資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第38講 橢圓
1、橢圓的定義
平面內一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數 ,這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.
　注意：若，則動點的軌跡為線段；
　　　　若，則動點的軌跡無圖形.
2、橢圓的簡單幾何性質
橢圓：與 的簡單幾何性質
標準方程
圖形
性質 焦點 ， ，
焦距
范圍 ， ，
對稱性 關于軸、軸和原點對稱
頂點 ， ，
軸長 長軸長=，短軸長= 長半軸長=，短半軸長=（注意看清題目）
離心率
；；； (p是橢圓上一點)（不等式告訴我們橢圓上一點到焦點距離的范圍）
3、橢圓相關計算
（1）橢圓標準方程中的三個量的幾何意義　
（2）通徑:過焦點且垂直于長軸的弦,其長 焦點弦：橢圓過焦點的弦。
最短的焦點弦為通經，最長為。
（3）最大角:是橢圓上一點，當是橢圓的短軸端點時，為最大角。
（4）橢圓上一點和兩個焦點構成的三角形稱為焦點三角形。
焦點三角形的面積，其中（注意公式的推導）
【題型一：橢圓定義】
1．（烏蘇市第一中學高二月考）若橢圓上一點到焦點的距離為2，則點到焦點的距離為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（全國高二課時練習）設是橢圓上的點，到該橢圓左焦點的距離為2，則到右焦點的距離為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．（福建省連城縣第一中學高二月考）已知的頂點，在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊上，則的周長是（ ）
A． B．6 C．4 D．
4．（吉林長春十一高高二月考）若橢圓上一點到焦點的距離為2，為的中點，是坐標原點，則的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（廣東光明·高三月考）已知直線l：與曲線C：相交于兩點，，則的周長是（ ）
A．2 B． C．4 D．
6．（渝中·重慶巴蜀中學高二開學考試）若橢圓上一點到橢圓一個焦點的距離為，則到另一個焦點的距離為（ ）
A． B． C． D．
7．（全國高三專題練習（理））已知定點，且，動點滿足，則動點的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．圓 C．直線 D．線段
8．（全國高三專題練習（理））已知的頂點，在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊上，則的周長是（ ）
A． B． C．4 D．6
9．（六安市裕安區新安中學高二開學考試（理））已知橢圓上的動點，則到該橢圓兩焦點的距離之和為（ ）
A． B．4 C． D．8
10．（山西省長治市第二中學校高二期末（文））已知橢圓上一點到橢圓一個焦點的距離是3，則點到另一個焦點的距離為（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
【題型二：橢圓標準方程】
1．（全國）以雙曲線的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（沙坪壩·重慶八中高二月考）已知曲線表示橢圓，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．（全國高二課時練習）已知方程表示橢圓，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．（全國高二課時練習）橢圓的焦距是2，則的值為（ ）
A．5 B．3 C．5或3 D．20
5．（全國高二課時練習）焦點坐標為，（0，4），且長半軸的橢圓方程為（ ）
A． B．
C． D．
6．（全國）橢圓與雙曲線有相同的焦點，則實數等于（ ）
A． B． C．1 D．或1
7．（江蘇廣陵·揚州中學高二月考）橢圓的焦點坐標為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．（全國）已知橢圓的一個焦點坐標為，則的值為（ ）
A．1 B．3 C．9 D．81
【題型三：離心率】
1．（畢節市實驗高級中學高二月考（文））若橢圓的兩個焦點與它的短軸的兩個端點是一個正方形的四個頂點，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．（泉州鯉城北大培文學校高二期中）橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3．（全國高二課時練習）已知橢圓的離心率為，則（ ）
A． B． C． D．
4．（貴溪市實驗中學高三模擬預測）橢圓的離心率為（ ）
A．對 B．錯
5．（全國高三專題練習（文））設橢圓C：的左、右焦點分別為，過的直線與交于兩點，若為等邊三角形，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
6．（林芝市第二高級中學高二期末（文））橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
7．（黑龍江實驗中學高三模擬預測（文））已知拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
8．（吉林（文））已知是和的等比中項，則圓錐曲線的離心率為（ ）
A． B．或2 C． D．或
9．（貴州高三模擬預測（理））已知橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（ ）
A． B．6 C． D．12
10．（寧夏吳忠中學高二月考（文））橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【題型四：焦點三角形】
1．（廣東光明·高三月考）已知直線：與曲線C：相交于兩點，，則的周長是（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．（全國高三專題練習（理））已知的頂點，在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊上，則的周長是（ ）
A． B． C．4 D．6
3．（全國）已知△的頂點 在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊上，則的周長為（ ）
A． B．
C． D．
4．（林芝市第二高級中學高三月考（文））已知，是橢圓：的兩個焦點，若點是橢圓上的一個動點，則的周長是（ ）
A． B． C．8 D．10
5．（懷仁市第一中學校云東校區（文））橢圓與軸的交點為，兩個焦點為，，則的面積為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（北京市育英學校高二期末）已知點分別是橢圓的左 右焦點,點P在此橢圓上,,則的面積等于
A． B． C． D．
7．（深州長江中學）設是橢圓上的一點，為焦點，且，則 的面積為
A． B． C． D．16
8．（黑龍江鶴崗一中高二月考）已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上一動點（異于左、右頂點），若的周長為6，且面積的最大值為，則橢圓的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
9．（全國）橢圓的左、右焦點分別為，，，的面積為，且，則橢圓方程為（ ）
A． B．
C． D．
10．（全國高二課時練習）橢圓的焦點為，，點在橢圓上，如果線段的中點在軸上，那么的值為（ ）
A．7 B．5 C． D．
11．（全國高三專題練習（文））已知橢圓的左 右焦點分別是，，直線與橢圓交于，兩點，，且，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
12．（全國）已知是橢圓的左，右焦點，點是橢圓上的一個動點，則的內切圓的半徑的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
13．（深圳市龍崗區平岡中學高三月考）已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若以為直徑的圓過點，且，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
14．（浙江高二單元測試）已知橢圓的左 右焦點分別為，，過點的直線與橢圓交于，兩點，若為正三角形，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
15．（吉林高三模擬預測（理））已知，是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，，點為坐標原點，則（ ）
A．1 B． C． D．中小學教育資源及組卷應用平臺
第38講橢圓
1、橢圓的定義
平面內一個動點到兩個定點的距離之和等于常數,這個動點
的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點,兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.
注意:若,則動點的軌跡為線段;
若,則動點的軌跡無圖形.
2、橢圓的簡單幾何性質
橢圓:與的簡單幾何性質
標準方程
圖形
性質 焦點
焦距
范圍
對稱性 關于軸、軸和原點對稱
頂點 ， ，
軸長 長軸長,短軸長長半軸長,短半軸長(注意看清題目
離心率
(p是橢圓上一點)(不等式告訴我們橢圓上一點到焦點距離的范圍)
3、橢圓相關計算
（1）橢圓標準方程中的三個量的幾何意義
（2）通徑:過焦點且垂直于長軸的弦,其長焦點弦:橢圓過焦點的弦。
最短的焦點弦為通經,最長為。
（3）最大角:是橢圓上一點,當是橢圓的短軸端點時,為最大角。
（4）橢圓上一點和兩個焦點構成的三角形稱為焦點三角形。
焦點三角形的面積,其中(注意公式的推導)
題型一:橢圓定義
1.(烏蘇市第一中學高二月考)若橢圓上一點到焦點的距離為2,則點到焦點的距離為()
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
【詳解】
由橢圓方程知:,又,
.
故選:D
2.(全國高二課時練習)設是橢圓上的點,到該橢圓左焦點的距離為2,則到右焦點的距離為()
A.2B.4C.8D.16
【答案】
【詳解】
設該橢圓左焦點為,右焦點為,由題可知,所以,而,所以.故選:C.
3.(福建省連城縣第一中學高二月考)已知的頂點在橢圓上,頂點是橢圓的一個焦點,且橢圓的另外一個焦點在邊上,則的周長是
A.B.6C.4D.
【答案】D
【詳解】
由橢圓,得:,
由題意可得的周長為:
故選:D.
4.(吉林長春十一高高二月考)若橢圓上一點到焦點的距離為為的中點,是坐標原點,則的值為()
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【詳解】
因為橢圓,所以,設橢圓的另一個焦點為,則,
而是的中位線,所以.
故選:B.
5.(廣東光明 高三月考)已知直線與曲線相交于兩點,,則的周長是()
A.2B.C.4D.
【答案】D
【詳解】
依題意橢圓,
橢圓的焦點為,
所以是橢圓的焦點,且直線過橢圓的另一個焦點.
所以的周長為.
故選:D
6.(渝中 重慶巴蜀中學高二開學考試)若橢圓上一點到橢圓一個焦點的距離為4,則到另一個焦點的距離為()
A.3B.4C.5D.6
【答案】D
【詳解】
設點到另一個焦點的距離為,
由橢圓方程可知,
則,所以.
故選:D
7.(全國高三專題練習(理))已知定點,且,動點滿足,則動點的軌跡是()
A.橢圓B.圓C.直線D.線段
【答案】D
【詳解】
因為,所以動點的軌跡是線段.
故選:D
8.(全國高三專題練習(理))已知的頂點在橢圓上,頂點是橢圓的一個焦點,且橢圓的另外一個焦點在邊上,則的周長是()
A.B.C.4D.6
【答案】B
【詳解】
橢圓,則,
由題意可得的周長為.
故選:B
9.(六安市裕安區新安中學高二開學考試(理))已知橢圓上的動點,則到該橢圓兩焦點的距離之和為()
A.B.4C.D.8
【答案】D
【詳解】
根據橢圓方程可得,
所以到該橢圓兩焦點的距離之和為.
故選:D.
10.(山西省長治市第二中學校高二期末(文))已知橢圓上一點到橢圓一個焦點的距離是3,則點到另一個焦點的距離為()
A.9B.7C.5D.3
【答案】A
【詳解】
由橢圓定義知,點到另一個焦點的距離為.
故選:A
題型二:橢圓標準方程
1.(全國)以雙曲線的焦點為頂點,頂點為焦點的橢圓方程是()
A.B.
C.D.
【答案】
【詳解】
雙曲線的焦點為,頂點為,
所以橢圓的焦點坐標為,頂點為,
所以,
所依橢圓的方程為.
故選:C
2.(沙坪壩 重慶八中高二月考)已知曲線表示橢圓,則的取值范圍為()
A.B.C.D.
【答案】D
【詳解】
由題意可得,解得且,
所以的取值范圍為.
故選:D
3.(全國高二課時練習)已知方程表示橢圓,則實數的取值范圍是()
A.B.
C.D.
【答案】B
【詳解】
由于方程表示橢圓,
所以.
故選:B
4.(全國高二課時練習)橢圓的焦距是2,則的值為(
A.5B.3C.5或3D.20
【答案】
【詳解】
因為焦距是2,所以,
當焦點在軸時,
解得,,
當焦點在軸時,
解得,,
故選:C.
5.(全國高二課時練習)焦點坐標為,且長半軸的橢圓方程為
A.B.
C.D.
【答案】B
【詳解】
因為,所以,而焦點在軸上,所以橢圓方程為.
故選:B.
6.(全國)橢圓與雙曲線有相同的焦點,則實數等于()
A.B.-1C.1D.-1或1
【答案】D
【詳解】
因為雙曲線的焦點在橫軸上,
所以由題意可得:,
故選:D
7.(江蘇廣陵 揚州中學高二月考)橢圓的焦點坐標為()
A.B.
C.D.
【答案】A
【詳解】
由題得方程可化為,
所以
所以焦點為
故選:A.
8.(全國)已知橢圓的一個焦點坐標為,則的值為
A.1B.3C.9D.81
【答案】A
【詳解】
由橢圓的一個焦點坐標為,則半焦距,
于是得,解得,
所以的值為1.
故選:A
題型三:離心率
1.(畢節市實驗高級中學高二月考(文))若橢圓的兩個焦點與它的短軸的兩個端點是一個正方形的四個頂點,則橢圓的離心率為()
A.B.C.D.
【答案】B
【詳解】
由題意:橢圓的兩個焦點與它的短軸的兩個端點是一個正方形的四個頂點,
所以.
則,
所以離心率.
故選:B
2.(泉州鯉城北大培文學校高二期中)橢圓的離心率為()
A.B.C.D.
【答案】D
【詳解】
解:因為橢圓方程為:,所以,所以,又,所以,所以
離心率
故選:D
3.(全國高二課時練習)已知橢圓的離心率為,則
A.B.C.D.
【答案】B
【詳解】
,得,得,即.
故選:B
4.(貴溪市實驗中學高三模擬預測)橢圓的離心率為
A.對B.錯
【答案】B
【詳解】
對于橢圓,
所以離心率為.
故選:B
5.(全國高三專題練習(文))設橢圓的左、右焦點分別為,過的直線與交于兩點,若為等邊三角形,則的離心率為()
A.B.C.D.
【答案】A
【詳解】
由于為等邊三角形,根據橢圓的對稱性可知,
在Rt中,,
所以.
故選:A
6.(林芝市第二高級中學高二期末(文))橢圓的離心率為()
A.B.C.D.
【答案】
【詳解】
由橢圓方程可知,所以,
橢圓的離心率.
故選:C
7.(黑龍江實驗中學高三模擬預測(文))已知拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合,則的離心率為()
A.B.C.D.
【答案】B
【詳解】
拋物線的焦點為,則橢圓的一個焦點為,則,解得,所以的離心率為.
故選:B.
8.(吉林(文))已知是1和9的等比中項,則圓錐曲線的離心率為()
A.B.或2C.D.或
【答案】B
【詳解】
由是1和9的等比中項,可得,
當時,曲線方程為,該曲線為焦點在軸上的橢圓,離心率,
當時,曲線方程為,該曲線為焦點在軸上的雙曲線,離心率,
故選:B.
9.(貴州高三模擬預測(理))已知橢圓的離心率為,則橢圓的長軸長為()A.B.6C.D.12【答案】【詳解】
由題意可知:,解得,所以橢圓長軸長為:.
故選:.
10.(寧夏吳忠中學高二月考(文))橢圓的離心率為()
A.B.C.D.
【答案】B
【詳解】
解:因為,所以,即,又因為,所以所以離心率
故選:B
題型四:焦點三角形
1.(廣東光明 高三月考)已知直線與曲線相交于兩點,,則的周長是()
A.2B.C.4D.
【答案】D
【詳解】
依題意橢圓,
橢圓的焦點為,
所以是橢圓的焦點,且直線過橢圓的另一個焦點.
所以的周長為.
故選:D
2.(全國高三專題練習(理))已知的頂點在橢圓上,頂點是橢圓的一個焦點,且橢圓的另外一個焦點在邊上,則的周長是()
A.B.C.4D.6
【答案】B
【詳解】
橢圓,則,
由題意可得的周長為.
故選:B
3.(全國)已知的頂點在橢圓上,頂點是橢圓的一個焦點,且橢圓的另外一個焦點在邊上,則的周長為()
A.2B.
C.4D.
【答案】D
【詳解】
由橢圓方程知:,又,
的周長為,
故選:D.
4.(林芝市第二高級中學高三月考(文))已知是橢圓的兩個焦點,若點是橢圓上的一個動點,則的周長是()
A.B.C.8D.10
【答案】A
【詳解】
由橢圓知,
所以,
由橢圓的定義知,,
則的周長為:.
故選:A.
5.(懷仁市第一中學校云東校區(文))橢圓與軸的交點為,兩個焦點為,則的面積為()
A.6B.8C.10D.12
【答案】D
【詳解】
由橢圓可得,所以,
令可得,所以,
所以的面積為,
故選:D
6.(北京市育英學校高二期末)已知點分別是橢圓的左、右焦點,點在此橢圓上,,則的面積等于
A.B.C.D.
【答案】B
【詳解】
橢圓
則,所以,
則
由余弦定理可知
代入化簡可得,
則,
故選:B.
7.(深州長江中學)設是橢圓上的一點,為焦點,且,則的面積為
A.B.C.D.16
【答案】
【詳解】
試題分析:設,則,
所以由余弦定理得:,即,
所以.
8.(黑龍江鶴崗一中高二月考)已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上一動點（異于左、右頂點）,若的周長為6,且面積的最大值為,則橢圓的標準方程為()
A.B.C.D.
【答案】A
【詳解】
由橢圓的定義可得,
①,
當點為上頂點或下頂點時,的面積取得最大值為,
②.又③,
由①②③,得,
橢圓的標準方程為.
故選:A
9.(全國)橢圓的左、右焦點分別為的面積為,且
,則橢圓方程為()
A.B.
C.D.
【答案】D
由題意可得,且,
解得,所以橢圓的方程為,
故選:D.
10.(全國高二課時練習)橢圓的焦點為,點在橢圓上,如果線段的中點在軸上,那么的值為()
A.7B.5C.D.
【答案】A
【詳解】
由可知,
所以,
所以,
線段的中點在軸上,且原點為線段的中點,
所以,所以軸,
可設,
把代入橢圓,得.
.
.
故選:A.
11.(全國高三專題練習(文))已知橢圓的左、右焦點分別是,直線與橢圓交于兩點,,且,則橢圓的離心率是()
A.B.C.D.
【答案】B
【詳解】
由橢圓的對稱性,得.設,則.由橢圓的定義,知,即
,解得,故.
在中,由余弦定理,得,即
,則,故.
故選:B.
12.(全國)已知是橢圓的左,右焦點,點是橢圓上的一個動點,則的內切圓的半徑的最大值是()
A.1B.C.D.
【答案】D
設的內切圓的半徑為,
由,則
所以,
由,
即,
即,若的內切圓的半徑最大,
即最大,又,
所以.
故選:D
13.(深圳市龍崗區平岡中學高三月考)已知是橢圓的兩個焦點,是上的一點,若以為直徑的圓過點,且,則的離心率為()
A.B.C.D.
【答案】B
【詳解】
在中,
設,則,
又由橢圓定義可知
則離心率,
故選:B.
14.(浙江高二單元測試)已知橢圓的左、右焦點分別為,過點的直線與橢圓交于兩點,若為正三角形,則該橢圓的離心率為()
A.B.C.D.
【答案】D
【詳解】
因為是正三角形,所以軸.
設,則,故,解得,
從而.將代入橢圓方程可得,
因此,得,故橢圓的離心率,
故選:D.
15.(吉林高三模擬預測(理))已知是橢圓的左、右焦點,點在橢圓上,,點為坐標原點,則
A.1B.C.D.
【答案】A
【詳解】
設,由橢圓的定義可得,
由余弦定理可得,
即,即,解得,
所以,即點與橢圓的上頂點重合,
所以.
故選:A.

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