ13．（全國高二課時練習）已知隨機變量，且其正態曲線在(－∞，80)上是增函數，在(80，＋∞)上為減函數，且.
(1)求參數，的值．
(2)求．
附：若，則，.
14．（重慶市第七中學校高三月考）為了解大學生每年旅游消費支出（單位：百元）的情況，相關部門隨機抽取了某大學的1000名學生進行問卷調查，并把所得數據列成如下所示的頻數分布表：
組別
頻數 2 250 450 290 8
（1）根據樣本數據，可近似地認為學生的旅游費用支出服從正態分布．若該所大學共有學生65000人，試估計有多少位同學旅游費用支出在8100元以上；
（2）已知樣本數據中旅游費用支出在范圍內的8名學生中有5名女生，3名男生，現想選其中3名學生回訪，記選出的男生人數為．求的分布列與數學期望．
附：若，則，，．
15．（黑龍江哈爾濱三中高二月考）某精密儀器生產車間每天生產（充分大，且）個零件，質檢員小張每天都會隨機地從中抽取50個零件進行檢查是否合格，若較多零件不合格，則需對其余所有零件進行檢查.根據多年的生產零件的數據和經驗，知這些零件的長度（單位：）服從正態分布，且相互獨立.若滿足，則認為該零件是合格的，否則該零件不合格.
（1）假設某一天小張抽查出不合格的零件數為，求及的數學期望；
附：若隨機變量服從正態分布，則，，.
（2）小張某天恰好從50個零件中檢查出2個不合格的零件，以此頻率作為當天生產零件的不合格率.已知檢查一個零件的成本為10元，而每個不合格零件流入市場帶來的損失為260元.為了使損失盡量小，小張是否需要檢查其余所有零件？試說明理由.中小學教育資源及組卷應用平臺
第48講 正態分布
1．正態曲線及其性質
(1)正態曲線：
函數，其中實數()為參數，我們稱的圖象為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線．
(2)正態曲線的性質：
①曲線位于軸上方，與軸不相交；
②曲線是單峰的，它關于直線對稱；
③曲線在處達到峰值；
④曲線與軸之間的面積為1；
⑤當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移，如圖甲所示；
⑥當一定時，曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；越小．曲線越“瘦高”．總體分布越集中，如圖乙所示：
　
甲　　　　　　　　　　　乙
2．正態分布
一般地，如果對于任何實數()，隨機變量滿足則稱隨機變量服從正態分布(normal distribution)．正態分布完全由參數μ和σ確定，因此正態分布常記作．如果隨機變量服從正態分布，則記為．
3．正態總體三個特殊區間內取值的概率值
①
②
③
4．原則
通常服從正態分布的隨機變量只取之間的值．
1．（全國高二學業考試）設隨機變量，函數沒有零點的概率是0.5，則（ ）
附：若，則，.
A．0.1587 B．0.1355 C．0.2718 D．0.3413
【答案】B
【詳解】
解：∵函數沒有零點，即方程無實根，
∴，∴，
又∵沒有零點的概率是0.5，∴，
由正態曲線的對稱性知，
∴，∴，，
∴，，，，
∴，，
∴.
故選：B.
2．（全國高二單元測試）某軍工企業為某種型號的新式步槍生產了一批槍管，其口徑誤差（單位：微米）服從正態分布，從已經生產出的槍管中隨機取出一只，則其口徑誤差在區間內的概率為（ ）
（注：若隨機變量服從正態分布，則，）
A．31.7% B．27.18%
C．13. 55% D．4.5%
【答案】C
【詳解】
，
.
故選：C.
3．（全國高二課時練習）某工廠生產一種螺栓，在正常情況下，螺栓的直徑X(單位：mm)服從正態分布．現加工10個螺栓的尺寸(單位：mm)如下：101.7，100.3，99.6，102.4，98.2，103.2，101.1，98.8，100.4，100.0．，有P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997．根據行業標準，概率低于0.003視為小概率事件，工人隨機將其中的8個交與質檢員檢驗，則質檢員認為設備需檢修的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
依題意，10個螺栓的尺寸，只有103.2不在區間[97，103]內，
工人隨機將其中的8個交與質檢員檢驗，質檢員認為設備需檢修，則尺寸為103.2的螺栓在8個之中，
所以質檢員認為設備需檢修的概率為.
故選：B
4．（全國高二課時練習）已知隨機變量X服從正態分布即，且P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，若隨機變量X～N(5,1)，則P(X＞6)≈（ ）
A．0.341 3 B．0.317 4
C．0.158 7 D．0.158 6
【答案】C
【詳解】
由題設P(4＜X≤6)≈0.682 6，所以由正態分布的對稱性可得P(X≥6)＝[1－P(4＜X≤6)]≈(1－0.682 6)≈0.158 7.
故選：C
5．（全國高二課時練習）隨機變量服從正態分布N(1,4)，若，則 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
因為隨機變量服從正態分布N(1，4)，
所以正態曲線關于對稱，
因為，
所以，
因為，，
，
所以，
故選：B.
6．（全國高二課時練習）已知隨機變量服從正態分布，且，則實數的值為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【詳解】
因為隨機變量服從正態分布，
所以曲線關于對稱，且，
由，可知.
故選：A.
7．（全國高二課時練習）某市教學質量檢測中，甲、乙、丙三科考試成績的正態分布圖如圖所示(由于人數眾多，成績分布的直方圖可視為正態分布)，下列說法中正確的是（ ）
A．甲科總體的標準差最小 B．丙科總體的平均數最小
C．乙科總體的標準差及平均數都居中 D．甲、乙、丙總體的平均數不相同
【答案】A
【詳解】
不妨設成績服從正態分布，
由正態曲線的性質知，曲線的形狀由參數確定，越大，曲線越矮胖；越小，曲線越瘦高，且是標準差，為正態曲線的對稱軸，且為平均數，
由題干所給圖像可知，甲科總體標準差最小，乙科總體標準差居中，丙科總體標準差最大， 甲、乙、丙總體的平均數相同，故A正確，BCD錯誤.
故選：A.
8．（山東廣饒一中高三月考）設隨機變量，已知，則（ ）
A．0.95 B．0.05 C．0.975 D．0.425
【答案】A
【詳解】
.
故選：A.
9．（全國高二單元測試）設X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，這兩個正態曲線如圖所示，下列說法正確的是（　　）
A．P(Y≤μ1)≥P(Y≤μ2)
B．P(X≥σ1)≥P(X≥σ2)
C．若t<0，則P(X≤t)≤P(Y≤t)
D．若t<0，則P(X≥t)≤P(Y≥t)
【答案】D
【詳解】
由正態分布密度曲線圖象的對稱性知，μ1<0<μ2，由圖象形狀可得σ1>σ2>0，如圖，
觀察圖象得：P(Y≤μ1)≤P(Y≤μ2)，A不正確；P(X≥σ1)≤P(X≥σ2)，B不正確；
由正態分布在區間上的概率的幾何意義知：若t<0，則P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≤P(Y≥t)，C不正確，D正確.
故選：D
10．（河南高二期末（理））某袋裝加碘食鹽的質量（單位：克）服從正態分布，某超市在進貨前要在廠家隨機抽檢這種食鹽袋，則質量在內的袋數約為（ ）
附：若，則，．
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
因，則有，，，，
于是得質量在內的概率為：
，
則有，
所以質量在內的袋數約為.
故選：A
11．（濟南市歷城第二中學高三開學考試）某地政府為解除空巢老年人缺少日常護理和社會照料的困境，大力培育和發展養老護理服務市場.從2016年開始新建社區養老機構，下表是該地近五年新建社區養老機構數量對照表：
年份 2016 2017 2018 2019 2020
年份代碼（） 1 2 3 4 5
新建社區養老機構（） 12 15 20 25 28
（1）根據上表數據可知，與之間存在線性相關關系，用最小二乘法求關于的經驗回歸方程；
（2）若該地參與社區養老的老人，他們的年齡近似服從正態分布，其中年齡的有人，試估計該地參與社區養老的老人有多少人？
參考公式：線性回歸方程，，.
參考數據：，
【答案】（1）；（2）人．
【詳解】
（1）由題意知，
，
，
，
所以，
，
故所求經驗回歸方程為；
（2）由題可知，
該地參與社區養老的老人有（人）
該地參與社區養老的老人約有人.
12．（全國高二課時練習）在某校舉行的數學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似地服從正態分布N(70，100)．已知成績在90分以上(含90分)的學生有12人．
（1）試問此次參賽學生的總數約為多少人？
（2）若成績在80分以上(含80分)為優，試問此次競賽成績為優的學生約為多少人？
附正態分布3σ概率表：
P(μ－σ【答案】（1）527人；（2）84人．
【詳解】
（1）設參賽學生的成績為X，因為X～N(70，100)，
所以μ＝70，σ＝10.
則P(X≥90)＝P(X≤50)＝[1－P(50＝[1－P(μ－2σ＝0.022 75，
12÷0.022 75≈527(人)．
因此，此次參賽學生的總數約為527人．
（2）由P(X≥80)＝P(X≤60)＝[1－P(60＝[1－P(μ－σ＝0.158 65，
527×0.158 65≈84(人)．
因此，此次競賽成績為優的學生約為84人．
13．（全國高二課時練習）已知隨機變量，且其正態曲線在(－∞，80)上是增函數，在(80，＋∞)上為減函數，且.
(1)求參數，的值．
(2)求．
附：若，則，.
【答案】(1)，；(2)0.1359.
【詳解】
(1)因為正態曲線在(－∞，80)上是增函數，在(80，＋∞)上是減函數，且正態曲線關于對稱，
所以正態曲線關于直線對稱，即，
因為，
所以，，解得，；
(2)因為正態曲線關于對稱，
所以，
因為，
所以，
故，
又，
所以，
故.
14．（重慶市第七中學校高三月考）為了解大學生每年旅游消費支出（單位：百元）的情況，相關部門隨機抽取了某大學的1000名學生進行問卷調查，并把所得數據列成如下所示的頻數分布表：
組別
頻數 2 250 450 290 8
（1）根據樣本數據，可近似地認為學生的旅游費用支出服從正態分布．若該所大學共有學生65000人，試估計有多少位同學旅游費用支出在8100元以上；
（2）已知樣本數據中旅游費用支出在范圍內的8名學生中有5名女生，3名男生，現想選其中3名學生回訪，記選出的男生人數為．求的分布列與數學期望．
附：若，則，，．
【答案】（1）1482;（2）分布列為見解析，數學期望為.
【詳解】
（1）由題意得：，根據正態分布的公式得到：，
再乘以總數得到結果0.0228×65000=1482.
估計有1482位同學旅游費用支出在8100元以上
（2）Y的可能取值為0，1，2，3.
；
；
；
.
Y的分布列為：
Y 0 1 2 3
P
所以，Y的數學期望為：
.
15．（黑龍江哈爾濱三中高二月考）某精密儀器生產車間每天生產（充分大，且）個零件，質檢員小張每天都會隨機地從中抽取50個零件進行檢查是否合格，若較多零件不合格，則需對其余所有零件進行檢查.根據多年的生產零件的數據和經驗，知這些零件的長度（單位：）服從正態分布，且相互獨立.若滿足，則認為該零件是合格的，否則該零件不合格.
（1）假設某一天小張抽查出不合格的零件數為，求及的數學期望；
附：若隨機變量服從正態分布，則，，.
（2）小張某天恰好從50個零件中檢查出2個不合格的零件，以此頻率作為當天生產零件的不合格率.已知檢查一個零件的成本為10元，而每個不合格零件流入市場帶來的損失為260元.為了使損失盡量小，小張是否需要檢查其余所有零件？試說明理由.
【答案】（1）0.006，；（2）需要，理由見解析.
【詳解】
（1）由于車間每天生產的零件很多，小張隨機抽取50個零件可視為有放回地抽取，各次試驗之間的結果是獨立的.又，，所以，因此.
，
故.
（2）由題意可知不合格率為.
若不再檢查其余所有零件，則損失的期望為；
若檢查其余所有零件，總檢查成本為，由于，
當充分大時，，
所以為了使損失盡量小，小張需要檢查其余所有零件.

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