資源簡介

第二節(jié)　函數(shù)的基本性質(zhì)
第1課時　函數(shù)的單調(diào)性與最值
【課標解讀】
【課程標準】
1.借助函數(shù)圖象,會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值,理解它們的作用和實際意義.
2.理解函數(shù)的單調(diào)性、最值的實際意義,掌握函數(shù)單調(diào)性的簡單應(yīng)用.
【核心素養(yǎng)】
數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算.
【命題說明】
考向 考法 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,高考對單調(diào)性與最值的考查常常與其他知識相結(jié)合,小題和大題均有考查,小題的考查與對數(shù)函數(shù)結(jié)合,考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與最值;大題的考查與導(dǎo)數(shù)結(jié)合,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值.
預(yù)測 預(yù)計2025年高考仍會考查函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間及函數(shù)最值的確定與應(yīng)用;題型既有選擇題、填空題,又有解答題,難度中檔偏上.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.函數(shù)的單調(diào)性
(1)增函數(shù)與減函數(shù)
項目 增函數(shù) 減函數(shù)
定 義 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,區(qū)間I D,如果 x1,x2∈I
當x1f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減.特別地,當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時,我們就稱它是減函數(shù)
圖 象 描 述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的
(2)單調(diào)區(qū)間的定義
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性,區(qū)間I叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.
微點撥有多個單調(diào)區(qū)間時應(yīng)分開寫,不能用符號“∪”連接,也不能用“或”連接,只能用“,”或“和”連接.
2.函數(shù)的最值
前 提 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D, 如果存在實數(shù)M滿足
條 件 x∈D,都有f(x)≤M; x0∈D,使得f(x0)=M x∈D,都有f(x)≥M; x0∈D,使得f(x0)=M
結(jié) 論 M為最大值 M為最小值
微點撥(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值,當函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時最值一定在端點取到;
(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值.
常用結(jié)論
1.函數(shù)單調(diào)性的兩個等價結(jié)論
設(shè) x1,x2∈D(x1≠x2),則
(1)>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0) f(x)在D上單調(diào)遞增;
(2)<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0) f(x)在D上單調(diào)遞減.
2.若函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性,則在區(qū)間I上具有以下性質(zhì):
(1)當f(x),g(x)都是增(減)函數(shù)時,f(x)+g(x)是增(減)函數(shù);
(2)若k>0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同;若k<0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反;
(3)函數(shù)y=f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y=-f(x),y=的單調(diào)性相反;
(4)復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)性與y=f(u)和u=g(x)的單調(diào)性有關(guān).簡記:“同增異減”.
基礎(chǔ)診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)對于函數(shù)y=f(x),若f(1)(2)函數(shù)y=f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞).(　 ×　)
(3)函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0)∪(0,+∞).(　 ×　)
(4)對于函數(shù)f(x),x∈D,若對任意x1,x2∈D,且x1≠x2,有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).(　 √　)
提示:
(1) 應(yīng)對任意的x1(2) 反例:f(x)=x在[1,+∞)上為增函數(shù),但f(x)=x的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,+∞). ×
(3) 此單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接,故單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0)和(0,+∞). ×
(4) 根據(jù)增函數(shù)的定義判斷. √
2.(必修第一冊P81練習(xí)T3·變條件)已知函數(shù)f(x)=,x∈[0,2],則f(x)的最大值為　　　　,最小值為　　　　　.
【解析】因為函數(shù)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(2)=.
答案:2　
3.(2023·北京高考)下列函數(shù)中在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(　　)
A.f(x)=-ln x B.f(x)=
C.f(x)=- D.f(x)=3|x-1|
【解析】選C.對A選項,y=ln x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)=-ln x在(0,+∞)上單調(diào)遞減,A選項錯誤;
對B選項,y=2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)=在(0,+∞)上單調(diào)遞減,B選項錯誤;
對C選項,y=在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(x)=-在(0,+∞)上單調(diào)遞增,C選項正確;
對D選項,f(x)=3|x-1|在(0,+∞)上不是單調(diào)的,D選項錯誤.
4.(忽視函數(shù)的定義域)已知函數(shù)y=f(x)是定義在[-2,2]上的減函數(shù),且f(a+1)【解析】依題意得得-1≤a<1.
答案:[-1,1)
【核心考點·分類突破】
考點一函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
1.(多選題)(2023·石家莊模擬)下列函數(shù)在(-∞,0)上單調(diào)遞減的是(　　)
A.y=tan x B.y=ln(-x)
C.y= D.y=-
【解析】選BC.函數(shù)y=tan x在(-∞,0)上不單調(diào),故A不滿足條件;由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)y=ln(-x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,故B滿足條件;函數(shù)y==()x在(-∞,0)上單調(diào)遞減,故C滿足條件;函數(shù)y=-在(-∞,0)上單調(diào)遞增,故D不滿足條件.
2.函數(shù)f(x)=-x的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)
A. (0,) B.(0,1)
C. (,+∞) D.(1,+∞)
【解析】選A.令t=,顯然t=在[0,+∞)上單調(diào)遞增.又y=t-t2=-(t-)2+在(-∞,]上單調(diào)遞增,由≤得0≤x≤,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[0,],不考慮區(qū)間端點也可寫為(0,).
3.函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間為　　　　　　　　.
【解析】顯然f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞增,又-2<3,所以不能合并.
答案:(-∞,0),(0,+∞)
4.函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間為　　　　,單調(diào)遞減區(qū)間為　　　　.
【解析】令u=x2+x-6,則y=可以看作是由y=與u=x2+x-6復(fù)合而成的函數(shù).令u=x2+x-6≥0,解得x≤-3或x≥2.易知u=x2+x-6在(-∞,-3]上單調(diào)遞減,在[2,+∞)上單調(diào)遞增,而y=在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以y=的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-3],單調(diào)遞增區(qū)間為[2,+∞).
答案:[2,+∞)　(-∞,-3]
5.設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)=x2f(x-1),則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是　　　　.
【解析】由題意知g(x)=
該函數(shù)圖象如圖所示,
其單調(diào)遞減區(qū)間是[0,1).
答案:[0,1)
解題技法
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法
(1)圖象法:如果f(x)是以圖象給出的,或者f(x)的圖象易作出,可由函數(shù)圖象直觀地寫出它的單調(diào)區(qū)間.
(2)復(fù)合函數(shù)法:①求函數(shù)的定義域;②求簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;③求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,依據(jù)是“同增異減”.
考點二函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
[例1](1)(2021·全國甲卷)下列函數(shù)是增函數(shù)的為(　　)
A.f(x)=-x B.f(x)=
C.f(x)=x2 D.f(x)=
【解析】選D. 因為f(x)=-x在其定義域上為減函數(shù),所以選項A錯誤;由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,f(x)=在其定義域上為減函數(shù),所以選項B錯誤;由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,f(x)=x2在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增, 所以選項C錯誤;由冪函數(shù)的性質(zhì)可知,f(x)=在其定義域上為增函數(shù),所以選項D正確.
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=-2x,證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減.
【證明】方法一(定義法):
x1,x2∈[0,+∞),且x1則f(x1)-f(x2)=--2x1+2x2
=-2(x1-x2)=(x1-x2) (-2),
因為0≤x1所以(x1-x2) (-2)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減.
方法二(導(dǎo)數(shù)法):對f(x)=-2x求導(dǎo),得f'(x)=·-2=-2,
因為x≥0,所以<1,所以f'(x)<0,故f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減.
解題技法
判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法
定義法 一般步驟:設(shè)元→作差→變形→判斷符號→得出結(jié)論
圖象法 若f(x)是以圖象形式給出的,或者f(x)的圖象易作出,則可由圖象的上升或下降確定單調(diào)性
導(dǎo)數(shù)法 先求導(dǎo)數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)值的正負確定函數(shù)的單調(diào)性
對點訓(xùn)練
討論函數(shù)f(x)=(a>0)在(-1,1)上的單調(diào)性.
【解析】 x1,x2∈(-1,1),且x1則f(x1)-f(x2)=-==.
因為-10,(-1)(-1)>0.
當a0,則x1x2+1>0;
當-10;
當00,綜上,x1x2+1>0,
又a>0,所以f(x1)-f(x2)>0,故函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減.
考點三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
角度1　利用單調(diào)性比較大小
[例2]設(shè)函數(shù)f(x)定義在實數(shù)集上,它的圖象關(guān)于直線x=1對稱,且當x≥1時,f(x)=3x-1,則(　　)
A.f()B.f()C.f()D.f()【解析】選B.由題設(shè)知,當x<1時,f(x)單調(diào)遞減,當x≥1時,f(x)單調(diào)遞增,而x=1為對稱軸,所以f()=f(1+)=f(1-)=f(),又<<<1,
所以f()>f()>f(),
即f()角度2　解不等式
[例3](1)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[0,+∞)上的函數(shù),且在該區(qū)間上單調(diào)遞增,則滿足f(2x-1)A. (,) B. [,)
C. (,) D. [,)
【解析】選D.因為函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[0,+∞)上的增函數(shù),滿足f(2x-1)所以0≤2x-1<,解得≤x<.
(2)已知函數(shù)f(x)=-log2(x+2),若f(a-2)>3,則a的取值范圍是　　　　　.
【解析】因為y=在R上單調(diào)遞減,y=log2(x+2)在(-2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)=-log2(x+2)在定義域(-2,+∞)上單調(diào)遞減,且f(-1)=3,
由f(a-2)>3,得f(a-2)>f(-1),所以,解得0答案:(0,1)
角度3　利用單調(diào)性求最值問題
[例4](1)函數(shù)f(x)=3x+log2(x+2)在區(qū)間[-1,2]上的最大值為　　　　.
【解析】由于y=3x在R上是增函數(shù),y=log2(x+2)在[-1,2]上單調(diào)遞增,所以f(x)在[-1,2]上單調(diào)遞增,故f(x)在[-1,2]上的最大值為f(2)=32+log24=11.
答案:11
(2)函數(shù)y=的最大值為　　　　　.
【解析】令=t,則t≥2,
所以x2=t2-4,所以y==,設(shè)h(t)=t+,
則h(t)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以h(t)min=h(2)=,
所以y≤=(x=0時取等號),即y的最大值為.
答案:
角度4　利用單調(diào)性求參數(shù)值(范圍)問題
[例5](1)金榜原創(chuàng)·易錯對對碰
①函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,4],則實數(shù)a的值為　　　　.
②函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍為　　　　.
【解析】①函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x=1-a,由1-a=4,得a=-3.
答案:-3
②函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x=1-a,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減,所以1-a≥4,解得a≤-3.
實數(shù)a的取值范圍為.
答案:
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,則a的取值范圍是(　　)
A.(-∞,-2]　 B.[-2,0)
C.(0,2]　 D.[2,+∞)
【解析】選D.函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增,而函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,則有函數(shù)y=x(x-a)=-在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,因此≥1,解得a≥2,
所以a的取值范圍是[2,+∞).
解題技法
函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用策略
(1)比較大小:利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,需將各自變量的值化到同一單調(diào)區(qū)間上.
(2)解不等式:關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”脫掉,使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時,應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.
(3)求最值:利用函數(shù)單調(diào)性求最值是求函數(shù)最值的重要方法,特別是當函數(shù)圖象不易作出時.
(4)求參數(shù):利用單調(diào)性求參數(shù)時,通常要把參數(shù)視為已知數(shù),依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù).
對點訓(xùn)練
1.(2024·重慶模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=若a=ln 2,b=30.2,c=log0.32,則(　　)
A.f(a)>f(b)>f(c) 　B.f(b)>f(a)>f(c)
C.f(a)>f(c)>f(b) 　D.f(c)>f(a)>f(b)
【解析】選D.顯然f(x)在R上單調(diào)遞減,
又因為30.2>30=1,即b>1,0=ln 1所以b>a>c,所以f(b)2.已知函數(shù)f(x)=ln x+2x,若f(x2-4)<2,則實數(shù)x的取值范圍是　　　　　　　　　.
【解析】因為函數(shù)f(x)=ln x+2x在定義域(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(1)=ln 1+2=2,
所以由f(x2-4)<2得,f(x2-4)答案:x|-3.函數(shù)f(x)=在區(qū)間[1,2]上的最小值為　　　　.
【解析】f(x)=-.
由于y=,y=-2x-1在[1,2]上均單調(diào)遞減,
故f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,
所以f(x)min=f(2)=-2=-.
答案:-
4.已知函數(shù)y=loga(2-ax)(a>0,且a≠1)在[0,1]上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　.
【解析】設(shè)u=2-ax,
因為a>0,且a≠1,所以函數(shù)u在[0,1]上單調(diào)遞減.
由題意可知函數(shù)y=logau在[0,1]上單調(diào)遞減,
所以a>1.
又因為u=2-ax在[0,1]上要滿足u>0,
所以2-a>0,得a<2.綜上得1答案:(1,2)
考點四 對勾函數(shù)與飄帶函數(shù)
教考銜接 類題串串聯(lián)
題號 類題說明
(1) 源自教材第86頁綜合運用·T8(2).此題為“對勾函數(shù)”的基本模型
(2) 源自教材第86頁綜合運用·T8(3).此題為“對勾函數(shù)”的常見模型
(3) 源自教材第101頁拓廣探索·T12.此題為“飄帶函數(shù)”的基本模型
[例6](1)討論函數(shù)y=x+在區(qū)間上的單調(diào)性;
【解析】(1)設(shè)y=f(x),x1①任取x1,x2∈,且x19,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)②任取x1,x2∈,且x100,即f(x1)>f(x2),所以y=f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減;
故函數(shù)y=x+在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.
(2)討論函數(shù)y=x+(k>0)在區(qū)間上的單調(diào)性;
【解析】(2)設(shè)y=f(x),x1①任取x1,x2∈,且x1k,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)②任取x1,x2∈,且x100,即f(x1)>f(x2),所以y=f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減;
故函數(shù)y=x+在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.
(3)討論函數(shù)y=x-的單調(diào)性.
【解析】(3)設(shè)y=f(x),定義域D=∪(0,+∞),設(shè)x1①當x1,x2∈(0,+∞)時,x1x2>0,因為x1y=f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
②當x1,x2∈(-∞,0)時,x1x2>0,因為x1因此y=f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上都單調(diào)遞增.
解題技法
形如f(x)=ax+(ab≠0)的圖象及性質(zhì)
(1)當ab>0時,常把f(x)稱為“對勾函數(shù)”.
項目 a>0,b>0 a<0,b<0
圖象
定義域 (-∞,0)∪(0,+∞)
值域 ∪
奇偶性 奇函數(shù)
單調(diào)性 增區(qū)間: 和 減區(qū)間: 和 增區(qū)間: 和 減區(qū)間: 和
漸近線 一條是直線y=ax,另一條是x=0
(2)當ab<0時,常把f(x)稱為“飄帶函數(shù)”.
項目 a>0,b<0 a<0,b>0
圖象
定義域 (-∞,0)∪(0,+∞)
值域 (-∞,+∞)
奇偶性 奇函數(shù)
單調(diào)性 增區(qū)間: (-∞,0)和(0,+∞) 減區(qū)間: (-∞,0)和(0,+∞)
漸近線 一條是直線y=ax,另一條是x=0.
對點訓(xùn)練
1.已知x∈,則①函數(shù)f(x)=25x+的值域為　　　　　;②函數(shù)g(x)=25x-的值域為　　　　　.
【解析】①易知函數(shù)f(x)=25x+在上為“對勾函數(shù)”的一部分,解方程25x=得x=(負根舍去),所以f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又f()=,f()=30,f(2)=,所以f(x)min=f()=30,f(x)max=f(2)=.
②易知函數(shù)g(x)=25x-在上為“飄帶函數(shù)”的一部分,且g(x)在上單調(diào)遞增,所以g(x)min=g()=-,g(x)max=g(2)=.
答案:①　②
2.函數(shù)f(x)=x2-ax+1≥0在內(nèi)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　　.
【解析】當x∈時,由x2-ax+1≥0,得a≥x+,所以a≥=-2;
當x=0時,f(0)=1≥0成立,a∈R;
當x∈時,a≤=.
綜上可得,實數(shù)a的取值范圍是.
答案:
3.方程x2-mx+1=0的兩根為α,β,且α>0,1<β<2,則實數(shù)m的取值范圍是　　　　　.
【解析】由題意可知,,所以m=β+,β∈,形如函數(shù)f(x)=x+在上是增函數(shù),所以可直接得到m∈,即1+1答案:
4.設(shè)函數(shù)f(x)=x-,對任意的x∈,f(mx)+mf(x)<0恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是　　　　　.
【解析】顯然m≠0,由于函數(shù)f(x)=x-在上是增函數(shù),則當m>0時,f(mx)+mf(x)=2mx-,是形如f(x)=ax+(a>0,b<0)的函數(shù).在上單調(diào)遞增,則f(mx)+mf(x)<0不恒成立,因此m>0不成立.
當m<0時,f(mx)+mf(x)=2mx-,是形如f(x)=ax+(a<0,b>0)的函數(shù).在上是減函數(shù),
因此,當x=1時,f(mx)+mf(x)的最大值為m-,于是f(mx)+mf(x)<0恒成立等價于f(mx)+mf(x),x∈的最大值小于0,
即解得m<-1,所以實數(shù)m的取值范圍是.
答案:
重難突破 求函數(shù)的值域
基本初等函數(shù)的值域
(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.
(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:當a>0時,值域為[,+∞);
當a<0時,值域為(-∞,].
(3)y=(k≠0)的值域是(-∞,0)∪(0,+∞).
(4)y=ax(a>0,且a≠1)的值域是(0,+∞).
(5)y=logax(a>0,且a≠1)的值域是R.
類型一 直接法(觀察法)
對于較簡單的函數(shù),直接觀察即可確定函數(shù)的值域.
[例1](1)(多選題)下列函數(shù)中,值域為[1,+∞)的是(　　)
A.y= B.y=|x|+1
C.y= D.y=
【解析】選BC.對于A,函數(shù)的值域為[0,+∞),所以該選項不符合題意;
對于B,因為|x|≥0,所以|x|+1≥1,所以函數(shù)的值域為[1,+∞),所以該選項符合題意;
對于C,因為x2≥0,所以x2+1≥1,所以≥1,所以函數(shù)的值域為[1,+∞),所以該選項符合題意;
對于D,函數(shù)的值域為(0,+∞),所以該選項不符合題意.
(2)函數(shù)f(x)=的值域是　　　　　.(用區(qū)間表示)
【解析】當-2≤x<1時,f(x)=(x+1)2,為開口向上,對稱軸為x=-1的拋物線,所以f(x)∈[0,4);
當1≤x≤3時,f(x)=-x+5,為單調(diào)遞減函數(shù),
所以f(x)∈[2,4],
綜上,f(x)∈[0,4],即f(x)的值域為[0,4].
答案:[0,4]
對點訓(xùn)練
1.函數(shù)y=的值域為　　　　.
【解析】因為16-2x≥0,即2x≤16,所以x≤4,
所以2x∈(0,16],所以16-2x∈[0,16).
y=∈[0,4).
答案:[0,4)
2.函數(shù)f(x)=+1的值域為　　　　.
【解析】易得3x+1∈(1,+∞).
得f(x)=+1∈(1,3),
故函數(shù)f(x)=+1的值域為(1,3).
答案:(1,3)
類型二 配方法
形如函數(shù)y=a[f(x)]2+bf(x)+c的最值問題,可以考慮用配方法.
[例2]函數(shù)y=的值域為　　　　　.
【解析】因為函數(shù)y==,
所以0≤y≤,所以函數(shù)的值域為[0,].
答案: [0,]
類型三 判別式法
(1)分式函數(shù)分子分母的最高次冪為二次時,可整理成關(guān)于x的二次方程,方程有解,則判別式大于或等于0,即解得y的取值范圍,得到值域;
(2)適用于函數(shù)的定義域為R的情況.
[例3]函數(shù)y=的值域為　　　　　.
【解析】由y=得,
yx2+(y-2)x+y=0(※),則該方程有解,
①當y=0時,方程(※)可化為-2x=0,方程有解,符合題意;
②當y≠0時,要使方程(※)有解,當且僅當Δ=(y-2)2-4y2≥0,
解得-2≤y≤,且y≠0.
綜上所述,-2≤y≤,
故原函數(shù)的值域是[-2,].
答案: [-2,]
類型四 基本不等式法
配湊成y=ax+(a,b同號)的形式,再利用基本不等式求函數(shù)的最值,進而得到函數(shù)的值域.
[例4]若x≥,則函數(shù)f(x)=的最小值為　　　　.
【解析】因為x≥,所以x-2>0,
所以f(x)===+≥2=1,
當且僅當=,即x=3時等號成立.
因為x=3在定義域內(nèi),所以最小值為1.
答案:1
類型五 反解法與分離常數(shù)法
形如f(x)=的函數(shù)可用反解法或分離常數(shù)法.
[例5](1)函數(shù)y=的值域為　　　　　　.
【解析】方法一(反解法):x=,所以y≠.
所以值域為{y|y≠}.
方法二(分離常數(shù)法):y==+≠,故值域為{y|y≠}.
答案: {y|y≠}
(2)函數(shù)y=的值域為　　　　　　.
【解析】方法一(反解法):由y=,得2x=>0,所以(1-y)(1+y)>0,
所以(y-1)(y+1)<0.
所以-1方法二(分離常數(shù)法):y==-1+,
因為2x>0,所以1+2x>1,0<<2,-1<-1+<1.
所以值域為(-1,1).
答案:(-1,1)
類型六 換元法
通過換元,將較復(fù)雜的值域問題轉(zhuǎn)化為求某些基本初等函數(shù)的值域.
[例6](1)函數(shù)y=x+的值域為　　　　　.
【解析】令t=≥0,則x=,
所以y=-t2+t+=-(t-1)2+1(t≥0),
故當t=1時,y取得最大值為1,沒有最小值,故值域為(-∞,1].
答案:(-∞,1]
(2)函數(shù)y=x+的值域為　　　　　.
【解析】由4-x2≥0,得-2≤x≤2,
所以設(shè)x=2cos θ(θ∈[0,π]),則y=2cos θ+=2cos θ+2sin θ=2sin(θ+).
因為θ+∈[,],
所以sin(θ+)∈[-,1],
所以y∈[-2,2].
答案:[-2,2]
類型七 單調(diào)性法
函數(shù)為一般函數(shù)或者復(fù)合函數(shù),其單調(diào)性容易確定.
[例7](1)函數(shù)y=lox+,x∈[1,2]的值域為　　　　　　.
【解析】函數(shù)y1=lox,y2=均在[1,2]上單調(diào)遞減,
所以y=lox+在[1,2]上單調(diào)遞減,
所以lo2+≤y≤lo1+,即-≤y≤,
所以函數(shù)的值域為[-,].
答案: [-,]
(2)函數(shù)y=()的值域為　　　　.
【解析】令μ=-x2+2x,所以y=()μ.
因為μ=-x2+2x在(-∞,1]上單調(diào)遞增,
在[1,+∞)上單調(diào)遞減.y=()μ在定義域上是減函數(shù),
所以y=()在(-∞,1]上單調(diào)遞減,
在[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以ymin=,所以函數(shù)的值域為[,+∞).
答案: [,+∞)
類型八 數(shù)形結(jié)合法
由函數(shù)的解析式可以繪制出函數(shù)的大致圖象走勢和函數(shù)在關(guān)鍵點處的函數(shù)值,或通過幾何意義轉(zhuǎn)化為幾何問題進行求解.
[例8](1)函數(shù)y=的值域為　　　　　　　　　　.
【解析】由題意可得,函數(shù)可看成定點(2,3)到動點(cos x,sin x)連線的斜率,又因為動點(cos x,sin x)在單位圓上,所以問題轉(zhuǎn)化為求定點(2,3)到單位圓連線的斜率的問題.
設(shè)直線的方程為y-3=k(x-2),
所以kx-y-2k+3=0,
因為直線與圓相切,所以1=,
所以k=,
所以函數(shù)的值域為[,].
答案: [,]
(2)函數(shù)f(x)=2x-3-的值域為　　　　　.
【解析】f(x)=2x-3-=2x-3-,
由-x2+6x-8≥0,解得2≤x≤4,
令t=2x-3-,即=2x-3-t,
將函數(shù)f(x)=2x-3-的值域轉(zhuǎn)化為y=與y=2x-3-t有交點時t的取值范圍,在同一坐標系中作函數(shù)y=與y=2x-3-t的圖象如圖所示:
由圖象知:當直線y=2x-3-t與半圓(x-3)2+y2=1相切時,t最小,
此時=1,解得t=3±,
由圖象知t=3-,當直線y=2x-3-t過點(4,0)時,t最大,此時t=5,
所以t∈[3-,5],即f(x)的值域是[3-,5].
答案:[3-,5]第二節(jié)　函數(shù)的基本性質(zhì)
第1課時　函數(shù)的單調(diào)性與最值
【課標解讀】
【課程標準】
1.借助函數(shù)圖象,會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值,理解它們的作用和實際意義.
2.理解函數(shù)的單調(diào)性、最值的實際意義,掌握函數(shù)單調(diào)性的簡單應(yīng)用.
【核心素養(yǎng)】
數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算.
【命題說明】
考向 考法 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,高考對單調(diào)性與最值的考查常常與其他知識相結(jié)合,小題和大題均有考查,小題的考查與對數(shù)函數(shù)結(jié)合,考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與最值;大題的考查與導(dǎo)數(shù)結(jié)合,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值.
預(yù)測 預(yù)計2025年高考仍會考查函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間及函數(shù)最值的確定與應(yīng)用;題型既有選擇題、填空題,又有解答題,難度中檔偏上.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.函數(shù)的單調(diào)性
(1)增函數(shù)與減函數(shù)
項目 增函數(shù) 減函數(shù)
定 義 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,區(qū)間I D,如果 x1,x2∈I
當x1f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減.特別地,當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時,我們就稱它是減函數(shù)
圖 象 描 述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的
(2)單調(diào)區(qū)間的定義
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性,區(qū)間I叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.
微點撥有多個單調(diào)區(qū)間時應(yīng)分開寫,不能用符號“∪”連接,也不能用“或”連接,只能用“,”或“和”連接.
2.函數(shù)的最值
前 提 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D, 如果存在實數(shù)M滿足
條 件 x∈D,都有f(x)≤M; x0∈D,使得f(x0)=M x∈D,都有f(x)≥M; x0∈D,使得f(x0)=M
結(jié) 論 M為最大值 M為最小值
微點撥(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值,當函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時最值一定在端點取到;
(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值.
常用結(jié)論
1.函數(shù)單調(diào)性的兩個等價結(jié)論
設(shè) x1,x2∈D(x1≠x2),則
(1)>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0) f(x)在D上單調(diào)遞增;
(2)<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0) f(x)在D上單調(diào)遞減.
2.若函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性,則在區(qū)間I上具有以下性質(zhì):
(1)當f(x),g(x)都是增(減)函數(shù)時,f(x)+g(x)是增(減)函數(shù);
(2)若k>0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同;若k<0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反;
(3)函數(shù)y=f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y=-f(x),y=的單調(diào)性相反;
(4)復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)性與y=f(u)和u=g(x)的單調(diào)性有關(guān).簡記:“同增異減”.
基礎(chǔ)診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)對于函數(shù)y=f(x),若f(1)(2)函數(shù)y=f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞).(　 　)
(3)函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0)∪(0,+∞).(　 　)
(4)對于函數(shù)f(x),x∈D,若對任意x1,x2∈D,且x1≠x2,有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).(　 　)
提示:
(1) 應(yīng)對任意的x1(2) 反例:f(x)=x在[1,+∞)上為增函數(shù),但f(x)=x的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,+∞). ×
(3) 此單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接,故單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0)和(0,+∞). ×
(4) 根據(jù)增函數(shù)的定義判斷. √
2.(必修第一冊P81練習(xí)T3·變條件)已知函數(shù)f(x)=,x∈[0,2],則f(x)的最大值為　　　　,最小值為　　　　　.
3.(2023·北京高考)下列函數(shù)中在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(　　)
A.f(x)=-ln x B.f(x)=
C.f(x)=- D.f(x)=3|x-1|
4.(忽視函數(shù)的定義域)已知函數(shù)y=f(x)是定義在[-2,2]上的減函數(shù),且f(a+1)【核心考點·分類突破】
考點一函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
1.(多選題)(2023·石家莊模擬)下列函數(shù)在(-∞,0)上單調(diào)遞減的是(　　)
A.y=tan x B.y=ln(-x)
C.y= D.y=-
2.函數(shù)f(x)=-x的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)
A. (0,) B.(0,1)
C. (,+∞) D.(1,+∞)
3.函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間為　　　　　　　　.
4.函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間為　　　　,單調(diào)遞減區(qū)間為　　　　.
5.設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)=x2f(x-1),則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是　　　　.
解題技法
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法
(1)圖象法:如果f(x)是以圖象給出的,或者f(x)的圖象易作出,可由函數(shù)圖象直觀地寫出它的單調(diào)區(qū)間.
(2)復(fù)合函數(shù)法:①求函數(shù)的定義域;②求簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;③求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,依據(jù)是“同增異減”.
考點二函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
[例1](1)(2021·全國甲卷)下列函數(shù)是增函數(shù)的為(　　)
A.f(x)=-x B.f(x)=
C.f(x)=x2 D.f(x)=
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=-2x,證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減.
解題技法
判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法
定義法 一般步驟:設(shè)元→作差→變形→判斷符號→得出結(jié)論
圖象法 若f(x)是以圖象形式給出的,或者f(x)的圖象易作出,則可由圖象的上升或下降確定單調(diào)性
導(dǎo)數(shù)法 先求導(dǎo)數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)值的正負確定函數(shù)的單調(diào)性
對點訓(xùn)練
討論函數(shù)f(x)=(a>0)在(-1,1)上的單調(diào)性.
考點三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
角度1　利用單調(diào)性比較大小
[例2]設(shè)函數(shù)f(x)定義在實數(shù)集上,它的圖象關(guān)于直線x=1對稱,且當x≥1時,f(x)=3x-1,則(　　)
A.f()B.f()C.f()D.f()角度2　解不等式
[例3](1)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[0,+∞)上的函數(shù),且在該區(qū)間上單調(diào)遞增,則滿足f(2x-1)A. (,) B. [,)
C. (,) D. [,)
(2)已知函數(shù)f(x)=-log2(x+2),若f(a-2)>3,則a的取值范圍是　　　　　.
角度3　利用單調(diào)性求最值問題
[例4](1)函數(shù)f(x)=3x+log2(x+2)在區(qū)間[-1,2]上的最大值為　　　　.
(2)函數(shù)y=的最大值為　　　　　.
角度4　利用單調(diào)性求參數(shù)值(范圍)問題
[例5](1) 易錯對對碰
①函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,4],則實數(shù)a的值為　　　　.
②函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍為　　　　.
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,則a的取值范圍是(　　)
A.(-∞,-2]　 B.[-2,0)
C.(0,2]　 D.[2,+∞)
解題技法
函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用策略
(1)比較大小:利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,需將各自變量的值化到同一單調(diào)區(qū)間上.
(2)解不等式:關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”脫掉,使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時,應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.
(3)求最值:利用函數(shù)單調(diào)性求最值是求函數(shù)最值的重要方法,特別是當函數(shù)圖象不易作出時.
(4)求參數(shù):利用單調(diào)性求參數(shù)時,通常要把參數(shù)視為已知數(shù),依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù).
對點訓(xùn)練
1.(2024·重慶模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=若a=ln 2,b=30.2,c=log0.32,則(　　)
A.f(a)>f(b)>f(c) 　B.f(b)>f(a)>f(c)
C.f(a)>f(c)>f(b) 　D.f(c)>f(a)>f(b)
2.已知函數(shù)f(x)=ln x+2x,若f(x2-4)<2,則實數(shù)x的取值范圍是　　　　　　　　　.
3.函數(shù)f(x)=在區(qū)間[1,2]上的最小值為　　　　.
4.已知函數(shù)y=loga(2-ax)(a>0,且a≠1)在[0,1]上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　.
考點四 對勾函數(shù)與飄帶函數(shù)
教考銜接 類題串串聯(lián)
題號 類題說明
(1) 源自教材第86頁綜合運用·T8(2).此題為“對勾函數(shù)”的基本模型
(2) 源自教材第86頁綜合運用·T8(3).此題為“對勾函數(shù)”的常見模型
(3) 源自教材第101頁拓廣探索·T12.此題為“飄帶函數(shù)”的基本模型
[例6](1)討論函數(shù)y=x+在區(qū)間上的單調(diào)性;
(2)討論函數(shù)y=x+(k>0)在區(qū)間上的單調(diào)性;
(3)討論函數(shù)y=x-的單調(diào)性.
.
解題技法
形如f(x)=ax+(ab≠0)的圖象及性質(zhì)
(1)當ab>0時,常把f(x)稱為“對勾函數(shù)”.
項目 a>0,b>0 a<0,b<0
圖象
定義域 (-∞,0)∪(0,+∞)
值域 ∪
奇偶性 奇函數(shù)
單調(diào)性 增區(qū)間: 和 減區(qū)間: 和 增區(qū)間: 和 減區(qū)間: 和
漸近線 一條是直線y=ax,另一條是x=0
(2)當ab<0時,常把f(x)稱為“飄帶函數(shù)”.
項目 a>0,b<0 a<0,b>0
圖象
定義域 (-∞,0)∪(0,+∞)
值域 (-∞,+∞)
奇偶性 奇函數(shù)
單調(diào)性 增區(qū)間: (-∞,0)和(0,+∞) 減區(qū)間: (-∞,0)和(0,+∞)
漸近線 一條是直線y=ax,另一條是x=0.
對點訓(xùn)練
1.已知x∈,則①函數(shù)f(x)=25x+的值域為　　　　　;②函數(shù)g(x)=25x-的值域為　　　　　.
2.函數(shù)f(x)=x2-ax+1≥0在內(nèi)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　　.
3.方程x2-mx+1=0的兩根為α,β,且α>0,1<β<2,則實數(shù)m的取值范圍是　　　　　.
4.設(shè)函數(shù)f(x)=x-,對任意的x∈,f(mx)+mf(x)<0恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是　　　　　.
重難突破 求函數(shù)的值域
基本初等函數(shù)的值域
(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.
(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:當a>0時,值域為[,+∞);
當a<0時,值域為(-∞,].
(3)y=(k≠0)的值域是(-∞,0)∪(0,+∞).
(4)y=ax(a>0,且a≠1)的值域是(0,+∞).
(5)y=logax(a>0,且a≠1)的值域是R.
類型一 直接法(觀察法)
對于較簡單的函數(shù),直接觀察即可確定函數(shù)的值域.
[例1](1)(多選題)下列函數(shù)中,值域為[1,+∞)的是(　　)
A.y= B.y=|x|+1
C.y= D.y=
(2)函數(shù)f(x)=的值域是　　　　　.(用區(qū)間表示)
對點訓(xùn)練
1.函數(shù)y=的值域為　　　　.
2.函數(shù)f(x)=+1的值域為　　　　.
類型二 配方法
形如函數(shù)y=a[f(x)]2+bf(x)+c的最值問題,可以考慮用配方法.
[例2]函數(shù)y=的值域為　　　　　.
類型三 判別式法
(1)分式函數(shù)分子分母的最高次冪為二次時,可整理成關(guān)于x的二次方程,方程有解,則判別式大于或等于0,即解得y的取值范圍,得到值域;
(2)適用于函數(shù)的定義域為R的情況.
[例3]函數(shù)y=的值域為　　　　　.
類型四 基本不等式法
配湊成y=ax+(a,b同號)的形式,再利用基本不等式求函數(shù)的最值,進而得到函數(shù)的值域.
[例4]若x≥,則函數(shù)f(x)=的最小值為　　　　.
類型五 反解法與分離常數(shù)法
形如f(x)=的函數(shù)可用反解法或分離常數(shù)法.
[例5](1)函數(shù)y=的值域為　　　　　　.
(2)函數(shù)y=的值域為　　　　　　.
類型六 換元法
通過換元,將較復(fù)雜的值域問題轉(zhuǎn)化為求某些基本初等函數(shù)的值域.
[例6](1)函數(shù)y=x+的值域為　　　　　.
(2)函數(shù)y=x+的值域為　　　　　.
類型七 單調(diào)性法
函數(shù)為一般函數(shù)或者復(fù)合函數(shù),其單調(diào)性容易確定.
[例7](1)函數(shù)y=lox+,x∈[1,2]的值域為　　　　　　.
(2)函數(shù)y=()的值域為　　　　.
類型八 數(shù)形結(jié)合法
由函數(shù)的解析式可以繪制出函數(shù)的大致圖象走勢和函數(shù)在關(guān)鍵點處的函數(shù)值,或通過幾何意義轉(zhuǎn)化為幾何問題進行求解.
[例8](1)函數(shù)y=的值域為　　　　　　　　　　.
(2)函數(shù)f(x)=2x-3-的值域為　　　　　.

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