資源簡介

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人教版數學八年級上暑假預習課
第十二講 軸對稱
知識點梳理
知識點1 軸對稱
1.軸對稱圖形和軸對稱　　
（1）軸對稱圖形
　　如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.
（2）軸對稱
定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.成軸對稱的兩個圖形的性質：
①關于某條直線對稱的兩個圖形形狀相同，大小相等，是全等形；
②如果兩個圖形關于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；
③兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么它們的交點在對稱軸上.
（3）軸對稱圖形與軸對稱的區別和聯系
區別: 軸對稱是指兩個圖形的位置關系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉及兩個圖形，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.聯系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形．
2.軸對稱的性質
(1)由一個平面圖形可以得到它關于一條直線l成軸對稱的圖形，所得圖形與原圖形全等．
(2)新圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關于直線l的對稱點．
(3)連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分
典例剖析1
例1-1．如圖為一張銳角三角形紙片ABC，小明想要通過折紙的方式折出如下線段：①BC邊上的中線AD；②∠A的平分線AE；③BC邊上的高AF．根據所學知識與相關活動經驗可知：上述三條線中，能夠通過折紙折出的有（　　）
A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③
例1-2．下列圖形中，直線l為該圖形的對稱軸的是（　　）
A. B.
C. D.
知識點2 設計軸對稱圖形
畫已知圖形的軸對稱圖形
依據：
如果兩個圖形的對應點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱，據此我們通過作出已知點的對稱點的方法作出已知圖形的軸對稱圖形．
(2)方法：
①選擇一些特殊的點；
②過這些點分別作已知直線(對稱軸)的垂線，并在垂線上找到一些點(截取)，使得這些點到對稱軸的距離分別相等，從而得到已知點的對稱點；
③順次連接這些對稱點得到的圖形，即為已知圖形的軸對稱圖形．
典例剖析2
例2-1.如圖，小強拿一張正方形的紙，沿圖甲中虛線對折一次得圖乙，再對折一次得圖丙，然后用剪刀沿圖丙中的虛線剪去一個角，再打開后的形狀是（ ）
A． B． C． D．
例2-2．如圖，已知：△ABC是不等邊三角形，請以AB為公共邊，能作出（　　）個三角形與△ABC全等，且構成的整體圖形是軸對稱圖形．
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
例2-3．如圖所示，△ABC在正方形網格中，若點A的坐標為（0，3），按要求回答下列問題：
（1）在圖中建立正確的平面直角坐標系；
（2）作出△ABC關于x軸的對稱圖形△A'B'C'；（不用寫作法）
（3）求△A'B'C'的面積．
知識點3 坐標與圖形變換
1.關于x軸、y軸對稱的點的坐標的特點(x，y)
關于x軸對稱的點的坐標為(x，－y)
關于y軸對稱的點的坐標為(－x，y)
關于原點對稱的點的坐標為(－x，—y)，
2.平面直角坐標系中的軸對稱
方法：先求出已知圖形中一些特殊點關于x軸(或y軸)的對稱點的坐標，描出這些點，并順次連接，就可得到這個圖形關于x軸(或y軸)的對稱圖形．
3.P(x，y)關于直線x＝m，直線y＝n對稱的點的坐標
（1）點(x，y)關于直線x＝m對稱的點的坐標關系是：兩對稱點橫坐標之和等于2m，即所求點的橫坐標x1＝2m－x，縱坐標不變；
（2）關于直線y＝n對稱的點的坐標關系是：兩對稱點縱坐標之和等于2n，即所求點的縱坐標y1＝2n－y. 橫坐標不變。
典例剖析3
例3-1．在平面直角坐標系中，點A（2，3）關于x軸對稱的點的坐標是（　　）
A. （-2，-3） B. （2，-3） C. （-2，3） D. （-3，-2）
例3-2．剪紙藝術是中國民間藝術之一，很多剪紙作品體現了數學中的對稱美．如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對稱圖形，將其放在平面直角坐標系中，如果圖中點E的坐標為（2m,-n），其關于y軸對稱的點F的坐標為（3-n,-m+1），則（m-n）2023的值為（　　）
A. 32023 B. -1 C. 1 D. 0
例3-3．平面直角坐標系內的點A（－1，3）與點B（－1，－3）的位置關系是（　 　）
A. 關于y軸對稱 B. 關于x軸對稱
C. 關于原點對稱 D. 無法確定
知識點4 軸對稱綜合---幾何變換
折疊：
折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．
典例剖析4
例4-1．將△ABC沿著平行于BC的直線折疊，點A落到點A′，若∠C=120°，∠A=26°，則∠A′DB的度數是（ ）
A．100° B．104° C．108° D．112°
例4-2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°， BC＝6，D為線段AC的中點，把△ABC沿BD折疊，C點的對應點為點E，若△ADE為直角三角形，則CD＝ ．
例4-3．如圖，已知與關于直線成軸對稱，，
(1)當時，求的度數；
(2)若，，則的面積為________.
例4-4 .如圖，△ABE和△ADC分別沿著邊AB、AC翻折180°形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，BE與DC交于點F，則∠EFC的度數為（　　）
A．20° B．30° C．40° D．45°
三、變式訓練
訓練1 軸對稱
1．下面四種化學儀器的示意圖是軸對稱圖形的是（　　）
A. B.
C. D.
2．小明玩自拍，自拍照中電子鐘示數如圖所示，拍照的時刻應是（　　）
A. 21：10 B. 10：21 C. 10：51 D. 12：01
3．一輛汽車的車牌號在水中的倒影是：那么它的實際車牌號是：_____．
訓練2 設計軸對稱圖形
1．如圖是由小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點叫做格點．的三個頂點都是格點．僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．
（1）在圖（1）中，，分別是邊，與網格線的交點．先將點繞點旋轉得到點，畫出點，再在上畫點，使；
（2）在圖（2）中，是邊上一點，．先將繞點逆時針旋轉，得到線段，畫出線段，再畫點，使，兩點關于直線對稱．
2．如圖，正方形網格中，建立平面直角坐標系，△ABC是格點三角形（頂點都在格點上的三角形）．
（1）畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）畫出△A1B1C1向下平移5個單位長度得到的△A2B2C2；
（3）若點P（m,n）為△ABC邊上一點，請直接寫出點P經過（1）（2）兩次圖形變換后的對應點P2的坐標 _____．
3．(0分)如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）請寫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1的各頂點坐標；
（2）請畫出△ABC關于y軸對稱的△A2B2C2；
（3）在x軸上求作一點P，使點P到A、B兩點的距離和最小，請標出P點，并直接寫出點P的坐標 _____．
訓練3坐標與圖形變換
1.已知點E（x0，y0），點F（x2，y2），點M（x1，y1）是線段EF的中點，則x1=，y1=．在平面直角坐標系中有三個點A（1，-1），B（-1，-1），C（0，1），點P（0，2）關于點A的對稱點P1（即P，A，P1三點共線，且PA=P1A），P1關于點B的對稱點P2，P2關于點C的對稱點P3，…按此規律繼續以A，B，C三點為對稱點重復前面的操作．依次得到點P4，P5，P6…，則點P2022的坐標是（　　）
A. （0，2） B. （2，0） C. （2，-4） D. （-4，2）
2．在平面直角坐標系中，點M（-4，1），先向右平移2個單位，再作關于y軸對稱，最后得到的點的坐標為 _____．
3．如圖，△ABO關于x軸對稱，點A的坐標為（1，-2），寫出點B的坐標．
4．在平面直角坐標系中，點A（2，a），B（b,3），C（m,n），且+|b-4|=0．
（1）點A的坐標為 _____，點B的坐標為 _____；
（2）將線段AB平移至EF，點A和點E為對應點，點B和點F為對應點，當點E和點F分別落在兩條坐標軸上時，求點E的坐標；
（3）若點C（m,n）在第一象限，且在直線AB上，點C關于x軸的對稱點為點D．若△DAB的面積為8，求點D的坐標．
5．已知點A（a-5，1-2a），解答下列問題：
（1）若點A到x軸和y軸的距離相等，求點A的坐標；
（2）若點A向右平移若干個單位后，與點B（-2，-3）關于x軸對稱，求點A的坐標．
訓練4 軸對稱綜合---幾何變換
1.已知，，，在平面直角坐標系（如圖）中畫出符合要求的圖形．
(1)畫出；
(2)畫出關于y軸對稱的；點A的對應點的坐標是 ，點B的對應點的坐標是 ，點C的對應點的坐標是 ；
(3)試在x軸上找點P使最短，（要求完成作圖并保留痕跡）
2．如圖，，O為內部的一點，連接．
(1)作線段關于直線對稱的線段，分別是；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)求證：M，C，N三點在同一條直線上．
3．如圖，在平面直角坐標系中，以為頂點的三點坐標分別為．
(1)如圖，連接，得到．將沿著軸翻折后連接求的面積與的面積的差．
(2)在上有一點．若對作平移運動，且平移后點的對應點坐標為，畫出平移后的三角形，平移后點的坐標是______．
(3)將沿著軸折疊，點的對應點是．若在軸上存在一點，使最小，求點的坐標．
4.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝5cm，CD為AB邊上的高，點E從點B出發，在直線BC上以2cm/s的速度移動，過點E作BC的垂線交直線CD于點F．
（1）求證：∠A＝∠BCD；
（2）當CF＝AB時，點E運動多長時間？并說明理由．
四、能力提升
能力提升1軸對稱
1．一面鏡子MN豎直懸掛在墻壁上，人眼O的位置．如圖所示，有三個物體A、B、C放在鏡子前面，人眼能從鏡子看見哪個物體？
2．如圖，DA、CB是平面鏡前同一發光點S發出的經平面鏡反射后的反射光線，請通過畫圖確定發光點S的位置，并將光路圖補充完整．
3.如圖，光線a照射到平面鏡CD上，然后在平面鏡AB和CD之間來回反射，這時光線的入射角等于反射角，即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4．若已知∠1＝55°，∠3＝75°，那么∠2等于　65　度．
能力提升2 設計軸對稱圖形
1．（1）小河的同旁有甲、乙兩個村莊如圖（1），現計劃在河岸AB上建一個水泵站，向兩村供水，用以解決村民生活用水問題．（保留作圖痕跡）
①如果要求水泵站到甲、乙兩村莊的距離相等，水泵站M應建在河岸AB上的何處？
②如果要求建造水泵站，供水管道使用建材最省，水泵站N又應建在河岸AB上的何處？
（2）如圖（2），作出△ABC關于直線l的對稱圖形．
2．(0分)直角三角形紙片ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，如圖，將紙片沿某條直線折疊，使點A落在直角邊BC上，記落點為D，設折痕與AB、AC邊分別交于點E、F．
（1）如果∠AFE=65°，求∠CDF的度數；
（2）若折疊后的△CDF與△BDE均為等腰三角形，那么紙片中∠B的度數是多少？寫出你的計算過程，并畫出符合條件的折疊后的圖形．
3．(0分)在4×4的方格中，△ABC的三個頂點都在格點上．
（1）在圖1中畫出與△ABC成軸對稱且與△ABC有公共邊的格點三角形（畫出一個即可）；
（2）在圖2、圖3中各作一格點D，使得△ACD∽△DCB，并請連接AD、CD、BD．
能力提升3 坐標與圖形變換
1.在平面直角坐標系xOy中，△ABC的位置如圖所示
（1）分別寫出△ABC各個頂點的坐標：
A（_____，_____）；B（_____，_____）
C（_____，_____）
（2）頂點A關于x軸對稱的點A′的坐標（_____，_____），頂點C關于原點對稱的點C的坐標（_____，_____）
（3）△ABC的面積為_____．
2．平面直角坐標系中，點在軸正半軸，點在軸正半軸，以線段為邊在第一象限內作等邊，點關于軸的對稱點為點，連接，，且交軸于點．
（1）在圖中，補全圖形，并填空：
①若點，則點的坐標是________；
②若，則________；
（2）如圖，若，求證：垂直平分；
（3）當時，探究，，數量關系，并證明．
3．如圖，在直角坐標系中，A（-1，5），B（-3，0），C（-4，3）．
（1）在圖中作出△ABC關于y軸對稱的圖形△A1B1C1．
（2）寫出點C1的坐標．
能力提升4 軸對稱綜合---幾何變換
1.【閱讀】如圖1，四邊形中，，，，，經過點的直線將四邊形分成兩部分，直線與所成的角設為，將四邊形的直角沿直線折疊，點落在點處，我們把這個操作過程記為．
【理解】若點與點重合，則這個操作過程為[__________，__________]；
　　　　 　　　　
【嘗試】
（1）若點恰為的中點(如圖2)，求；
（2）經過操作，點落在處，若點在四邊形的邊上(如圖3)，求出的值．
2．如圖1，四邊形OABC中，OA=a，OC=5，BC=3,∠AOC=∠BCO=90°，經過點O的直線l將四邊形分成兩部分，直線l與OC所成的角設為θ，將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點C落在點D處（如圖1）．
（1）若折疊后點D恰為AB的中點（如圖2），求θ的值；
（2）若θ=45°，四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊后，點B落在點四邊形OABC的邊AB上，求a的值.
3.將兩個全等的△ABC和△DBE按圖1方式擺放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于F．
（1）求證：AF+EF＝DE；
（2）若將圖1中的△DBE繞點B順時針旋轉角a，且60°＜α＜180°，其他條件不變，如圖2，請直接寫出此時線段AF、EF與DE之間的數量關系．
人教版數學八年級上暑假預習課
第十二講 軸對稱（解析版）
知識點梳理
知識點1 軸對稱
1.軸對稱圖形和軸對稱　　
（1）軸對稱圖形
　　如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.
（2）軸對稱
定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.成軸對稱的兩個圖形的性質：
①關于某條直線對稱的兩個圖形形狀相同，大小相等，是全等形；
②如果兩個圖形關于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；
③兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么它們的交點在對稱軸上.
（3）軸對稱圖形與軸對稱的區別和聯系
區別: 軸對稱是指兩個圖形的位置關系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉及兩個圖形，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.聯系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形．
2.軸對稱的性質
(1)由一個平面圖形可以得到它關于一條直線l成軸對稱的圖形，所得圖形與原圖形全等．
(2)新圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關于直線l的對稱點．
(3)連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分
典例剖析1
例1-1．如圖為一張銳角三角形紙片ABC，小明想要通過折紙的方式折出如下線段：①BC邊上的中線AD；②∠A的平分線AE；③BC邊上的高AF．根據所學知識與相關活動經驗可知：上述三條線中，能夠通過折紙折出的有（　　）
A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③
【答案】A
【解析】根據三角形的中線，角平分線以及高的定義作答．
解：①BC邊上的中線AD：如圖1，使點B、C重合，中點為點D，連接AD，此時AD即為BC邊上的中線；
②∠A的平分線AE：如圖2，沿直線AE折疊，使AB與AC重疊，此時AE即為BC邊上的角平分線；
③BC邊上的高AF：如圖3，沿直線AF折疊，使BF與CF重合，此時AF即為BC邊上的高．
綜上所述，所有能夠通過折紙折出的有①②③．
故選：A．
例1-2．下列圖形中，直線l為該圖形的對稱軸的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】在軸對稱圖形中，沿對稱軸將它對折，左右兩邊完全重合，以此逐項判斷即可．
解：A．平行四邊形不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
B．該圖形不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
C．該圖形不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
D．該圖形是軸對稱圖形，故本選項符合題意．
故選：D．
知識點2 設計軸對稱圖形
畫已知圖形的軸對稱圖形
依據：
如果兩個圖形的對應點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱，據此我們通過作出已知點的對稱點的方法作出已知圖形的軸對稱圖形．
(2)方法：
①選擇一些特殊的點；
②過這些點分別作已知直線(對稱軸)的垂線，并在垂線上找到一些點(截取)，使得這些點到對稱軸的距離分別相等，從而得到已知點的對稱點；
③順次連接這些對稱點得到的圖形，即為已知圖形的軸對稱圖形．
典例剖析2
例2-1.如圖，小強拿一張正方形的紙，沿圖甲中虛線對折一次得圖乙，再對折一次得圖丙，然后用剪刀沿圖丙中的虛線剪去一個角，再打開后的形狀是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】嚴格按照圖中的方法親自動手操作一下，即可很直觀地呈現出來．
【詳解】解：嚴格按照圖中的順序向右下對折，向左下對折，從上方角剪去一個直角三角形，展開得到結論．
故選：B．
【點評】此題主要考查了學生的動手能力及空間想象能力，解題的關鍵是學生只要親自動手操作，答案就會很直觀地呈現．
例2-2．如圖，已知：△ABC是不等邊三角形，請以AB為公共邊，能作出（　　）個三角形與△ABC全等，且構成的整體圖形是軸對稱圖形．
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【答案】B
【解析】直接利用軸對稱圖形的性質結合全等三角形的判定與性質得出答案．
解：如圖所示：以AB為公共邊，能作出2個三角形與△ABC全等，且構成的整體圖形是軸對稱圖形．
故選：B．
例2-3．如圖所示，△ABC在正方形網格中，若點A的坐標為（0，3），按要求回答下列問題：
（1）在圖中建立正確的平面直角坐標系；
（2）作出△ABC關于x軸的對稱圖形△A'B'C'；（不用寫作法）
（3）求△A'B'C'的面積．
【解析】（1）根據點A的坐標為（0，3），即可建立正確的平面直角坐標系；
（2）分別作點A，B，C關于x軸的對稱點A′，B′，C′，連接A′B′，B′C′，C′A′則△A′B′C′即為所求；
（3）利用割補法求面積即可．
解：（1）所建立的平面直角坐標系如下所示；
（2）所作△A'B'C'如圖所示；
（3）△A'B'C'的面積=4×4-×4×2-1×2-×3×4=5．
知識點3 坐標與圖形變換
1.關于x軸、y軸對稱的點的坐標的特點(x，y)
關于x軸對稱的點的坐標為(x，－y)
關于y軸對稱的點的坐標為(－x，y)
關于原點對稱的點的坐標為(－x，—y)，
2.平面直角坐標系中的軸對稱
方法：先求出已知圖形中一些特殊點關于x軸(或y軸)的對稱點的坐標，描出這些點，并順次連接，就可得到這個圖形關于x軸(或y軸)的對稱圖形．
3.P(x，y)關于直線x＝m，直線y＝n對稱的點的坐標
（1）點(x，y)關于直線x＝m對稱的點的坐標關系是：兩對稱點橫坐標之和等于2m，即所求點的橫坐標x1＝2m－x，縱坐標不變；
（2）關于直線y＝n對稱的點的坐標關系是：兩對稱點縱坐標之和等于2n，即所求點的縱坐標y1＝2n－y. 橫坐標不變。
典例剖析3
例3-1．在平面直角坐標系中，點A（2，3）關于x軸對稱的點的坐標是（　　）
A. （-2，-3） B. （2，-3） C. （-2，3） D. （-3，-2）
【答案】B
【解析】根據“關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數”解答即可．
解：點A（2，3）關于x軸對稱的點的坐標為（2，-3）．
故選：B．
例3-2．剪紙藝術是中國民間藝術之一，很多剪紙作品體現了數學中的對稱美．如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對稱圖形，將其放在平面直角坐標系中，如果圖中點E的坐標為（2m,-n），其關于y軸對稱的點F的坐標為（3-n,-m+1），則（m-n）2023的值為（　　）
A. 32023 B. -1 C. 1 D. 0
【答案】C
【解析】利用軸對稱的性質構建方程組，求出m,n,可得結論．
解：∵E（2m,-n），F（3-n,-m+1）關于y軸對稱，
∴，
解得，，
∴（m-n）2023=（-4+5）2023=1，
故選：C．
3．平面直角坐標系內的點A（－1，3）與點B（－1，－3）的位置關系是（　 　）
A. 關于y軸對稱 B. 關于x軸對稱
C. 關于原點對稱 D. 無法確定
【答案】B
【解析】縱坐標互為相反數，橫坐標不變可知兩點關于x軸對稱．
解：平面直角坐標系內的點A（－1，3）與點B（－1，－3）關于x軸對稱．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了關于x軸對稱點的坐標，關鍵是掌握點的坐標的變化規律．
知識點4 軸對稱綜合---幾何變換
折疊：
折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．
典例剖析4
例4-1．將△ABC沿著平行于BC的直線折疊，點A落到點A′，若∠C=120°，∠A=26°，則∠A′DB的度數是（ ）
A．100° B．104° C．108° D．112°
【答案】D
【分析】利用三角形的內角和為180°求出∠B，從而根據平行線的性質可得∠ADE=∠B，再由折疊的性質得出∠ADE=∠A'DE，利用平角的知識可求出∠A′DB的度數．
【詳解】解：∵∠C=120°，∠A=26°，
∴∠B=180°-（∠A+∠C）=34°，
又∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=34°，
根據折疊的性質可得∠ADE=∠A'DE，
∴∠A'DE=∠ADE=∠B=34°，
∴∠A′DB=180°-∠ADE-∠A'DE=112°．
故選D．
【點睛】本題考查折疊的性質，注意掌握折疊前后對應角相等，另外解答本題需要用到三角形的內角和定理及平行線的性質，也要注意對這些基礎知識的掌握．
例4-2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°， BC＝6，D為線段AC的中點，把△ABC沿BD折疊，C點的對應點為點E，若△ADE為直角三角形，則CD＝ ．
【答案】6
【分析】由折疊可得，∠CDB＝∠EDB，由∠CDE＝90°，即可得到∠CDB＝45°，∠CBD＝45°，即可得出CD＝CB．
【詳解】解：由折疊可得，∠CDB＝∠EDB，
∵Rt△ADE中，∠ADE＝90°，
∴∠CDE＝90°，
∴∠CDB＝45°，∠CBD＝45°，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴CD＝CB＝6，
故答案為6．
【點睛】本題考查的是翻轉變換的性質，翻轉變換是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．
例4-3．如圖，已知與關于直線成軸對稱，，
(1)當時，求的度數；
(2)若，，則的面積為________.
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了對稱的性質，三角形的內角和定理，三角形的面積，解題的關鍵是掌握對稱的性質．
（1）根據對稱的性質可得，再根據三角形的內角和即可求解；
（2）根據對稱的性質可得，，利用三角形的面積公式即可求解．
【詳解】（1）解：與關于直線成軸對稱，
，
，
;
（2）與關于直線成軸對稱，
，，即，
，
，
故答案為：．
例4-4 .如圖，△ABE和△ADC分別沿著邊AB、AC翻折180°形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，BE與DC交于點F，則∠EFC的度數為（　　）
A．20° B．30° C．40° D．45°
【分析】根據∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，三角形的內角和定理分別求得∠BCA，∠ABC，∠BAC的度數，然后根據折疊的性質求出∠D、∠DAE、∠BEA的度數，在△AOD中，根據三角形的內角和定理求出∠AOD的度數，繼而可求得∠EOF的度數，最后根據三角形的外角定理求出∠EFC的度數．
【解析】在△ABC中，
∵∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，
∴設∠BCA為28x，∠ABC為5x，∠BAC為3x，
則28x+5x+3x＝180°，
解得：x＝5°，
則∠BCA＝140°，∠ABC＝25°，∠BAC＝15°，
由折疊的性質可得：∠D＝25°，∠DAE＝3∠BAC＝45°，∠BEA＝140°，
在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠DAE﹣∠D＝110°，
∴∠EOF＝∠AOD＝110°，
∴∠EFC＝∠BEA﹣∠EOF＝140°﹣110°＝30°．
故選：B．
【點評】本題考查圖形的折疊變化及三角形的內角和定理．關鍵是要理解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．
三、變式訓練
訓練1 軸對稱
1．下面四種化學儀器的示意圖是軸對稱圖形的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
解：A、B，D選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
C選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：C．
2．小明玩自拍，自拍照中電子鐘示數如圖所示，拍照的時刻應是（　　）
A. 21：10 B. 10：21 C. 10：51 D. 12：01
【答案】C
【解析】根據鏡面對稱的性質求解，在平面鏡中的像與現實中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關于鏡面對稱．
解：根據鏡面對稱的性質可得拍照的時刻應是10：51，
故選：C．
3．一輛汽車的車牌號在水中的倒影是：那么它的實際車牌號是：_____．
【答案】K62897
【解析】關于倒影，相應的數字應看成是關于倒影下邊某條水平的線對稱．
解：實際車牌號是K62897．
故答案為：K62897．
訓練2 設計軸對稱圖形
1．如圖是由小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點叫做格點．的三個頂點都是格點．僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．
（1）在圖（1）中，，分別是邊，與網格線的交點．先將點繞點旋轉得到點，畫出點，再在上畫點，使；
（2）在圖（2）中，是邊上一點，．先將繞點逆時針旋轉，得到線段，畫出線段，再畫點，使，兩點關于直線對稱．
【答案】（1）作圖見解析
（2）作圖見解析
【解析】（1）取格點，作平行四邊形，利用平行四邊形對角頂點關于對角線交點對稱即可求點F；平行四邊形對邊在網格中與格線的交點等高，連接等高點即可作出；
（2）取格點，作垂直平分線即可作出線段AH；利用垂直平分線的性質，證明三角形全等，作出，兩點關于直線對稱
【小問1詳解】
解：作圖如下：
取格點，連接，且，所以四邊形是平行四邊形，連接 ，與AC的交點就是點E，所以BE=EF，所以點F即為所求的點；
連接CF，交格線于點M，因為四邊形ABCF是平行四邊形，連接DM交AC于一點，該點就是所求的G點；
【小問2詳解】
解：作圖如下：
取格點D、E，連接DE，AC平行于DE，取格點R，連接BR并延長BR交DE于一點H，連接AH，此線段即為所求作線段；
理由如下：取格點W連接AW、CW，連接CR，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∵點是的中點，
∴點是的中點，
即，
∴垂直平分，
∴．
連接，交AC于點，連接交于點，則該點就是點關于直線的對稱點．
理由如下：∵垂直平分，
∴是等腰三角形，，
∴ ，
∴，
∴，
∴，兩點關于直線對稱.
【點睛】本題考查了用無刻度直尺在網格中作圖的知識，找準格點作出平行四邊形和垂直平分線是解決本題的關鍵．
2．如圖，正方形網格中，建立平面直角坐標系，△ABC是格點三角形（頂點都在格點上的三角形）．
（1）畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）畫出△A1B1C1向下平移5個單位長度得到的△A2B2C2；
（3）若點P（m,n）為△ABC邊上一點，請直接寫出點P經過（1）（2）兩次圖形變換后的對應點P2的坐標 _____．
【答案】（-m,n-5）
【解析】（1）根據軸對稱即可畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）根據平移的性質即可畫出△A1B1C1向下平移5個單位長度得到△A2B2C2；
（3）結合（1）（2）即可寫出點P經過上述兩次圖形變換后的對應點P2的坐標．
解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；
（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求；
（3）點P2的坐標為（-m,n-5）．
故答案為：（-m,n-5）．
3．(0分)如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）請寫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1的各頂點坐標；
（2）請畫出△ABC關于y軸對稱的△A2B2C2；
（3）在x軸上求作一點P，使點P到A、B兩點的距離和最小，請標出P點，并直接寫出點P的坐標 _____．
【答案】（2，0）
【解析】（1）關于x軸對稱的點，橫坐標不變，縱坐標互為相反數，由此可得答案．
（2）根據軸對稱的性質作圖即可．
（3）作點A關于x軸的對稱點A1，連接A1B，與x軸交于點P，連接AP，此時點P到A、B兩點的距離和最小，即可得出點P的坐標．
解：（1）∵△ABC與△A1B1C1關于x軸對稱，
∴點A1（1，-1），B1（4，-2），C1（3，-4）．
（2）如圖，△A2B2C2即為所求．
（3）如圖，點P即為所求，
點P的坐標為（2，0）．
故答案為：（2，0）．
訓練3坐標與圖形變換
1.已知點E（x0，y0），點F（x2，y2），點M（x1，y1）是線段EF的中點，則x1=，y1=．在平面直角坐標系中有三個點A（1，-1），B（-1，-1），C（0，1），點P（0，2）關于點A的對稱點P1（即P，A，P1三點共線，且PA=P1A），P1關于點B的對稱點P2，P2關于點C的對稱點P3，…按此規律繼續以A，B，C三點為對稱點重復前面的操作．依次得到點P4，P5，P6…，則點P2022的坐標是（　　）
A. （0，2） B. （2，0） C. （2，-4） D. （-4，2）
【答案】A
【解析】先利用定義依次求出各點，再總結規律即可求解．
解：由題意，P1（2，-4），P2（-4，2），P3（4，0），P4（-2，-2），P5（0，0），P6（0，2），P7（2，-4），……
可得每6次為一個循環，
∵2022÷6=337，
∴點P2022的坐標是（0，2），
故選：A．
2．在平面直角坐標系中，點M（-4，1），先向右平移2個單位，再作關于y軸對稱，最后得到的點的坐標為 _____．
【答案】（2，1）
【解析】先求出平移后的坐標，再利用關于y軸對稱點的性質得出答案．
解：∵點M（-4，1），先向右平移2個單位得（-2，1），
∴點（-2，1）關于y軸對稱的坐標為（2，1）．
故答案為：（2，1）．
3．如圖，△ABO關于x軸對稱，點A的坐標為（1，-2），寫出點B的坐標．
【解析】根據平面直角坐標系中兩個關于坐標軸成軸對稱的點的坐標特點：關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數，即可得出結果．
解：由題意，可知點B與點A關于x軸對稱，
又∵點A的坐標為（1，-2），
∴點B的坐標為（1，2）．
4．在平面直角坐標系中，點A（2，a），B（b,3），C（m,n），且+|b-4|=0．
（1）點A的坐標為 _____，點B的坐標為 _____；
（2）將線段AB平移至EF，點A和點E為對應點，點B和點F為對應點，當點E和點F分別落在兩條坐標軸上時，求點E的坐標；
（3）若點C（m,n）在第一象限，且在直線AB上，點C關于x軸的對稱點為點D．若△DAB的面積為8，求點D的坐標．
【答案】(1)（2，6）;(2)B（4，3）;
【解析】（1）利用算術平方根和絕對值的非負性確定a和b的值，從而求解；
（2）利用平移的性質求解；
（3）待定系數法求得直線AB的解析式，然后結合圖形利用三角形的面積公式列方程求解．
解：（1）∵+|b-4|=0，
∴=0，|b-4|=0，
解得：a=6，b=4．
∴A（2，6），B（4，3）；
（2）由平移性質可得：
將線段AB平移EF，A和E為對應點，B和F為對應點，
當E和F分別落在兩條坐標軸上時，此時E的坐標為E（0，3）或E（-2，0）；
（3）由題意可得：點C（m,n）且點C關x軸的對稱點為D．
∴點D（m,-n），即CD=2n
設直線AB的解析式y=kx+b（k≠0），
將A（2，6），B（4，3），代入得：
，
解得，
∴直線AB的解析式為y=-x+9，
∵點C在直線AB上，
∴n=-m+9，
∴CD=2n=-3m+18，
∴S△ABD=×CD×2=-3m+18=8，
解得：m=，
∴n=-×+9=4，
∴C點坐標為（，4），即D點坐標為（，-4）．
5．已知點A（a-5，1-2a），解答下列問題：
（1）若點A到x軸和y軸的距離相等，求點A的坐標；
（2）若點A向右平移若干個單位后，與點B（-2，-3）關于x軸對稱，求點A的坐標．
【解析】（1）直接利用點A在第一象限或第三象限或點A在第二象限或第四象限，分別得出答案；
（2）直接利用平移的性質結合關于x軸對稱點的性質得出答案．
解：（1）若點A在第一象限或第三象限，則a-5=1-2a,
解得：a=2，
則a-5=1-2a=-3，
∴點A的坐標為（-3，-3），
若點A在第二象限或第四象限，則a-5+1-2a=0，
解得a=-4，
則a-5=-9，1-2a=9，
∴點A的坐標為（-9，9），
綜上所述，點A的坐標為（-3，-3）或（-9，9）；
（2）∵若點A向右平移若干個單位，其縱坐標不變為（1-2a），
又∵點A向右平移若干個單位后與點B（-2，-3）關于x軸對稱，
∴1-2a+（-3）=0，
a=-1，a-5=-1-5=-6，
1-2a=1-2×（-1）=3，
即點A的坐標為（-6，3）．
訓練4 軸對稱綜合---幾何變換
1.已知，，，在平面直角坐標系（如圖）中畫出符合要求的圖形．
(1)畫出；
(2)畫出關于y軸對稱的；點A的對應點的坐標是 ，點B的對應點的坐標是 ，點C的對應點的坐標是 ；
(3)試在x軸上找點P使最短，（要求完成作圖并保留痕跡）
【答案】(1)見解析
(2)畫圖見解析，、、
(3)見解析
【分析】本題考查了根據軸對稱變換作圖，解答本題的關鍵是根據網格結構作出對應點的位置，然后順次連接．
（1）根據、、三點坐標作圖可得；
（2）分別作出點、、關于軸對稱軸的點，然后順次連接；
（3）連接，與軸的交點就是點．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）如圖所示，點的對應點的坐標是、點的對應點的坐標是、點的對應點的坐標是，
故答案為：、、；
（3）如圖，作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，則點即為所求．
2．如圖，，O為內部的一點，連接．
(1)作線段關于直線對稱的線段，分別是；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)求證：M，C，N三點在同一條直線上．
【答案】(1)圖見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據要求作出圖形，
（2）證明即可，
本題考查軸對稱，解題的關鍵是掌握軸對稱變換的性質．
【詳解】（1）解：圖形如圖所示：
（2）證明：∵關于對稱，
，
∵關于對稱，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴共線．
3．如圖，在平面直角坐標系中，以為頂點的三點坐標分別為．
(1)如圖，連接，得到．將沿著軸翻折后連接求的面積與的面積的差．
(2)在上有一點．若對作平移運動，且平移后點的對應點坐標為，畫出平移后的三角形，平移后點的坐標是______．
(3)將沿著軸折疊，點的對應點是．若在軸上存在一點，使最小，求點的坐標．
【答案】(1)的面積與的面積的差等于
(2)畫圖見解析，
(3)
【分析】本題考查的是畫軸對稱圖形，軸對稱的性質，畫平移圖形，平移的性質，熟練的畫圖是解本題的關鍵．
（1）先畫圖，可得與關于軸對稱，從而可得答案；
（2）由的對應點可得平移方式：向左平移5個單位長度，再向上平移5個單位長度；再畫圖即可，再根據平移方式可得平移后D的坐標；
（3）先畫關于軸對稱的圖形，結合，關于軸對稱，再連接與軸交于點，則，此時最小，再結合圖形可得答案．
【詳解】（1）解：如圖，
∵，；，關于軸對稱，關于軸對稱的點為，
∴與關于軸對稱，
∴，
∴的面積與的面積的差等于．
（2）如圖，即為所求作的三角形；
∵平移到，
∴平移方式為：向左平移5個單位長度，再向上平移5個單位長度；
∵，
∴平移后D的坐標為．
（3）如圖，與關于軸對稱，
∵，關于軸對稱，
∴連接與軸交于點，則，此時最小，
∴．
4.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝5cm，CD為AB邊上的高，點E從點B出發，在直線BC上以2cm/s的速度移動，過點E作BC的垂線交直線CD于點F．
（1）求證：∠A＝∠BCD；
（2）當CF＝AB時，點E運動多長時間？并說明理由．
【分析】（1）根據余角的性質即可得到結論；
（2）如圖，分點E在射線BC上移動和點E在射線CB上移動兩種情況，證△CEF≌△ACB得CE＝AC＝5，繼而得出BE的長，從而得出答案．
【解析】（1）∵∠A+∠ACD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD；
（2）如圖，當點E在射線BC上移動時，
∵∠A＝∠BCD，∠BCD＝∠ECF，
∴∠A＝∠ECF，
在△CFE與△ABC中，
，
∴△CEF≌△ACB（AAS），
∴CE＝AC＝7，
∴BE＝BC+CE＝12，
∴t＝12÷2＝6（s）；
當點E在射線CB上移動時，
同理△CF′E′≌△CBA（AAS），
∴CE′＝AC＝7，
∴BE′＝CE′﹣CB＝2，
∴t＝2÷2＝1（s）
總之，當點E在射線CB上移動6s或1s時，CF＝AB．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，余角的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
四、能力提升
能力提升1軸對稱
1．一面鏡子MN豎直懸掛在墻壁上，人眼O的位置．如圖所示，有三個物體A、B、C放在鏡子前面，人眼能從鏡子看見哪個物體？
【解析】作出相應對稱點，找到像在人眼范圍內的點即可．
解：物體在鏡子里面所成的像就是數學問題中的物體關于鏡面的對稱點，人眼從鏡子里所能看見的物體，它關于鏡面的對稱點，必須在眼的視線范圍的．
分別作A、B、C三點關于直線MN的對稱點A′、B′、C′．由于C′不在∠MON內部，故人能從鏡子里看見A、B兩物體．
2．如圖，DA、CB是平面鏡前同一發光點S發出的經平面鏡反射后的反射光線，請通過畫圖確定發光點S的位置，并將光路圖補充完整．
【解析】作出BC和AD的入射光線，相交處即為點S所在位置．
解：
3.如圖，光線a照射到平面鏡CD上，然后在平面鏡AB和CD之間來回反射，這時光線的入射角等于反射角，即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4．若已知∠1＝55°，∠3＝75°，那么∠2等于　65　度．
【分析】由光線的入射角等于反射角，結合三角形內角和定理易求∠2．
【解答】解：根據題意：光線的入射角等于反射角，即∠1＝∠6＝55°，∠5＝∠3＝75°，
則180°﹣∠2﹣∠4＝180°﹣∠6﹣∠5．
即2∠2＝130度．
故∠2＝65度．
【點評】本題考查鏡面反射的原理與性質，在鏡面反射中，入射角等于反射角．解決此類題應認真觀察，注意技巧．
能力提升2 設計軸對稱圖形
1．（1）小河的同旁有甲、乙兩個村莊如圖（1），現計劃在河岸AB上建一個水泵站，向兩村供水，用以解決村民生活用水問題．（保留作圖痕跡）
①如果要求水泵站到甲、乙兩村莊的距離相等，水泵站M應建在河岸AB上的何處？
②如果要求建造水泵站，供水管道使用建材最省，水泵站N又應建在河岸AB上的何處？
（2）如圖（2），作出△ABC關于直線l的對稱圖形．
【解析】（1）①利用線段的垂直平分線的性質解決問題即可．
②利用軸對稱解決最短問題即可．
（2）分別作出A，B，C關于直線l的對稱點A′，B′，C′即可．
解：（1）①如圖（1）中，點E即為所求．
②如圖（1）-1中，點E即為所求．
（2）如圖（2）中，△A′B′C′即為所求．
2．(0分)直角三角形紙片ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，如圖，將紙片沿某條直線折疊，使點A落在直角邊BC上，記落點為D，設折痕與AB、AC邊分別交于點E、F．
（1）如果∠AFE=65°，求∠CDF的度數；
（2）若折疊后的△CDF與△BDE均為等腰三角形，那么紙片中∠B的度數是多少？寫出你的計算過程，并畫出符合條件的折疊后的圖形．
【解析】（1）在△CDF中，求出∠CFD即可解決問題；
（2）先確定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因為不確定△BDE是以那兩條邊為腰的等腰三角形，故需討論，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分別利用角的關系得出答案即可．
解：（1）根據翻折不變性可知：∠AFE=∠DFE=65°，
∴∠CFD=180°-65°-65°=50°，
∵∠C=90°，
∴∠CDF=90°-50°=40°．
（2）∵△CDF中，∠C=90°，且△CDF是等腰三角形，
∴CF=CD，
∴∠CFD=∠CDF=45°，
設∠DAE=x°，由對稱性可知，AF=FD，AE=DE，
∴∠FDA=∠CFD=22.5°，∠DEB=2x°，
分類如下：
①當DE=DB時，∠B=∠DEB=2x°，
由∠CDE=∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x=4x,
解得：x=22.5°．此時∠B=2x=45°；
見圖形（1），說明：圖中AD應平分∠CAB．
②當BD=BE時，則∠B=（180°-4x）°，
由∠CDE=∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x=2x+180°-4x,
解得x=37.5°，此時∠B=（180-4x）°=30°．
圖形（2）說明：∠CAB=60°，∠CAD=22.5°．
③DE=BE時，則∠B=（）°，
由∠CDE=∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x=2x+，
此方程無解．
∴DE=BE不成立．
綜上所述∠B=45°或30°．
3．(0分)在4×4的方格中，△ABC的三個頂點都在格點上．
（1）在圖1中畫出與△ABC成軸對稱且與△ABC有公共邊的格點三角形（畫出一個即可）；
（2）在圖2、圖3中各作一格點D，使得△ACD∽△DCB，并請連接AD、CD、BD．
【解析】（1）利用相似三角形的性質得出答案；
（2）利用相似三角形的性質得出D點位置．
解：（1）如圖所示：
（2）如圖所示：△ACD∽△DCB．
能力提升3 坐標與圖形變換
1.在平面直角坐標系xOy中，△ABC的位置如圖所示
（1）分別寫出△ABC各個頂點的坐標：
A（_____，_____）；B（_____，_____）
C（_____，_____）
（2）頂點A關于x軸對稱的點A′的坐標（_____，_____），頂點C關于原點對稱的點C的坐標（_____，_____）
（3）△ABC的面積為_____．
【答案】(1)-4;(2)3;(3)3;(4)0;(5)-2;(6)5;(7)-4;(8)-3;(9)2;(10)-5;(11)10;
【解析】（1）根據點在坐標系中的位置，直接寫出點的坐標，
（2）由對稱點坐標之間的關系，直接寫出其對應點的坐標，關于x軸對稱的兩個點其橫坐標不變，縱坐標互為相反數，關于原點對稱的兩個點，其縱橫坐標均互為相反數．
（3）在網格中，轉化為長為7，寬為5的矩形面積減去相應的三個直角三角形的面積即可
解：（1）故答案為：（-4，3），（3，0），（-2，5），
（2）故答案為：（-4，-3），（2，-5），
（3）△ABC的面積為：5×7-（2×2）÷2-（7×3）÷2-（5×5）÷2=10，
故答案為：10．
2．平面直角坐標系中，點在軸正半軸，點在軸正半軸，以線段為邊在第一象限內作等邊，點關于軸的對稱點為點，連接，，且交軸于點．
（1）在圖中，補全圖形，并填空：
①若點，則點的坐標是________；
②若，則________；
（2）如圖，若，求證：垂直平分；
（3）當時，探究，，數量關系，并證明．
【答案】（1）①；②60
（2）見解析 （3），證明見解析
【解析】（1）①根據關于y軸的對稱的性質即可解答；②根據C、D兩點關于y軸的對稱，可知y軸是線段的垂直平分線可得、，再根據平角的定義可得，然后由等邊得，可得，最后根據三角形的外角性質即可解答；
（2）由可得，即，然后根據平角得的度數、的度數,進而得到，再根據等腰三角形的性質即可證得結論；
（3）先證，可得，然后作，證可得，最后證即可解答．
【小問1詳解】
解：補全圖形如下圖
①∵C、D兩點關于y軸的對稱的兩點，
∴橫坐標互為相反數，縱坐標不變，
∵，
∴；
故答案為；
②∵C、D兩點關于y軸的對稱，，
∴
∴,
∴，
∵是等邊三角形，
∴，
∴,
∴
∴．
故答案為60．
【小問2詳解】
解：如下圖：延長交于點G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴垂直平分．
【小問3詳解】
解：，證明如下：
如圖：作，連接，
∵C、D兩點關于y軸的對稱，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了關于y軸的對稱的性質、等邊三角形的性質、三角形的內角與外角的性質、垂直平分線的判定、在直角三角形中，30°的所對的邊是斜邊的一半、全等三角形的判定和性質等知識點，正確作出輔助線并靈活運用相關知識成為解答本題的關鍵．
3．如圖，在直角坐標系中，A（-1，5），B（-3，0），C（-4，3）．
（1）在圖中作出△ABC關于y軸對稱的圖形△A1B1C1．
（2）寫出點C1的坐標．
【解析】（1）根據軸對稱的定義直接畫出．
（2）由點位置直接寫出坐標．
解：（1）如圖所示：
（2）點C1的坐標為：（4，3）．
能力提升4 軸對稱綜合---幾何變換
1.【閱讀】如圖1，四邊形中，，，，，經過點的直線將四邊形分成兩部分，直線與所成的角設為，將四邊形的直角沿直線折疊，點落在點處，我們把這個操作過程記為．
【理解】若點與點重合，則這個操作過程為[__________，__________]；
　　　　 　　　　
【嘗試】
（1）若點恰為的中點(如圖2)，求；
（2）經過操作，點落在處，若點在四邊形的邊上(如圖3)，求出的值．
【答案】；（1）30°；（2）5
【分析】由題目條件可知，當點與點重合時，=45°，，即可得到結論；
（1）見詳解中圖2，延長ND交OA的延長線于M ，根據折疊性質得，，由點D為AB的中點得到D點為MN的中點，所以OD垂直平分MN，則，根據等腰三角形的性質得，則，計算得到；
（2）見詳解中圖3，作EH⊥OA于H，根據折疊性質得AB⊥直線l，，由于，AB⊥直線l，即直線l平分∠AOC，則∠A=45°，所以△AHE為等腰直角三角形，則，所以，即．
【詳解】理解:由題目條件可知，當點與點重合時，=45°，，所以；
（1）如圖2，延長ND交OA的延長線于M，
∵四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點C落在點D處，
∴，，
∵點D為AB的中點，
∴D點為MN的中點，
∴OD垂直平分MN，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)如圖3，作ED⊥OA于D，
∵四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊后，點B落在點四邊形OABC的邊AB上的E處，
∴AB⊥直線l，，
∵，AB⊥直線l，
即直線l平分∠AOC，
∴∠A=45°，
∴△ADE為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案為： ；（1）30°；（2）5
【點睛】本題考查圖形的翻折綜合應用，靈活運用翻折的性質，即得到全等圖形和正確地作出輔助線是解題的關鍵．
2．如圖1，四邊形OABC中，OA=a，OC=5，BC=3,∠AOC=∠BCO=90°，經過點O的直線l將四邊形分成兩部分，直線l與OC所成的角設為θ，將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點C落在點D處（如圖1）．
（1）若折疊后點D恰為AB的中點（如圖2），求θ的值；
（2）若θ=45°，四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊后，點B落在點四邊形OABC的邊AB上，求a的值.
【答案】（1）θ=30°（2）a=8
【詳解】試題分析：（1）延長ND交OA的延長線于M，根據折疊性質得∠CON=∠DON=θ，∠ODN=∠C=90°，由點D為AB的中點得到D點為MN的中點，所以OD垂直平分MN，則OM=ON，根據等腰三角形的性質得∠MOD=∠NOD=θ，則∠θ+∠θ+∠θ=90°，計算得到∠θ=30°；（2）作ED⊥OA于D，根據折疊性質得AB⊥直線l，OD=OC=3，DE=BC=2，由于θ=45°，AB⊥直線l，即直線l平分∠AOC，則∠A=45°，所以△ADE為等腰直角三角形，則AD=DE=2，所以OA=OD+AD=3+2=5，即a=5．
試題解析：：（1）如圖2，延長ND交OA的延長線于M，∵四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點C落在點D處，∴∠CON=∠DON=θ，∠ODN=∠C=90°，∵點D為AB的中點，∴D點為MN的中點，∴OD垂直平分MN，∴OM=ON，∴∠MOD=∠NOD=θ，∴∠θ+∠θ+∠θ=90°，∴∠θ=30°；故答案為30°；（2）若點E四邊形0ABC的邊AB上，∴AB⊥直線l 由折疊可知，OD=OC=5，DE=BC=3．∵θ=45°，AB⊥直線l，∴△ADE為等腰直角三角形，∴AD=DE=3，∴OA=OD+AD=5+3=8，∴a=8
考點：翻折變換（折疊問題）．
3.將兩個全等的△ABC和△DBE按圖1方式擺放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于F．
（1）求證：AF+EF＝DE；
（2）若將圖1中的△DBE繞點B順時針旋轉角a，且60°＜α＜180°，其他條件不變，如圖2，請直接寫出此時線段AF、EF與DE之間的數量關系．
【分析】（1）由全等三角形的性質可得BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，由“HL”可證Rt△BCF≌Rt△BEF，可得EF＝CF，由線段之間關系可求解；
（2）由全等三角形的性質可得BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，由“HL”可證Rt△BCF≌Rt△BEF，可得EF＝CF，由線段之間關系可求解．
證明：（1）連接BF，
∵△ABC≌△DBE
∴BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，
∵BE＝BC，BF＝BF
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）
∴EF＝CF
∴DE＝AC＝AF+CF＝AF+EF
（2）連接BF，
∵△ABC≌△DBE
∴BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，
∵BE＝BC，BF＝BF
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）
∴EF＝CF
∴AF＝AC+CF＝DE+EF
【點評】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，熟練運用全等三角形的判定是本題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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