資源簡介

第二節　空間點、直線、平面之間的位置關系
【課標解讀】 【命題說明】
【課程標準】 1.借助長方體,在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上,抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義,了解四個基本事實和一個定理. 2.能運用基本事實、定理和已獲得的結論證明空間基本圖形位置關系的簡單命題. 【核心素養】 直觀想象、數學運算、邏輯推理. 考向 考法 以空間幾何體為載體,考查基本事實及其結論在判斷位置關系、交線問題、求角中的應用.求異面直線所成的角是高考的熱點,在各個題型中均有所體現.
預測 2025年高考主要考查與點、線、面位置關系有關的命題真假的判斷和求解異面直線所成的角,主要以選擇題或填空題的形式出現.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.四個基本事實
基本事實1:過不在一條直線上的三個點,有且只有一個平面.
符號:A,B,C三點不共線 存在唯一的α使A,B,C∈α.
基本事實2:如果一條直線上的兩個點在一個平面內,那么這條直線在這個平面內.
符號:A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α l α.
基本事實3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.
符號:P∈α,且P∈β α∩β=l,且P∈l.
基本事實4:平行于同一條直線的兩條直線平行.
符號:a∥b,b∥c a∥c.
2.基本事實的三個推論
推論1:經過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面.
推論2:經過兩條相交直線,有且只有一個平面.
推論3:經過兩條平行直線,有且只有一個平面.
3.空間點、直線、平面之間的位置關系
項目 直線與直線 直線與平面 平面與平面
平行關系 圖形語言
符號語言 a∥b a∥α α∥β
相交關系 圖形語言
符號語言 a∩b=A a∩α=A α∩β=l
其他關系 圖形語言 -
符號語言 a,b是 異面直線 a α -
微點撥
(1)直線在平面外分直線與平面平行和直線與平面相交兩種情況.
(2)兩條直線沒有公共點分直線與直線平行和直線與直線異面兩種情況.
4.等角定理
如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.
5.異面直線所成的角
(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經過空間任意一點O分別作直線a'∥a,b'∥b,
把a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).
(2)范圍:.
常用結論
1.證明點共線與線共點都需用到基本事實3.
2.兩異面直線所成的角歸結到一個三角形的內角時,容易忽視這個三角形的內角可能等于兩異面直線所成的角,也可能等于其補角.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 4 2 3
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)如果兩個平面有三個公共點,則這兩個平面重合.(　 　)
(2)經過兩條相交直線,有且只有一個平面.(　 　)
(3)兩兩相交的三條直線共面.(　 )
(4)若a,b是兩條直線,α,β是兩個平面,且a α,b β,則a,b是異面直線.(　 　)
提示:(1)中的兩個平面可能相交;(2)正確;(3)中的三條直線相交于一點時可能不共面;(4)中的兩條直線可能是平行直線.
2.(忽略直線不在平面內而致誤)若直線l不平行于平面α,且l α,則(　　)
A.α內的所有直線與l異面
B.α內不存在與l平行的直線
C.α內存在唯一的直線與l平行
D.α內的直線與l都相交
3.(多選題)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方體ABCD A1B1C1D1,則(　　)
A.直線BC1與DA1所成的角為90°
B.直線BC1與CA1所成的角為90°
C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°
D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°
4.(必修二P134例1變形式)如圖,在三棱錐A-BCD中,E,F,G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點,則
(1)當AC,BD滿足條件　　　　　　時,四邊形EFGH為菱形;
(2)當AC,BD滿足條件　　　　　　時,四邊形EFGH為正方形.
【核心考點·分類突破】
考點一基本事實的應用
[例1]已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,C1B1的
中點,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求證:
(1)D,B,F,E四點共面;
(2)若A1C交平面DBFE于R點,則P,Q,R三點共線;
(3)DE,BF,CC1三線交于一點.
解題技法
共面、共線、共點問題的證明
(1)證明共面的方法:先確定一個平面,然后再證其余的線(或點)在這個平面內.
(2)證明共線的方法:先由兩點確定一條直線,再證其他各點都在這條直線上.
(3)證明線共點問題的常用方法:先證其中兩條直線交于一點,再證其他直線經過該點.
對點訓練
1.如圖,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且A,B,C l,直線AB∩l=M,過A,B,C三點的平面記作γ,則γ與β的交線必經過(　　)
A.點A
B.點B
C.點C但不過點M
D.點C和點M
2.已知空間四邊形ABCD(如圖所示),E,F分別是AB,AD的中點,G,H分別是BC,CD上的點,且CG=BC,CH=DC.求證:
(1)E,F,G,H四點共面;
(2)三直線FH,EG,AC共點.
1.空間中有三條線段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直線AB與CD的位置關系是(　　)
A.平行
B.異面
C.相交或平行
D.平行或異面或相交均有可能
2.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為BC,BB1的中點,則下列直線中與直線EF相交的是(　　)
A.直線AA1 B.直線A1B1
C.直線A1D1 D.直線B1C1
3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別在A1D,AC上,
且A1E=2ED,CF=2FA,則EF與BD1的位置關系是(　　)
A.相交但不垂直 B.相交且垂直
C.異面 D.平行
4.(多選題)如圖是正四面體的平面展開圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點,則在這個正四面體中(　　)
A.GH與EF平行
B.BD與MN為異面直線
C.GH與MN成60°角
D.DE與MN垂直
5.(多選題)四棱錐P-ABCD的所有棱長都相等,M,N分別為PA,CD的中點,下列說法正確的是(　　)
A.MN與PD是異面直線
B.MN∥平面PBC
C.MN∥AC
D.MN⊥PB
6.(2023·濟南模擬)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形,已知AA1=4,AB=2,點E,F分別在棱BB1,CC1上,且BE=BB1,CF=CC1,則(　　)
A.D1E≠AF,且直線D1E與AF是相交直線
B.D1E≠AF,且直線D1E與AF是異面直線
C.D1E=AF,且直線D1E與AF是異面直線
D.D1E=AF,且直線D1E與AF是相交直線
解題技法
兩直線位置關系的判定方法
(1)異面直線的判定:可采用直接法或反證法;
(2)平行直線的判定:可利用三角形(梯形)中位線的性質、基本事實4及線面平行與面面平行的性質定理;
(3)垂直關系的判定:往往利用線面垂直或面面垂直的性質來解決.
考點三異面直線所成的角
[例2](1)如圖所示,圓柱O1O2的底面半徑為1,高為2,AB是一條母線,BD是圓O1的直徑,C是上底面圓周上一點,∠CBD=30°,則異面直線AC與BD所成角的余弦值為(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2023·武漢模擬)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=AA1,D,E分別為AC,BC的中點,則異面直線C1D與B1E所成角的余弦值為(　　)
A. B.
C. D.
解題技法
求異面直線所成角的方法
(1)求異面直線所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三種類型:利用圖中已有的平行線平移;利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移;補形平移.
(2)求異面直線所成角的三步:一作、二證、三求.
①一作:根據定義作平行線,作出異面直線所成的角;
②二證:證明作出的角是異面直線所成的角;
③三求:解三角形,求出所作的角.
提醒:如果求出的角是銳角或直角,則它就是要求的角;如果求出的角是鈍角,則它的補角才是要求的角.
對點訓練
1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為B1D1的中點,則直線PB與AD1所成的角為(　　)
A. B. C. D.
2.如圖,在圓錐SO中,AB,CD為底面圓的兩條直徑,AB∩CD=O,且AB⊥CD,
SO=OB=3,SE=SB,則異面直線SC與OE所成角的正切值為(　　)
A. B. C. D.
【加練備選】
　　 平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為(　　)
A. B. C. D.第二節　空間點、直線、平面之間的位置關系
【課標解讀】 【命題說明】
【課程標準】 1.借助長方體,在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上,抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義,了解四個基本事實和一個定理. 2.能運用基本事實、定理和已獲得的結論證明空間基本圖形位置關系的簡單命題. 【核心素養】 直觀想象、數學運算、邏輯推理. 考向 考法 以空間幾何體為載體,考查基本事實及其結論在判斷位置關系、交線問題、求角中的應用.求異面直線所成的角是高考的熱點,在各個題型中均有所體現.
預測 2025年高考主要考查與點、線、面位置關系有關的命題真假的判斷和求解異面直線所成的角,主要以選擇題或填空題的形式出現.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.四個基本事實
基本事實1:過不在一條直線上的三個點,有且只有一個平面.
符號:A,B,C三點不共線 存在唯一的α使A,B,C∈α.
基本事實2:如果一條直線上的兩個點在一個平面內,那么這條直線在這個平面內.
符號:A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α l α.
基本事實3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.
符號:P∈α,且P∈β α∩β=l,且P∈l.
基本事實4:平行于同一條直線的兩條直線平行.
符號:a∥b,b∥c a∥c.
2.基本事實的三個推論
推論1:經過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面.
推論2:經過兩條相交直線,有且只有一個平面.
推論3:經過兩條平行直線,有且只有一個平面.
3.空間點、直線、平面之間的位置關系
項目 直線與直線 直線與平面 平面與平面
平行關系 圖形語言
符號語言 a∥b a∥α α∥β
相交關系 圖形語言
符號語言 a∩b=A a∩α=A α∩β=l
其他關系 圖形語言 -
符號語言 a,b是 異面直線 a α -
微點撥
(1)直線在平面外分直線與平面平行和直線與平面相交兩種情況.
(2)兩條直線沒有公共點分直線與直線平行和直線與直線異面兩種情況.
4.等角定理
如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.
5.異面直線所成的角
(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經過空間任意一點O分別作直線a'∥a,b'∥b,
把a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).
(2)范圍:.
常用結論
1.證明點共線與線共點都需用到基本事實3.
2.兩異面直線所成的角歸結到一個三角形的內角時,容易忽視這個三角形的內角可能等于兩異面直線所成的角,也可能等于其補角.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 4 2 3
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)如果兩個平面有三個公共點,則這兩個平面重合.(　×　)
(2)經過兩條相交直線,有且只有一個平面.(　√　)
(3)兩兩相交的三條直線共面.(　×　)
(4)若a,b是兩條直線,α,β是兩個平面,且a α,b β,則a,b是異面直線.(　×　)
提示:(1)中的兩個平面可能相交;(2)正確;(3)中的三條直線相交于一點時可能不共面;(4)中的兩條直線可能是平行直線.
2.(忽略直線不在平面內而致誤)若直線l不平行于平面α,且l α,則(　　)
A.α內的所有直線與l異面
B.α內不存在與l平行的直線
C.α內存在唯一的直線與l平行
D.α內的直線與l都相交
【解析】選B.由題意知,直線l與平面α相交,則直線l與平面α內的直線只有相交和異面兩種位置關系,因而只有選項B是正確的.
3.(多選題)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方體ABCD A1B1C1D1,則(　　)
A.直線BC1與DA1所成的角為90°
B.直線BC1與CA1所成的角為90°
C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°
D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°
【解析】選ABD.如圖,連接AD1,在正方形A1ADD1中,AD1⊥DA1,因為AD1∥BC1,所以BC1⊥DA1,所以直線BC1與DA1所成的角為90°,故A正確.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,CD⊥平面BCC1B1,又BC1 平面BCC1B1,所以CD⊥BC1,連接B1C,則B1C⊥BC1,因為CD∩B1C=C,CD,B1C 平面DCB1A1,所以BC1⊥平面DCB1A1,又CA1 平面DCB1A1,所以BC1⊥CA1,所以直線BC1與CA1所成的角為90°,故B正確.連接A1C1,交B1D1于點O,則易得OC1⊥平面BB1D1D,連接OB,
因為OB 平面BB1D1D,所以OC1⊥OB,∠OBC1為直線BC1與平面BB1D1D所成的角.
設正方體的棱長為a,則易得BC1=a,OC1=,所以在Rt△BOC1中,OC1=BC1,
所以∠OBC1=30°,故C錯誤.
因為C1C⊥平面ABCD,所以∠CBC1為直線BC1與平面ABCD所成的角,
易得∠CBC1=45°,故D正確.
4.(必修二P134例1變形式)如圖,在三棱錐A-BCD中,E,F,G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點,則
(1)當AC,BD滿足條件　　　　　　時,四邊形EFGH為菱形;
(2)當AC,BD滿足條件　　　　　　時,四邊形EFGH為正方形.
【解析】(1)因為四邊形EFGH為菱形,
所以EF=EH,
因為EF=AC,EH=BD,所以AC=BD.
(2)因為四邊形EFGH為正方形,
所以EF=EH且EF⊥EH.
因為EF∥AC,EH∥BD,
且EF=AC,EH=BD,
所以AC=BD且AC⊥BD.
答案:(1)AC=BD　(2)AC=BD且AC⊥BD
【核心考點·分類突破】
考點一基本事實的應用
[例1]已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,C1B1的
中點,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求證:
(1)D,B,F,E四點共面;
【證明】(1)如圖所示,連接B1D1.
因為EF是△D1B1C1的中位線,
所以EF∥B1D1.
在正方體AC1中,B1D1∥BD,
所以EF∥BD,所以EF,BD確定一個平面,即D,B,F,E四點共面.
(2)若A1C交平面DBFE于R點,則P,Q,R三點共線;
【證明】(2)在正方體AC1中,設A1,C,C1三點確定的平面為α,平面BDEF為β.
因為Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β,
所以Q是α與β的公共點.
同理,P是α與β的公共點,所以α∩β=PQ.
又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β,
則R∈PQ,故P,Q,R三點共線.
(3)DE,BF,CC1三線交于一點.
【證明】(3)因為EF∥BD且EF所以DE與BF相交.設交點為M,
則由M∈DE,DE 平面D1DCC1,
得M∈平面D1DCC1,同理,點M∈平面B1BCC1.
又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1,
所以M∈CC1,
所以DE,BF,CC1三線交于點M.
解題技法
共面、共線、共點問題的證明
(1)證明共面的方法:先確定一個平面,然后再證其余的線(或點)在這個平面內.
(2)證明共線的方法:先由兩點確定一條直線,再證其他各點都在這條直線上.
(3)證明線共點問題的常用方法:先證其中兩條直線交于一點,再證其他直線經過該點.
對點訓練
1.如圖,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且A,B,C l,直線AB∩l=M,過A,B,C三點的平面記作γ,則γ與β的交線必經過(　　)
A.點A
B.點B
C.點C但不過點M
D.點C和點M
【解析】選D.因為AB γ,M∈AB,所以M∈γ.
又α∩β=l,M∈l,所以M∈β.
根據基本事實3可知,M在γ與β的交線上.
同理可知,點C也在γ與β的交線上.
所以γ與β的交線必經過點C和點M.
2.已知空間四邊形ABCD(如圖所示),E,F分別是AB,AD的中點,G,H分別是BC,CD上的點,且CG=BC,CH=DC.求證:
(1)E,F,G,H四點共面;
【證明】(1)連接EF,GH,
因為E,F分別是AB,AD的中點,
所以EF∥BD.
又因為CG=BC,CH=DC,
所以GH∥BD,所以EF∥GH,
所以E,F,G,H四點共面.
(2)三直線FH,EG,AC共點.
【證明】(2)易知FH與直線AC不平行,但共面,
所以設FH∩AC=M,
所以M∈平面EFHG,M∈平面ABC.
又因為平面EFHG∩平面ABC=EG,
所以M∈EG,所以FH,EG,AC共點.
考點二空間兩直線位置關系的判斷
1.空間中有三條線段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直線AB與CD的位置關系是(　　)
A.平行
B.異面
C.相交或平行
D.平行或異面或相交均有可能
【解析】選D.根據條件作出示意圖,容易得到以下三種情況.
如圖可知AB,CD有相交,平行,異面三種情況.
2.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為BC,BB1的中點,則下列直線中與直線EF相交的是(　　)
A.直線AA1 B.直線A1B1
C.直線A1D1 D.直線B1C1
【解析】選D.根據異面直線的概念可知直線AA1,A1B1,A1D1都和直線EF為異面直線.因為直線B1C1和EF在同一平面內,且這兩條直線不平行,所以直線B1C1和直線EF相交.
3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別在A1D,AC上,
且A1E=2ED,CF=2FA,則EF與BD1的位置關系是(　　)
A.相交但不垂直 B.相交且垂直
C.異面 D.平行
【解析】選D.連接D1E并延長,與AD交于點M,由A1E=2ED,可得M為AD的中點,
連接BF并延長,交AD于點N,由CF=2FA,可得N為AD的中點,所以M,N重合,所以EF和BD1共面,且=,=,所以=,所以EF∥BD1.
4.(多選題)如圖是正四面體的平面展開圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點,則在這個正四面體中(　　)
A.GH與EF平行
B.BD與MN為異面直線
C.GH與MN成60°角
D.DE與MN垂直
【解析】選BCD.還原成正四面體A-DEF,如圖所示,
其中H與N重合,A,B,C三點重合,易知GH與EF異面,BD與MN異面.
連接GM,因為△GMH為等邊三角形,
所以GH與MN成60°角.
由圖易得DE⊥AF,又MN∥AF,
所以MN⊥DE,
因此正確的選項是B,C,D.
5.(多選題)四棱錐P-ABCD的所有棱長都相等,M,N分別為PA,CD的中點,下列說法正確的是(　　)
A.MN與PD是異面直線
B.MN∥平面PBC
C.MN∥AC
D.MN⊥PB
【解析】選ABD.如圖所示,取PB的中點H,連接MH,HC,
由題意知,四邊形MHCN為平行四邊形,所以MN∥平面PBC.設四邊形MHCN確定平面α,又D∈α,故M,N,D共面,但P 平面α,D MN,因此MN與PD是異面直線,故A,B說法均正確;
若MN∥AC,由于CH∥MN,則CH∥AC,
事實上AC∩CH=C,C說法不正確;
因為PC=BC,H為PB的中點,所以CH⊥PB,又CH∥MN,所以MN⊥PB,D說法正確.
6.(2023·濟南模擬)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形,已知AA1=4,AB=2,點E,F分別在棱BB1,CC1上,且BE=BB1,CF=CC1,則(　　)
A.D1E≠AF,且直線D1E與AF是相交直線
B.D1E≠AF,且直線D1E與AF是異面直線
C.D1E=AF,且直線D1E與AF是異面直線
D.D1E=AF,且直線D1E與AF是相交直線
【解析】選B.連接D1B1,AC,
則D1E==,
AF==2≠D1E,
如圖,取點M為BC的中點,連接AM,MF,AD1,D1F,
則AD1∥MF,故A,M,F,D1共面,點E在平面AMFD1外,
故直線D1E經過平面AMFD1內一點和平面外一點,故直線D1E和平面內直線AF異面.
解題技法
兩直線位置關系的判定方法
(1)異面直線的判定:可采用直接法或反證法;
(2)平行直線的判定:可利用三角形(梯形)中位線的性質、基本事實4及線面平行與面面平行的性質定理;
(3)垂直關系的判定:往往利用線面垂直或面面垂直的性質來解決.
考點三異面直線所成的角
[例2](1)如圖所示,圓柱O1O2的底面半徑為1,高為2,AB是一條母線,BD是圓O1的直徑,C是上底面圓周上一點,∠CBD=30°,則異面直線AC與BD所成角的余弦值為(　　)
A. B.
C. D.
【解析】選C.連接AO2,設AO2的延長線交下底面圓周上的點為E,連接CE,易知∠CAE(或其補角)即為異面直線AC與BD所成的角,連接CD(圖略),在Rt△BCD中,∠BCD=90°,BD=2,∠CBD=30°,得BC=,CD=1.
又AB=DE=AE=BD=2,AC==,CE==,
所以在△CAE中,cos∠CAE===,
即異面直線AC與BD所成角的余弦值為.
(2)(2023·武漢模擬)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=AA1,D,E分別為AC,BC的中點,則異面直線C1D與B1E所成角的余弦值為(　　)
A. B.
C. D.
【解析】選D.設AB=2,取A1B1的中點F,連接C1F,DF,DE,則B1F=A1B1,
因為D,E分別為AC,BC的中點,
所以DE∥AB,DE=AB,
因為A1B1∥AB,A1B1=AB,
所以DE∥B1F,B1F=DE,
所以四邊形DEB1F為平行四邊形,所以DF∥B1E,
所以∠C1DF為異面直線C1D與B1E所成的角或補角.
因為AB⊥BC,AB=BC=AA1=2,D,E分別為AC,BC的中點,
所以DF=B1E==,
C1F==,C1D==,
所以cos∠C1DF===.
解題技法
求異面直線所成角的方法
(1)求異面直線所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三種類型:利用圖中已有的平行線平移;利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移;補形平移.
(2)求異面直線所成角的三步:一作、二證、三求.
①一作:根據定義作平行線,作出異面直線所成的角;
②二證:證明作出的角是異面直線所成的角;
③三求:解三角形,求出所作的角.
提醒:如果求出的角是銳角或直角,則它就是要求的角;如果求出的角是鈍角,則它的補角才是要求的角.
對點訓練
1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為B1D1的中點,則直線PB與AD1所成的角為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選D.如圖,連接A1C1,BC1,因為AD1∥BC1,所以∠PBC1為直線PB與AD1所成的角.
設正方體的棱長為2,則PB=,PC1=,
BC1=2,則PB2+P=B,在Rt△PBC1中,
因為sin ∠PBC1===,
所以直線PB與AD1所成的角為.
2.如圖,在圓錐SO中,AB,CD為底面圓的兩條直徑,AB∩CD=O,且AB⊥CD,
SO=OB=3,SE=SB,則異面直線SC與OE所成角的正切值為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選D.如圖,過點S作SF∥OE,交AB于點F,連接CF,則∠CSF(或其補角)為異面直線SC與OE所成的角.
因為SE=SB,所以SE=BE.
又OB=3,所以OF=OB=1.
因為SO⊥OC,SO=OC=3,所以SC=3.
因為SO⊥OF,所以SF==.
因為OC⊥OF,所以CF=.
所以在等腰△SCF中,
tan∠CSF==.
即異面直線SC與OE所成角的正切值為.
【加練備選】
　　 平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選A.如圖所示,過點A補作一個與正方體ABCD-A1B1C1D1相同棱長的正方體,易知平面α為平面AF1E,則m,n所成的角為∠EAF1.
因為△AF1E為正三角形,所以sin∠EAF1=sin 60°=.

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