資源簡介

第七節　利用空間向量研究距離問題
【課標解讀】
【課程標準】
能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題,并能描述解決這一類問題的程序,體會向量方法在研究幾何問題中的作用.
【核心素養】
直觀想象、數學運算、邏輯推理.
【命題說明】
考向 考法 高考題常以體積為載體,考查空間中點線距、點面距.求空間幾何體的體積是高考熱點,主要在解答題中體現.
預測 2025年高考本節內容仍會與立體幾何知識結合考查,試題難度中檔.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.兩點距
即求空間中兩個點連線的線段長,轉化為向量的模求解.
2.點到直線的距離
設A是直線l上的定點,P是直線l外一點,若u是直線l的單位方向向量,是在l上的投影向量,設=a,則點P到直線l的距離PQ==.
微點撥已知向量a,直線l的單位方向向量為e,則向量a在e方向上的投影向量為cos·e,即·e=·e,故其模為.
3.點到平面的距離公式
如圖,點P為平面α外一點,點A為平面α內的定點,過點P作平面α的垂線l,交平面α于點Q,則n是直線l的方向向量,且點P到平面α的距離就是在直線l上的投影向量的長度,則PQ=|·|=||=.
4.異面直線間的距離
(1)定義:兩條異面直線間的公垂線段的長即為異面直線間的距離.
(2)求解公式:如圖,設兩條異面直線a,b的公垂線的方向向量為n,這時分別在a,b上任取A,B兩點,則向量在n上的正射影長就是兩條異面直線a,b的距離.則d=|·|=.
即兩異面直線間的距離,等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯
題號 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)點到平面的距離是該點與平面上點距離的最小值.(　 　)
(2)點到直線的距離也就是該點與直線上任一點連線長度的最小值.(　 　)
(3)直線l平行于平面α,則直線l上各點到平面α的距離相等.(　 　)
(4)直線l上兩點到平面α的距離相等,則l平行于平面α.(　 　)
提示:由距離的最小性可知(1)(2)正確;(3)中直線l上任意點到平面α的距離相等,正確;(4)中直線l可能與平面α相交.　　　　　　　　　　　　
2.(選擇性必修一P34例6·變形式)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則A1A到平面B1D1DB的距離為(　　)
A. B.2 C. D.
3.(選擇性必修一P35練習2·變形式)直線l的方向向量為m=(1,0,-1),且l過點A(1,1,1),則點P(-1,2,1)到l的距離為(　　)
A. B. C. D.2
4.(不能正確使用公式)若兩平行平面α,β分別經過坐標原點O和點A(2,1,1),且兩平面的一個法向量為n=(-1,0,1),則兩平面間的距離是　　　　.
【核心考點·分類突破】
考點一點線距及其應用
[例1](1)空間中有三點P(1,-2,-2),M(2,-3,1),N(3,-2,2),則點P到直線MN的距離為(　　)
A.2 B.2 C.3 D.2
(2)如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A'B'C'D'中,已知E為CC'上一點,且2CE=EC',在平面CDD'C'內作EF∥A'B,交C'D'于點F,則直線EF與A'B之間的距離為　　　　　.
解題技法
向量法求點到直線的距離的方法
方法一:(1)求直線的方向向量.
(2)計算所求點與直線上某一點所構成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度.
(3)利用勾股定理求解.
方法二:在直線上設出垂線段的垂足的坐標,利用共線和垂直求出垂足坐標,再求向量的模.
方法三:(1)求直線的方向向量;
(2)計算所求點與直線上某一點所構成的向量與直線的方向向量夾角的余弦值,進而求出正弦值;
(3)求出所求點與直線上某一點所構成的向量的模,再乘以夾角的正弦值即為所求.
提醒:平行直線間的距離轉化為點到直線的距離求解.
對點訓練
如圖,ABCD-EFGH是棱長為1的正方體,若P在正方體內部且滿足=++,則P到直線AB的距離為(　　)
A. B. C. D.
考點二點面距及其應用
[例2]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,
∠APD=90°,且PA=PD,AD=PB.
(1)求證:AD⊥PB;
(2)(一題多法)求點A到平面PBC的距離.
解題技法
求點面距的步驟
(1)建系:建立恰當的空間直角坐標系.
(2)求點坐標:寫出(求出)相關點的坐標.
(3)求向量:求出相關向量的坐標(,α內兩不共線向量,平面α的法向量n).
(4)求距離d=.
提醒:求線面距、面面距可轉化為點面距求解.
對點訓練
1.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BCC1B1,BC=AB=AA1=2,BC1=2,M為線段AB上的動點.
(1)證明:BC1⊥CM;
(2)若E為A1C1的中點,求點A1到平面BCE的距離.
2.如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M,N,R分別是OA,BC,AD的中點.求:
(1)直線MN與平面OCD的距離;
(2)平面MNR與平面OCD的距離.
【補償訓練】
　　 如圖,已知正方形ABCD的邊長為1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分別為AB,BC的中點,直線AC到平面PEF的距離為　　　　　　　.
考點三異面直線之間的距離
[例3](1)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,則異面直線AC與BC1之間的距離是(　　)
A. B. C. D.
(2)長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E為CC1的中點,則異面直線BC1與AE之間的距離是(　　)
A. B.
C. D.
解題技法
求異面直線間的距離的方法
(1)異面直線AB與CD間的距離可用以下公式求解
d=,其中n滿足.
(2)求公垂線段所在的向量的坐標,進而求出模.
(3)求異面直線之間的距離.
對點訓練
在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD為矩形,PD=DC=4,DA=3,M為PC中點,則異面直線PA與BM之間的距離為　　　　　　. 第七節　利用空間向量研究距離問題
【課標解讀】
【課程標準】
能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題,并能描述解決這一類問題的程序,體會向量方法在研究幾何問題中的作用.
【核心素養】
直觀想象、數學運算、邏輯推理.
【命題說明】
考向 考法 高考題常以體積為載體,考查空間中點線距、點面距.求空間幾何體的體積是高考熱點,主要在解答題中體現.
預測 2025年高考本節內容仍會與立體幾何知識結合考查,試題難度中檔.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.兩點距
即求空間中兩個點連線的線段長,轉化為向量的模求解.
2.點到直線的距離
設A是直線l上的定點,P是直線l外一點,若u是直線l的單位方向向量,是在l上的投影向量,設=a,則點P到直線l的距離PQ==.
微點撥已知向量a,直線l的單位方向向量為e,則向量a在e方向上的投影向量為cos·e,即·e=·e,故其模為.
3.點到平面的距離公式
如圖,點P為平面α外一點,點A為平面α內的定點,過點P作平面α的垂線l,交平面α于點Q,則n是直線l的方向向量,且點P到平面α的距離就是在直線l上的投影向量的長度,則PQ=|·|=||=.
4.異面直線間的距離
(1)定義:兩條異面直線間的公垂線段的長即為異面直線間的距離.
(2)求解公式:如圖,設兩條異面直線a,b的公垂線的方向向量為n,這時分別在a,b上任取A,B兩點,則向量在n上的正射影長就是兩條異面直線a,b的距離.則d=|·|=.
即兩異面直線間的距離,等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯
題號 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)點到平面的距離是該點與平面上點距離的最小值.(　 √　)
(2)點到直線的距離也就是該點與直線上任一點連線長度的最小值.(　 √　)
(3)直線l平行于平面α,則直線l上各點到平面α的距離相等.(　 √　)
(4)直線l上兩點到平面α的距離相等,則l平行于平面α.(　 ×　)
提示:由距離的最小性可知(1)(2)正確;(3)中直線l上任意點到平面α的距離相等,正確;(4)中直線l可能與平面α相交.　　　　　　　　　　　　
2.(選擇性必修一P34例6·變形式)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則A1A到平面B1D1DB的距離為(　　)
A. B.2 C. D.
【解析】選A.由正方體性質可知,A1A∥平面B1D1DB,A1A到平面B1D1DB的距離就是點A1到平面B1D1DB的距離,連接A1C1,交B1D1于O1(圖略),A1O1的長即為所求,由題意可得A1O1=A1C1=.
3.(選擇性必修一P35練習2·變形式)直線l的方向向量為m=(1,0,-1),且l過點A(1,1,1),則點P(-1,2,1)到l的距離為(　　)
A. B. C. D.2
【解析】選B.直線l的方向向量為m=(1,0,-1),且l過點A(1,1,1),又點P(-1,2,1),
則=(-2,1,0),則|AP|=,又因為==,所以點P(-1,2,1)到l的距離為=.
4.(不能正確使用公式)若兩平行平面α,β分別經過坐標原點O和點A(2,1,1),且兩平面的一個法向量為n=(-1,0,1),則兩平面間的距離是　　　　.
【解析】依題意,平行平面α,β間的距離即為點O到平面β的距離,而=(2,1,1),所以平行平面α,β間的距離d====.
答案:
【核心考點·分類突破】
考點一點線距及其應用
[例1](1)空間中有三點P(1,-2,-2),M(2,-3,1),N(3,-2,2),則點P到直線MN的距離為(　　)
A.2 B.2 C.3 D.2
【解析】選A.因為=(1,1,1),
所以的一個單位方向向量為u=(1,1,1).
因為=(1,-1,3),
故||==,
·u=×(1-1+3)=,
所以點P到直線MN的距離為==2.
(2)如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A'B'C'D'中,已知E為CC'上一點,且2CE=EC',在平面CDD'C'內作EF∥A'B,交C'D'于點F,則直線EF與A'B之間的距離為　　　　　.
【解析】以A為坐標原點,AB,AD,AA'所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,如圖,則A'(0,0,1),B(1,0,0),E(1,1,),
直線EF與A'B之間的距離等于E到直線A'B的距離,
=(-1,0,1),=(0,1,),·=,
||=,||==,
cos<,>===,
<,>∈[0,π],
所以sin<,>==,
所以直線EF與A'B之間的距離等于E到直線A'B的距離為||sin <,>=×=.
答案:
解題技法
向量法求點到直線的距離的方法
方法一:(1)求直線的方向向量.
(2)計算所求點與直線上某一點所構成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度.
(3)利用勾股定理求解.
方法二:在直線上設出垂線段的垂足的坐標,利用共線和垂直求出垂足坐標,再求向量的模.
方法三:(1)求直線的方向向量;
(2)計算所求點與直線上某一點所構成的向量與直線的方向向量夾角的余弦值,進而求出正弦值;
(3)求出所求點與直線上某一點所構成的向量的模,再乘以夾角的正弦值即為所求.
提醒:平行直線間的距離轉化為點到直線的距離求解.
對點訓練
如圖,ABCD-EFGH是棱長為1的正方體,若P在正方體內部且滿足=++,則P到直線AB的距離為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選C.建立如圖所示的空間直角坐標系,
則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,1),
所以=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1),
則=(1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1)= (,,),
因為=(1,0,0),
所以在上的投影向量的長度為=,
所以點P到AB的距離=.
考點二點面距及其應用
[例2]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,
∠APD=90°,且PA=PD,AD=PB.
(1)求證:AD⊥PB;
【解析】(1)取AD的中點O,連接OP,OB,BD,(圖略)
因為底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,
所以AD=AB=BD.
因為O為AD的中點,所以BO⊥AD.
在△PAD中,PA=PD,O為AD的中點,
所以PO⊥AD.
因為BO∩PO=O,所以AD⊥平面POB.
因為PB 平面POB,所以AD⊥PB.
(2)(一題多法)求點A到平面PBC的距離.
【解析】(2)方法一:由題意及(1)易知OP=1,BO=,PB=2,
所以OP2+BO2=PB2,所以OP⊥OB,所以OP,OA,OB兩兩垂直,如圖建立空間直角坐標系,
則A(1,0,0),B(0,,0),C(-2,,0),P(0,0,1),所以=(-1,0,1),=(0,,-1),
=(-2,,-1),
設平面PBC的法向量為n=(x,y,z),
則,所以,
不妨取y=1,則n=(0,1,),
所以點A到平面PBC的距離d==.
方法二:因為PA=PD,∠APD=90°,
所以PO=AD=1,由題意及(1)知PB=2,
又AD⊥PB,BC∥AD,所以BC⊥PB,
記A到平面PBC的距離為h,S△PBC=×2×2=2,
則由VA-PBC=VP-ABC得h=××2×2sin 120°×1,
所以h=,即A到平面PBC的距離為.
解題技法
求點面距的步驟
(1)建系:建立恰當的空間直角坐標系.
(2)求點坐標:寫出(求出)相關點的坐標.
(3)求向量:求出相關向量的坐標(,α內兩不共線向量,平面α的法向量n).
(4)求距離d=.
提醒:求線面距、面面距可轉化為點面距求解.
對點訓練
1.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BCC1B1,BC=AB=AA1=2,BC1=2,M為線段AB上的動點.
(1)證明:BC1⊥CM;
【解析】(1)因為AB⊥平面BB1C1C,C1B 平面BB1C1C,所以AB⊥C1B,
在△BCC1中,BC=2,BC1=2,CC1=AA1=4,
所以BC2+B=C,所以CB⊥C1B.
因為AB∩BC=B,AB,BC 平面ABC,
所以C1B⊥平面ABC.
又因為CM 平面ABC,
所以C1B⊥CM.
(2)若E為A1C1的中點,求點A1到平面BCE的距離.
【解析】(2)由(1)知,AB⊥C1B,BC⊥C1B,AB⊥BC,
以B為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.
則B(0,0,0),C(2,0,0),C1(0,2,0),A1(-2,2,4),E(-1,2,2),
=(2,0,0), =(-1,2,2),
設平面BCE的法向量為n=(x,y,z),
則,即,
令y=,則n=(0,,-3).
又因為=(4,-2,-4),
故點A1到平面BCE的距離
d==.
2.如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M,N,R分別是OA,BC,AD的中點.求:
(1)直線MN與平面OCD的距離;
【解析】(1)因為OA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,所以OA⊥AD,OA⊥AB,AB⊥AD,以點A為坐標原點,AB,AD,AO所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
則C(2,2,0),D(0,2,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(2,1,0),R(0,1,0),因為M,R分別為OA,AD的中點,則MR∥OD,因為MR 平面OCD,OD 平面OCD,所以MR∥平面OCD,
因為AD∥BC且AD=BC,R,N分別為AD,BC的中點,則CN∥RD且CN=RD,
所以四邊形CDRN為平行四邊形,所以RN∥CD,
因為RN 平面OCD,CD 平面OCD,所以RN∥平面OCD,
因為MR∩RN=R,MR,RN 平面MNR,所以平面MNR∥平面OCD,
因為MN 平面MNR,所以MN∥平面OCD,
設平面OCD的法向量為n=(x,y,z),=(2,0,0),=(0,-2,2),
則,取y=1,可得n=(0,1,1),=(0,1,0),所以,直線MN與平面OCD的距離為d1===.
(2)平面MNR與平面OCD的距離.
【解析】(2)由(1)知平面MNR∥平面OCD,則平面MNR與平面OCD的距離為d2===.
【補償訓練】
　　 如圖,已知正方形ABCD的邊長為1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分別為AB,BC的中點,直線AC到平面PEF的距離為　　　　　　　.
【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系,
則D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,,0),F(,1,0),=(1,,-1),=(,1,-1),
=(-1,0,1),
設平面PEF的法向量為n=(x,y,z),
則,即,
解得x=y,令x=y=2,得n=(2,2,3),
因為E,F分別為AB,BC的中點,
所以EF∥AC,又EF 平面PEF,AC 平面PEF,所以AC∥平面PEF,
所以直線AC到平面PEF的距離為==.
答案:
考點三異面直線之間的距離
[例3](1)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,則異面直線AC與BC1之間的距離是(　　)
A. B. C. D.
【解析】選D.以D為原點建立空間直角坐標系如圖所示,
則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,1,0),C1(0,1,3),
所以=(2,-1,0),=(-2,0,3),
設CA和BC1的公垂線的方向向量為n=(x,y,z),
則有,即,不妨取x=3,
所以n=(3,6,2),又=(0,1,0),
所以異面直線AC與BC1之間的距離d===.
(2)長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E為CC1的中點,則異面直線BC1與AE之間的距離是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】選D.如圖,連接AD1,由長方體的結構特征可知,AB∥C1D1,AB=C1D1,
則四邊形ABC1D1為平行四邊形,得BC1∥AD1,
因為AD1 平面AD1E,BC1 平面AD1E,
所以BC1∥平面AD1E,
則異面直線BC1與AE之間的距離即為BC1到平面AD1E的距離,也就是B點到平面AD1E的距離,
以D為坐標原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,
則A(1,0,0),E(0,2,1),D1(0,0,2),B(1,2,0),
=(-1,0,2),=(-1,2,1),=(0,2,0),
設平面AD1E的一個法向量為n=(x,y,z),
則,
取z=1,得n=,
所以B點到平面AD1E的距離
d====.
解題技法
求異面直線間的距離的方法
(1)異面直線AB與CD間的距離可用以下公式求解
d=,其中n滿足.
(2)求公垂線段所在的向量的坐標,進而求出模.
(3)求異面直線之間的距離.
對點訓練
在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD為矩形,PD=DC=4,DA=3,M為PC中點,則異面直線PA與BM之間的距離為　　　　　　.
【解析】因為PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥CD,
因為底面ABCD為矩形,所以AD⊥CD,
所以DA,DC,DP兩兩垂直,
建立如圖所示的空間直角坐標系,
因為PD=DC=4,DA=3,M為PC中點,
所以=(-3,0,4),=(-3,-2,2),=(0,4,0),
設PA與BM的公垂線的方向向量為m=(x,y,z),
,
令x=4,m=(4,-3,3),
所以異面直線PA與BM之間的距離為==.
答案:

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