資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
新人教版七年級數學暑假自學課
第七講 有理數的乘法
一、專題導航
知識點梳理
知識點1 兩個有理數的乘法
1.有理數的乘法法則
兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；任何數同零相乘都得零；
點撥：.(1)若同號,則; (2)若異號,則;
2.有理數的乘法運算
有理數乘法的運算步驟:
(1)先確定積的符號 ; (2)再確定積的絕對值;
例1-1 .如果a+b＜0，并且ab＞0，那么（ ）
A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＞0 D．a＞0，b＜0
例1-2 .計算的結果是（ ）
A． B．5 C． D．80
例1-3 .計算：
（1）3.7×3
（2）（+5.6）×（﹣1.2）
（3）（﹣3.48）×（﹣0.7）
知識點2倒數
乘積是1的兩個數互為倒數。注：(倒數同正同負)
點撥:用字母表示乘數時,“x”號可以寫成“·”或省略, 如axb可以寫成a.b或ab.
例2-1．2024相反數的倒數是( )
A. B. C.2024 D.
例2-2．若m，n互為倒數，且滿足，則n的值為( )
A. B. C.2 D.4
知識點3 多個有理數乘法
多個有理數相乘時，要根據負因數的個數先確定積的符號，再把絕對值相乘。
點撥（1）當負因數有奇數個時，積為負；(2)當負因數有偶數個時，積為正
幾個數相乘,如果其中有因數為0，積等于0。
例3-1 .幾個不是0的有理數相乘，它們的積的符號（ ）
A．由因數的個數決定 B．由正因數的個數決定
C．由負因數的個數決定 D．由負因數的大小決定
例3-2 .計算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
例3-3 .的結果為（ ）
A． B． C．1 D．10
知識點4 有理數乘法的實際應用
讀懂題意列出乘法算式，利用有理數乘法法則進行計算，得出結論。
例4-1．有20筐白菜，以每筐25千克為標準，超過或不足的千克數分別用正、負數來表示，記錄如下：
與標準質量的差值（千克） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5
筐數 1 8 2 3 2 4
(1)20筐白菜中，最重的一筐比最輕的一筐重多少千克？
(2)與標準重量比較，20筐白菜總計超過或不足多少千克？
(3)若白菜每千克售價3元，則出售這20筐白菜可賣多少元？
例4-2．某食品廠在產品中抽出袋樣品，檢查其質量是否達標，超過標準的部分用正數表示，不足的部分用負數表示：
與標準質量的差/克
袋數/袋 4
(1)這批樣品的總質量比標準總質量多還是少？多或少幾克？
(2)若每袋的標準質量為克，求這批樣品的總質量是多少克？
例4-3．，新華文具用品店最近購進了一批鋼筆，進價為每支6元，為了合理定價，在銷售前4天試行機動價格，賣出時每支以10元為標準，超過10元的部分記為正，不足10元的部分記為負.文具店記錄了這四天該鋼筆的售價情況和售出情況，如表所示：
第1天 第2天 第3天 第4天
每支價格相對標準價格（元） +1 0 -1 -2
售出支數（支） 12 15 32 33
（1）填空：第一天售價是____________元，該天賺了____________元錢；
（2）求新華文具用品店這四天出售這種鋼筆一共賺了多少錢；
（3）新華文具用品店為了促銷這種鋼筆，決定從下周一起推出兩種促銷方式：方式一：購買不超過5支鋼筆，每支12元；若超過5支鋼筆，則超過部分每支降價4元；方式二：每支售價9元.劉老師在該店購買10支鋼筆作為獎品，通過計算說明應選擇上述兩種促銷方式中的哪種方式購買更省錢.
例4-4．2023年國慶節這一天宜昌某出租車公司為“普天同慶，回報社會”，出租車司機小周在東西向的夷興大道上免費接送老年人，如果規定向東為正，向西為負，出租車的行程如下（單位：千米）：，，，，，，，.
(1)最后一名老人送到目的地時，小周距出車地點的距離是多少？
(2)若汽車耗油量為升/千米，這天下午汽車共耗油多少升？
知識點5 利用有理數乘法運算律簡便運算
（1）乘法的交換律、結合律、分配律用字母表示分別為：ab=ba，(ab)c= a(bc)，a(b＋c)= ab＋ac.
（2）在應用乘法分配律時，應注意：①括號外的項要乘以括號內的每一項；②當括號外的項是負數時，一定要注意帶上“－”號乘進去.
（3）乘法的運算律，可以推廣到多個數的情況.
乘法交換律、結合律：abcd=b(ac)d
點撥
例5-1 .在算式：中，運用了（　　）
A．乘法結合律 B．乘法交換律 C．分配律 D．加法交換律
例5-3 .用簡便方法計算： ．
例5-4. 閱讀下面題目的運算過程，并解決下列問題．
解：原式①
②
③
④
⑤
(1)上述計算過程，在第 步出現錯誤，本題運算的正確結果是 ．
(2)結合上述解法給你的啟發，計算：．
易錯點點撥
易錯點1 確定積的符號出錯
例1 .（﹣3.48）×（﹣0.7）
．
易錯點2 求倒數符號出錯
例2 .的倒數是（ ）
A． B． C． D．
易錯點3 乘法法則理解出錯
下列說法正確的是（ ）
A 幾個有理數相乘，積的符號由負因數個數決定，負因數有奇數個積為負。
B 幾個有理數相乘，積的符號由負因數個數決定，負因數有偶數個積為正
C 幾個有理數相乘，有一個因數為0，則積為0
D 乘以一個數等于除以這個數的倒數
易錯點4 利用乘法運算律時出錯
例4 計算題．
(1)（用簡便方法計算）
(2)（用簡便方法計算）
針對訓練
1.兩個有理數的乘法
1．計算的結果是（　　）
A. 2 B. -2 C. 6 D. -8
2．計算3×（-2）的結果等于（　　）
A. 1 B. -1 C. -6 D. 6
3．計算的結果是（　　）
A. B.
C. D. 6
2.倒數
1.的倒數是( )
A. B. C.5 D.
2．的倒數是( )
A. B.2024 C. D.
3．一個數的倒數是,則這個數是( )
A. B. C. D.
6．若a、b互為相反數,c、d互為倒數,,則式子的值為____________.
3 .多個有理數乘法
1.下列運算結果是負數是（ ）
A. B.
C. D.
2.計算–2××0.5的結果是（ ）
A． B．– C．– D．
3.如圖，數軸上有①②③④四個部分，已知，，則原點所在的部分是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4 .有理數乘法的實際應用
1.某商場老板以32元的價格購進30件兒童服裝，針對不同的顧客，30件兒童服裝的售價不完全相同.若以47元為標準，超過的錢數記為正數，不足的錢數記為負數.記錄結果如下表所示：
售出件數 7 6 3 5 4 5
售價(元) +3 +2 +1 0 -1 -2
(1)在銷售這30件兒童服裝中，價格最高的一件比價格最低的一件多多少元？
(2)與標準售價比較，30件兒童服裝總售價超過或不足多少元？
(3)請問該商場在售完這30件兒童服裝后，賺了多少錢？
2．爸爸在銀行上班，每天開車到單位，銀行附近有兩個停車場，收費標準如下：
陽光停車場 2小時內（含2小時） 共收5元
超過2小時部分 每小時收1元
寶源停車場 按月收費，每月200元
(1)在陽光停車場停車5小時收多少錢？
(2)爸爸每周工作5天，4天停車8小時，1天停車12小時，如果每月工作4周，爸爸在哪個停車場停車劃算？
2．在一次數學單元測試中，七年級（1）班的平均分為80分，把高于平均分的部分記作正數，低于平均分的部分記作負數，下表是七年級第一小組10名同學的成績記錄情況：
與平均分的差值（分） 0
人數 1 2 1 2 3 1
根據表格數據解答下列問題：
（1）第一小組同學的平均分比班級平均分高還是低？高或低多少分？
（2）求第一小組10名同學的總分；
（3）若該組10名同學的成績平均分高于80分，得到獎勵，每高一分，獎勵1顆薄荷糖（即某同學的分數為85分，可以得到5顆薄荷糖），否則不獎勵，那么該組10名同學中共有多少名同學受到獎勵？共獎勵多少顆薄荷糖？
4．桌子上有8只杯口朝上的茶杯，每次翻轉其中的4只，只要翻轉2次，就把它們全部翻成杯口朝下.
（1）如果將問題中的8只茶杯改為6只，每次任意翻轉其中的4只，最少經過_______次翻轉就能把它們全部翻成杯口朝下.
（2）現在將問題中的8只茶杯改為7只，能否經過若干次翻轉（每次4個）把它們全部翻成杯口朝下？直接寫出結果________（填“能”或“不能”）.
5．小新以每分鐘米的速度沿鐵道邊小路行走.
（1）身后一輛火車以每分鐘米的速度超過他，從車頭追上小新到車尾離開共用時4秒，那么車長多少米？
（2）過了一會，另一輛貨車以每分鐘米的速度迎面開來，從與小新相遇到離開，共用時3秒.那么車長是多少？
5 .利用有理數乘法運算律簡便運算
，這個運算應用了（ ）
A．加法結合律 B．乘法結合律 C．乘法交換律 D．乘法分配律
2 .簡便計算：
（1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8）；
（2）（）×（﹣12）；
（3）（﹣19）．
（4）（﹣48）×0.125+48
3 .用運算律巧算：
（1） （2）
（3） （4）
4 .
能力提升
提升1 兩個有理數的乘法
計算：
（1）．
（2）．
（3）（﹣2）×3×（﹣4）．
（4）．
2.按如圖程序計算，如果輸入的數是﹣2，那么輸出的數是 ．
提升2倒數
1.已知：實數a與b互為相反數，c與d互為倒數，m的相反數是，則的值是多少呢？
2．若a，b互為相反數，c，d互為倒數，m的絕對值是2，求的值.
提升3 多個有理數乘法
1.計算的結果為 ．
2.若定義一種新的運算“”，規定有理數，如．
求的值；
求的值．
提升4 有理數乘法的實際應用
1.某稻谷加工廠從生產的大米中抽出20袋檢查質量，以每袋50千克為標準，將超過的部分記為正數，不足的部分記為負數，結果記錄如下：
與標準質量的偏差/千克 0
袋數 1 3 4 5 3 3 1
與標準總質量相比，這20袋大米共超重或不足多少千克？
2.在學習有理數的乘法時，李老師和同學們做了這樣一個游戲：將2023這個數說給第一名同學，第一名同學將它減去它的的結果告訴第二名同學，第二名同學再將聽到的結果減去它的的結果告訴第三名同學，第三名同學再將聽到的結果減去它的的結果告訴第四名同學……照這樣的方法直到全班40名同學全部傳完，最后一名同學將聽到的結果告訴李老師．你知道最后的結果嗎？
提升5 利用有理數乘法運算律簡便運算
1 .化繁為簡是數學常用的思想方法．用簡便方法計算時，常用運算律對題目做變形，使運算量減小，達到簡化運算的目的，請你在橫線上補充完整：
原式
．
2.已知a＝20192019×999，b＝20182018×1000，則a與b的大小關系：a b．
3 .觀察下列各式：
…
（1）猜想　 　；
（2）根據上面的規律，解答下列問題：
①（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）×（1）
②將2016減去它的，再減去余下的，再減去余下的，再減去余下的，以此類推，直到最后減去余下的，最后結果是多少？
三個有理數a、b、c滿足abc>0，求++的值．
新人教版七年級數學暑假自學課
第七講 有理數的乘法（解析版）
一、專題導航
二、知識點梳理
知識點1 兩個有理數的乘法
1.有理數的乘法法則
兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；任何數同零相乘都得零；
點撥：.(1)若同號,則; (2)若異號,則;
2.有理數的乘法運算
有理數乘法的運算步驟:
(1)先確定積的符號 ; (2)再確定積的絕對值;
例1-1 .如果a+b＜0，并且ab＞0，那么（ ）
A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＞0 D．a＞0，b＜0
【答案】A
【解析】根據ab大于0，利用同號得正，異號得負的取符號法則得到a與b同號，再由a+b小于0，即可得到a與b都為負數．
詳解：∵ab＞0，
∴a與b同號，
又a+b＜0，
則a＜0，b＜0．
故選A．
例1-2 .計算的結果是（ ）
A． B．5 C． D．80
【答案】B
【分析】利用有理數的乘法法則計算解題即可.
【詳解】解：，
故選.
【點睛】本題考查有理數的乘法，掌握運算法則是解題的關鍵.
例1-3 .計算：
（1）3.7×3
（2）（+5.6）×（﹣1.2）
（3）（﹣3.48）×（﹣0.7）
【分析】先確定積的符號，再計算積的絕對值．
【解答】解：（1）原式＝11.1；
（2）原式＝﹣5.6×1.2
＝﹣6.72；
（3）原式＝3.48×0.7
＝2.436．
【點評】本題考查了有理數的乘法，比較簡單．注意積的符號．
知識點2倒數
乘積是1的兩個數互為倒數。注：(倒數同正同負)
點撥:用字母表示乘數時,“x”號可以寫成“·”或省略, 如axb可以寫成a.b或ab.
例2-1．2024相反數的倒數是( )
A. B. C.2024 D.
答案：B
解析：的相反數是，
相反數的倒數是.
故選：B.
例2-2．若m，n互為倒數，且滿足，則n的值為( )
A. B. C.2 D.4
答案：B
解析：m與n互為倒數，
，
，
，
.
故選：B.
知識點3 多個有理數乘法
多個有理數相乘時，要根據負因數的個數先確定積的符號，再把絕對值相乘。
點撥（1）當負因數有奇數個時，積為負；(2)當負因數有偶數個時，積為正
幾個數相乘,如果其中有因數為0，積等于0。
例3-1 .幾個不是0的有理數相乘，它們的積的符號（ ）
A．由因數的個數決定 B．由正因數的個數決定
C．由負因數的個數決定 D．由負因數的大小決定
【答案】C
【分析】可根據有理數乘法運算的符號法則進行判斷．
【詳解】解：幾個不等于零的數相乘，積的符號由負因數的個數決定．
當負因數有奇數個數，積為負；當負因數的個數為偶數個時，積為正．
故選：C．
【點睛】本題考查了有理數的乘法法則：幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定．當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正．
例3-2 .計算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【答案】(1)1；
(2)；
(3)；
(4)
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【點睛】本題考查多個有理數的乘法運算，正確計算是解題的關鍵．
例3-3 .的結果為（ ）
A． B． C．1 D．10
【答案】D
【分析】先把原式變形為，再根據乘法分配律的逆運算法則求解即可．
【詳解】解：
，
故選D．
【點睛】本題主要考查了有理數乘法運算律，熟知有理數乘法分配律的逆運算是解題的關鍵．
知識點4 有理數乘法的實際應用
讀懂題意列出乘法算式，利用有理數乘法法則進行計算，得出結論。
例4-1．有20筐白菜，以每筐25千克為標準，超過或不足的千克數分別用正、負數來表示，記錄如下：
與標準質量的差值（千克） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5
筐數 1 8 2 3 2 4
(1)20筐白菜中，最重的一筐比最輕的一筐重多少千克？
(2)與標準重量比較，20筐白菜總計超過或不足多少千克？
(3)若白菜每千克售價3元，則出售這20筐白菜可賣多少元？
答案：(1)5.5千克
(2)不足10千克
(3)1470元
解析：（1）最重的一筐比標準重2.5千克，最輕的一筐比標準輕3克，
故最重的一筐比最輕的一筐重：（千克），
答：最重的一筐比最輕的一筐重5.5千克.
（2），
答：20筐白菜總計不足10千克，
（3）（元），
答：出售這20筐白菜可賣1470元.
例4-2．某食品廠在產品中抽出袋樣品，檢查其質量是否達標，超過標準的部分用正數表示，不足的部分用負數表示：
與標準質量的差/克
袋數/袋 4
(1)這批樣品的總質量比標準總質量多還是少？多或少幾克？
(2)若每袋的標準質量為克，求這批樣品的總質量是多少克？
答案：(1)這批樣品的總質量比標準總質量少，少2克；
(2)這批樣品的總質量是克.
解析：（1）；
（克），
答：這批樣品的總質量比標準總質量少，少2克；
（2）
，
（克），
答：這批樣品的總質量是克.
例4-3．，新華文具用品店最近購進了一批鋼筆，進價為每支6元，為了合理定價，在銷售前4天試行機動價格，賣出時每支以10元為標準，超過10元的部分記為正，不足10元的部分記為負.文具店記錄了這四天該鋼筆的售價情況和售出情況，如表所示：
第1天 第2天 第3天 第4天
每支價格相對標準價格（元） +1 0 -1 -2
售出支數（支） 12 15 32 33
（1）填空：第一天售價是____________元，該天賺了____________元錢；
（2）求新華文具用品店這四天出售這種鋼筆一共賺了多少錢；
（3）新華文具用品店為了促銷這種鋼筆，決定從下周一起推出兩種促銷方式：方式一：購買不超過5支鋼筆，每支12元；若超過5支鋼筆，則超過部分每支降價4元；方式二：每支售價9元.劉老師在該店購買10支鋼筆作為獎品，通過計算說明應選擇上述兩種促銷方式中的哪種方式購買更省錢.
答案：（1）11，60
（2）這四天出售這種鋼筆一共賺了282元
（3）使用方式二購買省錢
解析：（1）11；60.
（2）第一天：元；第二天：元，
第三天：元；第四天：元，
（元）.
答：這四天出售這種鋼筆一共賺了282元.
（3）劉老師使用方式一購買10支鋼筆時，
需用元，
劉老師使用方式二購買10支鋼筆時，需用元，
，
使用方式二購買省錢.
例4-4．2023年國慶節這一天宜昌某出租車公司為“普天同慶，回報社會”，出租車司機小周在東西向的夷興大道上免費接送老年人，如果規定向東為正，向西為負，出租車的行程如下（單位：千米）：，，，，，，，.
(1)最后一名老人送到目的地時，小周距出車地點的距離是多少？
(2)若汽車耗油量為升/千米，這天下午汽車共耗油多少升？
答案：(1)千米
(2)34.8升
解析：（1），
答：小周距出車地點的距離是千米；
（2）（升），
答：這天下午汽車共耗油34.8升.
知識點5 利用有理數乘法運算律簡便運算
（1）乘法的交換律、結合律、分配律用字母表示分別為：ab=ba，(ab)c= a(bc)，a(b＋c)= ab＋ac.
（2）在應用乘法分配律時，應注意：①括號外的項要乘以括號內的每一項；②當括號外的項是負數時，一定要注意帶上“－”號乘進去.
（3）乘法的運算律，可以推廣到多個數的情況.
乘法交換律、結合律：abcd=b(ac)d
點撥
例5-1 .在算式：中，運用了（　　）
A．乘法結合律 B．乘法交換律 C．分配律 D．加法交換律
【答案】C
【分析】本題考查有理數的混合運算，解題的關鍵是掌握乘法分配律．據此解答即可．
【詳解】解：算式中，運用了分配律．
故選：C．
例5-2 .計算： ．
【答案】
【分析】根據有理數的乘法運算法則計算即可．
【詳解】
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了有理數的乘法運算，掌握有理數的乘法運算法則是解答本題的關鍵．
例5-3 .用簡便方法計算： ．
【答案】99900
【分析】本題考查有理數的簡便運算．熟練掌握乘法分配律，是解題的關鍵．逆用乘法分配律進行計算即可．
【詳解】
．
故答案為：99900．
例5-4. 閱讀下面題目的運算過程，并解決下列問題．
解：原式①
②
③
④
⑤
(1)上述計算過程，在第 步出現錯誤，本題運算的正確結果是 ．
(2)結合上述解法給你的啟發，計算：．
【答案】(1)⑤，
(2)
【分析】本題主要考查有理數的混合運算，掌握其運算法則是解題的關鍵．
（1）根據乘法運算的結合律進行判定即可；
（2）結合材料提示，運用有理數的混合運算法則即可求解．
【詳解】（1）解：第⑤的計算是，
∴在第⑤步出現錯誤，正確結果是，
故答案為：⑤，．
（2）解：
．
三、易錯點點撥
易錯點1 確定積的符號出錯
例1 .（﹣3.48）×（﹣0.7）
錯解：原式＝-3.48×0.7
＝-2.436．
錯因：混淆有理數加法法則與乘法法則，有理數乘法法則：同號相乘得正
正解：原式＝3.48×0.7
＝2.436．
【點評】本題考查了有理數的乘法，比較簡單．注意積的符號．
易錯點2 求倒數符號出錯
例2 .的倒數是（ ）
A． B． C． D．
錯解：B
錯因：混淆相反數的符號導致出錯
正解：
【答案】C
【提示】由互為倒數的兩數之積為1，即可求解．
【詳解】∵，∴的倒數是.
故選C
易錯點3 乘法法則理解出錯
下列說法正確的是（ ）
A 幾個有理數相乘，積的符號由負因數個數決定，負因數有奇數個積為負。
B 幾個有理數相乘，積的符號由負因數個數決定，負因數有偶數個積為正
C 幾個有理數相乘，有一個因數為0，則積為0
D 乘以一個數等于除以這個數的倒數
錯解：A或B或D
錯因：沒有正確理解有理數乘法法則。不為0的幾個有理數相乘，才有A或B成立，0沒有倒數
正解：C
易錯點4 利用乘法運算律時出錯
例4 計算題．
(1)（用簡便方法計算）
(2)（用簡便方法計算）
錯解:（1）應用乘法分配律出現符號錯誤（2）構造乘法分配律符號出錯
正解
【答案】
(1)
(2)
【分析】（1）利用乘法的分配律把乘以括號內的每一個數，再把所得的積相加即可；
（2）先計算絕對值，再把除法轉化為乘法，確定符號把原式化為：，再計算即可．
【詳解】（1）
（2）
【點睛】本題考查的是有理數的加減乘除運算，掌握“有理數的加減乘除運算的運算法則與運算順序”是解本題的關鍵．
四、針對訓練
1.兩個有理數的乘法
1．計算的結果是（　　）
A. 2 B. -2 C. 6 D. -8
【答案】B
【解析】根據有理數的乘法法則進行計算即可．
解：原式=-2．
故選：B．
2．計算3×（-2）的結果等于（　　）
A. 1 B. -1 C. -6 D. 6
【答案】C
【解析】運用有理數的乘法法則進行計算、求解．
解：3×（-2）
=-（3×2）
=-6，
故選：C．
3．計算的結果是（　　）
A. B.
C. D. 6
【答案】B
【解析】直接根據負數乘以負數的運算法則計算即可．
解：．
故選：B．
2.倒數
1.的倒數是( )
A. B. C.5 D.
答案：D
解析：的倒數是,
故選：D.
2．的倒數是( )
A. B.2024 C. D.
答案：C
解析：
∴的倒數為,
故選：C.
3．一個數的倒數是,則這個數是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：一個數的倒數是,所以這個數是,
故選：D.
6．若a、b互為相反數,c、d互為倒數,,則式子的值為____________.
答案：4或
解析：∵a、b互為相反數,c、d互為倒數,,
∴,,,
當時,；
當時,
故答案為：4或.
3 .多個有理數乘法
1.下列運算結果是負數是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解答】、，積為正數，不符合題意；
、，積為負數，符合題意；
、，積為零，不符合題意；
、，積為正數，不符合題意；
故選B
【點評】本題考查多個有理數相乘的符號確定，解題的關鍵是熟練掌握多個有理數相乘的法則.
2.計算–2××0.5的結果是（ ）
A． B．– C．– D．
【答案】C
【分析】根據有理數的乘法法則計算即可.
【詳解】原式=
=.
故選C．
【點睛】本題考查了有理數的乘法，熟知有理數的乘法法則是解題的關鍵.
3.如圖，數軸上有①②③④四個部分，已知，，則原點所在的部分是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】本題考查數軸的特征，由，得到，結合原點左右的數符號相反即可得到答案，記住數軸的特征是解決問題的關鍵．
【詳解】解： ，，
，
根據數軸特征，原點所在的部分是②，
故選：B．
4 .有理數乘法的實際應用
1.某商場老板以32元的價格購進30件兒童服裝，針對不同的顧客，30件兒童服裝的售價不完全相同.若以47元為標準，超過的錢數記為正數，不足的錢數記為負數.記錄結果如下表所示：
售出件數 7 6 3 5 4 5
售價(元) +3 +2 +1 0 -1 -2
(1)在銷售這30件兒童服裝中，價格最高的一件比價格最低的一件多多少元？
(2)與標準售價比較，30件兒童服裝總售價超過或不足多少元？
(3)請問該商場在售完這30件兒童服裝后，賺了多少錢？
答案：(1)價格最高的一件比價格最低一件多5元
(2)總售價超過22元
(3)賺了472元
解析：(1)由題意得：價格最高的一件售價為(元)，
價格最低的一件售價為(元)，(元)，
答：價格最高的一件比價格最低一件多5元.
(2)(元)，
答：總售價超過22元.
(3)(元)，
(元)，
答：賺了472元.
2．爸爸在銀行上班，每天開車到單位，銀行附近有兩個停車場，收費標準如下：
陽光停車場 2小時內（含2小時） 共收5元
超過2小時部分 每小時收1元
寶源停車場 按月收費，每月200元
(1)在陽光停車場停車5小時收多少錢？
(2)爸爸每周工作5天，4天停車8小時，1天停車12小時，如果每月工作4周，爸爸在哪個停車場停車劃算？
答案：(1)8元
(2)寶源停車場
解析：（1）（元），
答：在陽光停車場停車5小時收8元；
（2）陽光停車場：（元），
（元），
寶源停車場：200元，
，
答：爸爸在寶源停車場停車劃算.
2．在一次數學單元測試中，七年級（1）班的平均分為80分，把高于平均分的部分記作正數，低于平均分的部分記作負數，下表是七年級第一小組10名同學的成績記錄情況：
與平均分的差值（分） 0
人數 1 2 1 2 3 1
根據表格數據解答下列問題：
（1）第一小組同學的平均分比班級平均分高還是低？高或低多少分？
（2）求第一小組10名同學的總分；
（3）若該組10名同學的成績平均分高于80分，得到獎勵，每高一分，獎勵1顆薄荷糖（即某同學的分數為85分，可以得到5顆薄荷糖），否則不獎勵，那么該組10名同學中共有多少名同學受到獎勵？共獎勵多少顆薄荷糖？
答案：（1）第一小組同學的平均分比班級平均分高，高分
（2）第一小組10名同學的總分是826分
（3）該組10名同學中共有6名同學受到獎勵，共獎勵59顆薄荷糖
解析：（1）
（分），
則（分），
即第一小組同學的平均分比班級平均分高，高分；
（2）
（分），
即第一小組10名同學的總分是826分；
（3）由表格數據可得平均分高于80分的有6人，分別為：成績超出平均分3分的有2人，超出平均分12分的有3人，超出平均分17分的有1人，
則
（顆），
即該組10名同學中共有6名同學受到獎勵，共獎勵59顆薄荷糖.
4．桌子上有8只杯口朝上的茶杯，每次翻轉其中的4只，只要翻轉2次，就把它們全部翻成杯口朝下.
（1）如果將問題中的8只茶杯改為6只，每次任意翻轉其中的4只，最少經過_______次翻轉就能把它們全部翻成杯口朝下.
（2）現在將問題中的8只茶杯改為7只，能否經過若干次翻轉（每次4個）把它們全部翻成杯口朝下？直接寫出結果________（填“能”或“不能”）.
答案：（1）3
（2）不能
解析：（1）用“+”表示杯口朝上，用“-”表示杯口朝下，
開始時++++++
第一次----++
第二次-+++-+
第三次------
最少經過3次翻轉就能把它們全部翻成杯口朝下；
故答案為：3；
（2）這不能.
理由是：我們將口向上的杯子記為：“”，口向下的杯子記為“”.
所以初始狀態為：，，，，，，，
因為開始是7杯口全部朝上，即7個，其乘積為；
每改變一個就相當于乘以，而每次改變4個，即乘以4個，其乘積仍為；
7個杯口朝下，即7個，其乘積為；
由于，
故不可能把它們全部翻成杯口朝下.
故答案為：不能.
5．小新以每分鐘米的速度沿鐵道邊小路行走.
（1）身后一輛火車以每分鐘米的速度超過他，從車頭追上小新到車尾離開共用時4秒，那么車長多少米？
（2）過了一會，另一輛貨車以每分鐘米的速度迎面開來，從與小新相遇到離開，共用時3秒.那么車長是多少？
答案：（1）車長為6米
（2）車長是5.5米
解析：（1）4秒分，
（米），
答：車長為6米.
（2）3秒分，
（米），
答：車長是5.5米.
5 .利用有理數乘法運算律簡便運算
，這個運算應用了（ ）
A．加法結合律 B．乘法結合律 C．乘法交換律 D．乘法分配律
【答案】D
【分析】根據乘法分配律進行判斷作答即可．
【詳解】解：由題意知，運算應用了乘法分配律，
故選：D．
【點睛】本題考查了有理數的運算律．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
2 .簡便計算：
（1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8）；
（2）（）×（﹣12）；
（3）（﹣19）．
（4）（﹣48）×0.125+48
【分析】（1）利用乘法的分配律先提取48，再進行計算即可得出答案；
（2）運用乘法分配律進行計算即可．
（3）根據乘法分配律逆用簡便計算．
（4）根據乘法分配律逆用簡便計算．
【解答】解：（1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8）
＝[﹣1.25×（﹣8）]×（﹣5×3）
＝10×（﹣15）
＝﹣150；
（2）（）×（﹣12）
121212
＝﹣5﹣8+9
＝﹣4；
（3）（﹣19）
＝（）×19
19
＝9．
（4）（﹣48）×0.125+48
＝48×（）
＝0；
【點評】考查了有理數的混合運算，進行有理數的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．
3 .用運算律巧算：
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）；（2）4；（3）；（4）．
【分析】（1）利用加法交換律和結合律，把同分母的分式相結合即可；
（2）先利用乘法分配律，再計算加減即可；
（3）利用乘法的交換律和結合律即可得出答案；
（4）利用乘法分配律的逆運算即可；
【詳解】解：（1）
（2）
（3）
（4）
【點睛】本題考差了有理數的混合運算，熟練掌握運算律找出簡便方法是解題的關鍵
4 .
【答案】1
【分析】本題主要考查了有理數的混合計算，先把2023變成，再利用乘法分配律去括號，再計算加減法即可得到答案．
【詳解】解：
．
五、能力提升
提升1 兩個有理數的乘法
計算：
（1）．
（2）．
（3）（﹣2）×3×（﹣4）．
（4）．
【分析】（1）利用有理數的乘法的法則進行運算即可；
（2）把小數轉化為分數，再利用有理數的乘法的法則進行運算即可；
（3）利用有理數的乘法的法則進行運算即可；
（4）利用有理數的乘法的法則進行運算即可；
【解答】解：（1）
＝+（3×）
＝1；
（2）
＝
＝﹣（）
＝﹣；
（3）（﹣2）×3×（﹣4）
＝﹣（2×3）×（﹣4）
＝﹣6×（﹣4）
＝6×4
＝24；
（4）＝0．
【點評】本題主要考查有理數的乘法，解答的關鍵是對有理數的乘法的法則的掌握．
2.按如圖程序計算，如果輸入的數是﹣2，那么輸出的數是 ．
【答案】﹣162
【解答】﹣2x(-3)=6 |6|100
6x(-3)=-18 |-18|100
-18x(-3)=54 |54|100
54x(-3)=-162 |-162|>100輸出，
所以結果為-162
提升2倒數
1.已知：實數a與b互為相反數，c與d互為倒數，m的相反數是，則的值是多少呢？
答案：
解析：由題意得：，，，
，
的值是.
2．若a，b互為相反數，c，d互為倒數，m的絕對值是2，求的值.
答案：1或-3
解析：a，b互為相反數，c，d互為倒數，m的絕對值是2，
，，，
，
所求代數式的值為1或-3.
提升3 多個有理數乘法
1.計算的結果為 ．
【答案】1
【分析】根據有理數乘法運算法則求解即可得到答案．
【詳解】解：
由于從到有個連續自然數，可知中有負號，
原式，
故答案為：．
【點睛】本題考查有理數乘法運算，熟記有理數乘法運算法則是解決問題的關鍵．
2.若定義一種新的運算“”，規定有理數，如．
求的值；
求的值．
【答案】解：；
（2）．
提升4 有理數乘法的實際應用
1.某稻谷加工廠從生產的大米中抽出20袋檢查質量，以每袋50千克為標準，將超過的部分記為正數，不足的部分記為負數，結果記錄如下：
與標準質量的偏差/千克 0
袋數 1 3 4 5 3 3 1
與標準總質量相比，這20袋大米共超重或不足多少千克？
【答案】與標準總質量相比，這20袋大米共超重千克
【分析】根據題目中給出的信息和表格，可以算出這20袋大米實際質量與標準質量的偏差之和與0比較，可得是否超重或不足．
【詳解】解：
（千克），
所以與標準總質量相比，這20袋大米共超重千克．
【點睛】本題考查正數和負數的實際應用、有理數的加法和乘法的實際應用，關鍵是注意表格中的數據的處理，尤其是袋數要注意．
2.在學習有理數的乘法時，李老師和同學們做了這樣一個游戲：將2023這個數說給第一名同學，第一名同學將它減去它的的結果告訴第二名同學，第二名同學再將聽到的結果減去它的的結果告訴第三名同學，第三名同學再將聽到的結果減去它的的結果告訴第四名同學……照這樣的方法直到全班40名同學全部傳完，最后一名同學將聽到的結果告訴李老師．你知道最后的結果嗎？
【答案】
【分析】先表示2023減去其，再表示第一次結果的，從而可得直到全班40名同學全部傳完的結果可表示為 ，再先計算括號內的運算，再計算乘法運算即可．
【詳解】解：
．
【點睛】本題考查的是有理數的乘法的實際應用，理解題意，列出正確的運算式是解本題的關鍵．
提升5 利用有理數乘法運算律簡便運算
1 .化繁為簡是數學常用的思想方法．用簡便方法計算時，常用運算律對題目做變形，使運算量減小，達到簡化運算的目的，請你在橫線上補充完整：
原式
．
【答案】 1
【分析】根據所給式子，提公因式得到，故第一個空填；從而根據同分母分數加減運算計算括號里的式子得到，故第二個空填，從而得到答案．
【詳解】解：由題意知
，
故答案為：；．
【點睛】本題考查利用乘法分配律對題目恒等變形，使運算量減小，達到簡化運算的目的，讀懂題意，掌握同分母分數加減運算法則及分數乘法運算法則是解決問題的關鍵．
2.已知a＝20192019×999，b＝20182018×1000，則a與b的大小關系：a b．
【答案】＜．
【分析】將兩數相減進行比較，提取公因數，變形求得a-b與0的大小即可．
【詳解】解：a﹣b＝20192019×999﹣20182018×1000
＝2019×10001×999﹣2018×10001×1000
＝10001×（2019×999﹣2018×1000）
＝10001×[2019×（1000﹣1）﹣（2019﹣1）×1000]
＝10001×（2019×1000﹣2019﹣2019×1000+1000）
＝10001×（﹣1019）＜0
∴a＜b
故答案為＜．
【點睛】本題考查了多位數大小的比較，將多位數利用提取公因式變形，是解題的關鍵．
3 .觀察下列各式：
…
（1）猜想　 　；
（2）根據上面的規律，解答下列問題：
①（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）×（1）
②將2016減去它的，再減去余下的，再減去余下的，再減去余下的，以此類推，直到最后減去余下的，最后結果是多少？
【分析】（1）根據所給各式發現規律，結果的分子為第1個分數的分子，分母為最后1個分數的分母；
（2）原式括號中變形計算后，約分即可得到結果；
（3）根據題意列出算式，計算即可得到結果．
【解答】解：（1）∵
…
∴
故答案為：；
（2）①原式（）×（）×…×（）×（）
；
②由題意得，2016×（1）×（1）×…×（1）＝2016
＝1．
【點評】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
三個有理數a、b、c滿足abc>0，求++的值．
【答案】3或
【分析】根據絕對值的性質分幾種情況解答即可．
【詳解】解：，
，，都是正數或兩個為負數，
當，，都是正數，即，，時，
則：；
，，有一個為正數，另兩個為負數時，不妨設，，，
則；
綜上所述，++的值為3或．
【點睛】本題主要考查了絕對值的意義、分類討論的思想方法．能不重不漏的分類，會確定字母的范圍和字母的值是關鍵．
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