資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第21講三角函數的圖象與性質
1、正弦、余弦、正切函數的圖象與性質(下表中)
函數
圖象
定義域
值域 R
周期性
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
對稱中心
對稱軸方程 無
2.三角函數的周期性
(1)函數的最小正周期.應特別注意函數的周期為,函數的最小正周期.
(2)函數的最小正周期.應特別注意函數的周期為.函數的最小正周期均為.
(3)函數的最小正周期.應特別注意函數的周期為,函數的最小正周期均為.3.三角函數的奇偶性
(1)函數是奇函數,是偶函數;
(2)函數是奇函數,是偶函數;
(3)函數是奇函數.
4.三角函數的對稱性
(1)函數的圖象的對稱軸由解得,對稱中心的橫坐標由解得;
(2)函數的圖象的對稱軸由解得,對稱中心的橫坐標由解得;
(3)函數的圖象的對稱中心由)解得.
題型一:定義域、值域、最值
1.(嘉峪關市第一中學高一期末)函數的最小正周期和最大值分別是()
A.和B.和2C.和D.和2
【答案】
【詳解】
,
的最小正周期為,最大值為.
故選:C.
2.(全國高一課時練習)若,且,則的取值范圍為()
A.B.C.D.
【答案】
【詳解】
因為,所以,
因為,所以,
解得,
故選:C
3.(興仁市鳳凰中學高一期末)函數的最大值為()
A.B.C.2D.
【答案】
【詳解】
所以當時,取得最大值2,
故選:C.
4.(四川南充 (文))函數的最大值為()
A.1B.C.D.3
【答案】
【詳解】
解:(其中),
所以當時,取最大值,
故選:C
5.(張家口市宣化第一中學高一月考)當時,函數的最大值,最小值分別為()
A.1,-1B.2,-2C.1,D.
【答案】D
【詳解】
又
,即.
故選:D.
6.(全國高一課時練習)函數,則的范圍是()
A.B.C.D.
【答案】
【詳解】
根據正弦函數圖象可知在區間上,函數先增后減,
當時,,當時,.
故選:.
7.(全國高一課時練習)在上的最大值與最小值的和為(
A.0B.1C.2D.3
【答案】B
【詳解】
當時,,
則當,即時,;當,即時,,
所以最大值和最小值的和為1.
故選:B.
8.(河南商丘 高一月考)若函數的最大值為,則實數的值為A.1B.C.2D.
【答案】B
【詳解】
依題意,,
設銳角滿足,則.
當時,函數的最大值為,因此.
當時,函數的最大值為,解得.
綜上,實數的值為.
故選:B.
9.(天水市第一中學高三月考(文))函數是()
A.奇函數,且最大值為2B.偶函數,且最大值為2
C.奇函數,且最大值為9D.偶函數,且最大值為
【答案】D
【詳解】
解:由題意得
又
當時,的最值為.
故選:D
10.(江蘇亭湖 鹽城中學高一月考)函數的值域為()
A.B.C.D.
【答案】
【詳解】
因為,所以.即值域為,
故選:C.
11.(全國高一課時練習)函數的值域為,則以下不符合條件的為()
A.0B.C.D.
【答案】D
【詳解】
因為值域為,當時,,
由對稱性可知當時,,
由圖象可知:,所以不符合條件,
故選:D.
12.(石泉縣石泉中學高二開學考試(文))已知函數在處取得最小值,則()
A.B.C.D.
【答案】D
【詳解】
函數在處取得最小值,
,又
解得:
故選:D
13.(全國高一課時練習)函數的值域為()
A.B.
C.D.
【答案】A
【詳解】
解:因為,所以
因為在上單調遞增,所以
即
故選:A
14.(全國高一課時練習)函數的定域是()
A.B.
C.D.
【答案】
【詳解】
,
函數的定義域是
故選:.
15.(陜西省洛南中學)函數的定義域是(
A.B.
C.D.
【答案】
【詳解】
解:因為正切函數的定義域為,
所以由,得.
故選:.
題型二:單調性
1.(贛州市贛縣第三中學高二開學考試(理))函數的單調遞增區間是()
A.B.
C.D.
【答案】
【詳解】
,
令.
所以.
所以函數的單調遞增區間為.
故選:C
2.(六安市裕安區新安中學高一期中)在區間上,下列說法正確的是()
A.是增函數,且是減函數
B.是減函數,且是增函數
C.是增函數,且是增函數
D.是減函數,且是減函數
【答案】A
【詳解】
由正余弦函數的圖象可知,在區間上,是增函數,且是減函數,故選:A.
3.(全國高一單元測試)函數的單調遞減區間(
A.B.
C.D.
【答案】D
【詳解】
解:由得得
所以函數的單調減區間為,
故選:D
4.(上海)函數是增函數,則可以是
A.B.C.D.
【答案】B
【詳解】
由得,
所以增區間為,
當時,增區間為.
故選:B
5.(北京市第六十六中學高一期中)函數是()
A.奇函數,且在區間上單調遞增B.奇函數,且在區間上單調遞減
C.偶函數,且在區間上單調遞增D.偶函數,且在區間上單調遞減
【答案】D
由題意,函數的定義域,且,
所以函數為偶函數,
又由余弦函數的性質,可得在區間為遞減函數.
故選:D.
6.(上海高一課時練習)使得不等式成立的的取值范圍是()
A.B.
C.D.
【答案】
由不等式,
根據正切函數的圖象與性質,可得,
即實數的取值范圍是.
故選:C.
7.(湖北高一期末)函數的單調遞增區間為(
A.B.
C.D.
【答案】
【詳解】
由,可得,所以函數的單調遞增區
間為,
故選C.
8.(全國)在)內,使成立的的取值范圍為(
A.B.
C.D.
【答案】D
【詳解】
由,可得.
再根據,求得,
故選:D.
9.(深州長江中學)函數的單調遞增區間為(
A.B.
C.D.
【答案】
【詳解】
根據正切函數性質可知,
當時,函數單調遞增,
即,
故選:C.
題型三:奇偶性
1.(陜西漢中 高三月考(文))下列函數中是偶函數的為()
A.B.C.D.
【答案】
【詳解】
A:,故為奇函數;
B:,故為奇函數;
C:,故為偶函數;
D:,故為奇函數.
故選:C
2.(陜西富平·高一期末)下列函數為奇函數的是()
A.B.C.D.
【答案】
【詳解】
A.函數的定義域為,滿足,所以函數是偶函數,故錯誤;
B.函數的定義域為,滿足,所以函數是偶函數,故錯誤;
C.函數的定義域為,滿足,所以函數是奇函數,故正確;
D.函數的定義域為,函數既不滿足,也不滿足,所以函數既不是奇函數,也不是偶函數,故錯誤.
故選:C
3.(云南昆明二十三中)函數是()
A.周期為的奇函數B.周期為的偶函數
C.周期為的奇函數D.周期為的偶函數
【答案】A
【詳解】
由題意得,
所以,故為奇函數,
周期,
故選:A
4.(北京市第六十六中學高一期中)函數是()
A.奇函數,且在區間上單調遞增B.奇函數,且在區間上單調遞減
C.偶函數,且在區間上單調遞增D.偶函數,且在區間上單調遞減
【答案】D
【詳解】
由題意,函數的定義域,且,
所以函數為偶函數,
又由余弦函數的性質,可得在區間為遞減函數.
故選:D.
5.(全國高一單元測試)函數是()
A.最小正周期為的偶函數B.最小正周期為的偶函數
C.最小正周期為的奇函數D.最小正周期為的奇函數
【答案】A
【詳解】
,所以函數最小正周期為,是偶函數,因此本題選
A.
6.(嘉峪關市第一中學(文))下列函數中,周期為,且在區間單調遞增的是()
A.B.C.D.
【答案】
【詳解】
A:的周期為單調遞減,不合要求;
B:的周期為單調遞增,不合要求;
C:的周期為單調遞增,符合要求;
D:的周期為不單調,不合要求;
故選:C.
7.(全國高一課時練習)下列四個函數中,以為最小正周期,且在區間上為減函數的是()
A.B.C.D.
【答案】B
【詳解】
對于選項A:由于的周期為,故選項A不正確;
對于選項B:由于以為最小正周期,且在區間上為減函數,故選項B不正確;
對于選項C:故由于的周期為,故選項C不正確;
對于選項D:由于在區間上為增函數,故選項D不正確.
故選:B
8.(廣東江門 高一期末)下列四個函數中,在定義域內是偶函數且在區間上單調遞增的是()
A.B.
C.D.
【答案】D
【詳解】
解:A.,則是偶函數,
當時,為減函數,不滿足條件.
B.是偶函數,當時,為減函數,不滿足條件.
C.,則是偶函數,
當時,為減函數,不滿足條件.
D.是偶函數,當時,為增函數,滿足條件.
故選:D.
9.(上海高一課時練習)同時滿足條件:①在上是增函數;②以為最小正周期;③是奇函數的函數是()
A.B.C.D.
【答案】
【詳解】
解:對于,因為函數的最小正周期為,故錯誤;
對于,因為函數在上是減函數,且是上的偶函數,故錯誤;
對于,函數的單調增區間為,是以為最小正周期的奇函數,故正確;
對于,因為函數在上是減函數,且最小正周期為,故錯誤.
故選:C.
題型四:對稱性
1.(江西九江一中高一期中)函數圖象的對稱軸方程為()
A.B.
C.D.
【答案】A
【詳解】
的對稱軸為,令,解得
故選:A.
2.(北京市昌平區實驗學校)函數圖象的一條對稱軸是()
A.B.
C.D.
【答案】
【詳解】
對于:將代入可得,故不是函數的對稱軸,故選項不正確;
對于B:將代入可得,故不是函數的對稱軸,故選項B不正確;
對于:將代入可得,故是函數的對稱軸,
故選項正確;
對于D:將代入可得,故不是函數的對稱軸,故選項D不正確;
故選:C.
3.(上海市嘉定區第一中學)給出下列命題:①函數是奇函數;②存在實數,使得;③若是第一象限角且,則;④是函數的一條對稱軸方程;函數的圖象關于點成中心對稱圖形其中正確的個數是()
A.1B.2C.3D.4
【答案】A
【詳解】
解:對于①,因為,所以此函數是奇函數,所以①正確;
對于②,因為,所以②錯誤;
對于③,若,此時,所以③錯誤;
對于,當時,,所以是函數的一條對稱軸方程;當時,,所以函數的圖象不關于點成中心對稱圖形,所以④錯誤,故選:A
4.(北京高二期末)函數的一條對稱軸可以為()
A.B.
C.D.
【答案】
【詳解】
解:因為,令,解得,即函數的對稱軸為,當時,;
故選:C
5.(全國高一課時練習)函數的圖象()
A.關于軸對稱B.關于軸對稱C.關于原點對稱D.關于直線對稱
【答案】B
【詳解】
可得是由向上平移1個單位得到,
根據余弦函數的性質可得的圖象關于軸對稱.
故選:B.
6.(北京豐臺·高一期中)函數的圖象中,相鄰兩條對稱軸之間的距離是()
A.B.C.D.
【答案】
【詳解】
函數的最小正周期是,因此相鄰兩條對稱軸之間的距離是.
故選:C.
7.(全國高一課時練習)函數的圖象()
A.關于點對稱B.關于點對稱
C.關于直線對稱D.關于直線對稱
【答案】D
【詳解】
由題設,由余弦函數的對稱中心為,令,得,易知A、B錯誤;
由余弦函數的對稱軸為,令,得,
當時,,易知錯誤,正確;
故選:D
8.(湖北十堰·高一期末)函數圖象的一條對稱軸可能是直線
A.B.C.D.
【答案】A
【詳解】
令,解得.
當時,.
故選:A.
9.(山東威海·高一期末)如果函數的圖像關于點對稱,那么的最小值為()
A.B.C.D.
【答案】B
【詳解】
由題意,,則,解得,
當時,的最小值為.
故選:B
10.(吉林高三模擬預測(理))函數圖象的對稱中心是()
A.B.
C.D.
【答案】D
【詳解】
令,解得,則圖象的對稱中心為.
故選:D.
11.(全國)函數的圖像的對稱中心為()
A.B.
C.D.
【答案】D
【詳解】
解:根據正切函數的對稱中心是
令,解得;
所以函數的圖像的對稱中心為
故選:D
12.(全國高三專題練習(文))函數的一個對稱中心是()
A.B.
C.D.以上選項都不對
【答案】
【詳解】
解:因為正切函數圖象的對稱中心是;
令,解得;
所以函數的圖象的對稱中心為;
當時,正確,
故選:C.
13.(全國高一課時練習)函數的一個對稱中心是()
A.B.C.D.
【答案】A
【詳解】
函數中,
令;
解得;
所以時,的一個對稱中心是.
故選:A.
14.(上海高一課時練習)函數圖象的對稱中心是()
A.B.
C.D.
【答案】D
【詳解】
因為正切函數的對稱中心為,
由可得,
因此,函數圖象的對稱中心是.
故選:D.中小學教育資源及組卷應用平臺
第21講 三角函數的圖象與性質
1、正弦、余弦、正切函數的圖象與性質(下表中k∈Z)
函數
圖象
定義域
值域 R
周期性
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
對稱中心
對稱軸方程 無
2．三角函數的周期性
(1)函數的最小正周期．應特別注意函數的周期為，函數()的最小正周期．
(2)函數的最小正周期．應特別注意函數的周期為．函數()的最小正周期均為．
(3)函數的最小正周期．應特別注意函數|的周期為，函數() 的最小正周期均為．
3．三角函數的奇偶性
(1)函數是奇函數 ()，是偶函數 ()；
(2)函數是奇函數 ()，是偶函數 ()；
(3)函數是奇函數 ()．
4．三角函數的對稱性
(1)函數的圖象的對稱軸由()解得，對稱中心的橫坐標由()解得；
(2)函數的圖象的對稱軸由()解得，對稱中心的橫坐標由()解得；
(3)函數的圖象的對稱中心由)解得．
【題型一：定義域、值域、最值】
1．（嘉峪關市第一中學高一期末）函數的最小正周期和最大值分別是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
2．（全國高一課時練習）若，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．（興仁市鳳凰中學高一期末）函數的最大值為（ ）
A． B． C． D．
4．（四川南充·（文））函數的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．3
5．（張家口市宣化第一中學高一月考）當時，函數的最大值，最小值分別為（ ）
A．1，-1 B．2，-2 C．1， D．2，-1
6．（全國高一課時練習）函數，，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（全國高一課時練習）在上的最大值與最小值的和為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（河南商丘·高一月考）若函數的最大值為，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
9．（天水市第一中學高三月考（文））函數是（ ）
A．奇函數，且最大值為2 B．偶函數，且最大值為2
C．奇函數，且最大值為9 D．偶函數，且最大值為
10．（江蘇亭湖·鹽城中學高一月考）函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
11．（全國高一課時練習）函數的值域為，則以下不符合條件的為（ ）
A． B． C． D．
12．（石泉縣石泉中學高二開學考試（文））已知函數在處取得最小值，則（ ）
A． B． C． D．
13．（全國高一課時練習）函數，的值域為（ ）
A． B．
C． D．
14．（全國高一課時練習）函數y＝tan的定域是（ ）
A． B．
C． D．
15．（陜西省洛南中學）函數的定義域是（　　　　）
A． B．
C． D．
【題型二：單調性】
1．（贛州市贛縣第三中學高二開學考試（理））函數的單調遞增區間是（ ）
A． B．
C． D．
2．（六安市裕安區新安中學高一期中）在區間上，下列說法正確的是（ ）
A．是增函數，且是減函數
B．是減函數，且是增函數
C．是增函數，且是增函數
D．是減函數，且是減函數
3．（全國高一單元測試）函數的單調遞減區間（ ）
A． B．
C． D．
4．（上海）函數是增函數，則可以是
A． B． C． D．
5．（北京市第六十六中學高一期中）函數是（ ）
A．奇函數，且在區間上單調遞增 B．奇函數，且在區間上單調遞減
C．偶函數，且在區間上單調遞增 D．偶函數，且在區間上單調遞減
6．（上海高一課時練習）使得不等式成立的x的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
7．（湖北高一期末）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B．
C． D．
8．（全國）在)內，使成立的的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．∪
9．（深州長江中學）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B．
C． D．
【題型三：奇偶性】
1．（陜西漢中·高三月考（文））下列函數中是偶函數的為（ ）
A． B． C． D．
2．（陜西富平·高一期末）下列函數為奇函數的是（ ）
A． B． C． D．
3．（云南昆明二十三中）函數是（ ）
A．周期為的奇函數 B．周期為的偶函數
C．周期為的奇函數 D．周期為的偶函數
4．（北京市第六十六中學高一期中）函數是（ ）
A．奇函數，且在區間上單調遞增 B．奇函數，且在區間上單調遞減
C．偶函數，且在區間上單調遞增 D．偶函數，且在區間上單調遞減
5．（全國高一單元測試）函數是（ ）
A．最小正周期為的偶函數 B．最小正周期為的偶函數
C．最小正周期為的奇函數 D．最小正周期為的奇函數
6．（嘉峪關市第一中學（文））下列函數中，周期為，且在區間單調遞增的是（ ）
A． B． C． D．
7．（全國高一課時練習）下列四個函數中，以為最小正周期，且在區間上為減函數的是（ ）
A． B． C． D．
8．（廣東江門·高一期末）下列四個函數中，在定義域內是偶函數且在區間上單調遞增的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（上海高一課時練習）同時滿足條件：①在上是增函數；②以為最小正周期；③是奇函數的函數是（ ）
A． B． C． D．
【題型四：對稱性】
1．（江西九江一中高一期中）函數圖象的對稱軸方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（北京市昌平區實驗學校）函數圖象的一條對稱軸是（ ）
A． B．
C． D．
3．（上海市嘉定區第一中學）給出下列命題：①函數是奇函數；②存在實數，使得；③若是第一象限角且，則；④是函數的一條對稱軸方程；函數的圖象關于點成中心對稱圖形其中正確的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（北京高二期末）函數的一條對稱軸可以為（ ）
A． B．
C． D．
5．（全國高一課時練習）函數的圖象（ ）
A．關于x軸對稱 B．關于y軸對稱 C．關于原點對稱 D．關于直線對稱
6．（北京豐臺·高一期中）函數的圖象中，相鄰兩條對稱軸之間的距離是（ ）
A． B． C． D．
7．（全國高一課時練習）函數的圖象（ ）
A．關于點對稱 B．關于點對稱
C．關于直線對稱 D．關于直線對稱
8．（湖北十堰·高一期末）函數圖象的一條對稱軸可能是直線（ ）
A． B． C． D．
9．（山東威海·高一期末）如果函數的圖像關于點對稱，那么的最小值為（ ）
A． B． C． D．
10．（吉林高三模擬預測（理））函數圖象的對稱中心是（ ）
A． B．
C． D．
11．（全國）函數的圖像的對稱中心為（ ）
A． B．
C． D．
12．（全國高三專題練習（文））函數的一個對稱中心是（ ）
A．(0，0) B．(，0)
C．(，0) D．以上選項都不對
13．（全國高一課時練習）函數的一個對稱中心是（ ）
A． B． C． D．
14．（上海高一課時練習）函數圖象的對稱中心是（ ）
A． B．
C． D．

展開更多......

收起↑