資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第25講平面向量的概念及線性運算
一.向量的基礎概念
1.向量:既有大小又有方向的量:向量一般用來表示,或用有向線段的起點與終點的大寫字母表
示,如:向量的大小即向量的模(長度),記作或.
向量不能比較大小,但向量的模可以比較大小.
2.零向量:長度為0的向量,記為,其方向是任意的,與任意向量平行零向量.由于的方向是任意的,且規定平行于任何向量,故在有關向量平行(共線)的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件.
3.單位向量:模為1個單位長度的向量.向量為單位向量.
4.平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上。方向相同或相反的向量,稱為平行向量,記作由于向量可以進行任意的平移,平行向量總可以平移到同一直線上,故平行向量也稱為共線向量.
數學中研究的向量是自由向量,只有大小、方向兩個要素,起點可以任意選取,現在必須區分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義,要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的.
兩個向量共線的證明方法:向量與非零向量共線有且只有一個實數,使得。
5.相等向量:長度相等且方向相同的向量。相等向量經過平移后總可以重合,記為。
6.向量的加法
求兩個向量和的運算叫做向量的加法。
向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”:
（1）用平行四邊形法則時,兩個已知向量是要共始點的,和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線,而差向量是另一條對角線,方向是從減向量指向被減向量。
（2）三角形法則的特點是“首尾相接”,由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和;差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點。設,則
當兩個向量的起點公共時,用平行四邊形法則;當兩向量是首尾連接時,用三角形法則.向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加:
,但這時必須“首尾相連”.
7.向量的減法
①相反向量:與長度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量記作,零向量的相反向量仍是零向量
②向量減法:向量加上的相反向量叫做與的差,記作:,求兩個向量差的運算,叫做向量的減法。
③作圖法:可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）。
8.向量的數乘運算
(1);(2);(3).
題型一:向量的模
1.(全國)如圖,在平行六面體的棱中,與向量模相等的向量有
A.0個B.3個C.7個D.9個
【答案】
【詳解】
由向量模相等,即為長度相等,根據平行六面體的結構特征可知:
與向量模相等的向量是:共7個.
故選:C.
2.(北京東城 )若都是單位向量,則下列結論一定正確的是()
A.B.C.D.
【答案】D
【詳解】
方向相同大小相等的向量是相等向量,但是不一定方向相同,故A錯誤;
為的夾角,因為,所以,所以不一定等于1,故B
錯誤;
方向相同或者相反的向量是平行向量,但是不一定方向相同或相反,故錯誤;
因為都是單位向量,所以,所以,故D正確,
故選:D.
3.(全國)已知向量與的夾角為,且,則等于(
A.B.3C.D.
【答案】A
【詳解】
兩邊平方,
所以,
故選:A.
4.(全國)如圖所示,點是正六邊形的中心,則以圖中點中的任意一點為起點,與起點不同的另一點為終點的所有向量中,除向量外,與向量共線且模相等的向量共有
A.2個B.3個
C.6個D.7個
【答案】D
【詳解】
因為點是正六邊形的中心,所以,
且三點共線;
所以除向量外,與向量共線且模相等的向量有:,共7個.故選:D.
5.(全國高一課時練習)已知向量滿足,且在方向上的投影與在方向上的投影相等,則等于()
A.B.C.4D.5
【答案】A
【詳解】
設兩個向量的夾角為,則,從而,
因為,故,所以.
故選:A.
6.(湖南張家界 高一期末)已知正方形的邊長為1,則
A.2B.3C.D.
【答案】
【詳解】
由題正方形的邊長為1,根據向量加法法則,
故選:C
題型二:相等向量
1.(全國高一單元測試)設,向量.若,則的值分別是()
A.1,-1B.1,-3C.D.1,2
【答案】A
【詳解】
因為,所以,解得.
故選:A.
2.(全國高二課時練習)下列關于空間向量的命題中,正確命題的個數是()
①任一向量與它的相反向量都不相等;
②長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量;
③平行且模相等的兩個向量是相等向量;
④若,則;
⑤兩個向量相等,則它們的起點與終點相同.
A.0B.1C.2D.3
【答案】B
【詳解】
解:零向量與它的相反向量相等,①錯;
由相等向量的定義知,②正確;
兩個向量平行且模相等,方向不一定相同,故不一定是相等向量,③錯;
,可能兩個向量模相等而方向不同,④錯;
兩個向量相等,是指它們方向相同,大小相等,向量可以在空間自由移動,故起點和終點不一定相同,⑤錯.
所以正確的命題的個數為1,
故選:B.
3.(全國高一課時練習)如圖,在四邊形中,若,則圖中相等的向量是()
A.與B.與
C.與D.與
【答案】D
【詳解】
因為,所以四邊形是平行四邊形,所以互相平分。
對于A:與不平行,不可能相等,故A錯誤;
對于B:與大小相同,方向相反,故B錯誤;
對于與不平行,不可能相等,故錯誤;
對于D:大小相等,方向相同.即與是相等的向量.
故選:D.
題型三:平面向量加減法
1.(全國高二專題練習)若均為任意向量,,則下列等式不一定成立的是()
A.B.
C.D.
【答案】D
【詳解】
選項是向量加法的結合律,正確;
選項B是向量數量積運算對加法的分配律,正確;
選項是數乘運算對向量加法的分配律,正確;
選項D.根據數量積和數乘定義,等式左邊是與共線的向量,右邊是與共線的向量,兩者一般不可能相等,也即向量的數量積運算沒有結合律存在.D錯.
故選:D.
2.(全國高一課時練習)如圖,向量,則向量可以表示為
A.B.C.D.
【答案】D
【詳解】
如圖,
.
故選:D.
3.(全國高一課時練習)向量化簡后等于()
A.B.C.D.
【答案】
【詳解】
故選:C.
4.(全國高一課時練習)如圖,在正六邊形中,等于
A.B.C.D.
【答案】A
【詳解】
.
故選:A.
5.(全國高一課時練習)在中,點是邊的中點,則()
A.B.
C.D.
【答案】D
【詳解】
故選:D.
6.(全國高一課時練習)化簡的結果等于()
A.B.C.D.
【答案】B
【詳解】
.
故選:B
7.(山東高考真題)如下圖,是線段的中點,設向量,那么能夠表示為()
A.B.
C.D.
【答案】B
【詳解】
由題意,.
故選:B
8.(全國高二課時練習)已知為空間中任意四個點,則等于
A.B.C.D.
【答案】D
【詳解】
由空間向量的基本運算法則知,
故選:D
9.(福建廈門一中高二開學考試)如圖,在平行四邊形中,,則()(用表示)
A.B.C.D.
【答案】D
【詳解】
由題意,在平行四邊形中,,
根據平面向量的線性運算法則,可得
.
故選:D.
10.(北京市陳經綸中學)如圖,是的邊中點,則向量
A.B.
C.D.
【答案】D
【詳解】
.
故選:D
題型四:平面向量共線定理
1.(全國高一課時練習)已知向量,則
A.三點共線B.三點共線
C.三點共線D.三點共線
【答案】A
【詳解】
向量,
,即點三點共線.
故選:A.
2.(全國高二課時練習)已知向量,且,則一定共線的三點
是()
A.B.
C.D.
【答案】A
【詳解】
因為,
所以三點共線.
故選:A
3.(浙江省諸暨市第二高級中學高一期中)已知向量,且與平行,則
A.B.0C.1D.
【答案】A
【詳解】
因為向量,且與平行,
所以,解得,
故選:A.
4.(江蘇省蘇州實驗中學高一月考)已知向量,若與共線,則實數
A.B.5C.D.1
【答案】B
【詳解】
由題意,
解得.
故選:B
5.(銀川三沙源上游學校高一期末(理))已知平面向量,若,則實數的
值為()
A.0B.-3C.1D.-1
【答案】
【詳解】
因為
所以,解得.
故選:C
6.(全國高三專題練習(文))已知向量共線,則實數的值是()
A.1B.C.6D.-6
【答案】
【詳解】
向量共線,
,
故選:C.
7.(南昌市八一中學(文))已知是兩個不共線的非零向量,若,則實數
A.B.-2C.2D.
【答案】A
【詳解】
因為,所以存在,使得,
所以,
又因為是兩個不共線的非零向量,
所以,解得
故選:A
8.(全國高一課時練習)已知向量,若,則等于
A.-2B.2
C.D.【答案】
【詳解】
因為,
又,
因為,所以,
整理得:.
故選:C.
9.(山東)已知向量,若與共線,則的值為()
A.B.2C.D.4
【答案】A
【詳解】
易知不共線,可以作為基底,所以由與共線,得,
解得.
故選:A.
10.(全國高三專題練習)設是兩個不共線的向量,若向量與向量共線,則()
A.B.C.D.
【答案】D
【詳解】
由共線向量定理可知存在實數,使,
即,
又與是不共線向量,
故選:D中小學教育資源及組卷應用平臺
第25講 平面向量的概念及線性運算
一．向量的基礎概念
1.向量：既有大小又有方向的量向量一般用……來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如： 向量的大小即向量的模（長度），記作或
向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小．
2.零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量＝由于的方向是任意的，且規定平行于任何向量，故在有關向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件．
3.單位向量：模為1個單位長度的向量．向量為單位向量＝1?
4.平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作由于向量可以進行任意的平移，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量?
數學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現在必須區分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的．
兩個向量共線的證明方法：向量與非零向量共線有且只有一個實數，使得=
5.相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經過平移后總可以重合，記為
6.向量的加法
求兩個向量和的運算叫做向量的加法
向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：
（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量
（2）三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點設，則+==
當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則．向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：
，但這時必須“首尾相連”．
7.向量的減法
① 相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量記作,零向量的相反向量仍是零向量
②向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法
③作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）
8.向量的數乘運算
(1)；(2)；(3).
【題型一：向量的模】
1．（全國）如圖，在平行六面體的棱中，與向量模相等的向量有（ ）
A．0個 B．3個 C．7個 D．9個
2．（北京東城·）若都是單位向量，則下列結論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．（全國）已知向量與的夾角為，且，，則等于（ ）
A．3 B．3 C．3 D．2
4．（全國）如圖所示，點是正六邊形的中心，則以圖中點中的任意一點為起點，與起點不同的另一點為終點的所有向量中，除向量外，與向量共線且模相等的向量共有（ ）
A．2個 B．3個
C．6個 D．7個
5．（全國高一課時練習）已知向量，滿足，，且在方向上的投影與在方向上的投影相等，則等于（ ）
A． B． C． D．
6．（湖南張家界·高一期末）已知正方形的邊長為1,則=
A．2 B．3 C． D．
【題型二：相等向量】
1．（全國高一單元測試）設，向量，.若，則的值分別是（ ）
A．1，-1 B．1，-3 C．1，-2 D．1，2
2．（全國高二課時練習）下列關于空間向量的命題中，正確命題的個數是（ ）
①任一向量與它的相反向量都不相等；
②長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量；
③平行且模相等的兩個向量是相等向量；
④若，則；
⑤兩個向量相等，則它們的起點與終點相同.
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（全國高一課時練習）如圖，在四邊形ABCD中，若，則圖中相等的向量是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【題型三：平面向量加減法】
1．（全國高二專題練習）若，，均為任意向量，，則下列等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（全國高一課時練習）如圖，向量，，，則向量可以表示為（ ）
A． B． C． D．
3．（全國高一課時練習）向量化簡后等于（ ）
A． B． C． D．
4．（全國高一課時練習）如圖，在正六邊形中，等于（ ）
A． B． C． D．
5．（全國高一課時練習）在中，點D是邊的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
6．（全國高一課時練習）化簡的結果等于（ ）
A． B． C． D．
7．（山東高考真題）如下圖，是線段的中點，設向量，，那么能夠表示為（ ）
A． B．
C． D．
8．（全國高二課時練習）已知，，，為空間中任意四個點，則等于（ ）
A． B． C． D．
9．（福建廈門一中高二開學考試）如圖，在平行四邊形中，，，，則（ ）（用，表示）
A． B． C． D．
10．（北京市陳經綸中學）如圖，是的邊中點，則向量=（ ）
A． B．
C． D．
【題型四：平面向量共線定理】
1．（全國高一課時練習）已知向量，，，則（ ）
A．三點共線 B．三點共線
C．三點共線 D．三點共線
2．（全國高二課時練習）已知向量，且=+，=+，=-，則一定共線的三點是（ ）
A． B．
C． D．
3．（浙江省諸暨市第二高級中學高一期中）已知向量，，且與平行，則=（ ）
A． B． C． D．
4．（江蘇省蘇州實驗中學高一月考）已知向量，，若與共線，則實數=（ ）
A． B． C． D．1
5．（銀川三沙源上游學校高一期末（理））已知平面向量，，若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
6．（全國高三專題練習（文））已知向量共線，則實數的值是（ ）
A．1 B． C．6 D．
7．（南昌市八一中學（文））已知，是兩個不共線的非零向量，若，則實數（ ）
A． B． C． D．
8．（全國高一課時練習）已知向量，，若，則等于（ ）
A．－2 B．2
C．－ D．
9．（山東）已知向量，若與共線，則的值為（ ）
A． B．2 C． D．
10．（全國高三專題練習）設，是兩個不共線的向量，若向量(k∈R)與向量共線，則（ ）
A． B． C． D．

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