資源簡介

第六節　利用空間向量研究直線、平面的位置關系
【課標解讀】 【命題說明】
【課程標準】 1.能用向量語言描述直線和平面,理解直線的方向向量與平面的法向量. 2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直與平行關系. 3.能用向量方法證明必修內容中有關直線、平面位置關系的判定定理. 【核心素養】 直觀想象、數學運算、邏輯推理. 考向 考法 高考題常以平行、垂直關系為載體,考查空間向量的運算、直線的方向向量、平面的法向量的應用.線面、面面關系是高考熱點,主要在解答題中體現.
預測 2025年高考本節內容仍會與立體幾何知識結合考查,試題難度中檔.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.直線的方向向量和平面的法向量
(1)直線的方向向量:如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合,則稱此向量a為直線l的方向向量.
注:①一條直線l有無窮多個方向向量(非零向量),這些方向向量之間互相平行.
②直線l的方向向量也是所有與l平行的直線的方向向量.
(2)平面的法向量:直線l⊥α,取直線l的方向向量a,則向量a叫做平面α的法向量.
微點撥
(1)直線的方向向量不唯一,一般取直線上兩點構成其一個方向向量.
(2)平面的法向量不唯一,所以可以用賦值法求出平面的一個法向量.
2. 空間位置關系的向量表示
位置關系 向量表示
直線l1,l2的方向 向量分別為n1,n2 l1∥l2 n1∥n2 n1=λn2
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2=0
直線l的方向 向量為n,平面 α的法向量為m l∥α n⊥m n·m=0
l⊥α n∥m n=λm
平面α,β的法向 量分別為n,m α∥β n∥m n=λm
α⊥β n⊥m n·m=0
微點撥
利用法向量證明線面平行時,直線的方向向量與平面的法向量垂直是線面平行的必要條件,應注明直線在平面外.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯
題號 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若兩平面的法向量平行,則兩平面平行.(　√　)
(2)若兩直線的方向向量不平行,則兩直線不平行.(　√　)
(3)若a∥b,則a所在直線與b所在直線平行.(　×　)
(4)若空間向量a平行于平面α,則a所在直線與平面α平行.(　×　)
提示:易知(1)(2)正確;(3)中向量a和b所在的直線可能重合;(4)中a所在的直線可能在平面內.
2.(選擇性必修一P30例3·變形式)平面α的法向量為(1,2,-2),平面β的法向量為(-2,-4,k).若α∥β,則k等于(　　)
A.2 B.-4 C.4 D.-2
【解析】選C.因為α∥β,所以兩平面的法向量平行,所以==,所以k=4.
3.(選擇性必修一P32例4·變形式)若直線l的方向向量a=(1,-3,5),平面α的法向量n=(-1,3,-5),則有(　　)
A.l∥α B.l⊥α
C.l與α斜交 D.l α或l∥α
【解析】選B.由a=-n知,n∥a,則有l⊥α.
4.(忽視線在平面內)若直線l的方向向量為a=,平面α的法向量為n=,則(　　)
A.l∥α B.l⊥α
C.l α或l∥α D.l 與α斜交
【解析】選C.因為a=,n=,
所以a·n=0,即a⊥n,所以l∥α或l α.
【核心考點·分類突破】
考點一利用空間向量證明平行問題
角度1 線面平行
[例1]如圖,在四面體A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2,M是AD的中點,P是BM的中點,點Q在線段AC上,且AQ=3QC.證明:PQ∥平面BCD.
【證明】如圖,取BD的中點O,以O為原點,OD,OP所在射線分別為y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標系Oxyz.
由題意知,A(0,,2),B(0,-,0),D(0,,0).設點C的坐標為(x0,y0,0),則=(x0,y0-,-2).
因為=3,所以Q.
因為M為AD的中點,所以M(0,,1).
又因為P為BM的中點,故P,
所以=.
又因為平面BCD的一個法向量為a=(0,0,1),故·a=0.
又因為PQ 平面BCD,所以PQ∥平面BCD.
角度2 面面平行
[例2]如圖,平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分別是線段PA,PD,CD的中點,證明平面EFG∥平面PBC.
【證明】由題意,易知∠PAD=90°,即PA⊥AD,因為平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD,又四邊形ABCD為正方形,所以AB,AP,AD兩兩垂直,以A為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz.
則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).
因為=(0,1,0),=(0,2,0),
所以=2,所以BC∥EF.
又因為EF 平面PBC,BC 平面PBC,
所以EF∥平面PBC,
同理可證GF∥PC,從而得出GF∥平面PBC.
又因為EF∩GF=F,EF 平面EFG,FG 平面EFG,所以平面EFG∥平面PBC.
解題技法
　利用空間向量證明線面、面面平行的方法
(1)證明線面平行的常用方法:
①證明直線的方向向量與平面內的兩個不共線的向量共面;
②證明直線的方向向量與平面內的一個向量平行;
③證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.
(2)證明面面平行常用的方法:
①利用上述方法證明平面內的兩個不共線向量都平行于另一個平面;
②證明兩個平面的法向量平行;
③證明一個平面的法向量也是另一個平面的法向量.
提醒:運用向量知識判定空間位置關系時,仍然離不開幾何定理.如用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行時,仍需強調直線在平面外.
對點訓練
　已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點,求證:
(1)FC1∥平面ADE;
【證明】建立空間直角坐標系如圖,
則有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),
所以=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1).
(1)設n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的一個法向量,
則,即,
得,
令z1=2,則y1=-1,所以n1=(0,-1,2).
因為·n1=-2+2=0,所以⊥n1,
又因為FC1 平面ADE,所以FC1∥平面ADE.
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
【證明】建立空間直角坐標系如圖,
則有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),
所以=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1).
(2)因為=(2,0,0),
設n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一個法向量,
由,得,
得,
令z2=2,得y2=-1,
所以n2 =(0,-1,2),因為n1=n2,
所以平面ADE∥平面B1C1F.
考點二利用空間向量證明垂直問題
角度1　線線、線面垂直
[例3]如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,
∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.
證明:(1)AE⊥CD;
【證明】以A為原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz.
設PA=AB=BC=1,則P(0,0,1),B(1,0,0).
(1)因為∠ABC=60°,所以△ABC為正三角形.
所以C,E.
設D(0,y,0),由AC⊥CD,得·=0,
即y=,則D,
所以=.
又因為=(,,),
所以·=-×+×=0,
所以⊥,即AE⊥CD.
(2)PD⊥平面ABE.
【證明】以A為原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz.
設PA=AB=BC=1,則P(0,0,1),B(1,0,0).
(2)(方法一)由(1)知,D,P(0,0,1),
所以=.
又因為·=×+×(-1)=0,
所以⊥,即PD⊥AE.
因為=(1,0,0),所以·=0.
所以PD⊥AB.
又因為AB∩AE=A,AB,AE 平面ABE,
所以PD⊥平面ABE.
(方法二)由(1)知,=(1,0,0),=,
設平面ABE的一個法向量為n=(x,y,z),
則,
令y=2,則z=-,所以n=(0,2,-)為平面ABE的一個法向量.
因為=,顯然=n.
因為∥n,
所以⊥平面ABE,
即PD⊥平面ABE.
角度2 面面垂直
[例4]如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=AC,D為BC的中點,PO⊥平面ABC,垂足O落在線段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.
(1)證明:AP⊥BC;
【證明】(1)如圖所示,以O為坐標原點,分別以射線OD,OP為y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系Oxyz.
則O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4),
所以=(0,3,4),=(-8,0,0).
所以·=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,
所以⊥,即AP⊥BC.
(2)若點M是線段AP上一點,且AM=3.試證明平面AMC⊥平面BMC.
【證明】(2)由(1)知||=5,又||=3,
且點M在線段AP上,
所以==.
又=(-4,-5,0),
所以=+=,
則·=(0,3,4)·=0,
所以⊥,
即AP⊥BM.
由(1)知AP⊥BC,
所以AP⊥平面BMC,
所以AM⊥平面BMC.
又AM 平面AMC,故平面AMC⊥平面BMC.
解題技法
　利用空間向量證明垂直的方法
線線垂直 證明兩直線所在的方向向量互相垂直,即證它們的數量積為零
線面垂直 證明直線的方向向量與平面的法向量共線,或將線面垂直的判定定理用向量表示
面面垂直 證明兩個平面的法向量垂直,或將面面垂直的判定定理用向量表示
對點訓練
　如圖所示,已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=
∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,側面PBC⊥底面ABCD.證明:
(1)PA⊥BD;
【證明】(1)取BC的中點O,連接PO,
因為平面PBC⊥底面ABCD,△PBC為等邊三角形,
所以PO⊥底面ABCD.
以BC的中點O為坐標原點,以BC所在直線為x軸,過點O與AB平行的直線為y軸,OP所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示.
不妨設CD=1,則AB=BC=2,PO=.
所以A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,).
所以=(-2,-1,0),=(1,-2,-).
因為·=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-)=0,
所以⊥,所以PA⊥BD.
(2)平面PAD⊥平面PAB.
【證明】(2)取PA的中點M,連接DM,則M.
因為=,=(1,0,-),
所以·=×1+0×0+×(-)=0,
所以⊥,即DM⊥PB.
因為·=×1+0×(-2)+×(-)=0,所以⊥,即DM⊥PA.
又因為PA∩PB=P,所以DM⊥平面PAB.
因為DM 平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAB.
考點三與平行、垂直有關的綜合問題
[例5]如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點,且
DE∥BC,DE=2.將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如圖2.
(1)若M是A1D的中點,求直線CM與平面A1BE所成角的大小;
【解析】(1)由折疊的性質得CD⊥DE,A1D⊥DE.
又因為CD∩A1D=D,所以DE⊥平面A1CD.
又因為A1C 平面A1CD,所以A1C⊥DE.
又A1C⊥CD,CD∩DE=D,
所以A1C⊥平面BCDE.
建系如圖,則C(0,0,0),D(-2,0,0),A1(0,0,2),E(-2,2,0),B(0,3,0),
所以=(0,3,-2),=(-2,2,-2).
設平面A1BE的法向量為n=(x,y,z),
則,所以,
取z=,則x=-1,y=2,所以n=(-1,2,)為平面A1BE的一個法向量.
又因為M(-1,0,),所以=(-1,0,),
所以cos<,n>===.
所以CM與平面A1BE所成角的大小為45°.
(2)線段BC上是否存在點P,使平面A1DP與平面A1BE垂直 說明理由.
【解析】(2)假設線段BC上存在點P滿足條件,設P點坐標為(0,a,0),a∈[0,3],
所以=(0,a,-2),=(2,a,0).
設平面A1DP的一個法向量為n1=(x1,y1,z1),
則,
取y1=6,則x1=-3a,z1=a,
所以n1=(-3a,6,a).
若平面A1DP與平面A1BE垂直,則n1·n=0,
所以3a+12+3a=0,即6a=-12,所以a=-2.
因為0≤a≤3,所以a=-2舍去.
所以線段BC上不存在點P,使平面A1DP與平面A1BE垂直.
解題技法
1.“是否存在”型問題的兩種探索方式
(1)根據條件作出判斷,再進一步論證.
(2)利用空間向量,先設出假設存在點的坐標,再根據條件求該點的坐標,即找到“存在點”,若該點坐標不能求出,或有矛盾,則判定“不存在”.
2.解決折疊問題的關鍵
解決折疊問題的關鍵是弄清折疊前后的不變量.
對點訓練
　如圖,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,每條側棱的長都是底面邊長的倍,P為側棱SD上的點.
(1)求證:AC⊥SD.
【解析】(1)連接BD,設AC交BD于點O,則AC⊥BD.連接SO,
由題意知SO⊥平面ABCD.
以O為坐標原點,OB,OC,OS所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
設底面邊長為a,則SO=a,
所以S,D,B,C,
所以=,=,
則·=0.
故OC⊥SD.所以AC⊥SD.
(2)若SD⊥平面PAC,側棱SC上是否存在一點E,使得BE∥平面PAC 若存在,求SE∶EC的值;若不存在,試說明理由.
【解析】(2)側棱SC上存在一點E使得BE∥平面PAC,此時SE∶EC=2∶1.理由如下:
由已知條件知是平面PAC的一個法向量,
且=,=,
=.
設=t(0則=+=+t
=,
又因為·=0,
所以a×+a×=0,所以t=.
即當SE∶EC=2∶1時,⊥.
而BE 平面PAC,故BE∥平面PAC.第六節　利用空間向量研究直線、平面的位置關系
【課標解讀】 【命題說明】
【課程標準】 1.能用向量語言描述直線和平面,理解直線的方向向量與平面的法向量. 2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直與平行關系. 3.能用向量方法證明必修內容中有關直線、平面位置關系的判定定理. 【核心素養】 直觀想象、數學運算、邏輯推理. 考向 考法 高考題常以平行、垂直關系為載體,考查空間向量的運算、直線的方向向量、平面的法向量的應用.線面、面面關系是高考熱點,主要在解答題中體現.
預測 2025年高考本節內容仍會與立體幾何知識結合考查,試題難度中檔.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.直線的方向向量和平面的法向量
(1)直線的方向向量:如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合,則稱此向量a為直線l的方向向量.
注:①一條直線l有無窮多個方向向量(非零向量),這些方向向量之間互相平行.
②直線l的方向向量也是所有與l平行的直線的方向向量.
(2)平面的法向量:直線l⊥α,取直線l的方向向量a,則向量a叫做平面α的法向量.
微點撥
(1)直線的方向向量不唯一,一般取直線上兩點構成其一個方向向量.
(2)平面的法向量不唯一,所以可以用賦值法求出平面的一個法向量.
2. 空間位置關系的向量表示
位置關系 向量表示
直線l1,l2的方向 向量分別為n1,n2 l1∥l2 n1∥n2 n1=λn2
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2=0
直線l的方向 向量為n,平面 α的法向量為m l∥α n⊥m n·m=0
l⊥α n∥m n=λm
平面α,β的法向 量分別為n,m α∥β n∥m n=λm
α⊥β n⊥m n·m=0
微點撥
利用法向量證明線面平行時,直線的方向向量與平面的法向量垂直是線面平行的必要條件,應注明直線在平面外.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯
題號 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若兩平面的法向量平行,則兩平面平行.(　　)
(2)若兩直線的方向向量不平行,則兩直線不平行.(　　)
(3)若a∥b,則a所在直線與b所在直線平行.(　　)
(4)若空間向量a平行于平面α,則a所在直線與平面α平行.(　　)
提示:易知(1)(2)正確;(3)中向量a和b所在的直線可能重合;(4)中a所在的直線可能在平面內.
2.(選擇性必修一P30例3·變形式)平面α的法向量為(1,2,-2),平面β的法向量為(-2,-4,k).若α∥β,則k等于(　　)
A.2 B.-4 C.4 D.-2
3.(選擇性必修一P32例4·變形式)若直線l的方向向量a=(1,-3,5),平面α的法向量n=(-1,3,-5),則有(　　)
A.l∥α B.l⊥α
C.l與α斜交 D.l α或l∥α
4.(忽視線在平面內)若直線l的方向向量為a=,平面α的法向量為n=,則(　　)
A.l∥α B.l⊥α
C.l α或l∥α D.l 與α斜交
【核心考點·分類突破】
考點一利用空間向量證明平行問題
角度1 線面平行
[例1]如圖,在四面體A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2,M是AD的中點,P是BM的中點,點Q在線段AC上,且AQ=3QC.證明:PQ∥平面BCD.
[例2]如圖,平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分別是線段PA,PD,CD的中點,證明平面EFG∥平面PBC.
解題技法
　利用空間向量證明線面、面面平行的方法
(1)證明線面平行的常用方法:
①證明直線的方向向量與平面內的兩個不共線的向量共面;
②證明直線的方向向量與平面內的一個向量平行;
③證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.
(2)證明面面平行常用的方法:
①利用上述方法證明平面內的兩個不共線向量都平行于另一個平面;
②證明兩個平面的法向量平行;
③證明一個平面的法向量也是另一個平面的法向量.
提醒:運用向量知識判定空間位置關系時,仍然離不開幾何定理.如用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行時,仍需強調直線在平面外.
對點訓練
　已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點,求證:
(1)FC1∥平面ADE;
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
考點二利用空間向量證明垂直問題
角度1　線線、線面垂直
[例3]如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,
∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.
證明:(1)AE⊥CD;
(2)PD⊥平面ABE.
角度2 面面垂直
[例4]如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=AC,D為BC的中點,PO⊥平面ABC,垂足O落在線段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.
(1)證明:AP⊥BC;
(2)若點M是線段AP上一點,且AM=3.試證明平面AMC⊥平面BMC.
解題技法
　利用空間向量證明垂直的方法
線線垂直 證明兩直線所在的方向向量互相垂直,即證它們的數量積為零
線面垂直 證明直線的方向向量與平面的法向量共線,或將線面垂直的判定定理用向量表示
面面垂直 證明兩個平面的法向量垂直,或將面面垂直的判定定理用向量表示
對點訓練
　如圖所示,已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=
∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,側面PBC⊥底面ABCD.證明:
(1)PA⊥BD;
(2)平面PAD⊥平面PAB.
考點三與平行、垂直有關的綜合問題
[例5]如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點,且
DE∥BC,DE=2.將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如圖2.
(1)若M是A1D的中點,求直線CM與平面A1BE所成角的大小;
(2)線段BC上是否存在點P,使平面A1DP與平面A1BE垂直 說明理由.
解題技法
1.“是否存在”型問題的兩種探索方式
(1)根據條件作出判斷,再進一步論證.
(2)利用空間向量,先設出假設存在點的坐標,再根據條件求該點的坐標,即找到“存在點”,若該點坐標不能求出,或有矛盾,則判定“不存在”.
2.解決折疊問題的關鍵
解決折疊問題的關鍵是弄清折疊前后的不變量.
對點訓練
　如圖,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,每條側棱的長都是底面邊長的倍,P為側棱SD上的點.
(1)求證:AC⊥SD.
(2)若SD⊥平面PAC,側棱SC上是否存在一點E,使得BE∥平面PAC 若存在,求SE∶EC的值;若不存在,試說明理由.

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