資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第07講函數(shù)的奇偶性與周期性
1.函數(shù)的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點(diǎn)
偶函數(shù) 如果函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)都有,那么函數(shù)是偶函數(shù) 關(guān)于對(duì)稱
奇函數(shù) 如果函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)都有,那么函數(shù)是奇函數(shù) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
2.奇偶函數(shù)的性質(zhì)
(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反.
(2)在公共定義域內(nèi)
(i)兩個(gè)奇函數(shù)的和函數(shù)是奇函數(shù),兩個(gè)奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù).
(ii)兩個(gè)偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是偶函數(shù).
(iii)一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù).
(3)若是奇函數(shù)且處有意義,則.
3.函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù):對(duì)于函數(shù),如果存在一個(gè)非零常數(shù),使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有,那么就稱函數(shù)為周期函數(shù),稱為這個(gè)函數(shù)的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做的最小正周期.
(3)常見結(jié)論:若,則;若,則;若,則.
考點(diǎn)一:判斷函數(shù)的奇偶性
1.(全國(guó)高一專題練習(xí))判斷下列函數(shù)的奇偶性:
(1);(2);
(3);(4).
【答案】（1）偶函數(shù);（2）非奇非偶函數(shù);（3）偶函數(shù);（4）奇函數(shù).【詳解】
解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?
,所以函數(shù)為偶函數(shù);
（2）函數(shù)的定義域?yàn)?
,則且,
所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù);
（3）定義域?yàn)?
為偶函數(shù);
（4）定義域?yàn)?
為奇函數(shù).
2.(云南硯山縣第三高級(jí)中學(xué)高一期中)判斷下列函數(shù)的奇偶性.
(1);
(2);
【答案】（1）偶函數(shù);（2）非奇非偶函數(shù).
【詳解】
（1）因?yàn)槎x域?yàn)?
所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
又因?yàn)?所以函數(shù)是偶函數(shù);
（2）因?yàn)槎x域?yàn)?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
又因?yàn)?則,
所以是非奇非偶函數(shù);
3.(和平區(qū)·天津市第二南開中學(xué))判斷下列函數(shù)的奇偶性:
(1);
(2).
【答案】（1）函數(shù)為奇函數(shù);(2)是偶函數(shù).
【詳解】
（1）對(duì)于函數(shù),其定義域?yàn)?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;
又,
所以函數(shù)為奇函數(shù);
（2）因?yàn)?所以,解得,
即函數(shù)的定義域?yàn)?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
又,
所以函數(shù)是偶函數(shù).
4.(全國(guó))判斷下列函數(shù)的奇偶性:
(1);
(2).
【答案】(1)偶函數(shù).(2)奇函數(shù).
【詳解】
解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?
對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè),都有為偶函數(shù).
(2)函數(shù)的定義域?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)的每一個(gè),都有
為奇函數(shù).
考點(diǎn)二:函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
1.(長(zhǎng)春市基礎(chǔ)教育研究中心(長(zhǎng)春市基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)中心)高三(文))已知函數(shù),若,則
A.-2B.-4C.-6D.-8
【答案】D
【詳解】
Q,所以.
故選:D.
2.(山東高考真題)已知函數(shù)是奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,那么的值是()
A.-3B.-1C.1D.3
【答案】A
【詳解】
函數(shù)是奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,
.
故選:A.
3.(河北高三月考)已知是奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則
A.1B.0C.-2D.-1
【答案】D
【詳解】
由題意,.
故選:D.
4.(金寨縣青山中學(xué)高三開學(xué)考試)若為奇函數(shù),則的值為()
A.0B.-1C.1D.2
【答案】
【詳解】
為上的奇函數(shù),
得.驗(yàn)證滿足題意.
故選:C5.(沙坪壩-重慶八中高三月考)若函數(shù)的定義域?yàn)?且函數(shù)是偶函數(shù),函數(shù)是奇函數(shù),則
A.-3B.-1C.1D.3
【答案】A
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù),
所以,即①,
因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),
所以,即②,
由①②可得:,
故選:A.
6.(河北區(qū) 天津二中高三月考)已知函數(shù)為奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則
A.-4B.C.4D.
【答案】B
【詳解】
由題設(shè)知:.
故選:B
7.(全國(guó)高三專題練習(xí)(文))設(shè)是定義在上周期為2的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,
則
A.B.C.D.
【答案】
【詳解】
因?yàn)槭嵌x在上周期為2的奇函數(shù),
所以,
又當(dāng)時(shí),,
所以.
故選:C.
8.(北京市陳經(jīng)綸中學(xué))已知是定義在上的偶函數(shù),那么的值是
A.B.C.D.
【答案】B
【詳解】
在上是偶函數(shù)
有:,且
故選:B
9.(林芝市第二高級(jí)中學(xué)高三月考(理))已知函數(shù),若,則的值為()
A.2B.-2C.1D.-1
【答案】B
【詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)?
函數(shù)為奇函數(shù),則.
故選:B.
10.(江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高三開學(xué)考試)已知是定義在上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則等于
A.3B.-3C.D.
【答案】B
【詳解】
根據(jù)題意,當(dāng)時(shí),,則,
又由函數(shù)為上的奇函數(shù),
則;
故選.
考點(diǎn)三函數(shù)的周期性
1.(重慶市清華中學(xué)校高三月考)若是定義在上的奇函數(shù),且,則的值為()
A.1B.2C.0D.-1
【答案】
【詳解】
解:根據(jù)題意,若是定義在上的奇函數(shù),則,
又由,則有,
則,
故選:C.
2.(全國(guó)高三專題練習(xí)(文))設(shè)是定義在上周期為2的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則
A.B.C.D.
【答案】
【詳解】
因?yàn)槭嵌x在上周期為2的奇函數(shù),
所以,
又當(dāng)時(shí),,
所以.
故選:C.
3.(安徽省亳州市第一中學(xué)高三月考(文))函數(shù)滿足,若,則()
A.3B.-3C.6D.2022
【答案】B
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)滿足,即,
則,
所以函數(shù)是周期函數(shù),周期為8,
所以.
故選:B.
4.(寧夏吳忠市·吳忠中學(xué)高三月考(文))已知定義在上的奇函數(shù)滿足,當(dāng)
時(shí),,則
A.2021B.0C.-1D.1
【答案】D
【詳解】
由得,
所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù),
又是奇函數(shù),所以,
所以,
所以,
故選:D.
5.(北京一七一中高三月考)定義在上的偶函數(shù)滿足,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()
A.B.C.D.
【答案】D
【詳解】
因?yàn)?所以的周期為3,
所以,
又因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù),
所以,
所以,所以,
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是,
故選:D.
6.(江西景德鎮(zhèn)一中高三月考(理))已知為奇函數(shù)且對(duì)任意,若當(dāng)時(shí),,則
A.4B.3C.2D.0
【答案】D
【詳解】
因?yàn)?所以,所以是周期函數(shù),一個(gè)周期是4,
又是奇函數(shù),
所以,
所以.
故選:D.
7.(陜西咸陽(yáng)市·高三(文))已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足,當(dāng)時(shí),則
A.8B.6C.0D.-6
【答案】C
【詳解】
解:因?yàn)槎x域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足,
所以的周期為8,
因?yàn)?
所以,
所以,
故選:
8.(全國(guó)高三專題練習(xí))定義在上的函數(shù)滿足:①對(duì)任意有;②在上是增函數(shù);的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.則下列結(jié)論正確的是()
A.B.
C.D.
【答案】D【詳解】
由①知函數(shù)的周期為4,
由③知是偶函數(shù),則有,即函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是,
由②知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則在上單調(diào)遞減,且在上越靠近,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大,
又,
由以上分析可得,即.
故選:D
9.(陜西西安·高三月考(文))已知函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集,對(duì),有成立,且,則
A.10B.5C.0D.-5
【答案】D
【詳解】
對(duì),有,
所以,
所以函數(shù)的周期為4,
所以,
對(duì)于
令可得,所以,
即,
故選:D.
10.(吉林高三(文))若是定義在上的奇函數(shù),且,則的值為()
A.1B.2C.0D.-1
【答案】
【詳解】
因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù),所以,
又,所以是周期函數(shù),周期為2.
所以.故選:C.
考點(diǎn)四:周期性與奇偶性的綜合
1.(甘肅蘭州 西北師大附中高三月考(文))已知函數(shù)是上的偶函數(shù),若對(duì)于,都有
.且當(dāng)時(shí),,則的值為
A.-2B.-1C.1D.2
【答案】
【詳解】
函數(shù)是上的偶函數(shù),
,
又對(duì)于都有,
,當(dāng)時(shí),,
,
故選:C.
2.(全國(guó)(文))已知定義在上的偶函數(shù),對(duì),有成立,當(dāng)時(shí),,則
A.0B.-2C.-4D.2
【答案】
【詳解】
依題意對(duì),有成立,
令,則,
所以,故,
所以是周期為6的周期函數(shù),
故.
故選:C
3.(烏海市第一中學(xué)高三月考(理))設(shè)為定義在上的奇函數(shù),且滿足,則
A.-2B.-1C.0D.1
【答案】B
【詳解】
解:是定義在上的奇函數(shù),,滿足,
,又.
故選:B.
4.(陜西寶雞市 高三(文))已知是定義在上的周期為4的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,
則
A.-1B.0C.1D.2
【答案】A
【詳解】
由題意可得:
.
故選:A.
5.(貴州省思南中學(xué)高三(理))已知在上是奇函數(shù),且滿足,當(dāng)時(shí),,則
A.-2B.2C.-98D.98
【答案】A
【詳解】
因?yàn)樵谏鲜瞧婧瘮?shù),且滿足
所以
因?yàn)楫?dāng)時(shí),
所以
故選:A
6.(定遠(yuǎn)縣私立啟明民族中學(xué)高三月考(文))已知是定義在上的奇函數(shù),,恒有,且當(dāng)時(shí),,則
A.1B.2C.3D.4
【答案】
【詳解】
解:,
,即,
又,
,
.
的最小正周期是4.
.
又是周期為4的周期函數(shù),
,
故選:.
7.(全國(guó)高三專題練習(xí)(文))已知定義在上的偶函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),,則
A.-7B.1C.0D.-1
【答案】D
【詳解】
由得:函數(shù)的周期為3,
,又為偶函數(shù),,
當(dāng)時(shí),.
故選:D.
8.(全國(guó)高三專題練習(xí))已知定義在上的奇函數(shù)滿足且在區(qū)間上是增函數(shù),則
A.B.
C.D.
【答案】ACD
【詳解】
因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足,即
所以,則,
因此函數(shù)是以8為周期的函數(shù);
又是定義在上的奇函數(shù),且在區(qū)間上是增函數(shù),所以在上也是增函數(shù),因此在上是增函數(shù);
所以,故A正確;
,故B錯(cuò)誤;
,故C正確;
,故D正確.
故選:ACD.
9.(寧夏賀蘭縣景博中學(xué)(理))已知定義在上的奇函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),,則
A.B.C.3D.-3
【答案】B
【詳解】
在上為奇函數(shù),
所以,
且函數(shù)的周期為4,
故,
又,
故選:B.
10.(全國(guó)高三專題練習(xí)(理))已知定義在上的奇函數(shù)滿足,且,當(dāng)時(shí),.設(shè),則的大小關(guān)系為
A.B.C.D.
【答案】A
【詳解】
解:因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)滿足,所以是以2為周期的周期函數(shù),且,又,因?yàn)榕c在上單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性可得在上單調(diào)遞增,所以,
因?yàn)?所以,即
故選:A
11.(沙坪壩 重慶一中高三月考)已知函數(shù)是定義上的奇函數(shù),且,當(dāng)時(shí),,則
A.-2B.2C.D.
【答案】A
【詳解】
解:因?yàn)?所以的周期為4,
所以,
因?yàn)楹瘮?shù)是定義上的奇函數(shù),
所以,
因?yàn)闀r(shí),,所以,
所以,
故選:A
12.(寧夏吳忠 高三(文))已知函數(shù)為偶函數(shù),且,當(dāng)時(shí),,則.
A.8B.6C.4D.
【答案】A
【詳解】
由,可得,
又為偶函數(shù),
所以,
所以是周期函數(shù),
且周期,
所以.
故選A.中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第07講 函數(shù)的奇偶性與周期性
1．函數(shù)的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點(diǎn)
偶函數(shù) 如果函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè) 都有，那么函數(shù)是偶函數(shù) 關(guān)于對(duì)稱
奇函數(shù) 如果函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè) 都有，那么函數(shù)是奇函數(shù) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
2.奇偶函數(shù)的性質(zhì)
(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反．
(2)在公共定義域內(nèi)
(ⅰ)兩個(gè)奇函數(shù)的和函數(shù)是奇函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù).
(ⅱ)兩個(gè)偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是偶函數(shù).
(ⅲ)一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù).
(3)若是奇函數(shù)且處有意義，則.
3．函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個(gè)函數(shù)的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做的最小正周期．
(3)常見結(jié)論：若，則；若，則；若，則.
【考點(diǎn)一：判斷函數(shù)的奇偶性】
1．（全國(guó)高一專題練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
2．（云南硯山縣第三高級(jí)中學(xué)高一期中）判斷下列函數(shù)的奇偶性．
（1）；
（2）；
3．（和平區(qū)·天津市第二南開中學(xué)）判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1）；
（2）．
4．（全國(guó)）判斷下列函數(shù)的奇偶性:
(1);
(2).
【考點(diǎn)二：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用】
1．（長(zhǎng)春市基礎(chǔ)教育研究中心（長(zhǎng)春市基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)中心）高三（文））已知函數(shù)，若，則（ ）
A． B． C． D．
2．（山東高考真題）已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
3．（河北高三月考）已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．1 B．0 C． D．
4．（金寨縣青山中學(xué)高三開學(xué)考試）若為奇函數(shù)，則的值為（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．2
5．（沙坪壩·重慶八中高三月考）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，且函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，則（ ）
A． B． C．1 D．3
6．（河北區(qū)·天津二中高三月考）已知函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A． B． C．4 D．
7．（全國(guó)高三專題練習(xí)（文））設(shè)是定義在上周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A． B． C． D．
8．（北京市陳經(jīng)綸中學(xué)）已知是定義在上的偶函數(shù)，那么的值是（ ）
A．－ B． C．－ D．
9．（林芝市第二高級(jí)中學(xué)高三月考（理））已知函數(shù)，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
10．（江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高三開學(xué)考試）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則等于
A． B． C． D．
【考點(diǎn)三　函數(shù)的周期性】
1．（重慶市清華中學(xué)校高三月考）若是定義在上的奇函數(shù)，且，則的值為（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
2．（全國(guó)高三專題練習(xí)（文））設(shè)是定義在上周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（安徽省亳州市第一中學(xué)高三月考（文））函數(shù)滿足，若，則（ ）
A．3 B．-3 C．6 D．2022
4．（寧夏吳忠市·吳忠中學(xué)高三月考（文））已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（北京一七一中高三月考）定義在上的偶函數(shù)滿足，若，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（江西景德鎮(zhèn)一中高三月考（理））已知為奇函數(shù)且對(duì)任意，，若當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
7．（陜西咸陽(yáng)市·高三（文））已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，則（ ）
A．8 B．6 C．0 D．
8．（全國(guó)高三專題練習(xí)）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①對(duì)任意x∈R有f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0，2]上是增函數(shù)；③f(x＋2)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．f(7)C．f(4.5)9．（陜西西安·高三月考（文））已知函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集，對(duì)，有成立，且，則
A．10 B．5 C．0 D．-5
10．（吉林高三（文））若是定義在上的奇函數(shù)，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【考點(diǎn)四：周期性與奇偶性的綜合】
1．（甘肅蘭州·西北師大附中高三月考（文））已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對(duì)于，都有.且當(dāng)時(shí)，，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（全國(guó)（文））已知定義在上的偶函數(shù)，對(duì)，有成立，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（烏海市第一中學(xué)高三月考（理））設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，且滿足，，則（ ）
A． B． C．0 D．1
4．（陜西寶雞市·高三（文））已知是定義在上的周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
5．（貴州省思南中學(xué)高三（理））已知在R上是奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．-2 B．2 C．-98 D．98
6．（定遠(yuǎn)縣私立啟明民族中學(xué)高三月考（文））已知是定義在上的奇函數(shù)，，恒有，且當(dāng)，時(shí)，，則=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（全國(guó)高三專題練習(xí)（文））已知定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A． B． C． D．
8．（全國(guó)高三專題練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)滿足 且在區(qū)間上是增函數(shù)，則（ ）
A． B．
C． D．
9．（寧夏賀蘭縣景博中學(xué)（理））已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則 =（　　）
A． B． C． D．
10．（全國(guó)高三專題練習(xí)（理））已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且，當(dāng)時(shí)，．設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
11．（沙坪壩·重慶一中高三月考）已知函數(shù)是定義上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．－2 B．2 C． D．
12．（寧夏吳忠·高三（文））已知函數(shù)為偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（ ）．
A．8 B．6 C．4 D．

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