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第三節　空間直線、平面的平行
【課標解讀】 【命題說明】
【課程標準】 1.從定義和基本事實出發,借助長方體,通過直觀感知,了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系的定義,歸納出有關平行的性質定理和判定定理,并加以證明. 2.能運用已獲得的結論證明空間基本圖形位置關系的簡單命題. 【核心素養】 直觀想象、邏輯推理. 考向 考法 高考命題常以空間幾何體為載體,考查直線、平面平行的判斷和證明.線面平行的證明是高考的熱點.常以解答題的形式出現.
預測 2025年高考這一部分知識仍會考查,以解答題第(1)問的形式出現,難度中檔.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.直線與平面平行
(1)直線與平面平行的定義
直線l與平面α沒有公共點,則稱直線l與平面α平行.
(2)判定定理與性質定理
項目 文字語言 圖形表示 符號表示
判定定理 如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,那么該直線與此平面平行 a α,b α, a∥b a∥α
性質定理 一條直線和一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行 a∥α,a β, α∩β=b a∥b
2.平面與平面平行
(1)平面與平面平行的定義
沒有公共點的兩個平面叫做平行平面.
(2)判定定理與性質定理
項目 文字語言 圖形表示 符號表示
判定定理 如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行,那么這兩個平面平行 a β,b β,a∩b=P, a∥α,b∥α α∥β
性質 兩個平面平行,則其中一個平面內的直線平行于另一個平面 α∥β,a α a∥β
性質定理 兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線平行 α∥β,α∩γ=a, β∩γ=b a∥b
微點撥
三種平行關系的轉化
常用結論
1.平行關系中的三個重要結論
(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行,即若a⊥α,a⊥β,則α∥β.
(2)平行于同一個平面的兩個平面平行,即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.
(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行,即若a⊥α,b⊥α,則a∥b.
2.平行關系有關的性質
(1)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等.
(2)兩條直線被三個平行平面所截,截得的對應線段成比例.
(3)同一條直線與兩個平行平面所成的角相等.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯
題號 1 2,4 3
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若一條直線和平面內一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行.(　×　)
(2)若直線a∥平面α,P∈α,則過點P且平行于直線a的直線有無數條.(　×　)
(3)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.(　×　)
(4)如果兩個平面平行,那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面.(　√　)
提示:(1)若一條直線和平面內的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行或在平面內,故(1)錯誤.
(2)若a∥α,P∈α,則過點P且平行于a的直線只有一條,故(2)錯誤.
(3)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面,則這兩個平面平行或相交,故(3)錯誤.
2.(必修二P138例3變形式)已知直線l和平面α,若l∥α,P∈α,則過點P且平行于l的直線(　　)
A.只有一條,不在平面α內
B.只有一條,且在平面α內
C.有無數條,一定在平面α內
D.有無數條,不一定在平面α內
【解析】選B.過直線外一點作該直線的平行線有且只有一條,因為點P在平面α內,所以這條直線也應該在平面α內.
3.(易忽略“a α”而致誤)兩條直線a,b滿足a∥b,b α,則a與平面α的位置關系一定是(　　)
A.a∥α B.a α
C.a與α相交 D.a與α不相交
【解析】選D.由于b α且a∥b,則a∥α或a α.故a與α不相交.
4.(必修二P137例2變形式)如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,過A1B1的平面與平面ABC交于DE,則DE與AB的位置關系是(　　)
A.異面 B.平行
C.相交 D.以上均有可能
【解析】選B.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,因為AB 平面ABC,A1B1 平面ABC,
所以A1B1∥平面ABC,因為過A1B1的平面與平面ABC交于DE,所以DE∥A1B1,所以DE∥AB.
【核心考點·分類突破】
考點一直線與平面平行
考情提示
直線與平面平行作為空間平行關系的載體
因其全面考查直線與平面平行的判定、性質定理而成為高考的熱點,涉及空間平行關系的判斷、證明以及在實際問題中的應用.
角度1 直線與平面平行的判定
[例1]如圖所示的四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥CD,AD=BD=2,
∠BDC=,BC=2,PD⊥平面ABCD,FC=2PF.證明:AP∥平面BDF.
【證明】因為AB∥CD,所以∠DBA=∠BDC=,
因為AD=BD,所以△DAB為等邊三角形,
所以AB=DB=2,
在△BDC中,DB=2,∠BDC=,BC=2,
由余弦定理得
BC2=BD2+CD2-2BD·CD·cos∠BDC,
即=22+CD2-2×2×CD×,所以CD=4.
如圖,連接AC交BD于點E,連接EF,
因為AB∥CD,所以△ABE∽△CDE,
所以AE∶EC=AB∶CD=1∶2,
因為PF∶FC=1∶2,所以EF∥AP,
又AP 平面BDF,EF 平面BDF,
所以AP∥平面BDF.
角度2 直線與平面平行的性質
[例2]如圖所示,已知四邊形ABCD是正方形,四邊形ACEF是矩形,EF 平面ABCD,M是EF的中點.
(1)求證:AM∥平面BDE;
【解析】(1)記AC與BD的交點為O,連接OE(圖略).因為O,M分別是AC,EF的中點,四邊形ACEF是矩形,所以四邊形AOEM是平行四邊形,所以AM∥OE.
因為OE 平面BDE,AM 平面BDE,
所以AM∥平面BDE.
(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,試分析l與m的位置關系,并證明你的結論.
【解析】(2)l∥m,證明如下:由(1)知,AM∥平面BDE.
因為AM 平面ADM,平面ADM∩平面BDE=l,
所以l∥AM.
因為AM 平面ABM,平面ABM∩平面BDE=m,所以m∥AM,所以l∥m.
解題技法
1.判斷或證明線面平行的常用方法
(1)利用線面平行的定義(無公共點).
(2)利用線面平行的判定定理(a α,b α,a∥b a∥α).
(3)利用面面平行的性質(α∥β,a α a∥β).
(4)利用面面平行的性質(α∥β,a β,a∥α a∥β).
2.應用線面平行的性質定理的關鍵是確定交線的位置,有時需要經過已知直線作輔助平面確定交線.
對點訓練
　如圖,四邊形ABCD為矩形,PD=AB=2,AD=4,點E,F分別為AD,PC的中點.設平面PDC∩平面PBE=l.證明:
(1)DF∥平面PBE;
【證明】(1)取PB的中點G,連接FG,EG,
因為點F為PC的中點,
所以FG∥BC,FG=BC,
因為四邊形ABCD為矩形,所以BC∥AD,且BC=AD,
所以DE∥FG,DE=FG,所以四邊形DEGF為平行四邊形,
所以DF∥GE,因為DF 平面PBE,GE 平面PBE,所以DF∥平面PBE;
(2)DF∥l.
【證明】(2)由(1)知DF∥平面PBE,
又DF 平面PDC,平面PDC∩平面PBE=l,
所以DF∥l.
考點二平面與平面平行的判定與性質
考情提示
平面與平面平行作為空間平行關系的載體
因其全面考查平面與平面平行的判定定理與性質定理而成為高考的熱點.涉及空間平面與平面平行關系的判斷、證明以及在空間實際問題中的應用.
角度1 平面與平面平行的判定
[例3]如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中點,E,F,G分別是BC,DC,SC的中點,求證:
(1)EG∥平面BDD1B1;
【證明】(1)連接SB,如圖所示:
因為E,G分別是BC,SC的中點,所以EG∥SB,
又因為SB 平面BDD1B1,EG 平面BDD1B1,
所以直線EG∥平面BDD1B1;
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
【證明】(2)連接SD,如圖所示,
因為F,G分別是DC,SC的中點,
所以FG∥SD,
又因為SD 平面BDD1B1,FG 平面BDD1B1,
所以FG∥平面BDD1B1,
由(1)得EG∥平面BDD1B1,且EG 平面EFG,FG 平面EFG,EG∩FG=G,
所以平面EFG∥平面BDD1B1.
角度2 平面與平面平行的性質
[例4](2023·承德模擬)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3,點E在棱AA1上,點F在棱CC1上,G在棱BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是棱B1C1上一點.
(1)求證:E,B,F,D1四點共面;
【證明】(1)如圖,在DD1上取一點N使得DN=1,
連接CN,EN,則AE=DN=1.CF=ND1=2,
因為CF∥ND1,所以四邊形CFD1N是平行四邊形,所以D1F∥CN.
同理四邊形DNEA是平行四邊形,
所以EN∥AD,且EN=AD,
又BC∥AD,且AD=BC,
所以EN∥BC,EN=BC,
所以四邊形CNEB是平行四邊形,
所以CN∥BE,所以D1F∥BE,
所以E,B,F,D1四點共面;
(2)若平面A1GH∥平面BED1F,求證:H為B1C1的中點.
【證明】(2)因為平面A1GH∥平面BED1F,
平面BB1C1C∩平面A1HG=HG,
平面BB1C1C∩平面BED1F=BF,所以BF∥HG.
所以∠B1GH=∠FBG=∠CFB,在Rt△BCF中,tan∠CFB==,
在Rt△HB1G中,tan∠B1GH==B1H,
所以B1H=,即H為B1C1 的中點.
解題技法
1.證明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α,l⊥β α∥β).
(3)利用面面平行的傳遞性,即兩個平面同時平行于第三個平面,則這兩個平面平行(α∥β,β∥γ α∥γ).
2.當已知兩平面平行時,可以得出線面平行,如果要得出線線平行,必須是與第三個平面的交線平行.
對點訓練
　在三棱柱ABC-A1B1C1中,若點D,D1分別是AC,A1C1上的點,且平面BC1D∥平面AB1D1,試求的值.
【解析】連接A1B交AB1于O,連接OD1,
由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,
所以BC1∥D1O,同理可得AD1∥DC1,
所以==1,即D1為線段A1C1的中點,所以D為線段AC的中點,即=1.
考點三空間平行關系的綜合問題
[例5]在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,點E在PD上,且PE∶ED=2∶1,平面PAB∩平面PCD=l.
(1)證明:l∥CD;
【解析】(1)因為四邊形ABCD為菱形,
所以AB∥CD,又AB 平面PCD,CD 平面PCD,所以AB∥平面PCD,又AB 平面PAB,平面PAB∩平面PCD=l,
所以AB∥l,因為AB∥CD,所以l∥CD.
(2)在棱PC上是否存在一點F,使BF∥平面AEC 證明你的結論.
【解析】(2)當F是棱PC的中點時,BF∥平面AEC.
證明如下,如圖,取PE的中點M,連接FM,
由于M為PE的中點,F為PC的中點,
所以FM∥CE,由M為PE的中點,得EM=PE=ED,知E是MD的中點,
連接BM,BD,設BD∩AC=O,
因為四邊形ABCD是菱形,則O為BD的中點,
由于E是MD的中點,O是BD的中點,
所以BM∥OE,
由FM∥CE,BM∥OE知,平面BFM∥平面AEC,
又BF 平面BFM,所以BF∥平面AEC.
解題技法
存在性問題的解題策略
　解決這種存在性問題,尋找思路時可以先從特殊值(如中點)入手,驗證是否成立,若成立,先下結論再證明;若不成立,再借助線面平行、面面平行的判定與性質來尋求滿足結論的條件.
對點訓練
　如圖,在四棱錐P-ABCD中,△PAB是等邊三角形,
BC⊥AB,BC=CD=2,AB=AD=2.
(1)若PC=4,求三棱錐P-ABC的體積;
【解析】(1)因為△PAB是等邊三角形,AB=2,
所以PB=2.又因為PC=4,BC=2,
所以PC2=PB2+BC2,所以BC⊥PB.
又BC⊥AB,AB,PB 平面PAB,AB∩PB=B,
所以BC⊥平面PAB.
S△PAB=×2×2×sin 60°=,
所以三棱錐P-ABC的體積
V=S△PAB·BC=××2=2.
(2)若PB=3BE,則在線段BC上是否存在一點F,使平面AEF∥平面PCD 若存在,求線段BF的長;若不存在,請說明理由.
【解析】(2)在線段BC上存在一點F,使平面AEF∥平面PCD.
此時BF=.理由如下:
如圖,作EF∥PC,交BC于F,連接AF.
因為PB=3BE,所以E是PB的三等分點,可得BF=.
因為AB=AD=2,BC=CD=2,AC=AC,
所以△ABC≌△ADC,因為BC⊥AB,所以∠ABC=90°,
因為tan∠ACB===,
所以∠ACB=∠ACD=30°,所以∠BCD=60°,
因為tan∠AFB===,
所以∠AFB=60°,所以AF∥CD,
因為AF 平面PCD,CD 平面PCD,
所以AF∥平面PCD.
又EF∥PC,EF 平面PCD,PC 平面PCD,所以EF∥平面PCD.
因為AF∩EF=F,AF 平面AEF,EF 平面AEF,所以平面AEF∥平面PCD.
所以在線段BC上存在一點F,使平面AEF∥平面PCD.此時BF=.第三節　空間直線、平面的平行
【課標解讀】 【命題說明】
【課程標準】 1.從定義和基本事實出發,借助長方體,通過直觀感知,了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系的定義,歸納出有關平行的性質定理和判定定理,并加以證明. 2.能運用已獲得的結論證明空間基本圖形位置關系的簡單命題. 【核心素養】 直觀想象、邏輯推理. 考向 考法 高考命題常以空間幾何體為載體,考查直線、平面平行的判斷和證明.線面平行的證明是高考的熱點.常以解答題的形式出現.
預測 2025年高考這一部分知識仍會考查,以解答題第(1)問的形式出現,難度中檔.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.直線與平面平行
(1)直線與平面平行的定義
直線l與平面α沒有公共點,則稱直線l與平面α平行.
(2)判定定理與性質定理
項目 文字語言 圖形表示 符號表示
判定定理 如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,那么該直線與此平面平行 a α,b α, a∥b a∥α
性質定理 一條直線和一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行 a∥α,a β, α∩β=b a∥b
2.平面與平面平行
(1)平面與平面平行的定義
沒有公共點的兩個平面叫做平行平面.
(2)判定定理與性質定理
項目 文字語言 圖形表示 符號表示
判定定理 如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行,那么這兩個平面平行 a β,b β,a∩b=P, a∥α,b∥α α∥β
性質 兩個平面平行,則其中一個平面內的直線平行于另一個平面 α∥β,a α a∥β
性質定理 兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線平行 α∥β,α∩γ=a, β∩γ=b a∥b
微點撥
三種平行關系的轉化
常用結論
1.平行關系中的三個重要結論
(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行,即若a⊥α,a⊥β,則α∥β.
(2)平行于同一個平面的兩個平面平行,即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.
(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行,即若a⊥α,b⊥α,則a∥b.
2.平行關系有關的性質
(1)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等.
(2)兩條直線被三個平行平面所截,截得的對應線段成比例.
(3)同一條直線與兩個平行平面所成的角相等.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯
題號 1 2,4 3
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若一條直線和平面內一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行.(　×　)
(2)若直線a∥平面α,P∈α,則過點P且平行于直線a的直線有無數條.(　×　)
(3)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.(　×　)
(4)如果兩個平面平行,那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面.(　√　)
提示:(1)若一條直線和平面內的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行或在平面內,故(1)錯誤.
(2)若a∥α,P∈α,則過點P且平行于a的直線只有一條,故(2)錯誤.
(3)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面,則這兩個平面平行或相交,故(3)錯誤.
2.(必修二P138例3變形式)已知直線l和平面α,若l∥α,P∈α,則過點P且平行于l的直線(　　)
A.只有一條,不在平面α內
B.只有一條,且在平面α內
C.有無數條,一定在平面α內
D.有無數條,不一定在平面α內
3.(易忽略“a α”而致誤)兩條直線a,b滿足a∥b,b α,則a與平面α的位置關系一定是(　　)
A.a∥α B.a α
C.a與α相交 D.a與α不相交
4.(必修二P137例2變形式)如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,過A1B1的平面與平面ABC交于DE,則DE與AB的位置關系是(　　)
A.異面 B.平行
C.相交 D.以上均有可能
【核心考點·分類突破】
考點一直線與平面平行
考情提示
直線與平面平行作為空間平行關系的載體
因其全面考查直線與平面平行的判定、性質定理而成為高考的熱點,涉及空間平行關系的判斷、證明以及在實際問題中的應用.
角度1 直線與平面平行的判定
[例1]如圖所示的四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥CD,AD=BD=2,
∠BDC=,BC=2,PD⊥平面ABCD,FC=2PF.證明:AP∥平面BDF.
角度2 直線與平面平行的性質
[例2]如圖所示,已知四邊形ABCD是正方形,四邊形ACEF是矩形,EF 平面ABCD,M是EF的中點.
(1)求證:AM∥平面BDE;
(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,試分析l與m的位置關系,并證明你的結論.
解題技法
1.判斷或證明線面平行的常用方法
(1)利用線面平行的定義(無公共點).
(2)利用線面平行的判定定理(a α,b α,a∥b a∥α).
(3)利用面面平行的性質(α∥β,a α a∥β).
(4)利用面面平行的性質(α∥β,a β,a∥α a∥β).
2.應用線面平行的性質定理的關鍵是確定交線的位置,有時需要經過已知直線作輔助平面確定交線.
對點訓練
　如圖,四邊形ABCD為矩形,PD=AB=2,AD=4,點E,F分別為AD,PC的中點.設平面PDC∩平面PBE=l.證明:
(1)DF∥平面PBE;
(2)DF∥l.
考點二平面與平面平行的判定與性質
考情提示
平面與平面平行作為空間平行關系的載體
因其全面考查平面與平面平行的判定定理與性質定理而成為高考的熱點.涉及空間平面與平面平行關系的判斷、證明以及在空間實際問題中的應用.
角度1 平面與平面平行的判定
[例3]如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中點,E,F,G分別是BC,DC,SC的中點,求證:
(1)EG∥平面BDD1B1;
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
角度2 平面與平面平行的性質
[例4](2023·承德模擬)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3,點E在棱AA1上,點F在棱CC1上,G在棱BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是棱B1C1上一點.
(1)求證:E,B,F,D1四點共面;
(2)若平面A1GH∥平面BED1F,求證:H為B1C1的中點.
解題技法
1.證明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α,l⊥β α∥β).
(3)利用面面平行的傳遞性,即兩個平面同時平行于第三個平面,則這兩個平面平行(α∥β,β∥γ α∥γ).
2.當已知兩平面平行時,可以得出線面平行,如果要得出線線平行,必須是與第三個平面的交線平行.
對點訓練
　在三棱柱ABC-A1B1C1中,若點D,D1分別是AC,A1C1上的點,且平面BC1D∥平面AB1D1,試求的值.
考點三空間平行關系的綜合問題
[例5]在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,點E在PD上,且PE∶ED=2∶1,平面PAB∩平面PCD=l.
(1)證明:l∥CD;
(2)在棱PC上是否存在一點F,使BF∥平面AEC 證明你的結論.
解題技法
存在性問題的解題策略
　解決這種存在性問題,尋找思路時可以先從特殊值(如中點)入手,驗證是否成立,若成立,先下結論再證明;若不成立,再借助線面平行、面面平行的判定與性質來尋求滿足結論的條件.
對點訓練
　如圖,在四棱錐P-ABCD中,△PAB是等邊三角形,
BC⊥AB,BC=CD=2,AB=AD=2.
(1)若PC=4,求三棱錐P-ABC的體積;
(2)若PB=3BE,則在線段BC上是否存在一點F,使平面AEF∥平面PCD 若存在,求線段BF的長;若不存在,請說明理由.

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