資源簡(jiǎn)介

第四節(jié)　求通項(xiàng)公式
【核心考點(diǎn)·分類(lèi)突破】
模型一形如an+1=pan+q
[例1](1)數(shù)列{an}滿(mǎn)足an=4an-1+3(n≥2)且a1=0,則a2 025等于(　　)
A.22 024-1　 B.42 024-1
C.22 024+1　 D.42 024+1
(2)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,且=+2,則an=　　　　　　　　.
解題技法
形如an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)
第①步:假設(shè)將遞推公式改寫(xiě)為an+1+t=p(an+t)的形式;
第②步:由待定系數(shù)法,解得t=;
第③步:寫(xiě)出數(shù)列{an+}的通項(xiàng)公式;
第④步:寫(xiě)出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
已知在數(shù)列{an}中,a1=1,且an+1+2an+3=0,n∈N*,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S6=　　　　　.
模型二形如an+1=pan+qn+c
[例2]已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=2an-n+1(n∈N*),a1=3,則an=　　　　　.
解題技法
形如an+1=pan+qn+c(p≠0,1,q≠0)
第①步:假設(shè)將遞推公式改寫(xiě)為an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y)的形式;
第②步:由待定系數(shù)法,求出x,y的值;
第③步:寫(xiě)出數(shù)列{an+xn+y}的通項(xiàng)公式;
第④步:寫(xiě)出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
已知a1=1,當(dāng)n≥2時(shí),an=an-1+2n-1,則an=　　　　　　　　　.
模型三形如an+1=pan+qn
[例3]在數(shù)列{an}中,a1=-1,an+1=2an+4·3n-1,則an=　　　　　.
解題技法
形如an+1=pan+qn(p≠0,1,q≠0,1)
第①步:在遞推公式兩邊同除以qn+1,得=·+.
第②步:求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式.
(i)當(dāng)p=q時(shí),原式可以變形為=+的形式,則數(shù)列{}為等差數(shù)列;
(ii)當(dāng)p≠q時(shí),原式可以變形為+λ=·(+λ)的形式,則數(shù)列{+λ}為等比數(shù)列.
第③步:寫(xiě)出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
已知數(shù)列{an}中,a1=,an+1=an+()n+1,則an=　　　　　.
[例4](1)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足:a1=a2=2,an=3an-1+4an-2(n≥3),則a9+a10等于(　　)
A.47　 B.48　 C.49　 D.410
(2)已知在數(shù)列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),則an=　　　　　　　　　.
解題技法
形如an+1=pan+qan-1
(其中p,q為常數(shù),且pq≠0,n≥2)
第①步:假設(shè)將遞推公式改寫(xiě)成an+1+san=t(an+san-1);
第②步:利用待定系數(shù)法,求出s,t的值;
第③步:求數(shù)列{an+1+san}的通項(xiàng)公式;
第④步:根據(jù)數(shù)列{an+1+san}的通項(xiàng)公式,求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
數(shù)列{an}中,a1=1,a2=,an+2=an+1-an,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
[例5]已知在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=,則an=　　　　　　　　.
解題技法
形如an+1=(其中p,q,r均不為0)
第①步:將遞推公式兩邊取倒數(shù)得=·+;
第②步:利用模型一中的構(gòu)造法,求出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式;
第③步:求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
(多選題)數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=(n∈N*),a1=1,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.=+　 B.{}是等比數(shù)列
C.(2n-1)an=1　 D.3a5a17=a49第四節(jié)　求通項(xiàng)公式
【核心考點(diǎn)·分類(lèi)突破】
模型一形如an+1=pan+q
[例1](1)數(shù)列{an}滿(mǎn)足an=4an-1+3(n≥2)且a1=0,則a2 025等于(　　)
A.22 024-1　 B.42 024-1
C.22 024+1　 D.42 024+1
【解析】選B.因?yàn)閍n=4an-1+3(n≥2),
所以an+1=4(an-1+1)(n≥2),
所以{an+1}是以1為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列,
則an+1=4n-1.
所以an=4n-1-1,所以a2 025=42 024-1.
(2)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,且=+2,則an=　　　　　　　　.
【解析】因?yàn)?+2,等式兩邊同時(shí)加1整理得+1=3(+1),
又因?yàn)閍1=1,所以+1=2,
所以{+1}是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列.
所以+1=2·3n-1,所以an=.
答案:
解題技法
形如an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)
第①步:假設(shè)將遞推公式改寫(xiě)為an+1+t=p(an+t)的形式;
第②步:由待定系數(shù)法,解得t=;
第③步:寫(xiě)出數(shù)列{an+}的通項(xiàng)公式;
第④步:寫(xiě)出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
已知在數(shù)列{an}中,a1=1,且an+1+2an+3=0,n∈N*,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S6=　　　　　.
【解析】因?yàn)閍n+1=-2an-3,
所以an+1+1=-2(an+1),
因?yàn)閍1+1=2≠0,所以數(shù)列{an+1}是以2為首項(xiàng),-2為公比的等比數(shù)列,
所以an+1=2×(-2)n-1,
即an=2×(-2)n-1-1,Sn=[1-(-2)n]-n,
所以S6=×(1-26)-6=-48.
答案:-48
模型二形如an+1=pan+qn+c
[例2]已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=2an-n+1(n∈N*),a1=3,則an=　　　　　.
【解析】因?yàn)閍n+1=2an-n+1,
設(shè)an+1+x(n+1)+y=2(an+xn+y),化簡(jiǎn)后an+1=2an+xn+y-x,對(duì)比原式解方程組得x=-1,y=0,
即an+1-(n+1)=2(an-n),
所以=2,
即數(shù)列{an-n}是以a1-1=2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,則an-n=2·2n-1=2n,
所以an=2n+n.
答案:2n+n
解題技法
形如an+1=pan+qn+c(p≠0,1,q≠0)
第①步:假設(shè)將遞推公式改寫(xiě)為an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y)的形式;
第②步:由待定系數(shù)法,求出x,y的值;
第③步:寫(xiě)出數(shù)列{an+xn+y}的通項(xiàng)公式;
第④步:寫(xiě)出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
已知a1=1,當(dāng)n≥2時(shí),an=an-1+2n-1,則an=　　　　　　　　　.
【解析】設(shè)an+pn+q=[an-1+p(n-1)+q],
即an=an-1-pn-p-q,
與原式比較,對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得,
解得
首項(xiàng)a1-4+6=3,
所以{an-4n+6}是3為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,
所以an-4n+6=3·()n-1,
所以an=3·()n-1+4n-6.
答案:3·()n-1+4n-6
模型三形如an+1=pan+qn
[例3]在數(shù)列{an}中,a1=-1,an+1=2an+4·3n-1,則an=　　　　　.
【解析】方法一:原遞推式可化為
an+1+λ·3n=2(an+λ·3n-1).①
比較系數(shù)得λ=-4,①式即是an+1-4·3n=2(an-4·3n-1).
則數(shù)列{an-4·3n-1}是首項(xiàng)為a1-4×31-1=-5,公比為2的等比數(shù)列,
所以an-4·3n-1=-5·2n-1,
即an=4·3n-1-5·2n-1.
方法二:將an+1=2an+4·3n-1的兩邊同除以3n+1,得=·+,
設(shè)bn=,則bn+1=bn+,
設(shè)bn+1+k=(bn+k),比較系數(shù)得k=-,則=,
所以{bn-}是以-為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.所以bn-=(-)·()n-1,
則bn=-·()n-1,
所以an=3n·bn=4·3n-1-5·2n-1.
答案:4·3n-1-5·2n-1
解題技法
形如an+1=pan+qn(p≠0,1,q≠0,1)
第①步:在遞推公式兩邊同除以qn+1,得=·+.
第②步:求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式.
(i)當(dāng)p=q時(shí),原式可以變形為=+的形式,則數(shù)列{}為等差數(shù)列;
(ii)當(dāng)p≠q時(shí),原式可以變形為+λ=·(+λ)的形式,則數(shù)列{+λ}為等比數(shù)列.
第③步:寫(xiě)出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
已知數(shù)列{an}中,a1=,an+1=an+()n+1,則an=　　　　　.
【解析】方法一:構(gòu)造數(shù)列an+1+λ()n+1=[an+λ()n],
化簡(jiǎn)成原式結(jié)構(gòu),得an+1=an-λ()n+1,
由對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得λ=-3,
設(shè)bn=an-3()n,b1=a1-3()1=-,
所以數(shù)列{bn}是以-為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,則bn=-)n-1,
所以an=-.
方法二:將an+1=an+()n+1兩邊同乘2n+1,
得2n+1·an+1=(2n·an)+1.
令bn=2n·an,則bn+1=bn+1,又回到了模型一的方法,根據(jù)待定系數(shù)法,
得bn+1-3=(bn-3),所以數(shù)列{bn-3}是首項(xiàng)為b1-3=2×-3=-,公比為的等比數(shù)列,所以bn-3=-·()n-1,
即bn=3-2·()n,
所以an==-.
方法三:將an+1=an+()n+1兩邊分別除以()n+1,
得3n+1an+1=3nan+()n+1.
令bn=3n·an,則bn+1=bn+()n+1,
所以bn-bn-1=()n,bn-1-bn-2=()n-1,…,b2-b1=()2.
將以上各式疊加,得bn-b1=()2+…+()n-1+()n.
又b1=3a1=3×==1+,
所以bn=1++()2+…+()n-1+()n==2·()n+1-2,
所以an==-.
答案:-
模型四形如an+1=pan+qan-1
[例4](1)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足:a1=a2=2,an=3an-1+4an-2(n≥3),則a9+a10等于(　　)
A.47　 B.48　 C.49　 D.410
【解析】選C.由題意得a1+a2=4,
由an=3an-1+4an-2(n≥3),
得an+an-1=4(an-1+an-2),
即=4(n≥3),
所以數(shù)列{an+an+1}是首項(xiàng)為4,公比為4的等比數(shù)列,所以a9+a10=49.
(2)已知在數(shù)列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),則an=　　　　　　　　　.
【解析】因?yàn)閍n=2an-1+3an-2(n≥3),
所以an+an-1=3(an-1+an-2),
又a1+a2=7,
所以{an+an-1}是首項(xiàng)為7,公比為3的等比數(shù)列,
則an+an-1=7×3n-2①,n≥2,
又an-3an-1=-(an-1-3an-2)(n≥3),
a2-3a1=-13,
所以{an-3an-1}是首項(xiàng)為-13,公比為-1的等比數(shù)列,
則an-3an-1=(-13)·(-1)n-2②,n≥2,
①×3+②得,4an=7×3n-1+13·(-1)n-1,
所以an=×3n-1+(-1)n-1,n≥2.
當(dāng)n=1時(shí),a1=5也滿(mǎn)足上式.
則an=×3n-1+(-1)n-1.
答案:×3n-1+(-1)n-1
解題技法
形如an+1=pan+qan-1
(其中p,q為常數(shù),且pq≠0,n≥2)
第①步:假設(shè)將遞推公式改寫(xiě)成an+1+san=t(an+san-1);
第②步:利用待定系數(shù)法,求出s,t的值;
第③步:求數(shù)列{an+1+san}的通項(xiàng)公式;
第④步:根據(jù)數(shù)列{an+1+san}的通項(xiàng)公式,求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
數(shù)列{an}中,a1=1,a2=,an+2=an+1-an,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
【解析】由an+2=an+1-an,
得an+2-an+1=(an+1-an),
故{an+1-an}是以a2-a1=為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,即an+1-an=()n,
利用疊加法將an+1-an=()n,…,a2-a1=,
上式全部相加,利用等比數(shù)列求和得an+1-a1=2-2()n,所以an=3-2()n-1.
模型五形如an+1=型
[例5]已知在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=,則an=　　　　　　　　.
【解析】因?yàn)?3·+1,
所以+=3(+),+=1,
所以{+}是以1為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,
所以+=3n-1,
所以=3n-1-,所以an=.
答案:
解題技法
形如an+1=(其中p,q,r均不為0)
第①步:將遞推公式兩邊取倒數(shù)得=·+;
第②步:利用模型一中的構(gòu)造法,求出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式;
第③步:求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
(多選題)數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=(n∈N*),a1=1,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.=+　 B.{}是等比數(shù)列
C.(2n-1)an=1　 D.3a5a17=a49
【解析】選ABC.由an+1=,
可得==+2,所以-=2,且=1,所以數(shù)列{}是等差數(shù)列,且該數(shù)列的首項(xiàng)為1,公差為2,所以=1+2(n-1)=2n-1,
則(2n-1)an=1,其中n∈N*,故C對(duì);
==22=4,所以數(shù)列{}是等比數(shù)列,故B對(duì);
由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得=+,故A對(duì);
由上可知an=,則3a5a17=3××=,a49==,
所以3a5a17≠a49,故D錯(cuò).

展開(kāi)更多......

收起↑