資源簡介

第三節　等比數列
【課標解讀】
【課程標準】
1.理解等比數列的概念并掌握其通項公式與前n項和公式.
2.能在具體的問題情境中,發現數列的等比關系,并解決相應的問題.
3.體會等比數列與指數函數的關系.
【核心素養】
數學建模、數學運算、邏輯推理.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以等比數列為載體,考查基本量的運算、求和及性質的應用.等差數列與等比數列的綜合應用是高考的熱點,在各個題型中均有出現.
預測 高考會從以下兩個角度來考查:(1)等比數列及其前n項和的基本運算與性質,可能與等差數列綜合出題,難度中等;(2)等比數列的綜合應用,可能與函數、方程、不等式結合考查.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.等比數列的有關概念
定義 一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(不為零),那么這個數列叫做等比數列
通項 公式 設{an}是首項為a1,公比為q的等比數列,則通項公式an=a1qn-1.推廣:an=am(m,n∈N*)
等比 中項 如果在a與b中間插入一個數G,使a,G,b成等比數列,那么G叫做a與b的等比中項.此時,G2=ab
微點撥
(1)等比數列中不含有0項;
(2)同號的兩個數才有等比中項,且等比中項有兩個,它們互為相反數.
2.等比數列的前n項和公式
微點撥
在運用等比數列的前n項和公式時,必須注意對q=1與q≠1分類討論,防止因忽略q=1這一特殊情形而導致解題失誤.
3.等比數列與指數函數的關系
等比數列的通項公式可整理為an=·qn,而y=·qx(q≠1)是一個不為0的常數與指數函數qx的乘積,從圖象上看,表示數列·qn中的各項的點是函數y=·qx的圖象上孤立的點.
4.等比數列的性質
(1)對任意的正整數m,n,p,q,若m+n=p+q,則am·an=ap·aq.
特別地,若m+n=2p,則am·an=.
(2)若等比數列前n項和為Sn,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等比數列(公比q≠-1).
(3)數列{an}是等比數列,則數列{pan}(p≠0,p是常數)也是等比數列.
(4)在等比數列{an}中,等距離取出若干項也構成一個等比數列,即an,an+k,an+2k,
an+3k,…為等比數列,公比為qk.
(5)等比數列{an}的單調性:
當q>1,a1>0或0當q>1,a1<0或00時,數列{an}是遞減數列;
當q=1時,數列{an}是常數列.
常用結論
1.若數列{an},{bn}(項數相同)是等比數列,則數列{c·an}(c≠0),{|an|},{},{},
{an·bn},{}也是等比數列.
2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即斷言{an}為等比數列,還要驗證a1≠0.
3.等比數列{an}的前n項和Sn,可以寫成Sn=Aqn-A(A≠0,q≠1,0).
4.三個數成等比數列,通常設為,x,xq;四個符號相同的數成等比數列,通常設為,,xq,xq3.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2 3 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)滿足an+1=qan(n∈N*,q為常數)的數列{an}為等比數列.(　　)
(2)三個數a,b,c成等比數列的充分不必要條件是b2=ac.(　　)
(3)數列{an}的通項公式是an=an,則其前n項和為Sn=.(　　)
(4)如果數列{an}為正項等比數列,則數列{ln an}是等差數列.(　　)
2.(選擇性必修第二冊P29例1·變形式)若{an}是各項均為正數的等比數列,且a1=1,a5=16,則a6-a5=(　　)
A.32 B.-48 C.16 D.-48或16
3.(忽視前n項和的條件致誤)等比數列{an}中,a3=6,前三項和S3=18,則公比q的值為(　　)
A.1 B.- C.1或- D.-1或-
4.(2022·全國乙卷)已知等比數列{an}的前3項和為168,a2-a5=42,則a6=(　　)
A.14　 B.12　 C.6　 D.3
【核心考點·分類突破】
考點一等比數列基本量的運算
1.正項等比數列{an}的前n項和為Sn.若a3=,S3=7,則a5=(　　)
A.8　 B.16　 C.27　 D.81
2.設正項等比數列{an}的前n項和為Sn,若8a1=2S3-3a2,S2=a3-2,則S8=(　　)
A.510　 B.511　 C.1 022　 D.1 023
3.(多選題)(2024·成都調研)已知等比數列{an}的各項均為正數,且3a1,a3,2a2成等差數列,則下列說法正確的是(　　)
A.a1>0　 B.q>0
C.=3或-1　 D.=9
4.在等比數列{an}中,若a4-a2=6,a5-a1=15,則a3=　　　　　.
5.設Sn為等比數列{an}的前n項和.若a1=,=a6,則S5=　　　　　.
6.已知數列{an}為等比數列,a1=3,3a1,2a2,a3成等差數列,則數列{an}的前n項和Sn=　　　　　.
解題技法
解決等比數列有關問題的兩種常用思想
(1)方程思想:等比數列基本量的運算是等比數列中的一類基本問題,等比數列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)便可迎刃而解.
(2)分類討論思想:等比數列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論,當q=1時,{an}的前n項和Sn=na1;當q≠1時,{an}的前n項和Sn==.
考點二等比數列的判定與證明
[例1](1)設n∈N*,則“數列{an}為等比數列”是“數列為等比數列”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
(2)已知數列{an}中,a1=1且2an+1=6an+2n-1(n∈N*),
①求證:數列為等比數列;
②求數列{an}的通項公式.
解題技法
等比數列的判定方法
定義法 若=q(q為非零常數,n∈N*)或=q(q為非零常數且n≥2,n∈N*),則{an}是等比數列
等比中項法 若數列{an}中,an≠0且=an·(n∈N*),則{an}是等比數列
對點訓練
數列{an}中,a1=2,an+1=an(n∈N*).
證明:數列{}是等比數列,并求數列{an}的通項公式.
【加練備選】
　　成等差數列的三個正數的和等于15,并且這三個數分別加上2,5,13后成為等比數列{bn}中的b3,b4,b5.
(1)求數列{bn}的通項公式;
(2)數列{bn}的前n項和為Sn,求證:數列{Sn+}是等比數列.
考點三等比數列性質的應用
考情提示
等比數列的性質作為解決等比數列問題的工具,因其考查數列知識較全面而成為高考命題的熱點,重點解決基本量運算、條件轉化等.
角度1　等比數列項的性質
[例2](1)已知等比數列{an}的各項均為正數,且a5a6+a4a7=16,則log2a1+log2a2+…
+log2a10=(　　)
A.20　 B.15
C.8　 D.3+log25
(2)已知各項均為正數的等比數列的前n項和為Sn,a2a4=9,9S4=10S2,則a2+a4的值為(　　)
A.30 B.10 C.9 D.6
角度2　等比數列前n項和的性質
[例3](1)(2021·全國甲卷)記Sn為等比數列{an}的前n項和.若S2=4,S4=6,則S6=(　　)
A.7　 B.8　 C.9　 D.10
(2)已知正項等比數列{an}的前n項和為Sn,且S8-2S4=5,則a9+a10+a11+a12的最小值為(　　)
A.10 B.15 C.20 D.25
角度3　等比數列的單調性及最值
[例4](1)已知{an}是等比數列,a1>0,前n項和為Sn,則“2S8A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
(2)(多選題)設等比數列{an}的公比為q,其前n項和為Sn,前n項積為Tn,并滿足條件a1>1,a2 023a2 024>1,<0,下列結論正確的是(　　)
A.S2 023B.a2 023a2 025-1<0
C.T2 024是數列{Tn}中的最大值
D.數列{Tn}無最大值
解題技法
1.應用等比數列性質的兩個關注點
(1)轉化意識:在等比數列中,兩項之積可轉化為另外兩項之積或某項的平方,這是最常用的性質.
(2)化歸意識:把非等比數列問題轉化為等比數列問題解決,例如有關Sm,S2m,S3m的問題可利用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(Sm≠0)成等比數列求解.
2.等比數列的單調性的應用方法
研究等比數列的單調性問題,要綜合考慮首項的符號以及公比的取值范圍,而涉及等比數列有關的單調性的充分必要條件問題,既要考慮數列的單調性也要善于舉反例說明.
對點訓練
1.在等比數列{an}中,a1,a17是方程x2-14x+9=0的兩根,則的值為(　　)
A.　 B.3　 C.±　 D.±3
2.已知等比數列{an}共有2n項,其和為-240,且奇數項的和比偶數項的和大80,則公比q=　　　　　. 第三節　等比數列
【課標解讀】
【課程標準】
1.理解等比數列的概念并掌握其通項公式與前n項和公式.
2.能在具體的問題情境中,發現數列的等比關系,并解決相應的問題.
3.體會等比數列與指數函數的關系.
【核心素養】
數學建模、數學運算、邏輯推理.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以等比數列為載體,考查基本量的運算、求和及性質的應用.等差數列與等比數列的綜合應用是高考的熱點,在各個題型中均有出現.
預測 高考會從以下兩個角度來考查:(1)等比數列及其前n項和的基本運算與性質,可能與等差數列綜合出題,難度中等;(2)等比數列的綜合應用,可能與函數、方程、不等式結合考查.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.等比數列的有關概念
定義 一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(不為零),那么這個數列叫做等比數列
通項 公式 設{an}是首項為a1,公比為q的等比數列,則通項公式an=a1qn-1.推廣:an=am(m,n∈N*)
等比 中項 如果在a與b中間插入一個數G,使a,G,b成等比數列,那么G叫做a與b的等比中項.此時,G2=ab
微點撥
(1)等比數列中不含有0項;
(2)同號的兩個數才有等比中項,且等比中項有兩個,它們互為相反數.
2.等比數列的前n項和公式
微點撥
在運用等比數列的前n項和公式時,必須注意對q=1與q≠1分類討論,防止因忽略q=1這一特殊情形而導致解題失誤.
3.等比數列與指數函數的關系
等比數列的通項公式可整理為an=·qn,而y=·qx(q≠1)是一個不為0的常數與指數函數qx的乘積,從圖象上看,表示數列·qn中的各項的點是函數y=·qx的圖象上孤立的點.
4.等比數列的性質
(1)對任意的正整數m,n,p,q,若m+n=p+q,則am·an=ap·aq.
特別地,若m+n=2p,則am·an=.
(2)若等比數列前n項和為Sn,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等比數列(公比q≠-1).
(3)數列{an}是等比數列,則數列{pan}(p≠0,p是常數)也是等比數列.
(4)在等比數列{an}中,等距離取出若干項也構成一個等比數列,即an,an+k,an+2k,
an+3k,…為等比數列,公比為qk.
(5)等比數列{an}的單調性:
當q>1,a1>0或0當q>1,a1<0或00時,數列{an}是遞減數列;
當q=1時,數列{an}是常數列.
常用結論
1.若數列{an},{bn}(項數相同)是等比數列,則數列{c·an}(c≠0),{|an|},{},{},
{an·bn},{}也是等比數列.
2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即斷言{an}為等比數列,還要驗證a1≠0.
3.等比數列{an}的前n項和Sn,可以寫成Sn=Aqn-A(A≠0,q≠1,0).
4.三個數成等比數列,通常設為,x,xq;四個符號相同的數成等比數列,通常設為,,xq,xq3.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2 3 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)滿足an+1=qan(n∈N*,q為常數)的數列{an}為等比數列.(　　)
提示:(1)×.q不能為0;
(2)三個數a,b,c成等比數列的充分不必要條件是b2=ac.(　　)
提示: (2)√.當a=b=c=0時滿足b2=ac,但不是等比數列;
(3)數列{an}的通項公式是an=an,則其前n項和為Sn=.(　　)
提示: (3)×.a=1時不成立;
(4)如果數列{an}為正項等比數列,則數列{ln an}是等差數列.(　　)
提示: (4)√.an>0,設an=a1qn-1,則ln an=ln a1+(n-1)ln q是等差數列.
2.(選擇性必修第二冊P29例1·變形式)若{an}是各項均為正數的等比數列,且a1=1,a5=16,則a6-a5=(　　)
A.32 B.-48 C.16 D.-48或16
【解析】選C.由題意,q>0,則q=2,所以a6-a5=a5(q-1)=16.
3.(忽視前n項和的條件致誤)等比數列{an}中,a3=6,前三項和S3=18,則公比q的值為(　　)
A.1 B.- C.1或- D.-1或-
【解析】選C.因為S3=18,a3=6,所以a1+a2=
(1+q)=12,故2q2-q-1=0,解得q=1或q=-.
4.(2022·全國乙卷)已知等比數列{an}的前3項和為168,a2-a5=42,則a6=(　　)
A.14　 B.12　 C.6　 D.3
【解析】選D.設等比數列{an}的首項為a1,公比為q,
由題意可得即
解得所以a6=a1q5=3.
【核心考點·分類突破】
考點一等比數列基本量的運算
1.正項等比數列{an}的前n項和為Sn.若a3=,S3=7,則a5=(　　)
A.8　 B.16　 C.27　 D.81
【解析】選B.設正項等比數列{an}的公比為q(q>0).由a3=,可得a3=q2,
所以a2=q,a1=1,
所以S3=a1+a2+a3=1+q+q2=7,
解得q=2(q=-3舍去),
所以a5=a1q4=1×24=16.
2.設正項等比數列{an}的前n項和為Sn,若8a1=2S3-3a2,S2=a3-2,則S8=(　　)
A.510　 B.511　 C.1 022　 D.1 023
【解析】選A.設正項等比數列{an}的公比為q(q>0),則由2S3=3a2+8a1得2a1+2a2+2a3=3a2+8a1,
即6a1+a2-2a3=0,即a1(6+q-2q2)=0,又a1≠0,所以6+q-2q2=0,
解得q=2或q=-(舍去).
由S2=a3-2得a1=2,所以S8==29-2=510.
3.(多選題)(2024·成都調研)已知等比數列{an}的各項均為正數,且3a1,a3,2a2成等差數列,則下列說法正確的是(　　)
A.a1>0　 B.q>0
C.=3或-1　 D.=9
【解析】選ABD.設等比數列{an}的公比為q,
由題意得2(a3)=3a1+2a2,即a1q2=3a1+2a1q.
因為數列{an}的各項均為正數,所以a1>0,且q>0,故A,B正確;
由q2-2q-3=0,解得q=3或q=-1(舍去),
所以=q=3,=q2=9,故C錯誤,D正確.
4.在等比數列{an}中,若a4-a2=6,a5-a1=15,則a3=　　　　　.
【解析】設等比數列{an}的公比為q(q≠0且q≠±1),則兩式相除,得=,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=.
所以或故a3=4或a3=-4.
答案:4或-4
5.設Sn為等比數列{an}的前n項和.若a1=,=a6,則S5=　　　　　.
【解析】由=a6得(a1q3)2=a1q5,整理得q==3.
所以S5===.
答案:
6.已知數列{an}為等比數列,a1=3,3a1,2a2,a3成等差數列,則數列{an}的前n項和Sn=　　　　　.
【解析】設數列{an}的公比為q,由題意知4a2=3a1+a3,即4q=3+q2,解得q=1或q=3,
當q=1時,Sn=3n;
當q=3時,Sn=·3n+1-.
答案:3n或·3n+1-
解題技法
解決等比數列有關問題的兩種常用思想
(1)方程思想:等比數列基本量的運算是等比數列中的一類基本問題,等比數列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)便可迎刃而解.
(2)分類討論思想:等比數列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論,當q=1時,{an}的前n項和Sn=na1;當q≠1時,{an}的前n項和Sn==.
考點二等比數列的判定與證明
[例1](1)設n∈N*,則“數列{an}為等比數列”是“數列為等比數列”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
【解析】選A.充分性:若數列為等比數列,公比為q,所以數列為公比為的等比數列,充分性成立;必要性:若數列為等比數列,公比為q,則=±,所以數列不是等比數列,必要性不成立.
(2)已知數列{an}中,a1=1且2an+1=6an+2n-1(n∈N*),
①求證:數列為等比數列;
【解析】①因為2an+1=6an+2n-1(n∈N*),
所以an+1=3an+n-,
所以===3,因為a1+=1+=,
所以數列是首項為,公比為3的等比數列.
②求數列{an}的通項公式.
【解析】②由①得,an+=×3n-1=×3n,
所以an=×3n-.
解題技法
等比數列的判定方法
定義法 若=q(q為非零常數,n∈N*)或=q(q為非零常數且n≥2,n∈N*),則{an}是等比數列
等比中項法 若數列{an}中,an≠0且=an·(n∈N*),則{an}是等比數列
對點訓練
數列{an}中,a1=2,an+1=an(n∈N*).
證明:數列{}是等比數列,并求數列{an}的通項公式.
【解析】由題設得=·,
又=2,
所以數列{}是首項為2,公比為的等比數列,
所以=2×()n-1=22-n,an=n·22-n=.
【加練備選】
　　成等差數列的三個正數的和等于15,并且這三個數分別加上2,5,13后成為等比數列{bn}中的b3,b4,b5.
(1)求數列{bn}的通項公式;
【解析】(1)設成等差數列的三個正數分別為a-d,a,a+d,
依題意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5.
所以數列中的b3,b4,b5依次為7-d,10,18+d.
依題意,
有(7-d)(18+d)=100,
解得d=2或d=-13(舍去),
故數列的第3項為5,公比為2.
由b3=b1·22,即5=b1·22,解得b1=.
所以數列是以為首項,以2為公比的等比數列,
其通項公式為bn=·2n-1=5·2n-3.
(2)數列{bn}的前n項和為Sn,求證:數列{Sn+}是等比數列.
【解析】(2)數列的前n項和Sn==5·2n-2-,即Sn+=5·2n-2,
所以S1+=,==2.
因此{Sn+}是以為首項,以2為公比的等比數列.
考點三等比數列性質的應用
考情提示
等比數列的性質作為解決等比數列問題的工具,因其考查數列知識較全面而成為高考命題的熱點,重點解決基本量運算、條件轉化等.
角度1　等比數列項的性質
[例2](1)已知等比數列{an}的各項均為正數,且a5a6+a4a7=16,則log2a1+log2a2+…
+log2a10=(　　)
A.20　 B.15
C.8　 D.3+log25
【解析】選B.因為{an}是等比數列,所以a5a6=a4a7,故a5a6+a4a7=2a5a6=16,解得a5a6=8,
所以log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1a2·…·a10)=log2=5log2(a5a6)
=5log28=15.
(2)已知各項均為正數的等比數列的前n項和為Sn,a2a4=9,9S4=10S2,則a2+a4的值為(　　)
A.30 B.10 C.9 D.6
【解析】選B.已知為各項均為正數的等比數列,則an>0,可得a1>0,q>0,
因為=a2a4=9, 所以a3=3,
又因為9S4=10S2,則9(a1+a2+a3+a4)=10(a1+a2),
可得9(a3+a4)=a1+a2,
所以=q2=,解得q=,
故a2+a4=+a3q=10.
角度2　等比數列前n項和的性質
[例3](1)(2021·全國甲卷)記Sn為等比數列{an}的前n項和.若S2=4,S4=6,則S6=(　　)
A.7　 B.8　 C.9　 D.10
【解析】選A.方法一:設數列{an}的公比為q,因為S2=4,S4=6,則易知公比q≠±1,所以由等比數列的前n項和公式,
得兩式相除,得q2=,所以
或所以S6==7.
方法二:易知S2,S4-S2,S6-S4構成等比數列,
由等比中項的性質得S2(S6-S4)=(S4-S2)2,
即4(S6-6)=22,所以S6=7.
(2)已知正項等比數列{an}的前n項和為Sn,且S8-2S4=5,則a9+a10+a11+a12的最小值為(　　)
A.10 B.15 C.20 D.25
【解析】選C.由題意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8,
由S8-2S4=5,可得S8-S4=S4+5.
又由等比數列的性質知S4,S8-S4,S12-S8成等比數列,
則S4(S12-S8)=(S8-S4)2.
于是a9+a10+a11+a12=S12-S8==S4++10≥2+10=20,
當且僅當S4=5時等號成立.
所以a9+a10+a11+a12的最小值為20.
角度3　等比數列的單調性及最值
[例4](1)已知{an}是等比數列,a1>0,前n項和為Sn,則“2S8A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
【解析】選B.因為數列是等比數列,a1>0,2S8所以a80,所以q<0或q>1,
所以2S81.
又a1>0,數列為遞增數列的充要條件為q>1,
所以“2S8(2)(多選題)設等比數列{an}的公比為q,其前n項和為Sn,前n項積為Tn,并滿足條件a1>1,a2 023a2 024>1,<0,下列結論正確的是(　　)
A.S2 023B.a2 023a2 025-1<0
C.T2 024是數列{Tn}中的最大值
D.數列{Tn}無最大值
【解析】選AB.當q<0時,a2 023a2 024=q<0,不成立;
當q≥1時,a2 023>1,a2 024>1,>0,不成立;
故01,0S2 023,A正確;
a2 023a2 025-1=-1<0,故B正確;
T2 023是數列{Tn}中的最大值,C,D錯誤.
解題技法
1.應用等比數列性質的兩個關注點
(1)轉化意識:在等比數列中,兩項之積可轉化為另外兩項之積或某項的平方,這是最常用的性質.
(2)化歸意識:把非等比數列問題轉化為等比數列問題解決,例如有關Sm,S2m,S3m的問題可利用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(Sm≠0)成等比數列求解.
2.等比數列的單調性的應用方法
研究等比數列的單調性問題,要綜合考慮首項的符號以及公比的取值范圍,而涉及等比數列有關的單調性的充分必要條件問題,既要考慮數列的單調性也要善于舉反例說明.
對點訓練
1.在等比數列{an}中,a1,a17是方程x2-14x+9=0的兩根,則的值為(　　)
A.　 B.3　 C.±　 D.±3
【解析】選B.因為a1,a17是方程x2-14x+9=0的兩根,所以a1a17=9,a1+a17=14,所以a1>0,a17>0.又數列{an}為等比數列,所以a1a17=a2a16==9,且a9>0,所以a9=3,因此=a9=3.
2.已知等比數列{an}共有2n項,其和為-240,且奇數項的和比偶數項的和大80,則公比q=　　　　　.
【解析】由題意,得
解得
所以q===2.
答案:2

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