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第二章 機械振動
第4節 單擺
伽利略發現了擺的等時性，惠更斯利用伽利略的發現發明了擺鐘
通過觀察，我們可以發現擺鐘也是在做往復運動，那么它的擺動是否為簡諧運動呢？
建立模型
如果細線的長度不可改變，細線的質量與小球相比可以忽略，球的直徑與線的長度相比也可以忽略，與小球受到的重力及線的拉力相比，空氣等對它的阻力可以忽略，這樣的裝置就叫做單擺。
盡量選擇質量大、體積小的球和盡量細的線
理想化模型
一、單擺
研究方法
用什么方法探究單擺的振動是否為簡諧運動呢？
方法一：分析單擺的回復力，看其與位移是否成正比并且方向相反
方法二：分析單擺位移是否與時間成正弦關系（得到關系式或圖像都可以）
P
O
θ
方法一：分析單擺的回復力
FT
mg
mgcosθ
mgsinθ
設單擺擺長為l、擺球質量為m。將擺球拉離平衡位置O后釋放，當擺球沿圓弧運動到某一位置P時，擺線與豎直方向的夾角為θ。
問題1：擺球運動軌跡是圓弧的一部分，那么誰充當了向心力呢？
在P處對擺球受力分析如圖，擺球受到重力mg和擺線拉力FT的作用
擺線拉力FT與擺球重力沿半徑方向的分力mgcosθ的合力充當向心力
即Fn = FT - mgcosθ
方法一：分析單擺的回復力
問題2：又是什么力充當了回復力呢？
重力沿圓弧切線方向的分力mgsinθ充當回復力，迫使擺球回到平衡位置O
問題3：這個回復力和位移x成正比且反向嗎？
P
O
θ
FT
mg
mgcosθ
mgsinθ
只有當擺角θ很小時，擺球運動的圓弧可以看成直線，這時才可以認為回復力指向平衡位置O，與位移x反向。
滿足F=-kx關系，即當單擺在擺角很小的情況下，可以看作是簡諧運動
方法二：分析單擺位移是否與時間成正弦關系（得到關系式或圖像都可以）
做一做
細線下懸掛一個小漏斗，漏斗內裝滿沙子。當漏斗擺動時，沿著垂直于擺動的方向勻速拖動木板，觀察漏在木板上的沙子圖樣。
想一想：為什么要勻速拖動木板？
方法二：分析單擺位移是否與時間成正弦關系（得到關系式或圖像都可以）
用木板將一排單擺的擺球拉起，由靜止釋放，可以觀察到什么有趣的現象呢？為什么會發生這種現象？
觀察與思考
有趣的單擺波
各擺的振動周期不同
二、單擺的周期
猜想
問題1：單擺的周期可能與哪些因素有關呢？
擺球質量m
擺長l
問題2：我們該用什么方法研究影響單擺周期的因素呢？
控制變量法
振幅A
兩擺的擺球質量、擺長相同，振幅不同
兩擺的擺長、振幅相同，擺球質量不同
兩擺的振幅、擺球質量相同，擺長不同
實驗探究1
兩擺的擺球質量、擺長相同，振幅不同
兩擺的擺長、振幅相同，擺球質量不同
兩擺的振幅、擺球質量相同，擺長不同
實驗結論
單擺的周期與擺球質量和振幅無關
單擺做簡諧運動的周期與擺長有關，擺長越長，周期越大
問題3：怎么研究單擺周期與擺長之間的定量關系呢？
次數 1 2 3 4 5
擺長l（m）
周期T（s）
畫T-l圖像判斷單擺周期與擺長的關系
問題4：如果T-l圖像不是直線，應該怎么辦？
實驗探究2
定量研究單擺周期與擺長之間的關系
理論探究
荷蘭物理學家惠更斯最先提出
思考
讓一個單擺在水平面內做圓錐擺運動，它的周期與單擺周期相比，孰大孰小呢？
圓錐擺周期小于單擺周期
三、單擺模型的拓展
光滑圓弧面上的小球從最低點移開一小段距離，然后又靜止松手
在這里，圓弧軌道的支持力替代了繩子的拉力，因此它的運動和單擺具有相同的特點
1、類單擺/等效重力加速度問題
例：如圖所示的幾個相同單擺在不同條件下擺動，關于它們的周期關系，下列判斷正確的是
A.T甲>T乙>T丙>T丁
B.T甲C.T甲>T乙＝T丙>T丁
D.T甲這幾種擺都是類似單擺的問題，與單擺相比，就是重力加速度不同，我們可以用它們的等效重力加速度來代替單擺周期公式中的g
甲中重力沿斜面分力為等效重力，即單擺的等效重力加速度g甲=gsinθ
乙中庫侖斥力總與運動方向垂直，不影響回復力，即g乙=g
丁中擺球處于超重狀態，等效重力增大，故等效重力加速度g丁=g+a
丙中g丙=g
故T甲>T乙＝T丙>T丁
三、單擺模型的拓展
2、等效擺長問題
甲、乙在垂直紙面方向上擺動起來，甲擺的等效擺長等于乙擺的擺長，即甲擺的等效擺長為lsinα

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