資源簡介

第一節　數列的概念
【課標解讀】
【課程標準】
1.了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).
2.了解數列是自變量為正整數的一類特殊函數.
3.能夠利用an與Sn的關系求數列的通項公式.
4.能根據數列遞推關系求數列的項或通項公式.
【核心素養】
數學抽象、數學運算、邏輯推理.
【命題說明】
考向 考法 高考題常以數列的概念為載體,考查數列項、前n項和及其與通項公式的關系.Sn和an的關系是高考熱點,在各種題型中都會有所體現.
預測 2025年高考會以特殊數列為主,考查數列的通項公式與前n項和公式以及遞推公式,在選擇題、填空題或解答題中都會出現,難度適中.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.數列的有關概念
概念 含　義
數列 按照確定的順序排列的一列數
數列的項 數列中的每一個數
數列的通項 數列{an}的第n項an
通項公式 數列{an}的第n項與序號n之間的關系式
前n項和 數列{an}中,Sn=a1+a2+…+an
2.數列的表示法
列表法 列表格表示n與an的對應關系
圖象法 把點(n,an)畫在平面直角坐標系中
公 式 法 通項公式 把數列的通項使用公式表示的方法
遞推公式 使用初始值a1和an與an+1的關系式或a1,a2和an-1,an,an+1的關系式等表示數列的方法
函數法 an=f(n),n∈N*
微點撥(1)并不是所有的數列都有通項公式;
(2)數列的通項公式不唯一;(3)歸納與猜想是研究數列的重要方法.
3.數列的分類
單 調 性 遞增數列 n∈N*,an+1>an
遞減數列 n∈N*,an+1常數列 n∈N*,an+1=an
擺動數列 從第2項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項的數列
周期性 n∈N*,存在正整數k,an+k=an
微點撥(1)數列的單調性可以類比數列的通項公式對應的函數解析式在區間(0,+∞)上的單調性;(2)可以把數列函數化,利用函數方法研究數列的單調性.
4.數列的前n項和
數列{an}的前n項和Sn=a1+a2+a3+…++an,則an=
常用結論
1.若數列{an}的前n項和為Sn,通項公式為an,則an=
2.在數列{an}中,n≥2,若an最大,則
若an最小,則
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編
題號 1 2,3,4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)數列5,2,0與2,0,5是同一個數列.(　　)
(2)根據數列的前幾項歸納出的數列的通項公式可能不止一個.(　　)
(3)任何一個數列不是遞增數列,就是遞減數列.(　　)
(4)如果數列{an}的前n項和為Sn,則對 n∈N*,都有an=Sn-Sn-1.(　　)
2.(選擇性必修第二冊P5例2·變形式)數列0,,,,…的一個通項公式為(　　)
A.an= B.an= C.an= D.an=
3.(選擇性必修第二冊P6例5·變形式)數列1,3,6,10,15,…的遞推公式可以是(　　)
A.an+1=an+n,n∈N*
B.an=an-1+n,n≥2,n∈N*
C.an+1=an+(n+1),n≥2,n∈N*
D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2
4.(選擇性必修第二冊P4例1·變形式)已知數列{an}滿足 an=,則S3=　　　　.
【核心考點·分類突破】
考點一由數列的前幾項求數列的通項公式
1.已知數列{an}的前4項依次為2,6,12,20,則數列{an}的通項公式可能是(　　)
A.an=4n-2 B.an=2n+2(n-1)
C.an=n2+n D.an=3n-1+2n-1
2.在數列1,2,,,,…中,2是這個數列的(　　)
A.第16項　 B.第24項
C.第26項　 D.第28項
3.(2024·菏澤聯考)觀察下列圖形中小正方形的個數,則第n個圖中的小正方形的個數f(n)=(　　)
A.　 B.
C.　 D.
4.(多選題)已知數列的前4項為2,0,2,0,則以此歸納該數列的通項可能是(　　)
A.an=(-1)n-1+1　 B.an=
C.an=2sin 　 D.an=cos(n-1)π+1
5.根據數列的前幾項,寫出下列各數列的一個通項公式.
(1)數列,,,,,…的通項公式是an=　　　　　.
(2)數列-1,7,-13,19,…的通項公式是an=　　　　　.
(3)數列5,55,555,5 555,…的通項公式是an=　　　　　.
(4)數列1,0,,0,,0,,0,…的通項公式是an=　　　　　.
解題技法
由數列的前幾項求通項公式的方法
(1)根據所給數列的前幾項求其通項公式時,需仔細觀察分析,抓住其幾方面的特征:分式中分子、分母的各自特征;相鄰項的聯系特征;拆項后的各部分特征;符號特征.應多進行對比、分析,從整體到局部多角度觀察、歸納、聯想.
(2)對于正負符號變化,可用(-1)n或(-1)n+1來調整.
考點二已知Sn或Sn與an的關系求an
[例1]金榜原創·易錯對對碰
若數列{an}的前n項和Sn=2n+1,則數列的通項公式為an=　　　　.
若數列{an}的前n項和Sn=2n-1,則數列的通項公式為an=　　　　.
解題技法
1.已知Sn求an的三個步驟
(1)利用a1=S1求出a1.
(2)用n-1替換Sn中的n得到一個新的關系式,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出當n≥2時an的解析式.
(3)對n=1時的結果進行檢驗,看是否符合n≥2時an的解析式,如果符合,則可以把數列的通項公式合寫;如果不符合,則應該分n=1與n≥2兩段來寫.
2.已知Sn與an的關系求an的兩個方法
(1)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)消去Sn,轉化為an與an-1的關系求an;
(2)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)消去an,轉化為Sn與Sn-1的關系,求出Sn后再求an.
提醒:當n≥2時推出的關系不包含n=1的情況,因此需要驗證n=1時是否成立,如果成立,則合并表示,如果不成立,則分段表示.
對點訓練
1.已知正項數列{an}中,++…+=,則數列{an}的通項公式為(　　)
A.an=n B.an=n2
C.an= D.an=
2.記Sn為數列{an}的前n項和,若Sn=2an+1,則Sn=　　　　.
【加練備選】
1.已知數列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+nan=2n,則an=　　　　.
2.已知數列的前n項和Sn=3n+b,求的通項公式.
考點三數列的性質及其應用
考情提示
數列可以看作是一類特殊的函數,因此要用函數的知識、函數的思想方法來解決;數列的單調性、周期性是高考常考內容.涉及數列的最大項、最小項,數列的有界性問題均可借助數列的單調性來解決.
角度1　數列的單調性
[例2](1)已知數列{an}的通項公式是an=,那么這個數列是(　　)
A.遞增數列　 B.遞減數列
C.擺動數列　 D.常數列
(2)已知數列{an}的通項公式為an=,若數列{an}為遞減數列,則實數k的取值范圍為(　　)
A.(3,+∞) B.(2,+∞)
C.(1,+∞) D.(0,+∞)
角度2　數列的最值
[例3](1)(2024·合肥質檢)若數列{an}的前n項積bn=1-n,則an的最大值與最小值之和為(　　)
A.-　 B.　 C.2　 D.
(2)已知數列{an}的通項公式為an=,則數列中的最大項為　　　　　.
角度3　數列的周期性
[例4](1)在數列{an}中,an+1=若a1=,則a2 023的值為(　　)
A.　 B.　 C.　 D.
(2)(2024·哈爾濱質檢)已知數列{an}的前n項積為Tn,a1=2且an+1=1-,
則T2 024=　　　　　.
解題技法
1.解決數列單調性問題的方法
(1)作差比較法:根據an+1-an的符號判斷數列{an}是遞增數列、遞減數列或常數列.
(2)作商比較法:根據(an>0或an<0)與“1”的大小關系進行判斷.
(3)函數圖象法:結合相應函數的圖象直觀判斷.
2.求數列的最大項或最小項的常用方法
(1)函數法:利用函數的單調性求最值.
(2)利用,(n≥2)確定最大項,利用,(n≥2)確定最小項.
3.解決數列周期性問題的方法
先根據已知條件求出數列的前幾項,確定數列的周期,再根據周期性求值.
對點訓練
1.已知數列{an}中,a1=,an+1=,則a2 025=(　　)
A.-2 B. C.- D.3
2.(多選題)在數列{an}中,an=(n+1)()n,則數列{an}中的最大項可以是(　　)
A.第6項　 B.第7項　
C.第8項　 D.第9項
3.(2024·內江模擬)若數列{an}的通項公式an滿足nan=n2+17,則數列{an}中的項的最小值為　　　　.
【加練備選】
　　 (2024·濰坊模擬)已知數列{an}滿足an=若 n∈N*,
an+1A.(,)　 B.(,)
C.(,]　 D.(,1)第一節　數列的概念
【課標解讀】
【課程標準】
1.了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).
2.了解數列是自變量為正整數的一類特殊函數.
3.能夠利用an與Sn的關系求數列的通項公式.
4.能根據數列遞推關系求數列的項或通項公式.
【核心素養】
數學抽象、數學運算、邏輯推理.
【命題說明】
考向 考法 高考題常以數列的概念為載體,考查數列項、前n項和及其與通項公式的關系.Sn和an的關系是高考熱點,在各種題型中都會有所體現.
預測 2025年高考會以特殊數列為主,考查數列的通項公式與前n項和公式以及遞推公式,在選擇題、填空題或解答題中都會出現,難度適中.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.數列的有關概念
概念 含　義
數列 按照確定的順序排列的一列數
數列的項 數列中的每一個數
數列的通項 數列{an}的第n項an
通項公式 數列{an}的第n項與序號n之間的關系式
前n項和 數列{an}中,Sn=a1+a2+…+an
2.數列的表示法
列表法 列表格表示n與an的對應關系
圖象法 把點(n,an)畫在平面直角坐標系中
公 式 法 通項公式 把數列的通項使用公式表示的方法
遞推公式 使用初始值a1和an與an+1的關系式或a1,a2和an-1,an,an+1的關系式等表示數列的方法
函數法 an=f(n),n∈N*
微點撥(1)并不是所有的數列都有通項公式;
(2)數列的通項公式不唯一;(3)歸納與猜想是研究數列的重要方法.
3.數列的分類
單 調 性 遞增數列 n∈N*,an+1>an
遞減數列 n∈N*,an+1常數列 n∈N*,an+1=an
擺動數列 從第2項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項的數列
周期性 n∈N*,存在正整數k,an+k=an
微點撥(1)數列的單調性可以類比數列的通項公式對應的函數解析式在區間(0,+∞)上的單調性;(2)可以把數列函數化,利用函數方法研究數列的單調性.
4.數列的前n項和
數列{an}的前n項和Sn=a1+a2+a3+…++an,則an=
常用結論
1.若數列{an}的前n項和為Sn,通項公式為an,則an=
2.在數列{an}中,n≥2,若an最大,則
若an最小,則
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編
題號 1 2,3,4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)數列5,2,0與2,0,5是同一個數列.(　　)
提示:(1)×.兩個數列項的順序不同,不是同一個數列;
(2)根據數列的前幾項歸納出的數列的通項公式可能不止一個.(　　)
提示: (2)√.
(3)任何一個數列不是遞增數列,就是遞減數列.(　　)
提示: (3)×.數列可能是常數列或擺動數列;
(4)如果數列{an}的前n項和為Sn,則對 n∈N*,都有an=Sn-Sn-1.(　　)
提示: (4)×.當n=1時,a1=S1-S0無意義.
2.(選擇性必修第二冊P5例2·變形式)數列0,,,,…的一個通項公式為(　　)
A.an= B.an= C.an= D.an=
【解析】選C.將0寫成,觀察數列中每一項的分子、分母可知,分子為偶數列,可表示為2(n-1),n∈N*;分母為奇數列,可表示為2n-1,n∈N*.
3.(選擇性必修第二冊P6例5·變形式)數列1,3,6,10,15,…的遞推公式可以是(　　)
A.an+1=an+n,n∈N*
B.an=an-1+n,n≥2,n∈N*
C.an+1=an+(n+1),n≥2,n∈N*
D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2
【解析】選B.設數列1,3,6,10,15,…為,則a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,
a5-a4=5,…,n=2時,A,D不合題意;而C中不包含a2-a1=2,
由此可得數列滿足an-an-1=n,n≥2,n∈N*.
4.(選擇性必修第二冊P4例1·變形式)已知數列{an}滿足 an=,則S3=　　　　.
【解析】數列{an}滿足an= ,
可得a1= 1,a2= 3,a3= 6,
所以S3= 1 + 3 + 6 = 10.
答案:10
【核心考點·分類突破】
考點一由數列的前幾項求數列的通項公式
1.已知數列{an}的前4項依次為2,6,12,20,則數列{an}的通項公式可能是(　　)
A.an=4n-2 B.an=2n+2(n-1)
C.an=n2+n D.an=3n-1+2n-1
【解析】選C.對于A,a3=10≠12,故A錯誤;
對于B,a4=16+6=22≠20,故B錯誤;
對于C,a1=12+1=2,a2=22+2=6,a3=32+3=12,a4=42+4=20,故C正確;
對于D,a3=9+5=14≠12,故D錯誤.
2.在數列1,2,,,,…中,2是這個數列的(　　)
A.第16項　 B.第24項
C.第26項　 D.第28項
【解析】選C.設題中數列為{an},則a1=1=,a2=2=,a3=,a4=,a5=,…,所以an=.令=2=,解得n=26.
3.(2024·菏澤聯考)觀察下列圖形中小正方形的個數,則第n個圖中的小正方形的個數f(n)=(　　)
A.　 B.
C.　 D.
【解析】選A.由題意可得f(1)=2+1;f(2)=3+2+1;f(3)=4+3+2+1;
f(4)=5+4+3+2+1;f(5)=6+5+4+3+2+1;…;所以f(n)=(n+1)+n+(n-1)+…+1=.
4.(多選題)已知數列的前4項為2,0,2,0,則以此歸納該數列的通項可能是(　　)
A.an=(-1)n-1+1　 B.an=
C.an=2sin 　 D.an=cos(n-1)π+1
【解析】選ABD.對n=1,2,3,4進行驗證,
an=2sin 不符合題意,其他均符合.
5.根據數列的前幾項,寫出下列各數列的一個通項公式.
(1)數列,,,,,…的通項公式是an=　　　　　.
【解析】(1)因為a1==,
a2==,a3==,
a4==,a5==,
通過觀察,我們可以得到an=.
(2)數列-1,7,-13,19,…的通項公式是an=　　　　　.
【解析】(2)符號可通過(-1)n或(-1)n+1調節,其各項的絕對值的排列規律為:后面的數的絕對值總比前面數的絕對值大6,故通項公式為an=(-1)n(6n-5).
(3)數列5,55,555,5 555,…的通項公式是an=　　　　　.
【解析】(3)將原數列改寫為×9,×99,×999,…,易知數列9,99,999,…的通項為10n-1,故原數列的一個通項公式為an=(10n-1).
(4)數列1,0,,0,,0,,0,…的通項公式是an=　　　　　.
【解析】(4)把原數列改寫成,,,,,,,,…,分母依次為1,2,3,…,而分子1,0,1,0,…周期性出現,因此原數列的一個通項公式為an=.
答案:(1)　(2)(-1)n(6n-5)
(3)(10n-1)　(4)(答案不唯一)
解題技法
由數列的前幾項求通項公式的方法
(1)根據所給數列的前幾項求其通項公式時,需仔細觀察分析,抓住其幾方面的特征:分式中分子、分母的各自特征;相鄰項的聯系特征;拆項后的各部分特征;符號特征.應多進行對比、分析,從整體到局部多角度觀察、歸納、聯想.
(2)對于正負符號變化,可用(-1)n或(-1)n+1來調整.
考點二已知Sn或Sn與an的關系求an
[例1]金榜原創·易錯對對碰
①若數列{an}的前n項和Sn=2n+1,則數列的通項公式為an=　　　　.
【解析】①當n=1時,a1=S1=21+1=3;
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(2n+1)-(2n-1+1)=2n-2n-1=2n-1.
綜上有an=
答案:
②若數列{an}的前n項和Sn=2n-1,則數列的通項公式為an=　　　　.
【解析】②當n=1時,a1=S1=21-1=1;
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-2n-1=2n-1.
綜上有an=2n-1.
答案:2n-1
解題技法
1.已知Sn求an的三個步驟
(1)利用a1=S1求出a1.
(2)用n-1替換Sn中的n得到一個新的關系式,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出當n≥2時an的解析式.
(3)對n=1時的結果進行檢驗,看是否符合n≥2時an的解析式,如果符合,則可以把數列的通項公式合寫;如果不符合,則應該分n=1與n≥2兩段來寫.
2.已知Sn與an的關系求an的兩個方法
(1)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)消去Sn,轉化為an與an-1的關系求an;
(2)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)消去an,轉化為Sn與Sn-1的關系,求出Sn后再求an.
提醒:當n≥2時推出的關系不包含n=1的情況,因此需要驗證n=1時是否成立,如果成立,則合并表示,如果不成立,則分段表示.
對點訓練
1.已知正項數列{an}中,++…+=,則數列{an}的通項公式為(　　)
A.an=n B.an=n2
C.an= D.an=
【解析】選B.因為++…+=,
所以++…+=(n≥2),
兩式相減得=-=n(n≥2),
所以an=n2(n≥2),①
又當n=1時,==1,a1=1,適合①式,
所以an=n2,n∈N*.
2.記Sn為數列{an}的前n項和,若Sn=2an+1,則Sn=　　　　.
【解析】因為Sn=2an+1,
所以Sn+1=2an+1+1,
所以an+1=2an+1-2an,
所以an+1=2an,
當n=1時,S1=a1=2a1+1,所以a1=-1,
所以數列{an}是以-1為首項,2為公比的等比數列,所以Sn==1-2n.
答案:1-2n
【加練備選】
1.已知數列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+nan=2n,則an=　　　　.
【解析】當n=1時,a1=21=2,
因為a1+2a2+3a3+…+nan=2n,①
故a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1(n≥2),②
由①-②得nan=2n-2n-1=2n-1,
所以an=.顯然當n=1時不滿足上式,
所以an=
答案:
2.已知數列的前n項和Sn=3n+b,求的通項公式.
【解析】當n=1時,a1=S1=3+b.
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2·3n-1,
因此,當b=-1時,a1=2適合an=2·3n-1,
所以an=2·3n-1.
當b≠-1時,a1=3+b不適合an=2·3n-1,
所以an=
綜上可知,當b=-1時,an=2·3n-1;
當b≠-1時,an=
考點三數列的性質及其應用
考情提示
數列可以看作是一類特殊的函數,因此要用函數的知識、函數的思想方法來解決;數列的單調性、周期性是高考常考內容.涉及數列的最大項、最小項,數列的有界性問題均可借助數列的單調性來解決.
角度1　數列的單調性
[例2](1)已知數列{an}的通項公式是an=,那么這個數列是(　　)
A.遞增數列　 B.遞減數列
C.擺動數列　 D.常數列
【解析】選A.an+1-an=-=>0,
所以an+1>an,所以數列{an}為遞增數列.
(2)已知數列{an}的通項公式為an=,若數列{an}為遞減數列,則實數k的取值范圍為(　　)
A.(3,+∞) B.(2,+∞)
C.(1,+∞) D.(0,+∞)
【解析】選D.因為an+1-an=-=,由數列{an}為遞減數列知,對任意
n∈N*,an+1-an=<0,所以k>3-3n對任意n∈N*恒成立,所以k∈(0,+∞).
角度2　數列的最值
[例3](1)(2024·合肥質檢)若數列{an}的前n項積bn=1-n,則an的最大值與最小值之和為(　　)
A.-　 B.　 C.2　 D.
【解析】選C.因為數列{an}的前n項積bn=1-n,
當n=1時,a1=;
當n≥2時,bn-1=1-(n-1),
an====1+,
當n=1時也適合上式,
所以an=1+,
所以當n≤4時,數列{an}單調遞減,且an<1;
當n≥5時,數列{an}單調遞減,且an>1,
故an的最大值為a5=3,最小值為a4=-1,
所以an的最大值與最小值之和為2.
(2)已知數列{an}的通項公式為an=,則數列中的最大項為　　　　　.
【解析】方法一:an+1-an=-=·,
當n<8時,an+1-an>0,即an+1>an;
當n=8時,an+1-an=0,即an+1=an;
當n>8時,an+1-an<0,即an+1則a1a10>a11>…,故數列{an}中的最大項為第8項和第9項,且a8=a9==.
方法二:設數列{an}中的第n項最大,
則(n≥2)
即解得8≤n≤9.
又n∈N*,則n=8或n=9.
故數列{an}中的最大項為第8項和第9項,
且a8=a9=.
答案:
角度3　數列的周期性
[例4](1)在數列{an}中,an+1=若a1=,則a2 023的值為(　　)
A.　 B.　 C.　 D.
【解析】選D.因為a1=>,所以a2=2a1-1=>,a3=2a2-1=<,a4=2a3=<,
a5=2a4=,…,可得該數列的周期為4,
故a2 023=a4×505+3=a3=.
(2)(2024·哈爾濱質檢)已知數列{an}的前n項積為Tn,a1=2且an+1=1-,
則T2 024=　　　　　.
【解析】因為a2=1-=,a3=1-=-1,a4=1-=2,…,
所以數列{an}是周期為3的數列.
又a1a2a3=2××(-1)=-1,且2 024=3×674+2,
所以T2 024=(-1)674·a2 023·a2 024=1×2×=1.
答案:1
解題技法
1.解決數列單調性問題的方法
(1)作差比較法:根據an+1-an的符號判斷數列{an}是遞增數列、遞減數列或常數列.
(2)作商比較法:根據(an>0或an<0)與“1”的大小關系進行判斷.
(3)函數圖象法:結合相應函數的圖象直觀判斷.
2.求數列的最大項或最小項的常用方法
(1)函數法:利用函數的單調性求最值.
(2)利用,(n≥2)確定最大項,利用,(n≥2)確定最小項.
3.解決數列周期性問題的方法
先根據已知條件求出數列的前幾項,確定數列的周期,再根據周期性求值.
對點訓練
1.已知數列{an}中,a1=,an+1=,則a2 025=(　　)
A.-2 B. C.- D.3
【解析】選B.因為a1=,
所以a2==3,a3==-2,
a4==-,a5==,…,
所以數列{an}是周期數列且周期T=4,
所以a2 025=a1=.
2.(多選題)在數列{an}中,an=(n+1)()n,則數列{an}中的最大項可以是(　　)
A.第6項　 B.第7項　
C.第8項　 D.第9項
【解析】選AB.假設an最大,則有(n≥2)
即
所以
即6≤n≤7,所以最大項為第6項和第7項.
3.(2024·內江模擬)若數列{an}的通項公式an滿足nan=n2+17,則數列{an}中的項的最小值為　　　　.
【解析】因為nan=n2+17,所以an=,
所以an+1-an=-=,易得當n≤3時,an+1-an<0;當n≥4時,an+1-an>0,所以數列{an}中,從a1遞減到a4,再從a4后開始遞增,所以=a4=4+=.
答案:
【加練備選】
　　 (2024·濰坊模擬)已知數列{an}滿足an=若 n∈N*,
an+1A.(,)　 B.(,)
C.(,]　 D.(,1)
【解析】選A.因為an+1所以即
解得

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