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(共44張PPT)
第五節(jié)　空間向量及空間位置關系
目 錄
CONTENTS
知識 逐點夯實
1
2
3
考點 分類突破
課時過關檢測
01
知識 逐點夯實 課前自修
重點準 逐點清 結論要牢記
02
考點 分類突破 課堂講練
理解透 規(guī)律明 變化究其本
感謝觀看
B
木2
AL
B
y
E
C
X2025高考數(shù)學一輪復習-7.5-空間向量及空間位置關系
課程標準
1．空間直角坐標系
(1)在平面直角坐標系的基礎上，了解空間直角坐標系，感受建立空間直角坐標系的必要性，會用空間直角坐標系刻畫點的位置．
(2)借助特殊長方體(所有棱分別與坐標軸平行)頂點的坐標，探索并得出空間兩點間的距離公式．
2．空間向量及其運算
(1)經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念．
(2)經(jīng)歷由平面向量的運算及其法則推廣到空間向量的過程．
3．向量基本定理及坐標表示
(1)了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示．
(2)掌握空間向量的線性運算及其坐標表示．
(3)掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示．
(4)了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義．
【必備知識】精歸納
1．空間向量有關概念
(1)單位向量：模為1的向量．
(2)共線向量：如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．
(3)共面向量：平行于同一個平面的向量．
點睛 (1)0與任意向量平行．
(2)空間中任意兩個向量是共面向量，任意三個向量不一定是共面向量．
2．空間向量有關定理
(1)共線向量定理：對空間中任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb．
(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc．叫做空間的一個基底．
3．空間向量有關運算
設a＝，b＝(b1，b2，b3)，
(1)坐標運算：則a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；
λa＝(λa1，λa2，λa3)λ∈R．
(2)數(shù)量積運算：a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝|a||b|cos 〈a，b〉．
點睛 向量a在向量b上的投影向量設為向量c，向量c與向量b共線，c＝cos 〈a，b〉.
4．空間向量有關公式
(1)空間兩點間距離公式
已知P1，P2，則
＝．
(2)空間兩點的中點公式
設點P(x，y，z)為P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中點，則.
(3)空間向量共線與垂直公式
若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，其中b≠0，
則a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
a∥b a＝λb x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R).
(4)空間向量模與夾角公式
若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
則|a|＝＝；
cos ?a，b?＝＝.
1．對空間任意一點O，若三點P，A，B滿足＝λ ＝x＋y(x＋y＝1) P，A，B三點共線．
2．證明空間四點共面的方法
對空間任意一點O，若四點P，M，A，B滿足＝m＋n ＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1) P，M，A，B四點共面．
教材改編 結論應用 易錯易混
1，2 4，5 3，6
1.(教材變式)如圖所示，在平行六面體ABCD A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若＝a，＝b，AA1＝c，則下列向量中與相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c B．a(chǎn)＋b＋c
C．－a－b＋c D．a(chǎn)－b＋c
【解析】選A.＝＋AA1＋A1M
＝－a＋c＋(A1B1＋A1D1)
＝－a＋c＋(a＋b)＝－a＋b＋c.
2．(教材提升)如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都為a，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點，則下列向量的數(shù)量積等于a2的是(　　)
A．2· B．2·
C．2· D．2·
【解析】選B.2·
＝2||||cos 120°＝－a2，
2·＝2||||cos 60°＝a2，
2·＝2·cos 180°
＝2××a×＝－a2，
2·＝·＝a×a×cos 120°＝－.
3．(向量運算錯誤)對于任意空間向量a，b，c，下列說法正確的是(　　)
A．若a∥b且b∥c，則a∥c
B．a(chǎn)·＝a·b＋a·c
C．若a·b＝a·c，且a≠0，則b＝c
D．c＝a
【解析】選B.若b＝0，則由a∥b且b∥c，不能得出a∥c，A錯；
由數(shù)量積對向量加法的分配律知B正確；
若a·b＝a·c，則a·(b－c)＝0，當a⊥(b－c)時就成立，不一定有b＝c，C錯；
c是與c平行的向量，a是與a平行的向量，它們不一定相等，D錯．
4．(結論1)已知空間三點A(－1，1，2)，B(0，3，5)，C(1，5，4－k)在一條直線上，則實數(shù)k的值是(　　)
A．4 B．2 C．－2 D．－4
【解析】選D.因為空間三點A(－1，1，2)，B(0，3，5)，C(1，5，4－k)在一條直線上，所以＝，＝ ，
故＝2.所以k＝－4 .
5．(結論2)在下列條件中，一定能使空間中的四點M，A，B，C共面的是(　　)
A．＝2－－
B．＝＋＋
C．＋2＋＝0
D．＋＋＋＝0
【解析】選C.根據(jù)向量共面定理，
＝x＋y＋z，若A，B，C不共線，
且A，B，C，M共面，則其充要條件是x＋y＋z＝1，
由此可得A，B，D不正確；
選項C：＝－2－，所以M，A，B，C四點共面．
6．(漏掉同向共線)已知向量a＝(－2，1，4)，b＝(－4，2，t)的夾角為銳角，則實數(shù)t的取值范圍為(　　)
A．(8，＋∞) B．
C． D．∪(8，＋∞)
【解析】選D.夾角為銳角，則a·b＝8＋2＋4t>0，得t>－，
當a∥b時，＝＝，得t＝8，
所以t的取值范圍為∪(8，＋∞).
【題型一】空間向量的線性運算
[典例1](1)(多選題)(2022·保定模擬)如圖所示， M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且AP＝3PN，＝，設＝a，＝b，＝c，則下列等式成立的是(　　)
A.＝b－c
B．＝b＋c－a
C．＝b－c－a
D．＝a＋b＋c
【解析】選BD.根據(jù)向量的加減法及數(shù)乘運算法則：
＝＝b＋c，故A選項錯誤；
＝＋＝＋＝＋×(＋)＝b＋c－a，
故B選項正確；
＝＝(b＋c－a)＝－a＋b＋c，故C選項錯誤；
＝＋＝a＋(－a)＋b＋c＝a＋b＋c，故D選項正確．
(2)(2023·昆明模擬)已知空間向量a＝(1，2，3)，b＝(3，－1，2)，c＝(－1，0，1) ，則a－b＋2c＝__________．
【解析】因為a＝(1，2，3)，b＝(3，－1，2)，c＝(－1，0，1)，所以a－b＋2c＝(1，2，3)－(3，－1，2)＋2(－1，0，1)＝(－4，3，3).
答案：(－4，3，3)
空間向量線性運算的解題策略
1．用已知向量來表示未知向量，結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵．
2．將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中．利用三角形法則、平行四邊形法則、多邊形法則把所求向量用已知向量表示出來．
3．空間向量的坐標運算類似平面向量的坐標運算．
1．(2023·日照模擬)如圖，在平行六面體ABCD A1B1C1D1中，E為A1C1的中點，若＝x＋y＋z，則(　　)
A.x＝1，y＝，z＝－
B．x＝1，y＝－，z＝
C．x＝，y＝1，z＝－
D．x＝－，y＝1，z＝
【解析】選B.由題意得,=++=-+
=-++=-+,所以x=1,y=-,z=.
2．(2022·保定模擬)如圖，在四面體OABC中，＝a，＝b，＝c，且＝，＝，則＝(　　)
A．a(chǎn)－b＋c B．a(chǎn)＋b＋c
C．－a－b＋c D．－a＋b＋c
【解析】選D.連接OF，因為＝，
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝b＋c，
又＝＝a，所以＝－＝－a＋b＋c.
　　　【加練備選】
　(2022·寧波模擬)在平行六面體ABCD A1B1C1D1中，E為C1D1的中點，F(xiàn)為BB1的中點，＝a，＝b，＝c，則＝(　　)
A．a(chǎn)－b－c B．a(chǎn)－b－c
C．a(chǎn)－b－c D．a(chǎn)－b－c
【解析】選C.設＝m，＝n，
則＝a＝m＋n＋c，＝b＝n＋m.
所以n＝b－m，a＝m＋＋c，
所以m＝a－b－c.
【題型二】共線、共面向量定理及應用
[典例2](1)
①對于空間中的四點A，B，C，P，若＝＋，則P，B，C 三點(　　)
A．不共面 B．共面
C．共線 D．不共線
②對于空間中的四點A，B，C，P，若＝＋，則P，A，B，C 四點(　　)
A．不共面 B．共面
C．共線 D．不共線
【解析】①選C.因為向量起點相同，系數(shù)和為1，所以P，B，C 三點共線．
②選B.由共面向量定理可得．
(2)與向量n＝(1，－1，2)反向的單位向量的坐標為(　　)
A．(－，，－) B．(，－，)
C．(－1，1，－2) D．
【解析】選A.因為＝＝，
所以與向量n反向的單位向量為－＝＝.
[變式1]本例(2)中“反向”改為“同向”．
【解析】選B.與向量n同向的單位向量為
＝(，－，)＝(，－，).
[變式2](多選題)本例(2)中“反向”改為“共線”．
【解析】選AB.與向量n共線的單位向量為
±＝±(，－，)＝(，－，)或(－，，－).
(3)已知向量a＝，b＝，c＝，若a，b，c三向量共面，則實數(shù)λ＝(　　)
A． B．2 C． D．3
【解析】選B.因為a，b，c三向量共面，
所以存在實數(shù)m，n，使得c＝ma＋nb，
即＝＋，
所以，解得
1．共線、共面向量定理的應用
(1)向量共線可以用來判斷直線平行、三點共線；
(2)向量共面可以用來判斷直線與平面平行，四點共面；
(3)根據(jù)向量共線和向量共面求參數(shù)取值；
(4)與a同向的單位向量為，反向的單位向量為－，共線的單位向量為±.
2．證明四點P，M，A，B共面的方法
(1)＝x＋y；
(2)對空間任意一點O，＝＋x＋y；
(3)對空間任意一點O，
＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
(4)∥或∥或∥.
1．(2023·杭州模擬)已知向量a＝，b＝，且ka＋b與a－2b互相平行，則k＝(　　)
A．－ B． C． D．－
【解析】選D.ka＋b＝(－k＋1，k，2)，
a－2b＝(－3，1，－4)，
則＝＝，解得k＝－.
2．(2022·保定模擬)若{a，b，c}構成空間的一個基底，則下列向量共面的是(　　)
A．a(chǎn)－b，2a－c，b－c
B．b＋2c，a－b，a－2b－2c
C．a(chǎn)＋2b，2a－c，2b＋c
D．a(chǎn)＋2b＋3c，a＋b，a＋c
【解析】選B.對于A，設x，y，使得
a－b＝x＋y，則
a－b＝2xa＋yb－c，
即，該方程組無解，故A錯誤；
對于B，設x，y，使得
b＋2c＝x＋y，
則b＋2c＝a－b－2yc，
即，解得，故B正確；
對于C，設x，y，使得
a＋2b＝x＋y，
則a＋2b＝2xa＋2yb＋c，即，
該方程組無解，故C錯誤；
對于D，設x，y，使得
a＋2b＋3c＝x＋y，
則a＋2b＋3c＝a＋xb＋yc，即，
該方程組無解，故D錯誤．
3．如圖，已知四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面A1B1C1D1為平行四邊形，E為棱AB的中點，＝，＝2，AC1與平面EFG交于點M，則＝__________．
【解析】由題可設＝λ，
因為＝＋＋
＝2＋3＋，
所以＝2λ＋3λ＋λ，
因為M，E，F(xiàn)，G四點共面，
所以2λ＋3λ＋λ＝1，解得λ＝.
答案：
【題型三】空間向量的數(shù)量積及應用
角度1　求空間向量數(shù)量積
[典例3](1)(2022·濰坊模擬)已知i，j，k為標準正交基底，a＝i＋2j＋3k，則a在i上的投影向量為(　　)
A．i B．－i C．i D．－i
【解析】選A.因為a＝i＋2j＋3k，i，j，k為標準正交基底，所以a在i上的投影向量為|a|cos ?a，i?＝i.
(2)已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則·的值為(　　)
A．1 B． C． D．
【解析】選C.此空間四邊形及其對角線構成的幾何體為正四面體，棱長為1，
因為點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，
所以＝＋，
所以·＝·
＝·＋·
＝·cos 60°＋·cos 60°
＝××＋××＝.
　求空間向量的數(shù)量積的方法
(1)若給出的條件不適合建系要用基底進行運算；
(2)若給定條件下適合建立空間直角坐標系，則用坐標進行運算．
提醒 運用定義求數(shù)量積時一定要根據(jù)正確方向判定夾角的大小．
角度2　求長度
[典例4](1)(2023·鄭州模擬)如圖，在一個60°的二面角的棱上有兩點A，B，線段AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且均與棱AB垂直，若AB＝，AC＝1，BD＝2，則CD＝________．
【解析】由已知可得＝＋＋，
所以＝
＝，
因為線段AC，BD均與棱AB垂直，所以⊥，⊥，
因為二面角的大小為60°，所以〈，〉＝60°，
所以＝＝，
因為AB＝，AC＝1，BD＝2，所以＝＝.
答案：
(2)如圖，平行六面體ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是邊長為1的正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，AA1＝2，則線段AC1的長為________．
【解析】因為=++=++,
所以==+++2·+2·+2·
=+++2·cos 90°+2·cos 60°+2·cos 60°=1+1+4+2×1×2×+2×1×2×=10,所以AC1=.
答案:
　利用數(shù)量積求兩點間的距離的解題策略
利用向量的數(shù)量積求兩點間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題，基本思路是：
(1)先選擇以兩點為端點的向量，將此向量表示為幾個已知向量的和的形式；
(2)求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模；
(3)利用公式|a|＝求解即可．
角度3　夾角問題
[典例5](1)(2022·煙臺模擬)已知a＝，b＝，若a與b的夾角為銳角，則實數(shù)t的取值范圍為________．
【解析】由題意得a·b>0且a，b不共線，
所以，解得t>且t≠－.
故實數(shù)t的取值范圍為.
答案：
[變式]將本例(1)中“a與b的夾角為銳角”改為“a與b的夾角為鈍角”，則實數(shù)t的取值范圍是______________________．
【解析】由題意得a·b<0且a，b不共線，
所以，解得t<且t≠－.
故實數(shù)t的取值范圍為(－∞，－)∪(－，).
答案：(－∞，－)∪(－，)
　(2)如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，＝λ，若異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為，則λ的值為________．
【解析】以D為原點，以DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．
正方體的棱長為2,則A1(2,0,2),D1(0,0,2),E(0,2,1),A(2,0,0).所以=(0,2,-1),
=+=+λ=(0,0,-2)+λ(-2,0,0)=(-2λ,0,-2),
所以=||=,所以=,
解得λ=或λ=-(舍去).
答案:
利用數(shù)量積求直線夾角或余弦值的方法
　
角度4　解決垂直問題
[典例6](多選題)(2023·孝感模擬)如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在棱DD1，BB1上，且EF⊥A1E.若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，則B1F的值可能為(　　)
A． B. 2 C. D.
【解析】選BCD.以點C1為坐標原點，C1D1，C1B1，C1C所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系C1xyz.
所以A1.設E，F(xiàn)，
0≤m≤3，0≤n≤3，則 ＝，
＝.
因為EF⊥A1E，所以 ·＝0，
即－1＋m＝0，化簡得mn＝1＋m2.
當m＝0時，顯然不符合題意．
故n＝＋m≥2，當且僅當m＝1時，等號成立．
故B1F的最小值為2.
所以2≤B1F≤3，對照四個選項，可選BCD.
　利用數(shù)量積解決垂直問題的解題策略
證明兩直線的垂直可以轉(zhuǎn)化為證明這兩直線的方向向量垂直，將兩個方向向量表示為幾個已知向量a，b，c的線性形式，然后利用數(shù)量積為0說明兩直線的方向向量垂直，進而轉(zhuǎn)化為直線垂直．
1．已知向量a＝，b＝，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是(　　)
A． B．2 C． D．1
【解析】選A.因為a＝，b＝，
所以a·b＝－1，＝，＝.
因為ka＋b與2a－b互相垂直，
所以·＝0，
即2kb|2＝0，
即4k－(2－k)－5＝0，解得k＝.
2．已知a＝，b＝，且a·b＝3，則向量a與b的夾角為(　　)
A． B． C． D．
【解析】選D.因為a·b＝x＋2＝3，所以x＝1，
所以b＝，
所以cos 〈a，b〉＝
＝＝，
又因為〈a，b〉∈，
所以向量a與b的夾角為.
3.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,M為DD1的中點,N在AC上,且AN∶NC=2∶1.求證:與,共面.
【證明】因為=-,=+=-,==(+),
所以=-=(+)-=+=+,
所以與,共面.
4．(2022·大連模擬)如圖，在平行六面體ABCD A1B1C1D1中，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，AA1＝1，點P為線段BC的中點．
(1)求；
(2)求直線AB1與D1P所成角的余弦值．
【解析】(1)因為在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,點P在線段BC上,且滿足BP=PC.
設=a,=b,=c,這三個向量不共面,構成空間的一個基底.
所以=-=-=-=a-b-c.
所以==a2+b2+c2-a·b-2a·c+b·c
=4+×4+1-2×2×-2×2×1×+2×1×=4+1+1-2-2+1=3,所以=.
(2)由(1)知,=a-b-c,=,
因為=a+c,===,
所以cos<,>=====,
故直線AB1與D1P所成角的余弦值為.

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