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三角形的高、中線與角平分線
【學習目標】
1.理解三角形的高、中線與角平分線的概念，了解三角形的穩定性.
2.會用工具準確畫出三角形的高、中線與角平分線.
重點：三角形的高、中線與角平分線的特征.
難點：三角形的高、中線與角平分線的應用.
一、基礎知識
1.三角形的高
2.三角形的中線
3.三角形角平分線
訓練：1.按要求畫出下列三角形的中線、高線、角平分線.
畫中線AD,BE,CF 畫高DG,EH,FM 畫角平分線GM,HN,IP
2.幾何語言表示三角形的高、中線、角平分線
幾何推理 圖例
三角形的高 ∵AD是△ABC的高， ∴①____⊥_____， ②∠ADB=∠______=______°
三角形的中線 ∵CF是△ABC的中線， ∴①AF=_____=______AC. ②AC=____AF=____CF. CB
三角形 的角平分線 ∵BE為△ABC的角平分線， ∴①∠1=∠_____=____∠ABC. ②∠ABC=____∠1=___∠2.
二、例題精選
【例1】在RtΔABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6,AB=10.求AB邊上高．
【例2】如圖，鈍角ΔABC.
（1)畫出AC邊上的高BM與BC邊上的高AN;
（2)若AC=3BC,求的值。
【例3】如圖，ΔABC中，AE,CD是ΔABC的兩條高，AB=4,CD=3.
（1)請畫出AE,CD;
（2)求ΔABC的面積；
（3)若AE=3,求BC的長．
【例4】如圖AD為ΔABC的中線，點E為AD上一點，求證：SΔABE=SΔACE.
【例5】如圖AD、BE、CF為ΔABC的三條中線，相交于點O,求證：.
【例6】如圖，ΔABC的面積是60,AD:DC=1:3,BE:ED=4:1,EF:FC=4:5,求ΔBEF的面積．
【例7】如圖，在△ABC中，E是BC上的一點，EC＝2BE，點D是AC的中點，設△ABC，△ADF和△BEF的面積分別為S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.
【例8】在ΔABC中，AB=2,BC=4,CD⊥AB于點D.
（1）如圖1，AE⊥BC于點E，求證：CD=2AE;
（2）如圖2，P是AC上任意一點（點P不與A，C重合），過點P作PE⊥BC于點E，PF⊥AB于點F，求證：2PE+PF=CD;
（3）在（2）中，若P為AC的延長線上任意一點，其他條件不變，請你在備用圖中畫出圖形，并探究線段PE，PF，CD之間的數量關系.
【例9】如圖，長方形ABCE,長BC=12,AB=10,SΔDEF=24,求S陰影．
三、課后作業
1．下列說法正確的是（　　）
A．三角形三條高都在三角形內 B．三角形三條中線相交于一點
C．三角形的三條角平分線可能在三角形內，也可能在三角形外
D．三角形的角平分線是射線
2．在△ABC中，AD為中線，BE為角平分線，則在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正確的是 （　?。?br/>A．①② B．③④ C．①④ D．②③
3.如圖，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，圖中線段中可以作為△ABC的高的有 （　　）
A．2條 B．3條 C．4條 D．5條
4.畫△ABC中AB邊上的高，下列畫法中正確的是（ ）
A B C D
5.（1） ∵BE是△ABC的角平分線，
∴____ = _____= _____.
（2）∵CF是△ABC的角平分線，
∴∠ACB= 2______= 2______.
6.如圖，AD是△ABC的中線，CE是△ACD的中線，S△AEC=3cm2，則S△ABC=____.
7.如圖，ΔABC中，D，E分別為BC，AD的中點，SΔABC=20，則陰影部分的面積是（ ）
A.18 B.10 C.5 D.1
9.如圖，在ΔABC中，已知點D，E，F分別為邊BC，AD，CE的中點，且SΔABC=16cm2，則S陰影等于（ ）
A.8cm2 B.4cm2 C.2cm2 D.1cm2
10.如圖，ΔABC中，D是AB的中點，且AE：CE=3:1,S△CEP=1，
則S△BPC=________.
11.在ΔABC中，AB=AC,，DB為ΔABC的中線，且BD將ΔABC周長分為12cm與15cm兩部分，求三角形各邊的長．
7.在△ABC中,CD是中線,已知BC-AC=5cm, △DBC的周長為25cm,求△ADC的周長.
12.如圖，點O是等腰ΔAB底邊BC上任意一點，過O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，若OE+OF=3,ΔABC的面積為12，則AB=_______.
13.如圖，在ΔABC中，E為AC的中點，D為BC上一點，BD:CD=2:5,AD和BE交于點0,若SΔAOE-SΔBOD=5,求ΔABC的面積．

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