資源簡介

第二節(jié)　等差數(shù)列
【課標解讀】
【課程標準】
1.理解等差數(shù)列的概念并掌握其通項公式與前n項和公式.
2.能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,并解決相應的問題.
3.體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.
【核心素養(yǎng)】
數(shù)學建模、數(shù)學運算、邏輯推理
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以等差數(shù)列為載體,考查基本量的運算、求和及性質(zhì)的應用.等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)是高考的熱點,常以選擇題的形式出現(xiàn).
預測 2025年高考將會從以下兩個角度來考查:(1)等差數(shù)列及其前n項和的基本運算與性質(zhì);(2)等差數(shù)列的綜合應用,可能與等比數(shù)列、函數(shù)、方程、不等式相結(jié)合考查.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.等差數(shù)列的有關(guān)概念
定義 如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,即-an=d(n∈N*,d為常數(shù))
通項 公式 設(shè){an}是首項為a1,公差為d的等差數(shù)列,則通項公式為an=a1+(n-1)d
等差 中項 由三個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列.這時,A叫做a與b的等差中項.根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道,2A=a+b
2.等差數(shù)列的前n項和公式
已知條件 前n項和公式
a1,an,n Sn=
a1,d,n Sn=na1+d
微點撥
(1)等差數(shù)列前n項和公式可變形為
Sn=n2+(a1-)n.當d≠0時,它是關(guān)于n的二次函數(shù),表示為Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù));
(2)a1>0,d<0,則Sn存在最大值.
a1<0,d>0,則Sn存在最小值.
3.等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)通項公式的推廣:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}為等差數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則ak,,,…(k,m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.
(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,則數(shù)列Sm,-Sm,-,…也是等差數(shù)列.
(5)若{an},{bn}是等差數(shù)列,則{pan+qbn}也是等差數(shù)列;
(6)若{an}是等差數(shù)列,則{}也成等差數(shù)列,其首項與{an}首項相同,公差是{an}公差的.
常用結(jié)論
1.已知數(shù)列{an}的通項公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列,且公差為p.
2.在等差數(shù)列{an}中,a1>0,d<0,則Sn存在最大值;若a1<0,d>0,則Sn存在最小值.
3.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性:當d>0時,{an}是遞增數(shù)列;當d<0時,{an}是遞減數(shù)列;當d=0時,{an}是常數(shù)列.
4.數(shù)列{an}是等差數(shù)列 Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)).
5.關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的結(jié)論
①若項數(shù)為2n,則S偶-S奇=nd,=;
②若項數(shù)為2n-1,則S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,=.
6.兩個等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和Sn,Tn之間的關(guān)系為=.
基礎(chǔ)診斷·自測
類型 辨析 易錯 高考
題號 1 3 2,4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù),則這個數(shù)列是等差數(shù)列.(　　)
提示:(1)第2項起每一項與它的前一項的差應是同一個常數(shù);
(2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(　　)
(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù).(　　)
提示: (3)如果數(shù)列為0,0,0,0,則其通項公式不是一次函數(shù).
(4)已知數(shù)列{an}的通項公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列.(　　)
2.(2023·全國甲卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a2+a6=10,a4a8=45,則S5=(　　)
A.25 B.22 C.20 D.15
3.(轉(zhuǎn)化條件不等價致誤)一個等差數(shù)列的首項為,從第10項起每項都比1大,則這個等差數(shù)列的公差d的取值范圍是(　　)
A.(,+∞) B.(-∞,)
C.(,) D.,]
【
4.(2022·全國乙卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若2S3=3S2+6,則公差d=　　　　.
【核心考點·分類突破】
考點一等差數(shù)列的基本量運算
1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a3+a5=4,S15=60,則a20=(　　)
A.4　 B.6　 C.10　 D.12
2.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=(　　)
A.-12　 B.-10　 C.10　 D.12
3.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,a4=11,且S3,S5,a22成等差數(shù)列,則S10=(　　)
A.145　 B.150　 C.155　 D.160
4.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,則S8=(　　)
A.72　 B.88　 C.92　 D.98
5.在等差數(shù)列{an}中,已知a2=5,am=7,am+3=10,則數(shù)列{an}的前m項和為(　　)
A.12　 B.22　 C.23　 D.25
解題技法
等差數(shù)列基本量運算的常見類型及解題策略
(1)求公差d或項數(shù)n:在求解時,一般要運用方程思想;
(2)求通項:a1和d是等差數(shù)列的兩個基本元素;
(3)求特定項:利用等差數(shù)列的通項公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解;
(4)求前n項和:利用等差數(shù)列的前n項和公式直接求解或利用等差中項間接求解.
考點二 等差數(shù)列的判定與證明
教考銜接 教材情境·研習·典題類
[例1](選擇性必修第二冊P25習題4.2T7(1))已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和.證明是等差數(shù)列.
【證明】設(shè)等差數(shù)列{an}首項為a1,公差為d,因為Sn=na1+d=n2+(a1-)n,所以=n+(a1-),所以-=n+(a1-)-=(n≥2),所以是以a1為首項,為公差的等差數(shù)列.
真題體驗
(2023·新高考Ⅰ卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,設(shè)甲:{an}為等差數(shù)列;乙:{為等差數(shù)列,則(　　)
A.甲是乙的充分條件但不是必要條件
B.甲是乙的必要條件但不是充分條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
解題技法
等差數(shù)列的判定與證明的常用方法
主要 方法 定義法 對任意n∈N*,an+1-an是同一常數(shù) {an}為等差數(shù)列.
等差中項法 2an+1=an+an+2 {an}為等差數(shù)列.
常用 結(jié)論 通項公式法 an=pn+q(p,q為常數(shù)) {an}是等差數(shù)列.
前n項和 公式法 Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)) {an}是等差數(shù)列.問題的最終判定還是利用定義
提醒:若要判定一個數(shù)列不是等差數(shù)列,則只需找出三項an,an+1,an+2,使得這三項不滿足2an+1=an+an+2即可.
對點訓練
已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.
(1)求a2,a3;
(2)證明:數(shù)列{}是等差數(shù)列,并求{an}的通項公式.
【加練備選】
　　已知數(shù)列{an}滿足a1=,an+1+=1.設(shè)bn=,證明{bn}是等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式.
考情提示
等差數(shù)列的性質(zhì)作為計算、推理的工具,在高考考查等差數(shù)列知識過程中無處不在,涉及條件的轉(zhuǎn)化,式子的變形,數(shù)值的運算等.
角度1　等差中項的應用與推廣
[例2](1)已知數(shù)列{an}滿足2an=an-1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,則a3+a4=
(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S9=18,=30(n>9),若Sn=336,則n的值為(　　)
A.18 B.19 C.20 D.21
[例3](1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9等于(　　)
A.63 B.45 C.36 D.27
(2)已知兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn,且=,則=　　　　.
角度3　等差數(shù)列求最值
[例4](一題多法)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=13,S3=S11,當Sn最大時,n的值是(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
解題技法
等差數(shù)列前n項和最值的求法
(1)函數(shù)法:利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)解析式Sn=an2+bn,通過配方結(jié)合圖象借助求二次函數(shù)最值的方法求解;
(2)鄰項變號法
①當a1>0,d<0時,滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm;
②當a1<0,d>0時,滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.
對點訓練
1.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S5=7,S10=21,則S15=(　　)
A.35　 B.42　 C.49　 D.63
2.(2023·重慶模擬)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若a1=-2 020,-=6,則S2 023=(　　)
A.2 023　 B.-2 023
C.4 046　 D.-4 046
3.在等差數(shù)列{an}中,a1=7,公差為d,前n項和為Sn,當且僅當n=8 時Sn取得最大值,則d的取值范圍為　　　　　　　　.
考點四等差數(shù)列在實際生活中的應用
[例5]“今有竹9節(jié),下部分3節(jié)總?cè)萘?升,上部分4節(jié)總?cè)萘?升,且自下而上每節(jié)容積成等差數(shù)列,問自下而上第四節(jié)和第五節(jié)容積各是多少 ”按此規(guī)律,自下而上第四節(jié)和第五節(jié)容積之和為(　　)
A. B. C. D.
解題技法
等差數(shù)列實際應用的解題策略
(1)審清題意,確定是否為等差問題,依據(jù)就是相鄰項之間的差是否為同一個常數(shù);
(2)對于等差問題,確定其首項、公差、項數(shù)、通項公式、前n項和,把實際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列基本量的運算.
對點訓練
我國二十四節(jié)氣依次為:大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、處暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒種、小滿、立夏、谷雨、清明、春分、驚蟄、雨水、立春,已知從冬至到夏至的日影長等量減少,若冬至、小雪、霜降三個節(jié)氣的日影長之和為34.5寸,冬至到秋分七個節(jié)氣的日影長之和為73.5寸,則立秋的日影長為(　　)
A. 1.5寸 B. 2.5寸
C. 3.5寸 D. 4.5寸第二節(jié)　等差數(shù)列
【課標解讀】
【課程標準】
1.理解等差數(shù)列的概念并掌握其通項公式與前n項和公式.
2.能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,并解決相應的問題.
3.體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.
【核心素養(yǎng)】
數(shù)學建模、數(shù)學運算、邏輯推理
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以等差數(shù)列為載體,考查基本量的運算、求和及性質(zhì)的應用.等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)是高考的熱點,常以選擇題的形式出現(xiàn).
預測 2025年高考將會從以下兩個角度來考查:(1)等差數(shù)列及其前n項和的基本運算與性質(zhì);(2)等差數(shù)列的綜合應用,可能與等比數(shù)列、函數(shù)、方程、不等式相結(jié)合考查.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.等差數(shù)列的有關(guān)概念
定義 如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,即-an=d(n∈N*,d為常數(shù))
通項 公式 設(shè){an}是首項為a1,公差為d的等差數(shù)列,則通項公式為an=a1+(n-1)d
等差 中項 由三個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列.這時,A叫做a與b的等差中項.根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道,2A=a+b
2.等差數(shù)列的前n項和公式
已知條件 前n項和公式
a1,an,n Sn=
a1,d,n Sn=na1+d
微點撥
(1)等差數(shù)列前n項和公式可變形為
Sn=n2+(a1-)n.當d≠0時,它是關(guān)于n的二次函數(shù),表示為Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù));
(2)a1>0,d<0,則Sn存在最大值.
a1<0,d>0,則Sn存在最小值.
3.等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)通項公式的推廣:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}為等差數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則ak,,,…(k,m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.
(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,則數(shù)列Sm,-Sm,-,…也是等差數(shù)列.
(5)若{an},{bn}是等差數(shù)列,則{pan+qbn}也是等差數(shù)列;
(6)若{an}是等差數(shù)列,則{}也成等差數(shù)列,其首項與{an}首項相同,公差是{an}公差的.
常用結(jié)論
1.已知數(shù)列{an}的通項公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列,且公差為p.
2.在等差數(shù)列{an}中,a1>0,d<0,則Sn存在最大值;若a1<0,d>0,則Sn存在最小值.
3.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性:當d>0時,{an}是遞增數(shù)列;當d<0時,{an}是遞減數(shù)列;當d=0時,{an}是常數(shù)列.
4.數(shù)列{an}是等差數(shù)列 Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)).
5.關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的結(jié)論
①若項數(shù)為2n,則S偶-S奇=nd,=;
②若項數(shù)為2n-1,則S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,=.
6.兩個等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和Sn,Tn之間的關(guān)系為=.
基礎(chǔ)診斷·自測
類型 辨析 易錯 高考
題號 1 3 2,4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù),則這個數(shù)列是等差數(shù)列.(　　)
提示:(1)第2項起每一項與它的前一項的差應是同一個常數(shù);
(2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(　　)
(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù).(　　)
提示: (3)如果數(shù)列為0,0,0,0,則其通項公式不是一次函數(shù).
(4)已知數(shù)列{an}的通項公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列.(　　)
答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.(2023·全國甲卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a2+a6=10,a4a8=45,則S5=(　　)
A.25 B.22 C.20 D.15
【解析】選C.等差數(shù)列{an}中,a2+a6=2a4=10,
所以a4=5,a4a8=5a8=45,故a8=9,
則d==1,a1=a4-3d=5-3=2,
則S5=5a1+d=10+10=20.
3.(轉(zhuǎn)化條件不等價致誤)一個等差數(shù)列的首項為,從第10項起每項都比1大,則這個等差數(shù)列的公差d的取值范圍是(　　)
A.(,+∞) B.(-∞,)
C.(,) D.,]
【解析】選D.由題意可得
即所以4.(2022·全國乙卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若2S3=3S2+6,則公差d=　　　　.
【解析】因為2S3=3S2+6,所以2(a1+a2+a3)=3(a1+a2)+6,化簡得3d=6,解得d=2.
答案:2
【核心考點·分類突破】
考點一等差數(shù)列的基本量運算
1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a3+a5=4,S15=60,則a20=(　　)
A.4　 B.6　 C.10　 D.12
【解析】選C.由題意得a4==2,S15=15a8=60,則a8=4,所以a20=a4+4(a8-a4)=2+4×(4-2)=10.
2.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=(　　)
A.-12　 B.-10　 C.10　 D.12
【解析】選B.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即d=-a1.又a1=2,所以d=-3,所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.
3.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,a4=11,且S3,S5,a22成等差數(shù)列,則S10=(　　)
A.145　 B.150　 C.155　 D.160
【解析】選C.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因為a4=11,所以S3==
3a2=3(11-2d),S5=5a3=5(11-d),a22=11+18d,
因為S3,S5,a22成等差數(shù)列,所以3(11-2d)+11+18d=10(11-d),所以d=3,a1=a4-3d=11-9=2,所以S10=10a1+45d=20+135=155.
4.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,則S8=(　　)
A.72　 B.88　 C.92　 D.98
【解析】選C.因為Sn+1=Sn+an+3,所以Sn+1-Sn=an+3=an+1,所以an+1-an=3,所以{an}是公差d=3的等差數(shù)列,又a4+a5=23,即2a1+7d=23,解得a1=1,所以S8=8a1+d=92.
5.在等差數(shù)列{an}中,已知a2=5,am=7,am+3=10,則數(shù)列{an}的前m項和為(　　)
A.12　 B.22　 C.23　 D.25
【解析】選B.數(shù)列{an}是等差數(shù)列,設(shè)公差為d,am+3=am+3d=7+3d=10,解得d=1,又a2=5,所以a1=4,所以am=4+(m-1)×1=7,解得m=4,所以數(shù)列{an}的前m項和為S4===22.
解題技法
等差數(shù)列基本量運算的常見類型及解題策略
(1)求公差d或項數(shù)n:在求解時,一般要運用方程思想;
(2)求通項:a1和d是等差數(shù)列的兩個基本元素;
(3)求特定項:利用等差數(shù)列的通項公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解;
(4)求前n項和:利用等差數(shù)列的前n項和公式直接求解或利用等差中項間接求解.
考點二 等差數(shù)列的判定與證明
教考銜接 教材情境·研習·典題類
[例1](選擇性必修第二冊P25習題4.2T7(1))已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和.證明是等差數(shù)列.
【證明】設(shè)等差數(shù)列{an}首項為a1,公差為d,因為Sn=na1+d=n2+(a1-)n,所以=n+(a1-),所以-=n+(a1-)-=(n≥2),所以是以a1為首項,為公差的等差數(shù)列.
真題體驗
(2023·新高考Ⅰ卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,設(shè)甲:{an}為等差數(shù)列;乙:{為等差數(shù)列,則(　　)
A.甲是乙的充分條件但不是必要條件
B.甲是乙的必要條件但不是充分條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【解析】選C.(解法一)甲:為等差數(shù)列,設(shè)其首項為a1,公差為d,則Sn=na1+d,
所以=n+(a1-),所以-=n+(a1-)-[(n-1)+ (a1-)]=,
因此為等差數(shù)列,則甲是乙的充分條件;
反之,乙:為等差數(shù)列,
即-==為常數(shù),設(shè)為t,
即=t,則Sn=nan+1-t·n(n+1),
則Sn-1=(n-1)an-t·n(n-1)(n≥2),
兩式相減得:an=nan+1-(n-1)an-2tn,
即an+1-an=2t,對n=1也成立,
因此為等差數(shù)列,則甲是乙的必要條件,所以甲是乙的充要條件,C正確.
(解法二)甲:為等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列的首項為a1,公差為d,則Sn=na1+d,
則=a1+d=n+a1-,
因此為等差數(shù)列,即甲是乙的充分條件;
反之,乙:為等差數(shù)列,
即-=D,=S1+(n-1)D,
即Sn=nS1+n(n-1)D,
Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D,
當n≥2時,兩式相減得:Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D,
當n=1時,上式成立,于是an=a1+2(n-1)D,又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D為常數(shù),因此為等差數(shù)列,則甲是乙的必要條件,所以甲是乙的充要條件.
[溯源點評]本題是教材習題的變式,融入了簡易邏輯知識,考查學生的基本功,即邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).
解題技法
等差數(shù)列的判定與證明的常用方法
主要 方法 定義法 對任意n∈N*,an+1-an是同一常數(shù) {an}為等差數(shù)列.
等差中項法 2an+1=an+an+2 {an}為等差數(shù)列.
常用 結(jié)論 通項公式法 an=pn+q(p,q為常數(shù)) {an}是等差數(shù)列.
前n項和 公式法 Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)) {an}是等差數(shù)列.問題的最終判定還是利用定義
提醒:若要判定一個數(shù)列不是等差數(shù)列,則只需找出三項an,an+1,an+2,使得這三項不滿足2an+1=an+an+2即可.
對點訓練
已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.
(1)求a2,a3;
【解析】(1)由已知,得a2-2a1=4,
則a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6.
由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,
所以a3=15.
(2)證明:數(shù)列{}是等差數(shù)列,并求{an}的通項公式.
【解析】(2)由已知nan+1-(n+1)an=2n(n+1),
得=2,
即-=2,
所以數(shù)列{}是首項為=1,公差d=2的等差數(shù)列.
則=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n.
【加練備選】
　　已知數(shù)列{an}滿足a1=,an+1+=1.設(shè)bn=,證明{bn}是等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式.
【解析】因為bn+1-bn=-=-=-=-=1,
所以數(shù)列{bn}是以1為公差的等差數(shù)列.又b1=3,所以bn=3+n-1=n+2,所以an=.
考點三等差數(shù)列的性質(zhì)
考情提示
等差數(shù)列的性質(zhì)作為計算、推理的工具,在高考考查等差數(shù)列知識過程中無處不在,涉及條件的轉(zhuǎn)化,式子的變形,數(shù)值的運算等.
角度1　等差中項的應用與推廣
[例2](1)已知數(shù)列{an}滿足2an=an-1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,則a3+a4=
(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】選B.因為2an=an-1+an+1(n≥2),
所以是等差數(shù)列.
由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2+a4+a6=3a4=12,a1+a3+a5=3a3=9,
所以a4=4,a3=3,所以a3+a4=3+4=7.
(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S9=18,=30(n>9),若Sn=336,則n的值為(　　)
A.18 B.19 C.20 D.21
【解析】選D.因為{an}是等差數(shù)列,
所以S9=9a5=18,a5=2,Sn===×32=16n=336,解得n=21.
角度2　等差數(shù)列求和
[例3](1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9等于(　　)
A.63 B.45 C.36 D.27
【解析】選B.由{an}是等差數(shù)列,得S3,S6-S3,S9-S6為等差數(shù)列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),得到S9-S6=2S6-3S3=45.
(2)已知兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn,且=,則=　　　　.
【解析】因為數(shù)列,為等差數(shù)列,且前n項和分別為An和Bn,
則=,且==,
又=,
所以===,
所以==×=.
答案:
角度3　等差數(shù)列求最值
[例4](一題多法)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=13,S3=S11,當Sn最大時,n的值是(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】選C.方法一 (鄰項變號法):由S3=S11,得a4+a5+…+a11=0,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),可得a7+a8=0.根據(jù)首項等于13可推知這個數(shù)列為遞減數(shù)列,從而得到a7>0,a8<0,故n=7時Sn最大.
方法二 (函數(shù)法):由S3=S11,可得3a1+3d=11a1+55d,把a1=13代入,得d=-2,故Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),知當n=7時Sn最大.
方法三 (圖象法):根據(jù)a1=13,S3=S11,知這個數(shù)列的公差不等于零,且這個數(shù)列的和是先遞增后遞減.根據(jù)公差不為零的等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù),以及二次函數(shù)圖象的對稱性,可得只有當n==7時,Sn取得最大值.
解題技法
等差數(shù)列前n項和最值的求法
(1)函數(shù)法:利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)解析式Sn=an2+bn,通過配方結(jié)合圖象借助求二次函數(shù)最值的方法求解;
(2)鄰項變號法
①當a1>0,d<0時,滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm;
②當a1<0,d>0時,滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.
對點訓練
1.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S5=7,S10=21,則S15=(　　)
A.35　 B.42　 C.49　 D.63
【解析】選B.在等差數(shù)列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10成等差數(shù)列,即7,14,S15-21成等差數(shù)列,所以7+(S15-21)=2×14,解得S15=42.
2.(2023·重慶模擬)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若a1=-2 020,-=6,則S2 023=(　　)
A.2 023　 B.-2 023
C.4 046　 D.-4 046
【解析】選C.因為{}為等差數(shù)列,設(shè)公差為d',
則-=6d'=6,所以d'=1,
首項為=-2 020,
所以=-2 020+(2 023-1)×1=2,
所以S2 023=2 023×2=4 046.
3.在等差數(shù)列{an}中,a1=7,公差為d,前n項和為Sn,當且僅當n=8 時Sn取得最大值,則d的取值范圍為　　　　　　　　.
【解析】由題意,當且僅當n=8時Sn有最大值,
可得
即
解得-1答案: (-1,-)
考點四等差數(shù)列在實際生活中的應用
[例5]“今有竹9節(jié),下部分3節(jié)總?cè)萘?升,上部分4節(jié)總?cè)萘?升,且自下而上每節(jié)容積成等差數(shù)列,問自下而上第四節(jié)和第五節(jié)容積各是多少 ”按此規(guī)律,自下而上第四節(jié)和第五節(jié)容積之和為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選A.依題意,令九節(jié)竹子從下到上的容積構(gòu)成的等差數(shù)列為{an},n∈N*,n≤9,其公差為d,于是得:,
即有,
解得a5=,d=-,
所以自下而上第四節(jié)和第五節(jié)容積之和為a4+a5=2a5-d=.
解題技法
等差數(shù)列實際應用的解題策略
(1)審清題意,確定是否為等差問題,依據(jù)就是相鄰項之間的差是否為同一個常數(shù);
(2)對于等差問題,確定其首項、公差、項數(shù)、通項公式、前n項和,把實際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列基本量的運算.
對點訓練
我國二十四節(jié)氣依次為:大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、處暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒種、小滿、立夏、谷雨、清明、春分、驚蟄、雨水、立春,已知從冬至到夏至的日影長等量減少,若冬至、小雪、霜降三個節(jié)氣的日影長之和為34.5寸,冬至到秋分七個節(jié)氣的日影長之和為73.5寸,則立秋的日影長為(　　)
A. 1.5寸 B. 2.5寸
C. 3.5寸 D. 4.5寸
【解析】選D.因為從冬至到夏至的日影長等量減少,所以日影長可構(gòu)成等差數(shù)列,由題意可知a1+a3+a5=34.5,則3a3=34.5,
故a3=11.5,又S7=(a1+a7)=7a4=73.5,
解得a4=10.5,
所以數(shù)列的公差為d=a4-a3=-1,a1=a4-3d=10.5+3=13.5,
所以立秋的日影長為a10=a1+9d=13.5-9=4.5.

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