資源簡介

第六節(jié)　數(shù)列的綜合應(yīng)用
【核心考點(diǎn)·分類突破】
考點(diǎn)一等差、等比數(shù)列的交匯(規(guī)范答題)
[例1](12分)(2023·新高考Ⅰ卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,且d>1,令bn=,記Sn,Tn分別為數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和.
(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若{bn}為等差數(shù)列,且S99-T99=99,求d.
審題導(dǎo)思破題點(diǎn)·柳暗花明
(1) 思路:根據(jù)等差數(shù)列的定義,靈活運(yùn)用給定的條件,即可得到所求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;同時(shí)幫助學(xué)生理解題設(shè)條件,以順利進(jìn)入第(2)問的情境.
(2) 思路:所給題設(shè)條件“{bn}為等差數(shù)列”要求學(xué)生能夠靈活轉(zhuǎn)化為求解數(shù)列{an}中公差與首項(xiàng)的關(guān)系,可以采用通性通法來解答.
規(guī)范答題微敲點(diǎn)·水到渠成
【解析】(1)因?yàn)?a2=3a1+a3,
所以3d=a1+2d,解得a1=d,…………1分
關(guān)鍵點(diǎn)　根據(jù)已知條件,列方程求出首項(xiàng)a1和公差d的關(guān)系.
所以S3=3a2=3(a1+d)=6d,
又T3=b1+b2+b3=++=,
所以S3+T3=6d+=21,
即2d2-7d+3=0,
解得d=3或d=(舍去), ……………………3分
所以an=a1+(n-1)d=3n,
所以的通項(xiàng)公式為an=3n. ……………………4分
閱卷現(xiàn)場　(1)沒有過程,只有an=3n得1分;
(2)結(jié)果正確時(shí)漏寫a1=d不扣分;
(3)d=漏寫只得1分.
(2)因?yàn)閎n=,且為等差數(shù)列,
所以2b2=b1+b3,即=+, ……………………6分
所以-=,
所以-3a1d+2d2=0,
解得a1=d或a1=2d. ……………………8分
傳技巧　取的前3項(xiàng),利用等差中項(xiàng)2b2=b1+b3,得到首項(xiàng)a1和公差d之間的關(guān)系.
解法一:①當(dāng)a1=d時(shí),an=nd,
所以bn===,
S99===99×50d,
T99===.
因?yàn)镾99-T99=99,
所以99×50d-=99,
關(guān)鍵點(diǎn)　利用S99-T99=99,列出關(guān)于d的方程,結(jié)果注意d>1.
即50d2-d-51=0,
解得d=或d=-1(舍去). ……………………10分
②當(dāng)a1=2d時(shí),an=(n+1)d,
所以bn===,
避易錯(cuò)　討論另一種情況,不可遺漏.
S99===99×51d,
T99===.
因?yàn)镾99-T99=99,
所以99×51d-=99,即51d2-d-50=0,
解得d=-(舍去)或d=1(舍去). ……………………11分
綜上,d=. ………………12分
解法二:因?yàn)镾99-T99=99,由等差數(shù)列的性質(zhì)知,且99a50-99b50=99,即a50-b50=1,
傳技巧　利用等差數(shù)列的性質(zhì),可以簡化運(yùn)算過程.列方程求出a50,注意由d>1可知an>0.
所以a50-=1,即a502-a50-2 550=0,
解得a50=51或a50=-50(舍去). ……………………10分
①當(dāng)a1=d時(shí),a50=a1+49d=50d=51,
解得d=.
②當(dāng)a1=2d時(shí),a50=a1+49d=51d=51,
解得d=1,與d>1矛盾,應(yīng)舍去. ……………………11分
綜上,d=. ………………………………12分
解法三:因?yàn)?都是等差數(shù)列,且anbn=n(n+1),
所以可設(shè)或, ………………………………9分
敲黑板　構(gòu)造新數(shù)列要考慮全面,少寫一組不得分.
(i)當(dāng)an=(n+1),bn=kn時(shí),
S99-T99=(2+3+…+100)-k(1+2+…+99)=99,即50k2+k-51=0,
解得k=-或k=1,因?yàn)閐=k>1,所以均不合題意. ……………………10分
(ii)當(dāng)an=kn,bn=(n+1)時(shí),
S99-T99=k(1+2+…+99)-(2+3+…+100)=99,即50k2-k-51=0,
解得k=或k=-1.
因?yàn)閐=k>1 ,所以k=,
所以d=. ………………………………12分
拓思維　高考命題強(qiáng)調(diào)“多思考,少運(yùn)算”的理念,試題面向全體學(xué)生,為考生搭建展示數(shù)學(xué)能力的平臺(tái).本解法根據(jù)給出的條件,巧妙的構(gòu)造新的數(shù)列,突破常規(guī)解法,靈活運(yùn)用數(shù)列知識(shí),解題方法“高人一招”,解題速度“快人一步”.
解題技法
等差、等比數(shù)列綜合問題的求解策略
1.基本方法:求解等差、等比數(shù)列組成的綜合問題,首先要根據(jù)數(shù)列的特征設(shè)出基本量,然后根據(jù)題目特征使用通項(xiàng)公式、求和公式、數(shù)列的性質(zhì)等建立方程(組),確定基本量;
2.基本思路:注意按照順序使用基本公式、等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)以及證明數(shù)列為等差、等比數(shù)列的方法確定解題思路.
對點(diǎn)訓(xùn)練
(2022·全國甲卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
已知+n=2an+1.
(1)證明:{an}是等差數(shù)列;
【解析】(1)由+n=2an+1,
得2Sn+n2=2ann+n①,
所以2Sn+1+(n+1)2=2an+1(n+1)+(n+1)②,
②-①,得2an+1+2n+1=2an+1(n+1)-2ann+1,
化簡得an+1-an=1,
所以數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列.
(2)若a4,a7,a9成等比數(shù)列,求Sn的最小值.
【解析】(2)由(1)知數(shù)列{an}的公差為1.
由a4,a7,a9成等比數(shù)列,得=a4a9,
即(a1+6)2=(a1+3)(a1+8),解得a1=-12,
所以Sn=-12n+==(n-)2-,
所以,當(dāng)n=12或n=13時(shí),(Sn)min=-78.
考點(diǎn)二數(shù)列與函數(shù)、向量的綜合
[例2](1)(2023·龍巖模擬)已知函數(shù)f(x)=x3+4x,記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若f(a1+2)=100,f(a2 022+2)=-100,則S2 022等于(　　)
A.-4 044 B.-2 022 C.2 022 D.4 044
【解析】選A.因?yàn)閒(-x)=-x3-4x=-f(x),
所以f(x)是奇函數(shù),
因?yàn)閒(a1+2)=100,f(a2 022+2)=-100,
所以f(a1+2)=-f(a2 022+2),
所以a1+2+a2 022+2=0,所以a1+a2 022=-4,
所以S2 022==-4 044.
(2)數(shù)列滿足a1=1,a2=5,若m=,n=,m·n=0,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為　　　　　　　.
【解析】由已知m·n=0,
得1×-2=0,
即-=2,
則是首項(xiàng)為a2-a1,公差為2的等差數(shù)列,
則an+1-an=+×2=2,
于是an=++…++a1=2n+2+…+2×2+1
=2+1=n2+n-1.
答案:an= n2+n-1
解題技法
數(shù)列與函數(shù)、向量的綜合問題的求解策略
(1)已知函數(shù)條件,解決數(shù)列問題,此類問題一般是利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題;
(2)已知數(shù)列條件,解決函數(shù)問題,解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形;
(3)涉及數(shù)列與三角函數(shù)有關(guān)的問題,常利用三角函數(shù)的周期性等特征,尋找規(guī)律后求解;
(4)涉及數(shù)列與向量有關(guān)的綜合問題,應(yīng)根據(jù)條件將向量式轉(zhuǎn)化為與數(shù)列有關(guān)的代數(shù)式求解.
對點(diǎn)訓(xùn)練
1.已知數(shù)列{an}滿足an+2-an+1=an+1-an,n∈N*,且a5=,若函數(shù)f(x)=sin 2x+2cos 2,記yn=f(an),則數(shù)列{yn}的前9項(xiàng)和為(　　)
A.0 B.-9 C.9 D.1
【解析】選C.由題意知數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
因?yàn)閍5=,所以a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=π.
f(x)=sin 2x+2cos2,所以f(x)=sin 2x+cos x+1,
所以f(a1)+f(a9)=sin 2a1+cos a1+1+sin 2a9+cos a9+1=2.
同理f(a2)+f(a8)=f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=2.
因?yàn)閒(a5)=1,所以數(shù)列{yn}的前9項(xiàng)和為9.
2.數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,則實(shí)數(shù)λ的最大值為　　　　.
【解析】因?yàn)閍4+λa10+a16=15,
所以a1+3d+λ(a1+9d)+a1+15d=15,
令λ=f(d)=-2,因?yàn)閐∈[1,2],
所以令t=1+9d,t∈[10,19],
因此λ=f(t)=-2.
當(dāng)t∈[10,19]時(shí),函數(shù)λ=f(t)是減函數(shù),
故當(dāng)t=10時(shí),實(shí)數(shù)λ有最大值,
最大值為f(10)=-.
答案:-
考點(diǎn)三數(shù)列與不等式的綜合
考情提示
數(shù)列不等式作為考查數(shù)列綜合知識(shí)的載體,因其全面考查數(shù)列的性質(zhì)、遞推公式、求和等知識(shí)而成為高考命題的熱點(diǎn),重點(diǎn)考查不等式的證明、參數(shù)范圍、最值等.
角度1 數(shù)列中的最值
[例3]公比為2的等比數(shù)列{an}中存在兩項(xiàng)am,an滿足aman=16,則+的最小值為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選A.由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知am=a1×2m-1,an=a1×2n-1,由aman=16,
可得×2m+n-2=16,易知a1≠0,
故2m+n-2=16,解得m+n=6,
則+=(m+n)·(+)=(1+++4)≥(5+2)=(當(dāng)且僅當(dāng)m=2,n=4時(shí)取等號).
角度2 數(shù)列中的不等式證明
[例4](2023·寧德模擬)已知數(shù)列,滿足bn=an+n2,a1+b1=3,a2+b2=8,且數(shù)列是等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
【解析】(1)由bn=an+n2得b1=a1+1,b2=a2+4,
代入a1+b1=3,a2+b2=8得2a1+1=3,2a2+4=8,解得a1=1,a2=2.
又因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列,
故公差為d=a2-a1=1,
因此an=n,bn=n+n2.
(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,求證:≤Sn<1.
【解析】(2)由(1)可得bn=n+n2,
所以==-,
所以Sn=+++…+=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-,又因?yàn)閚∈N*,
所以0<≤(n=1時(shí)等號成立),
所以≤1-<1,即≤Sn<1.
角度3 數(shù)列中的不等式恒成立
[例5]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=5-n,其前n項(xiàng)和為Sn,將數(shù)列{an}的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后,剩下三項(xiàng)按原來順序恰為等比數(shù)列{bn}的前3項(xiàng),記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.若存在m∈N*,使對任意n∈N*,Sn≤Tm+λ恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(　　)
A.[2,+∞) B.(3,+∞)
C.[3,+∞) D.(2,+∞)
【解析】選D.依題意得Sn==,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知,當(dāng)n=4,5時(shí),Sn取得最大值為10.另外,根據(jù)通項(xiàng)公式得數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為a1=4,a2=3,a3=2,a4=1,觀察易知抽掉第二項(xiàng)后,余下的三項(xiàng)可組成等比數(shù)列,所以數(shù)列{bn}中,b1=4,公比q=,所以Tn==8(1-),所以4≤Tn<8.因?yàn)榇嬖趍∈N*,對任意n∈N*,Sn≤Tm+λ恒成立,所以10<8+λ,所以λ>2.
解題技法
數(shù)列與不等式交匯問題的解題策略
(1)判斷數(shù)列問題的一些不等關(guān)系,可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小或借助數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性比較大小.
(2)考查與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題,此類問題一般采用放縮法進(jìn)行證明,有時(shí)也可通過構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明.
(3)數(shù)列中有關(guān)項(xiàng)或前n項(xiàng)和的恒成立問題,常轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問題;求項(xiàng)或前n項(xiàng)和的不等關(guān)系可以利用不等式的性質(zhì)或基本不等式求解.
對點(diǎn)訓(xùn)練
1.(2023·重慶模擬)設(shè)a>0,b>0,若3是3a與9b的等比中項(xiàng),則+的最小值為(　　)
A. B.3 C.+ D.4
【解析】選A.因?yàn)?是3a與9b的等比中項(xiàng),
所以32=3a·9b=3a+2b,所以a+2b=2,
所以+=·(+)·(a+2b)=(5++)≥·(5+2)=,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號.
2.數(shù)列{an}滿足a1=,an+1=,若不等式++…+A. B. C. D.
【解析】選A.因?yàn)閿?shù)列{an}滿足a1=,an+1=,所以反復(fù)代入計(jì)算可得a2=,a3=,a4=,a5=,…,由此可歸納出通項(xiàng)公式an=,經(jīng)驗(yàn)證,成立,所以=1+=1+-),所以++…+=n+1+(1+--)=
n+-+).因?yàn)橐?+…+3.(2023·南京模擬)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,a1=2,(n-2)Sn+1+2an+1=nSn,n∈N*.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
【解析】(1)(n-2)Sn+1+2an+1=nSn,
則(n-2)Sn+1+2(Sn+1-Sn)=nSn,
整理得到nSn+1=(n+2)Sn,故=,
故是常數(shù)列,故==1,
即Sn=n(n+1).
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n(n+1)-n(n-1)=2n,
驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)滿足,故an=2n,n∈N*.
(2)求證:++…+<.
【解析】(2)=<=-),
故++…+<+-+-+…+-)=+-)<+×=<.
考點(diǎn)四數(shù)學(xué)文化與數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
[例6](1)(2022·新高考Ⅱ卷)圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu),AA',BB',CC',DD'是桁,相鄰桁的水平距離稱為步,垂直距離稱為舉,圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖,其中DD1,CC1,BB1,AA1是舉,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相鄰桁的舉步之比分別為=0.5,=k1,=k2,=k3.已知k1,k2,k3成公差為0.1的等差數(shù)列,且直線OA的斜率為0.725,則k3=(　　)
A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9
【解析】選D.設(shè)OD1=DC1=CB1=BA1=1,
則CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3,
依題意,有k3-0.2=k1,k3-0.1=k2,
且=0.725,
所以=0.725,故k3=0.9.
(2)據(jù)統(tǒng)計(jì)測量,已知某養(yǎng)魚場,第一年魚的質(zhì)量增長率為200%,以后每年的增長率為前一年的一半.若飼養(yǎng)5年后,魚的質(zhì)量預(yù)計(jì)為原來的t倍.下列選項(xiàng)中,與t值最接近的是(　　)
A.11 B.13 C.15 D.17
【解析】選B.設(shè)魚原來的質(zhì)量為a,飼養(yǎng)n年后魚的質(zhì)量為an,q=200%=2,則a1=a(1+q),a2=a1(1+)=a(1+q) (1+),…,a5=a(1+2)×(1+1)×(1+)×(1+)×(1+)=
a≈12.7a,即5年后,魚的質(zhì)量預(yù)計(jì)為原來的13倍.
解題技法
數(shù)列在實(shí)際應(yīng)用中的常見模型
等差 模型 如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定的數(shù),則該模型是等差模型,這個(gè)固定的數(shù)就是公差
等比 模型 如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的非零常數(shù),則該模型是等比模型,這個(gè)固定的數(shù)就是公比
遞推 數(shù)列 模型 如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定,隨項(xiàng)的變化而變化,則應(yīng)考慮考查的是第n項(xiàng)an與第(n+1)項(xiàng)an+1(或者相鄰三項(xiàng)等)之間的遞推關(guān)系還是前n項(xiàng)和Sn與前(n+1)項(xiàng)和Sn+1之間的遞推關(guān)系
對點(diǎn)訓(xùn)練
1.(2023·武漢模擬)南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國古代數(shù)學(xué)研究作出了杰出貢獻(xiàn),他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》,該著作中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等差數(shù)列.以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例,其特點(diǎn)是從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個(gè)二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)為2,3,6,11,則該數(shù)列的第15項(xiàng)為(　　)
A.196 B.197 C.198 D.199
【解析】選C.設(shè)該數(shù)列為,
則a1=2,a2=3,a3=6,a4=11.由二階等差數(shù)列的定義可知,a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,…所以數(shù)列是以a2-a1=1為首項(xiàng),公差d=2的等差數(shù)列,即an+1-an=2n-1,所以a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,…,an+1-an=2n-1.
將所有上式累加可得an+1=a1+n2=n2+2,
所以a15=142+2=198,
即該數(shù)列的第15項(xiàng)為198.
2.隨著新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革持續(xù)推進(jìn),以數(shù)字化、網(wǎng)絡(luò)化、智能化以及融合化為主要特征的新型基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)越來越受到關(guān)注.5G基站建設(shè)就是“新基建”的眾多工程之一,截至2020年底,我國已累計(jì)開通5G基站超70萬個(gè),未來將進(jìn)一步完善基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)體系,穩(wěn)步推進(jìn)5G網(wǎng)絡(luò)建設(shè),實(shí)現(xiàn)主要城區(qū)及部分重點(diǎn)鄉(xiāng)鎮(zhèn)5G網(wǎng)絡(luò)覆蓋.若2021年1月計(jì)劃新建設(shè)5萬個(gè)5G基站,以后每個(gè)月比上一個(gè)月多建設(shè)1萬個(gè),預(yù)計(jì)我國累計(jì)開通500萬個(gè)5G基站時(shí)要到(參考數(shù)據(jù):≈59.34)
(　　)
A.2022年12月　 B.2023年2月
C.2023年4月　 D.2023年6月
【解析】選B.自2021年開始,每個(gè)月開通5G基站的個(gè)數(shù)是以5為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,
設(shè)預(yù)計(jì)我國累計(jì)開通500萬個(gè)5G基站需要n個(gè)月,則70+5n+×1=500,
化簡整理得,n2+9n-860=0,
解得n≈25.17或n≈-34.17(舍去),
所以預(yù)計(jì)我國累計(jì)開通500萬個(gè)5G基站需要26個(gè)月,也就是到2023年2月.第六節(jié)　數(shù)列的綜合應(yīng)用
【核心考點(diǎn)·分類突破】
考點(diǎn)一等差、等比數(shù)列的交匯(規(guī)范答題)
[例1](12分)(2023·新高考Ⅰ卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,且d>1,令bn=,記Sn,Tn分別為數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和.
(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若{bn}為等差數(shù)列,且S99-T99=99,求d.
審題導(dǎo)思破題點(diǎn)·柳暗花明
(1) 思路:根據(jù)等差數(shù)列的定義,靈活運(yùn)用給定的條件,即可得到所求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;同時(shí)幫助學(xué)生理解題設(shè)條件,以順利進(jìn)入第(2)問的情境.
(2) 思路:所給題設(shè)條件“{bn}為等差數(shù)列”要求學(xué)生能夠靈活轉(zhuǎn)化為求解數(shù)列{an}中公差與首項(xiàng)的關(guān)系,可以采用通性通法來解答.
規(guī)范答題微敲點(diǎn)·水到渠成
解題技法
等差、等比數(shù)列綜合問題的求解策略
1.基本方法:求解等差、等比數(shù)列組成的綜合問題,首先要根據(jù)數(shù)列的特征設(shè)出基本量,然后根據(jù)題目特征使用通項(xiàng)公式、求和公式、數(shù)列的性質(zhì)等建立方程(組),確定基本量;
2.基本思路:注意按照順序使用基本公式、等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)以及證明數(shù)列為等差、等比數(shù)列的方法確定解題思路.
對點(diǎn)訓(xùn)練
(2022·全國甲卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
已知+n=2an+1.
(1)證明:{an}是等差數(shù)列;
(2)若a4,a7,a9成等比數(shù)列,求Sn的最小值.
考點(diǎn)二數(shù)列與函數(shù)、向量的綜合
[例2](1)(2023·龍巖模擬)已知函數(shù)f(x)=x3+4x,記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若f(a1+2)=100,f(a2 022+2)=-100,則S2 022等于(　　)
A.-4 044 B.-2 022 C.2 022 D.4 044
(2)數(shù)列滿足a1=1,a2=5,若m=,n=,m·n=0,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為　　　　　　　.
解題技法
數(shù)列與函數(shù)、向量的綜合問題的求解策略
(1)已知函數(shù)條件,解決數(shù)列問題,此類問題一般是利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題;
(2)已知數(shù)列條件,解決函數(shù)問題,解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形;
(3)涉及數(shù)列與三角函數(shù)有關(guān)的問題,常利用三角函數(shù)的周期性等特征,尋找規(guī)律后求解;
(4)涉及數(shù)列與向量有關(guān)的綜合問題,應(yīng)根據(jù)條件將向量式轉(zhuǎn)化為與數(shù)列有關(guān)的代數(shù)式求解.
對點(diǎn)訓(xùn)練
1.已知數(shù)列{an}滿足an+2-an+1=an+1-an,n∈N*,且a5=,若函數(shù)f(x)=sin 2x+2cos 2,記yn=f(an),則數(shù)列{yn}的前9項(xiàng)和為(　　)
A.0 B.-9 C.9 D.1
2.數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,則實(shí)數(shù)λ的最大值為　　　　.
考點(diǎn)三數(shù)列與不等式的綜合
考情提示
數(shù)列不等式作為考查數(shù)列綜合知識(shí)的載體,因其全面考查數(shù)列的性質(zhì)、遞推公式、求和等知識(shí)而成為高考命題的熱點(diǎn),重點(diǎn)考查不等式的證明、參數(shù)范圍、最值等.
角度1 數(shù)列中的最值
[例3]公比為2的等比數(shù)列{an}中存在兩項(xiàng)am,an滿足aman=16,則+的最小值為(　　)
A. B. C. D.
角度2 數(shù)列中的不等式證明
[例4](2023·寧德模擬)已知數(shù)列,滿足bn=an+n2,a1+b1=3,a2+b2=8,且數(shù)列是等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,求證:≤Sn<1.
角度3 數(shù)列中的不等式恒成立
[例5]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=5-n,其前n項(xiàng)和為Sn,將數(shù)列{an}的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后,剩下三項(xiàng)按原來順序恰為等比數(shù)列{bn}的前3項(xiàng),記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.若存在m∈N*,使對任意n∈N*,Sn≤Tm+λ恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(　　)
A.[2,+∞) B.(3,+∞)
C.[3,+∞) D.(2,+∞)
解題技法
數(shù)列與不等式交匯問題的解題策略
(1)判斷數(shù)列問題的一些不等關(guān)系,可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小或借助數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性比較大小.
(2)考查與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題,此類問題一般采用放縮法進(jìn)行證明,有時(shí)也可通過構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明.
(3)數(shù)列中有關(guān)項(xiàng)或前n項(xiàng)和的恒成立問題,常轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問題;求項(xiàng)或前n項(xiàng)和的不等關(guān)系可以利用不等式的性質(zhì)或基本不等式求解.
對點(diǎn)訓(xùn)練
1.(2023·重慶模擬)設(shè)a>0,b>0,若3是3a與9b的等比中項(xiàng),則+的最小值為(　　)
A. B.3 C.+ D.4
2.數(shù)列{an}滿足a1=,an+1=,若不等式++…+A. B. C. D.
3.(2023·南京模擬)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,a1=2,(n-2)Sn+1+2an+1=nSn,n∈N*.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求證:++…+<.
考點(diǎn)四數(shù)學(xué)文化與數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
[例6](1)(2022·新高考Ⅱ卷)圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu),AA',BB',CC',DD'是桁,相鄰桁的水平距離稱為步,垂直距離稱為舉,圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖,其中DD1,CC1,BB1,AA1是舉,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相鄰桁的舉步之比分別為=0.5,=k1,=k2,=k3.已知k1,k2,k3成公差為0.1的等差數(shù)列,且直線OA的斜率為0.725,則k3=(　　)
A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9
(2)據(jù)統(tǒng)計(jì)測量,已知某養(yǎng)魚場,第一年魚的質(zhì)量增長率為200%,以后每年的增長率為前一年的一半.若飼養(yǎng)5年后,魚的質(zhì)量預(yù)計(jì)為原來的t倍.下列選項(xiàng)中,與t值最接近的是(　　)
A.11 B.13 C.15 D.17
解題技法
數(shù)列在實(shí)際應(yīng)用中的常見模型
等差 模型 如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定的數(shù),則該模型是等差模型,這個(gè)固定的數(shù)就是公差
等比 模型 如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的非零常數(shù),則該模型是等比模型,這個(gè)固定的數(shù)就是公比
遞推 數(shù)列 模型 如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定,隨項(xiàng)的變化而變化,則應(yīng)考慮考查的是第n項(xiàng)an與第(n+1)項(xiàng)an+1(或者相鄰三項(xiàng)等)之間的遞推關(guān)系還是前n項(xiàng)和Sn與前(n+1)項(xiàng)和Sn+1之間的遞推關(guān)系
對點(diǎn)訓(xùn)練
1.(2023·武漢模擬)南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國古代數(shù)學(xué)研究作出了杰出貢獻(xiàn),他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》,該著作中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等差數(shù)列.以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例,其特點(diǎn)是從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個(gè)二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)為2,3,6,11,則該數(shù)列的第15項(xiàng)為(　　)
A.196 B.197 C.198 D.199
2.隨著新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革持續(xù)推進(jìn),以數(shù)字化、網(wǎng)絡(luò)化、智能化以及融合化為主要特征的新型基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)越來越受到關(guān)注.5G基站建設(shè)就是“新基建”的眾多工程之一,截至2020年底,我國已累計(jì)開通5G基站超70萬個(gè),未來將進(jìn)一步完善基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)體系,穩(wěn)步推進(jìn)5G網(wǎng)絡(luò)建設(shè),實(shí)現(xiàn)主要城區(qū)及部分重點(diǎn)鄉(xiāng)鎮(zhèn)5G網(wǎng)絡(luò)覆蓋.若2021年1月計(jì)劃新建設(shè)5萬個(gè)5G基站,以后每個(gè)月比上一個(gè)月多建設(shè)1萬個(gè),預(yù)計(jì)我國累計(jì)開通500萬個(gè)5G基站時(shí)要到(參考數(shù)據(jù):≈59.34)
(　　)
A.2022年12月　 B.2023年2月
C.2023年4月　 D.2023年6月

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