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第16講 含參數單調性討論問題
1．（重慶市萬州清泉中學）已知函數．討論的單調性；
2．（青銅峽市高級中學（文））已知函數（為常數）,討論函數的單調性；
3．（江蘇沭陽·高二期中）已知函數．
（1）若，求函數的極值；
（2）求函數的單調區間．
4．（四川省蒲江縣蒲江中學高二月考（文））已知函數.
（1）若，求曲線在處切線的方程；
（2）求的單調區間；
5．（湖北孝感·高二期末）設函數.
（1）當時，求函數的單調區間；
（2）令，討論的單調性.
6．（全國高二課時練習）已知函數，討論的單調性.
7．（全國）已知函數，實數，討論函數在區間上的單調性.
8．（全國高二課時練習）設函數討論的單調性.
9．（青海大通·（文））已知函數.
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）求的單調區間.
10．（全國高二期末）已知.
（1）若函數在處取得極值，求實數的值；
（2）若，求函數的單調遞增區間；中小學教育資源及組卷應用平臺
第16講含參數單調性討論問題
1.(重慶市萬州清泉中學)已知函數.討論的單調性;
【答案】（1）答案見解析;
【詳解】
(1)且,
當時,遞增;
當時:若時,遞減;當時,遞增;
時,在上遞增;時,在上遞減,在上遞增;
2.(青銅峽市高級中學(文))已知函數(為常數),討論函數的單調性;
【答案】時,遞增,時,在遞減,遞增;
【詳解】
（1）函數定義域是,
時,恒成立,在上是增函數;
時,時,遞減,時,遞增.
3.(江蘇沭陽 高二期中)已知函數.
（1）若,求函數的極值;
（2）求函數的單調區間.
【答案】（1）極大值0,無極小值;(2)當時,的單調遞增區間為,
當時,的單調遞增區間為,單調遞減區間為.
【詳解】
解:(1)當時,,由得,
列表如下:
1
0
7 極大值 L
所以當時,有極大值0,無極小值;
（2）,
當時,開,所以,的單調遞增區間為,
當時,,
所以,的單調遞增區間為,單調遞減區間為,
綜上所述:當時,的單調遞增區間為,
當時,的單調遞增區間為,單調遞減區間為.
4.(四川省蒲江縣蒲江中學高二月考(文))已知函數.
（1）若,求曲線在處切線的方程;
（2）求的單調區間;
【答案】(1);(2)當時,單調遞增區間為,無單調遞減區間;當時,單調遞增區間為,單調遞減區間為;
【詳解】
（1）由已知,
曲線在處切線方程為,即.
(2).
①當時,由于,故
所以,的單調遞增區間為,無單調遞減區間.
②當時,由,得.
在區間上,,在區間上,
所以,函數的單調遞增區間為,單調遞減區間為.
5.(湖北孝感 高二期末)設函數.
（1）當時,求函數的單調區間;
（2）令,討論的單調性.
【答案】（1）單調遞增區間為,單調遞減區間為;（2）答案見解析.
【詳解】
(1)
當時
令得或(舍)
當時,時,
于是的單調遞增區間為,單調遞減區間為.
（2）由題意得
于是
①當時
在恒成立
②當時
在恒成立;在恒成立
綜上所述當時,在上單調遞增
當時,在單調遞減,在單調遞增.
6.(全國高二課時練習)已知函數,討論的單調性.
【答案】當在上單調遞增;
當在上單調遞增,在上單調遞減.
【詳解】
的定義域為.
當,則時,,故在單調遞增.
當,則時,時,
故在單調遞增,在單調遞減.
綜上所述,當在上單調遞增;
當在上單調遞增,在上單調遞減.
7.(全國)已知函數,實數,討論函數在區間上的單調性.
【答案】時,在區間上單調遞減;
當時,在區間上單調遞減,在區間上單調遞增.
【詳解】
由題知的定義域為,
由可得.
(i)當時,FI0,當時,單遞減;
(ii)當時,
當時,單調遞減;
當時,單調遞增.
綜上所述,時,在區間上單調遞減;
當時,在區間上單調遞減,在區間上單調遞增.
8.(全國高二課時練習)設函數討論的單調性.
【答案】答案見解析.
【詳解】
解:定義域為,
令,
①當時,,故在上單調遞增,
②當時,的兩根都小于零,在上,,
故在上單調遞增,
③當時,的兩根為,
當時,;當時,;當時,;
故分別在上單調遞增,在上單調遞減.
綜上可得:①當時,在上單調遞增;②當時,在上單調遞增;③當時,分別在上單調遞增,在上單調遞減.
9.(青海大通 (文))已知函數.
（1）當時,求曲線在點處的切線方程;
（2）求的單調區間.
【答案】（1）;（2）答案見解析.
【詳解】
（1）因為,所以,所以,
,所以所求切線方程為.
（2）,而,令得,
當時,由得或,由得,
所以的單調遞增區間為和,單調遞減區間為;
當時,,所以的單調增區間為,無單調減區間;
當時,由得或,由得,
所以的單調增區間為和,單調遞減區間為.
10.(全國高二期末)已知.
（1）若函數在處取得極值,求實數的值;
（2）若,求函數的單調遞增區間;
【答案】(1);(2)答案見解析;【詳解】
(1),
函數在處取得極值,,解得,
當時,.
當時,單調遞減;
當時,單調遞增;
當時,函數在處取得極小值;
(2),
,
令,則或,
①當時,令可得,
函數的單調遞增區間為;
②當時,令可得或,
函數的單調遞增區間為;
③當時,在上恒成立,
函數的單調遞增區間為;
④當時,令可得或,
函數的單調遞增區間為;

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