資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第33講 空間向量在空間幾何中的運用
1求異面直線所成的角
已知為兩異面直線，與分別是上的任意兩點，所成的角為
第一步：
第二步：
2求直線和平面所成的角
求法：設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為， 則為的余角或的補角的余角
第一步：
第二步：
3求二面角
二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點O，分別在兩個半平面內作射線，則為二面角的平面角.如圖：
求法：設二面角的兩個半平面的法向量分別為，再設的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補角
根據具體圖形（或題目給定）確定是銳角或是鈍角：
第一步：
第二步：根據題目給定的二面角是銳角還是鈍角（或者根據題目圖形考生判斷銳角還是鈍角）
①若判斷二面角平面角為銳角則；
②若判斷二面角平面角為鈍角則
【題型一：異面直線所成角】
1．（全國高二課時練習）已知直線的方向向量與直線的方向向量，則直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
2．（梅河口市第五中學）如圖，在三棱柱中，，則直線與直線所成角的余弦值為（ ）
A． B．
C． D．
3．（深州長江中學）如圖，已知棱長為的正方體，分別為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B．
C． D．
4．（全國高二課時練習）在直三棱柱中，，，分別是，的中點，，則與所成角的余弦值是（ ）．
A． B． C． D．
5．（河南洛陽·（理））已知正方體的棱長為2，為側面的中心，為側面的中心，則直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
6．（閩侯縣第一中學高二月考）如圖，在四棱錐中，底面，，底面為邊長為2的正方形，為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
7．（山東曲阜一中高二月考）如圖，在空間四邊形中，，，，，則與所成角的余弦值為（ ）
A． B．
C． D．
8．（全國高二課時練習）如圖，長方體中，，，、、分別是、、的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（ ）
A．0 B． C． D．
9．（全國高二課時練習）如圖所示，垂直于正方形所在平面，，為的中點，，若以，，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則點的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
10．（江西景德鎮一中）如圖，在四棱錐中，，平面，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【題型二：線面角】
1．（全國高二課時練習）已知向量，分別是直線的方向向量和平面的法向量，若，則直線與平面所成的角為（ ）
A． B． C． D．
2．（全國高二課時練習）已知在長方體中，，，是側棱的中點，則直線與平面所成角的大小為（ ）
A．60° B．90°
C．45° D．以上都不對
3．（全國高二課時練習）正四棱錐中，，則直線與平面所成角的正弦值為
A． B． C． D．
4．（云南）在正方體中，為棱的中點，為棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
5．（全國高二專題練習）若平面α的一個法向量為，直線l的一個方向向量為，則l與α所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
6．（河南商丘·（理））在如圖所示的四棱錐中，，，，，，且，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
7．（浙江高三專題練習）在正方體中，是的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
8．（玉林市育才中學（理））在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
9．（全國高二專題練習）如圖，在直三棱柱的底面中，，，，則直線與平面所成角的正弦為（ ）
A． B． C． D．
10．（安徽滁州·高二期末（理））在直三棱柱中，底面是腰長為2的等腰直角三角形，，，若點為的中點，則直線與平面所成的角為（ ）
A． B． C． D．
11．（河南高二期末（理））在直棱柱中，，，，，，，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
12．（福建省泰寧第一中學高一期中）如圖，在長方體中，，，與平面所成的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【題型三：二面角】
1．（武漢市吳家山中學高二月考）已知兩平面的法向量分別為，則兩平面所成的二面角為（ ）
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
2．（福建省長樂第一中學高二月考）已知向量分別是平面和平面的法向量，若，則平面與所成的角為（ ）
A．30° B．60° C．60°或120° D．30°或150°
3．（全國）在正方體中，二面角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
4．（全國高二單元測試）已知兩平面的法向量分別為，，則兩平面所成的二面角為（ ）
A． B． C．或 D．
5．（全國高二課時練面的一個法向量為，平面的一個法向量為，則平面與平面夾角的余弦值為( )
A． B．
C． D．以上都不對
6．（上海）如圖，點 分別在空間直角坐標系的三條坐標軸上，，，，設二面角的大小為，則（ ）
A． B． C． D．
7．（石家莊市第十七中學）如圖，三棱錐中，底面與側面都是以為斜邊的等腰直角三角形，且側面垂直底面，設為線段的中點，為直線上的動點，若平面與平面所成銳二面角的平面角為，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．（大連市第二十三中學高二月考）如圖，在直三棱柱中，，則與所成的角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
9．（浙江奉化·高二期末）正方體中，二面角的大小是（ ）
A． B． C． D．
10．（全國高二單元測試）過正方形的頂點作線段平面，若，則平面與平面所成的銳二面角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．中小學教育資源及組卷應用平臺
第33講空間向量在空間幾何中的運用
1求異面直線所成的角
已知為兩異面直線,與分別是上的任意兩點,所成的角為
第一步:.
第二步:
2求直線和平面所成的角
求法:設直線的方向向量為,平面的法向量為,直線與平面所成的角為與的夾角為,則為的余角或的補角的余角
第一步:
第二步:
3求二面角
二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點0,分別在兩個半平面內作射線,則為二面角的平面角.如圖:
求法:設二面角的兩個半平面的法向量分別為,再設的夾角為,二面角的平面角為,則二面角為的夾角或其補角.根據具體圖形(或題目給定)確定是銳角或是鈍角:
第一步:
第二步:根據題目給定的二面角是銳角還是鈍角(或者根據題目圖形考生判斷銳角還是鈍角)
①若判斷二面角平面角為銳角則;
②若判斷二面角平面角為鈍角則
題型一:異面直線所成角
1.(全國高二課時練習)已知直線的方向向量與直線的方向向量,則直線與所成角的余弦值為
A.B.C.D.
【答案】
【詳解】
因為,所以.又兩條直線所成的角的取值范圍為,所以直線與所成角的余弦值為.
故選:C
2.(梅河口市第五中學)如圖,在三棱柱中,,則直線與直線所成角的余弦值為()
A.B.
C.D.
【答案】A
【詳解】
不妨設,所以,
則,
所以.
所以直線與直線所成角的余弦值為.
故選:A
3.(深州長江中學)如圖,已知棱長為2的正方體分別為的中點,則異面直線與所成角的余弦值為()
A.0B.
C.D.1
【答案】A
【詳解】
如圖分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系,
則,
所以,
設異面直線與所成角為,
則,
故選:A
國高二課時練習)在直三棱柱中,,分別是的中點,,則與所成角的余弦值是().
A.B.C.D.
【答案】A
【詳解】
解:如圖建立空間直角坐標系,令,則,所以,設與所成角為,則
故選:A
5.(河南洛陽 (理))已知正方體的棱長為為側面的中心,為側面的中心,則直線與所成角的余弦值為()
A.B.C.D.
【答案】D
【詳解】
以為坐標原點,為建立空間直角坐標系,
如圖,,
則,
設直線與所成角為,
則.
故選:D
6.(閩侯縣第一中學高二月考)如圖,在四棱錐中,底面,底面為邊長為2的正方形,為的中點,則異面直線與所成的角的余弦值為()
A.B.C.D.
【答案】A
【詳解】
因為底面,所以,又,
所以以為原點,分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系:
則,
設異面直線與所成的角為,
則.
所以異面直線與所成的角的余弦值為.
故選:A
7.(山東曲阜一中高二月考)如圖,在空間四邊形中,,,則與所成角的余弦值為(
A.B.
C.D.
【答案】A
【詳解】
解:
設異面直線與的夾角為則
故選A
8.(全國高二課時練習)如圖,長方體中,分別是、的中點,則異面直線與所成角的余弦值是(
A.0B.C.D.
【答案】A
【詳解】
如圖
所以
所以異面直線與所成角的余弦值
故選:A
9.(全國高二課時練習)如圖所示,垂直于正方形所在平面,為的中點,,若以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系,則點的坐標
為()
A.B.
C.D.
【答案】A
【詳解】
設,則,
,
,
的坐標為,
故選:A.
10.(江西景德鎮一中)如圖,在四棱錐中,平面,,則異面直線與所成角的余弦值為()
A.B.C.D.
【答案】A
【詳解】
如圖所示,取的中點,連接,可得,
因為平面,所以平面,
又由且為的中點,所以,
以為坐標原點,以所在直線分別為軸,建立的空間直角坐標系,
如圖所示,則,
故,
則.
故選:A.
題型二:線面角
1.(全國高二課時練習)已知向量分別是直線的方向向量和平面的法向量,若,則直線與平面所成的角為()
A.B.C.D.
【答案】A
【詳解】
設直線與平面所成的角為,則.
.選項A正確,選項BCD錯誤
故選:A.
2.(全國高二課時練習)已知在長方體中,是側棱的
中點,則直線與平面所成角的大小為()
A.B.
C.D.以上都不對
【答案】B
【詳解】
以點為原點,分別以所在直線為軸,軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
由題意知,,
所以.
設平面的一個法向量為,
則,得,
令,得,
設直線與平面所成角為,
所以,
又因為,
所以直線與平面所成的角為.
故選:B
3.(全國高二課時練習)正四棱錐中,,則直線與平面所成角的正弦值為
A.B.C.D.
【答案】
【詳解】
建立如圖所示的空間直角坐標系.
有圖知,
由題得.
.
設平面的一個法向量,
則,,
令,得,
.
設直線與平面所成的角為,則.
故選:C..
4.(云南)在正方體中,為棱的中點,為棱的中點,則直線與平面所成角的正弦值為()
A.B.C.D.
【答案】D
【詳解】
不妨設正方體的棱長為2,連接,以為坐標原點如圖建立空間直角坐標系,
則,
由于平面平面,故
又正方形,故
平面
故平面,
所以為平面的一個法向量
故直線與平面所成角的正弦值為.
故選:D
5.(全國高二專題練習)若平面的一個法向量為,直線的一個方向向量為,則與所成角的余弦值為()
A.B.C.D.
【答案】D
【詳解】
設與所成的角為,
則
故直線與所成角的余弦值為
故選:D
6.(河南商丘 (理))在如圖所示的四棱錐中,,,且,則直線與平面所成角的正弦值為()
A.B.C.D.
【答案】A
【詳解】
取的中點.則.因為且.所以四邊形是矩形,所以.因為且,所以平面.
以為坐標原點,所在直線為軸,所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則,
所以.
設平面的法向量為,
則取,得.
設直線與平面所成角為,則.
故選:A
7.(浙江高三專題練習)在正方體中,是的中點,則直線與平面所成角的正弦值為()
A.B.C.D.
【答案】B
【詳解】
解:以為坐標原點,以為軸,以為軸,以為軸,建立如圖空間直角坐標系,
設正方體的棱長為2,則
設平面的法向量為,
,
,令,則,
,
設直線與平面所成角為,則,
故選:B.
8.(玉林市育才中學(理))在長方體中,,則直線與平面所成角的正弦值為()
A.B.C.D.
【答案】D
【詳解】
以點為坐標原點,以所在的直線為軸、軸、軸,建立空間直角坐標系,
則,
為平面的一個法向量.
.
直線與平面所成角的正弦值為.
故選:D.
9.(全國高二專題練習)如圖,在直三棱柱的底面中,,則直線與平面所成角的正弦為()
A.
B.
C.
D.
【答案】
【詳解】
以為軸,為軸,為軸建立空間坐標系,如圖:
則,
設平面的一個法向量為,
則,即,令,則,
故平面的法向量,
所以直線與平面所成角的正弦
故選:C
10.(安徽滁州高二期末(理))在直三棱柱中,底面是腰長為2的等腰直角三角形,,,若點為的中點,則直線與平面所成的角為()
A.B.C.D.
【答案】A
【詳解】
如圖,建立空間直角坐標系,則
設平面的法向量為,由可取得一個法向量
設直線與平面所成的角為
則
故直線與平面所成的角為
故選:A.
11.(河南高二期末(理))在直棱柱中,,,則直線與平面所成角的正弦值為()
A.B.C.D.
【答案】
【詳解】
以為坐標原點,射線的方向為軸的正方向,射線的方向為軸的正方向,射線的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系.如圖示:
由題可知.
于是.
設為平面的法向量,
則,即.
令,可得.
設直線與平面所成的角為,
則.
故選:C
12.(福建省泰寧第一中學高一期中)如圖,在長方體中,與平面所成的正弦值為()
A.B.C.D.
【答案】
【詳解】
以點為坐標原點,以所在的直線為軸、軸、軸,建立空間直角坐標系,
則,
,
因為,所以平面,
且為平面的一個法向量,
所以,
與平面所成角的正弦值為
故選:C.
題型三:二面角
1.(武漢市吳家山中學高二月考)已知兩平面的法向量分別為,則兩平面所成的二面角為()
A.B.
C.或D.
【答案】
【詳解】
,即.
兩平面所成二面角為或.
故選:C.
2.(福建省長樂第一中學高二月考)已知向量分別是平面和平面的法向量,若,則平面與所成的角為()
A.B.C.或D.或
【答案】B
【詳解】
平面與平面所成角的范圍是,
由于,
所以平面與所成的角為.
故選:B
3.(全國)在正方體中,二面角的余弦值是()
A.B.C.D.
【答案】
【詳解】
解:如圖,建立空間直角坐標系,設正方體的棱長為1,
則,
所以,
設平面的一個法向量為,則
,則,
設平面的一個法向量為,
則,令,則,
設二面角的平面角為,由圖可知為銳角,
所以,
故選:C
4.(全國高二單元測試)已知兩平面的法向量分別為,則兩平面所成的二面
角為()
A.B.C.或D.
【答案】
【詳解】
因,所以.
因二面角的大小與二面角的兩個半平面的法向量夾角相等或者互補,
所以兩平面所成的二面角為或.
故選:C
5.(全國高二課時練面的一個法向量為,平面的一個法向量為,則平面與平面夾角的余弦值為()
A.B.
C.D.以上都不對
【答案】B
【詳解】
,
因此,向量與的夾角滿足
又向量分別為平面和平面的法向量
平面與夾角等于向量的夾角,故平面與夾角的余弦值等于
故選B.
6.(上海)如圖,點分別在空間直角坐標系的三條坐標軸上,,,設二面角的大小為,則
A.B.C.D.
【答案】B
【詳解】
因為,
所以,
設平面的法向量為,則即取
又因為平面的法向量為,
所以
故選:B
7.(石家莊市第十七中學)如圖,三棱錐中,底面與側面都是以為斜邊的等腰直角三角形,且側面垂直底面,設為線段的中點,為直線上的動點,若平面與平面所成銳二面角的平面角為,則的最大值是()
A.B.C.D.
【答案】D
【詳解】
底面與側面都是以為斜邊的等腰直角三角形,側面垂直底面,且由垂直,得底面,又垂直,以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標系,如圖所示:
設,則,
設,
設平面的一個法向量,
則,即,所以.
設平面的一個法向量,則,即,
解得,令,則,所以,設平面與平面所成銳二面角的平面
角為,則
當時,的最大值為.
故選:D
8.(大連市第二十三中學高二月考)如圖,在直三棱柱中,,則與所成的角的余弦值為()
A.B.C.D.
【答案】A
【詳解】
如圖,以為坐標原點,分別為軸建立空間直角坐標系,
則,
所以,
所以,
所以直線與所成角的余弦值為.
故選:A.
9.(浙江奉化 高二期末)正方體中,二面角的大小是
A.B.C.D.
【答案】【詳解】
解:以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標系,
設正方體中棱長為1,
則,
設平面的法向量,
則,取,得,
設平面的法向量,
則,取,得,
設二面角的大小為,
則,
.
二面角的大小為.
故選:.
10.(全國高二單元測試)過正方形的頂點作線段平面,若,則平面與平面所成的銳二面角的余弦值為()
A.B.C.D.
【答案】B
【詳解】
解:設,
以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標系,
,
設平面的法向量,
則,取,得,
平面的法向量,
設平面與平面所成的銳二面角為,
則,
故選:.

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