資源簡介

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人教版數學八年級上暑假預習課
第十三講 軸對稱二
一、專題導航
知識點梳理
知識點1 軸對稱和軸對稱圖形
（1）軸對稱圖形
　　如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.
（2）軸對稱
定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.成軸對稱的兩個圖形的性質：
①關于某條直線對稱的兩個圖形形狀相同，大小相等，是全等形；
②如果兩個圖形關于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；
③兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么它們的交點在對稱軸上.
（3）軸對稱圖形與軸對稱的區別和聯系
區別: 軸對稱是指兩個圖形的位置關系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉及兩個圖形，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.聯系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形．
典例剖析1
例1-1．下列說法正確的是（ ）
A．軸對稱圖形是由兩個圖形組成的 B．等邊三角形有三條對稱軸
C．兩個等面積的圖形一定軸對稱 D．直角三角形一定是軸對稱圖形
例1-2．如圖所示，它們都是對稱圖形，請觀察并指出哪些是軸對稱圖形，哪些圖形成軸對稱．
知識點2 線段的垂直平分線
線段的垂直平分線的性質：
線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。
線段的垂直平分線的判定
與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.
典例剖析2
例2-1．用直尺、圓規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．
已知：．
求作：點P，使，且點P在邊的高上．
例2-2．如圖，在平面直角坐標系中，，，，．點B與點C關于直線l對稱，直線l與的交點分別為點D，E．
（1）求點A到的距離；
（2）連接，補全圖形并求的面積；
（3）若位于x軸上方的點P在直線l上，，直接寫出點P的坐標．
例2-3．如圖，在中，.
⑴已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點P，連結AP，求證：；
⑵以點B為圓心，線段AB的長為半徑畫弧，與BC邊交于點Q，連結AQ，若，求的度數.
知識點3 尺規作線段的垂直平分線
線段垂直平分線的作法
已知：如圖，線段MN.
求作：ＭＮ的垂直平分線.
作法：（１）分別以M、N為圓心，大于 相 線段為半徑畫弧，兩弧相交于P，Q；
（２）連接PQ交MN于O．
則PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分線
典例剖析3
例3-1 .尺規作圖（保留做圖痕跡）
如下圖，在內求做一點P，使P到兩邊的距離相等，且．
例3-2．已知：如圖，在等腰△ABC中，AB=AC．求作：在BC邊上找一點D，使得AD=CD．
小李同學在學習了尺規作圖的相關知識后，設計作圖步驟如下：
①分別以點A，C為圓心，大于AC長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點；
②連接MN，交BC于點D，連接AD；
③點D即為所求．
（1）請根據上述的設計方案，補全作圖痕跡，并分析小李同學的作圖依據是 _____；
（2）補充下面的證明過程：
證明：設MN交AC于點E，
∵MN垂直平分AC，
∴∠AED=∠CED=90°，_____，DE=DE，
∴△AED≌△CED，
∴AD=_____．（ _____）（填推理依據）．
知識點4 線段垂直平分線的綜合
線段的垂直平分線的性質應用非常廣泛，很多問題利用中垂線的性質解題，能達到事半功倍的效果，折疊問題、軸對稱問題都可以轉化成中垂線性質來解決。
典例剖析4
例4-1．如圖，在中，AB邊的垂直平分線交BC于點D，AC邊的垂直平分線交BC于點E，與相交于點O.
圖① 圖② 圖③
(1)如圖①，當時，的度數為________；
(2)如圖②，連接OA，OB，OC.若的周長為，的周長為.求線段BC，OA的長；
(3)如圖③，若，求的度數.
例4-2．如圖，在中，AF平分，AC的垂直平分線交BC于點E，交AC于點D，，，求的度數.
答案：
解析：DE是AC的垂直平分線，
，
，
，
，
AF平分，
，
，
，
解得：.
三、變式訓練
訓練1軸對稱與軸對稱圖形
1.如圖，在9×9的正方形網格中，△ABC三個頂點在格點上，每個小正方形的邊長為1．
（1）建立適當的平面直角坐標系后，若點A的坐標為（2，1），點C的坐標為（5，2），畫出平面直角坐標系并寫出點B的坐標；
（2）直線l經過點A且與y軸平行，寫出點B、C關于直線l對稱點B1、C1的坐標；
（3）直接寫出BC上一點P（a，b）關于直線l對稱點P1的坐標．
2 .如圖是正方形網格，其中已有3個小方格涂成了黑色，現在要從其余白色小方格中選出一個也涂成黑色，使黑色圖形成為軸對稱圖形，這樣的白色小方格有 個．

3 .電子鐘鏡子里的像如圖所示，實際時間是（ ）
A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01
訓練2 線段的垂直平分線
1．如圖，在中，的垂直平分線分別交于點D，E．求證：．
2．如圖，在中，垂直平分，分別交，于點、，垂直平分，分別交、于點、，連接，．
（1）若，求的周長等于__________．
（2）若，求的度數
3．已知：如圖，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD為邊BC的垂直平分線，以AC為邊作等邊三角形ACE，△ACE與△ABC在直線AC的異側，直線BE交DA的延長線于點F，連接FC交AE于點M．
（1）求證：∠FEA＝∠FBA．
（2）求∠EFC的度數．
（3）猜想線段FE，FA，FD之間的數量關系，并證明你的結論．
訓練3 尺規作圖：作線段的垂直平分線
1 .在中，，，．
（1）求線段的長；
（2）作邊的垂直平分線分別交，于點和點（利用尺規作圖，保留作圖痕跡）；
（3）連接，若，求的度數．
2．如圖，已知△ABC，∠C=90°，AC（1）用直尺和圓規，作出點D的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）連接AD，若∠B=37°，求∠CAD的度數．
3．如圖，△ABC為銳角三角形．
（1）請在圖1中用無刻度的直尺和圓規作圖：在AC右上方確定點D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，若，，，則四邊形ABCD的面積為 ．（如需畫草圖，請使用試卷中的圖2）
訓練4 線段垂直平分線綜合
1.如圖，在中，，，AC的垂直平分線EF交AC于點E，交BC于點F.
求證：.
2．如圖，直線與分別是邊和的垂直平分線，與分別交邊于點和點.
(1)若，則的周長是多少？為什么？
(2)若，求的度數.
四、能力提升
提升1 軸對稱和軸對稱圖形
1．畫出圖中四邊形關于直線l的軸對稱圖形.
2．如圖，正方形網格中的與為軸對稱圖形.
(1)利用網格線作出與的對稱軸l；
(2)如果每個小正方形的邊長均為1，請求出的面積.
3．在的網格中已經涂黑了三個小正方形，請在圖中涂黑一塊（或兩塊）小正方形，使涂黑的四個（或五個）小正方形組成一個軸對稱圖.
4．如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形網格中，點A、B、C在小正方形的頂點上.
（1）在圖中畫出與關于直線l成軸對稱的；
（2）線段被直線l_____；
（3）在直線l上找一點P，使的長最短；
（4）的面積＝_____.
提升2 線段的垂直平分線
1．在中，，D為內一點，連接，，延長到點E，使得．
（1）如圖1，延長到點F，使得，連接，．
①求證：；
②若，求證：；
（2）連接，交的延長線于點H，連接，依題意請補全圖2．若，試探究線段、與的數量關系．
2．在中，，點O是所在平面內一點，連接OA，延長OA到點E，使得，連接OC，過點B作BD與OC平行，并使，且，連接DE．若，且，，則的大小為______．
3．已知四邊形ABCD中，BC＝CD．連接BD，過點C作BD的垂線交AB于點E，連接DE．
（1）如圖1，若，求證：四邊形BCDE是菱形；
（2）如圖2，連接AC，設BD，AC相交于點F，DE垂直平分線段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求證：BE＝CF．
提升3 尺規作圖;作線段垂直平分線
1.如圖，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°．
（1）請用尺規完成基本作圖：作 AB 的垂直平分線交 AB 于點 D，交 AC 于點 E；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）所作的圖形中，連接 BE，若 BE 平分∠ABC，DE = 4，求 BE 的長．
提升4 線段垂直平分線綜合
1 .如圖，在中，邊的垂直平分線交于點，邊的垂直平分線交于點，與相交于點．已知的周長為．

(1)求的長；
(2)分別連接，，，若的周長為，求的長．
2.如圖，在△ABC中，點E是BC邊上的一點，連接AE，BD垂直平分AE，垂足為F，交AC于點D，連接DE．
（1）若△ABC的周長為18，△DEC的周長為6，求AB的長．
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度數．
3.如圖，△ABE和△ADC分別沿著邊AB、AC翻折180°形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，BE與DC交于點F，則∠EFC的度數為（　　）
A．20° B．30° C．40° D．45°
人教版數學八年級上暑假預習課
第十三講 軸對稱二（解析版）
一、專題導航
知識點梳理
知識點1 軸對稱和軸對稱圖形
（1）軸對稱圖形
　　如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.
（2）軸對稱
定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.成軸對稱的兩個圖形的性質：
①關于某條直線對稱的兩個圖形形狀相同，大小相等，是全等形；
②如果兩個圖形關于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；
③兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么它們的交點在對稱軸上.
（3）軸對稱圖形與軸對稱的區別和聯系
區別: 軸對稱是指兩個圖形的位置關系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉及兩個圖形，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.聯系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形．
典例剖析1
例1-1．下列說法正確的是（ ）
A．軸對稱圖形是由兩個圖形組成的 B．等邊三角形有三條對稱軸
C．兩個等面積的圖形一定軸對稱 D．直角三角形一定是軸對稱圖形
【答案】B
【分析】根據軸對稱圖形的定義逐一進行判定解答．
【詳解】解：A、軸對稱圖形可以是1個圖形，不符合題意；
B、等邊三角形有三條對稱軸，即三邊垂直平分線，符合題意；
C、兩個等面積的圖形不一定軸對稱，不符合題意；
D、直角三角形不一定是軸對稱圖形，不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查軸對稱圖形的定義與性質，如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形能完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形．折痕所在的這條直線叫做對稱軸．
例1-2．如圖所示，它們都是對稱圖形，請觀察并指出哪些是軸對稱圖形，哪些圖形成軸對稱．
【答案】見解析
【分析】本題考查了軸對稱圖形的概念與軸對稱的概念；根據軸對稱圖形的概念與軸對稱的概念可作答．軸對稱的概念：把其中的一個圖形沿著某條直線折疊，能夠與另一個圖形重合．軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形．
【詳解】解：圖（1）（3）（4）（6）（8）（10）是軸對稱圖形；
知識點2 線段的垂直平分線
線段的垂直平分線的性質：
線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。
線段的垂直平分線的判定
與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.
典例剖析2
例2-1．用直尺、圓規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．
已知：．
求作：點P，使，且點P在邊的高上．
【答案】見解析
【解析】
作的垂直平分線和邊上的高，它們的交點為P點．
解：如圖，點P為所作．
【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質．
例2-2．如圖，在平面直角坐標系中，，，，．點B與點C關于直線l對稱，直線l與的交點分別為點D，E．
（1）求點A到的距離；
（2）連接，補全圖形并求的面積；
（3）若位于x軸上方的點P在直線l上，，直接寫出點P的坐標．
【答案】（1）5 （2），圖見解析
（3）
【解析】（1）作于點F，得到，進而根據點到直線的距離和點A，B，C的坐標求解即可；
（2）根據題意補全圖形，首先求出是等腰直角三角形，然后由題意可知，直線l是線段的垂直平分線，于點D，，得到為等腰直角三角形，進而求出，最后根據三角形面積公式求解即可；
（3）由（2）可得，，可得到點P和點E重合，然后根據點D的坐標和的長度求解即可．
【小問1詳解】
作于點F，則．
由，
可得．
∴點A到的距離為5．
【小問2詳解】
補全圖形如下：
由，
可得．
∴．
∴．
∴在中，
．
由題意可知，直線l是線段的垂直平分線，于點D，．
∴．
∴．
∴為等腰直角三角形，．
∴．
∴
∴．
【小問3詳解】
由（2）可得，，
∴點P和點E重合，
∵，
∴點E的坐標為，
∴點P的坐標為．
【點睛】此題考查了坐標與圖形，等腰直角三角形的性質和判定，垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．
例2-3．如圖，在中，.
⑴已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點P，連結AP，求證：；
⑵以點B為圓心，線段AB的長為半徑畫弧，與BC邊交于點Q，連結AQ，若，求的度數.
【答案】（1）見解析；（2）∠B=36°.
【解析】（1）根據垂直平分線的性質，得到PA=PB，再由等腰三角形的性質得到∠PAB=∠B，從而得到答案；
（2）根據等腰三角形的性質得到∠BAQ=∠BQA，設∠B=x，由題意得到等式∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，即可得到答案.
（1）證明：因為點P在AB的垂直平分線上，
所以PA=PB，
所以∠PAB=∠B，
所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.
（2）根據題意，得BQ=BA，
所以∠BAQ=∠BQA，
設∠B=x，
所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，
所以∠BAQ=∠BQA=2x，
在△ABQ中，x+2x+2x=180°，
解得x=36°，即∠B=36°.
【點睛】本題考查垂直平分線的性質、等腰三角形的性質，解題的關鍵是掌握垂直平分線的性質、等腰三角形的性質.
知識點3 尺規作線段的垂直平分線
線段垂直平分線的作法
已知：如圖，線段MN.
求作：ＭＮ的垂直平分線.
作法：（１）分別以M、N為圓心，大于 相 線段為半徑畫弧，兩弧相交于P，Q；
（２）連接PQ交MN于O．
則PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分線
典例剖析3
例3-1 .尺規作圖（保留做圖痕跡）
如下圖，在內求做一點P，使P到兩邊的距離相等，且．
【答案】作圖見解析
【解析】連接，作出線段的垂直平分線和的平分線，線段的垂直平分線和的平分線的交點即為點P．
解：如圖，點P即為所求．
【點睛】本題考查了作圖 基本作圖，角平分線的性質和垂直平分線的性質，熟練掌握角平分線和線段垂直平分線的作法是解題的關鍵．
例3-2．已知：如圖，在等腰△ABC中，AB=AC．求作：在BC邊上找一點D，使得AD=CD．
小李同學在學習了尺規作圖的相關知識后，設計作圖步驟如下：
①分別以點A，C為圓心，大于AC長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點；
②連接MN，交BC于點D，連接AD；
③點D即為所求．
（1）請根據上述的設計方案，補全作圖痕跡，并分析小李同學的作圖依據是 _____；
（2）補充下面的證明過程：
證明：設MN交AC于點E，
∵MN垂直平分AC，
∴∠AED=∠CED=90°，_____，DE=DE，
∴△AED≌△CED，
∴AD=_____．（ _____）（填推理依據）．
【答案】(1)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等;(2)垂直的定義;(3)CD;(4)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等;
【解析】（1）根據線段垂直平分線的性質作出圖形即可；
（2）根據線段垂直平分線的性質即可得到結論．
解：（1）如圖所示，
作圖依據是線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；
故答案為：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；
（2）證明：設MN交AC于點E，
∵MN垂直平分AC，
∴∠AED=∠CED=90°，（垂直的定義）DE=DE，
∴△AED≌△CED，
∴AD=CD．（ 線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等）（填推理依據）．
故答案為：垂直的定義，CD，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等．
知識點4 線段垂直平分線的綜合
線段的垂直平分線的性質應用非常廣泛，很多問題利用中垂線的性質解題，能達到事半功倍的效果，折疊問題、軸對稱問題都可以轉化成中垂線性質來解決。
典例剖析4
例4-1．如圖，在中，AB邊的垂直平分線交BC于點D，AC邊的垂直平分線交BC于點E，與相交于點O.
圖① 圖② 圖③
(1)如圖①，當時，的度數為________；
(2)如圖②，連接OA，OB，OC.若的周長為，的周長為.求線段BC，OA的長；
(3)如圖③，若，求的度數.
答案：(1)
(2)，
(3)
解析：(1)如圖①，是AB邊的垂直平分線，是AC邊的垂直平分線，
圖①
，，
，
，，，
；
故答案為：；
(2)如圖②，是AB邊的垂直平分線，是AC邊的垂直平分線，
圖②
，，，，
的周長，
的周長為，
，
的周長，的周長為，
，
解得；
(3)如圖③，是AB邊的垂直平分線，是AC邊的垂直平分線，
圖③
，，
，，
，
，
.
例4-2．如圖，在中，AF平分，AC的垂直平分線交BC于點E，交AC于點D，，，求的度數.
答案：
解析：DE是AC的垂直平分線，
，
，
，
，
AF平分，
，
，
，
解得：.
三、變式訓練
訓練1軸對稱與軸對稱圖形
1.如圖，在9×9的正方形網格中，△ABC三個頂點在格點上，每個小正方形的邊長為1．
（1）建立適當的平面直角坐標系后，若點A的坐標為（2，1），點C的坐標為（5，2），畫出平面直角坐標系并寫出點B的坐標；
（2）直線l經過點A且與y軸平行，寫出點B、C關于直線l對稱點B1、C1的坐標；
（3）直接寫出BC上一點P（a，b）關于直線l對稱點P1的坐標．
【分析】（1）由點A的坐標為（2，1），可得點A向左平移2個單位長度，向下平移一個單位長度，即是坐標原點，建立平面直角坐標系，再寫出點B的坐標即可；
（2）根據軸對稱的性質得到點B1、C1的坐標；
（3）根據軸對稱的性質得出點的坐標．
【解答】解：（1）如圖所示，B（4，4）；
（2）如圖所示，B1（0，4），C1（﹣1，2）；
（3）解：∵點P1為BC上一點P（a，b）關于直線l的對稱點，
∴P1（4﹣a，b）．
2 .如圖是正方形網格，其中已有3個小方格涂成了黑色，現在要從其余白色小方格中選出一個也涂成黑色，使黑色圖形成為軸對稱圖形，這樣的白色小方格有 個．

【答案】
【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的概念．本題根據軸對稱圖形的概念即可找出符合題意的小方格，注意不要遺漏．
【詳解】解：如圖所示，有4個位置使之成為軸對稱圖形．

故答案為：．
3 .電子鐘鏡子里的像如圖所示，實際時間是（ ）
A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01
【答案】C
【分析】根據鏡面對稱的性質求解，在平面鏡中的像與現實中的事物恰好左右順序顛倒，且關于鏡面對稱．
【詳解】解：根據鏡面對稱的性質，分析可得題中所顯示的圖片與10：51成軸對稱，所以此時實際時刻為10：51．
故選：C．
【點睛】本題考查鏡面反射的原理與性質．解決此類題應認真觀察，注意技巧．
訓練2 線段的垂直平分線
1．如圖，在中，的垂直平分線分別交于點D，E．求證：．
【答案】證明見解析
【解析】如圖，連接證明 再求解 可得 從而可得答案.
證明：如圖，連接
的垂直平分線分別交于點D，E，
【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，含的直角三角形的性質，掌握“直角三角形中，所對的直角邊是斜邊的一半”是解本題的關鍵.
2．如圖，在中，垂直平分，分別交，于點、，垂直平分，分別交、于點、，連接，．
（1）若，求的周長等于__________．
（2）若，求的度數
【答案】（1）9 （2）見解析
【解析】（1）根據垂直平分線的性質得出，，根據三角形周長公式即可求解；
（2）根據三角形內角和定理求得，根據垂直平分線的性質以及等邊對等角可得， ，進而根據三角形內角和定理即可求解．
【小問1詳解】
解：∵是的垂直平分線，
∴，
∵是的垂直平分線，
∴，
∴的周長為．
【小問2詳解】
解：∵，
∴，
∵是的垂直平分線，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了垂直平分線的性質，等邊對等角，三角形內角和定理，掌握以上知識是解題的關鍵．
3．已知：如圖，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD為邊BC的垂直平分線，以AC為邊作等邊三角形ACE，△ACE與△ABC在直線AC的異側，直線BE交DA的延長線于點F，連接FC交AE于點M．
（1）求證：∠FEA＝∠FBA．
（2）求∠EFC的度數．
（3）猜想線段FE，FA，FD之間的數量關系，并證明你的結論．
【答案】（1）證明見解析
（2）60° （3）FE+FA=2FD，證明見解析
【解析】（1）由等邊三角形的性質及線段的垂直平分線的性質證明；
（2）利用角之間的相等關系進行等量代換，再根據等邊三角形的性質可得出答案；
（3）在CF上取 N使得FN=FE，利用（2）的結論，證明△EFN是等邊三角形，得到∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF，再證明△EFA≌△ENC（SAS），得到FA=NC，FE+FA=FN+NC=FC，再利用直角三角形中30°角所對直角邊等于斜邊的一半得到FC=2FD，結論得證．
【小問1詳解】
解：∵AD為邊BC的垂直平分線，
∴AB=AC，
∵△ACE為等邊三角形，
∴AC=AE，
∴AB=AE，
∴∠FEA=∠FBA；
【小問2詳解】
解：∵AD為邊BC的垂直平分線
∴AB=AC，FB=FC，
∴∠ABC=∠ACB，∠FBC=∠FCB，
∴∠FBC－∠ABC=∠FCB－∠ACB，即∠ABE=∠ACF，
∵∠ABE=∠AEF，
∴∠AEF=∠ACF，
∵∠FME=∠CMA，
∴∠EFC=∠CAE，
∵等邊三角形ACE中，∠CAE=60°，
∴∠EFC=60°．
【小問3詳解】
解：FE+FA＝2FD，
證明：CF上取 N使得FN=FE，
由（2）得∠EFM=∠CAM=60°，
∵FN=FE，
∴△EFN是等邊三角形，
∴∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF，
∵△ACE為等邊三角形，
∴∠AEC=60°，EA=EC，
∴∠FEN=∠AEC，
∴∠FEN－∠MEN=∠AEC－∠MEN，即∠AEF=∠CEN，
在△EFA和∠ENC中，
EF＝EN，∠AEF＝∠CEN，EA＝EC，
∴△EFA≌△ENC（SAS），
∴FA=NC，
∴FE+FA=FN+NC=FC，
∵∠EFC=∠FBC+∠FCB=60°，∠FBC=∠FCB，
∴∠FCB=×60°=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠FDC=90°，
∴FC=2FD，
∴FE+FA=2FD．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，等邊三角形的性質和判定，含30°角的直角三角形的性質，全等三角形的性質和判定的應用及線段的垂直平分線的性質，熟練掌握相關判定和性質是解題的關鍵．
訓練3 尺規作圖：作線段的垂直平分線
1 .在中，，，．
（1）求線段的長；
（2）作邊的垂直平分線分別交，于點和點（利用尺規作圖，保留作圖痕跡）；
（3）連接，若，求的度數．
【答案】（1）10 （2）見解析
（3）
【解析】（1）根據勾股定理即可求解；
（2）根據題意作邊的垂直平分線分別交，于點和點；
（3）在中，三角形內角和定理得出，根據線段垂直平分線的性質得出，根據等邊對等角得出，根據即可求解．
【小問1詳解】
在中，，，，
根據勾股定理得：，
即：線段的長為10．
【小問2詳解】
如圖所示，線段的垂直平分線、點、為所求．
【小問3詳解】
解：如圖，連接，
在中，，，
∴，
∵為線段的垂直平分線，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了勾股定理，尺規作線段的垂直平分線，線段垂直平分線的性質，三角形內角和定理，掌握以上知識是解題的關鍵．
2．如圖，已知△ABC，∠C=90°，AC（1）用直尺和圓規，作出點D的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）連接AD，若∠B=37°，求∠CAD的度數．
【答案】（1）點D的位置如圖所示（D為AB中垂線與BC的交點）．（2）16°．
【解析】（1）根據到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，作出AB的中垂線．
（2）要求∠CAD的度數，只需求出∠CAB，而由（1）可知：∠BAD=∠B
解：（1）點D的位置如圖所示（D為AB中垂線與BC的交點）．
（2）∵在Rt△ABC中，∠B=37°，∴∠CAB=53°．
又∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=37°．
∴∠CAD=53°-37°=16°．
3．如圖，△ABC為銳角三角形．
（1）請在圖1中用無刻度的直尺和圓規作圖：在AC右上方確定點D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，若，，，則四邊形ABCD的面積為 ．（如需畫草圖，請使用試卷中的圖2）
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分線的性質作，即可找出點D；
（2）由題意可知四邊形ABCD是梯形，利用直角三角形的性質求出AE、BE、CE、AD的長，求出梯形的面積即可．
【小問1詳解】
解：如圖，
∴點D為所求點．
【小問2詳解】
解：過點A作AE垂直于BC，垂足為E，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵∠DAC＝∠ACB，
∴，四邊形ABCD是梯形，
∴，
∴四邊形AECD是矩形，
∴，
∴四邊形ABCD的面積為，
故答案：．
【點睛】本題考查作圖，作相等的角，根據垂直平分線的性質做垂線，根據直角三角形的性質及勾股定理求線段的長，正確作出圖形是解答本題的關鍵．
訓練4 線段垂直平分線綜合
1.如圖，在中，，，AC的垂直平分線EF交AC于點E，交BC于點F.
求證：.
答案：如圖，連接AF.
，，，
EF垂直平分AC，，
，
，
，.
解析：
2．如圖，直線與分別是邊和的垂直平分線，與分別交邊于點和點.
(1)若，則的周長是多少？為什么？
(2)若，求的度數.
答案：(1)的周長；
(2)°.
四、能力提升
提升1 軸對稱和軸對稱圖形
1．畫出圖中四邊形關于直線l的軸對稱圖形.
答案：見解析
解析：如圖，四邊形為所求作的圖形.
2．如圖，正方形網格中的與為軸對稱圖形.
(1)利用網格線作出與的對稱軸l；
(2)如果每個小正方形的邊長均為1，請求出的面積.
答案：(1)見解析
(2)3
解析：(1)如圖(1)，直線l為所作.
(2)如圖(2)，由題意可得
.
3．在的網格中已經涂黑了三個小正方形，請在圖中涂黑一塊（或兩塊）小正方形，使涂黑的四個（或五個）小正方形組成一個軸對稱圖.
答案：見詳解
解析：第一種情況以水平陰影兩個正方形為對稱軸，
第二種情況以水平陰影的兩個正方形的鉛直對稱軸，
第三種情況以網格左上到右下對角線為對稱軸，
在第一種對稱軸上添加如圖也可在2，3，4三個位置添加第5圖，
在第三種情況添加第5個圖形，也可在對稱軸2，3，4位置添加.
4．如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形網格中，點A、B、C在小正方形的頂點上.
（1）在圖中畫出與關于直線l成軸對稱的；
（2）線段被直線l_____；
（3）在直線l上找一點P，使的長最短；
（4）的面積＝_____.
答案：（1）見詳解
（2）垂直平分
（3）
（4）3
解析：（1）如圖，為所作；
（2）C點與關于直線l對稱，
線段被直線l垂直平分.
故答案為：垂直平分.
（3）如圖，當P，C，三點共線時，最小，
最小值為，
故答案為：；
（4）的面積；
故答案為3.
提升2 線段的垂直平分線
1．在中，，D為內一點，連接，，延長到點E，使得．
（1）如圖1，延長到點F，使得，連接，．
①求證：；
②若，求證：；
（2）連接，交的延長線于點H，連接，依題意請補全圖2．若，試探究線段、與的數量關系．
【答案】（1）①證明過程見解析；②證明過程解析
（2）作圖見解析；，證明過程見解析
【解析】（1）根據全等三角形的判定證明，再根據全等三角形的性質可得，證明，即可得出結論；
（2）依題意如圖所示：延長到F，使，連接、，根據線段垂直平分線的判定與性質可得，證明，可得，，可證，再根據可證，
，從而證明，即可得出結論．
【小問1詳解】
①證明：在和中，
，
∴；
②∵，
，
，
，
；
【小問2詳解】
解；依題意如圖所示：延長到F，使，連接、，
，，
是線段的垂直平分線，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
在中，，
，
，
，，
，
在中，，
．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、線段垂直平分線的判定與性質及勾股定理的定義，正確作出輔助線，構造全等三角形是解題的關鍵．
2．在中，，點O是所在平面內一點，連接OA，延長OA到點E，使得，連接OC，過點B作BD與OC平行，并使，且，連接DE．若，且，，則的大小為______．
【答案】或
【解析】分點O在內部和點O在外部兩種情況，分別畫出圖形，利用全等三角形的判定和性質，結合中位線性質，等腰三角形的判定和性質，求出即可．
解：當點O在內部時，連接交于點F，連接，延長交于點M，連接，如圖所示：
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴為垂直平分線，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵為的中點，A為的中點，
∴，
∴；
當點O在外部時，連接交于點F，連接，延長交于點M，連接，如圖所示：
同理可得：，
∴，
∵，，
∴，垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴、A、O、M四點共圓，
∴，
∵為的中點，A為的中點，
∴，
∴；
綜上分析可知，或．
故答案為：或．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，三角形中位線性質，垂直平分線性質，等腰三角形的判定和性質，平行線的性質，解題的關鍵是分類討論，作出圖形，構造全等三角形解決問題．
3．已知四邊形ABCD中，BC＝CD．連接BD，過點C作BD的垂線交AB于點E，連接DE．
（1）如圖1，若，求證：四邊形BCDE是菱形；
（2）如圖2，連接AC，設BD，AC相交于點F，DE垂直平分線段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求證：BE＝CF．
【答案】（1）見解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ）見解析
【解析】（1）先根據DC=BC，CE⊥BD，得出DO=BO，再根據“AAS”證明，得出DE=BC，得出四邊形BCDE為平行四邊形，再根據對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，得出四邊形BCDE為菱形；
（2）（ⅰ）根據垂直平分線的性質和等腰三角形三線合一，證明∠BEG=∠DEO=∠BEO，再根據∠BEG+∠DEO+∠BEO=180°，即可得出；
（ⅱ）連接EF，根據已知條件和等腰三角形的性質，算出，得出，證明，再證明，即可證明結論．
【小問1詳解】
證明：∵DC=BC，CE⊥BD，
∴DO=BO，
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴，
∴四邊形BCDE為平行四邊形，
∵CE⊥BD，
∴四邊形BCDE為菱形．
【小問2詳解】
（ⅰ）根據解析（1）可知，BO=DO，
∴CE垂直平分BD，
∴BE=DE，
∵BO=DO，
∴∠BEO=∠DEO，
∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG=∠DEO，
∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，
∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，
∴．
（ⅱ）連接EF，
∵EG⊥AC，
∴，
∴，
∵
∵AE=AF，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，
，
，
∴，
，
∴（AAS），
．
【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質、等腰三角形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，菱形的判定，直角三角形的性質，作出輔助線，得出，得出，是解題的關鍵．
提升3 尺規作圖;作線段垂直平分線
1.如圖，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°．
（1）請用尺規完成基本作圖：作 AB 的垂直平分線交 AB 于點 D，交 AC 于點 E；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）所作的圖形中，連接 BE，若 BE 平分∠ABC，DE = 4，求 BE 的長．
【答案】（1）見解析 （2）8
【解析】(1)根據作線段垂直平分線作法即可解答；
(2)根據線段垂直平分線的性質可知：AE=BE，可得，再由BE 平分∠ABC，可得，再根據直角三角形的性質，即可求得，據此即可求得．
【小問1詳解】
解：作圖如下：
【小問2詳解】
解：如圖：連接BE，
垂直平分AB，
，
，
又BE 平分∠ABC，
，，
，
，
．
【點睛】本題考查了作線段的垂直平分線，線段垂直平分線的性質，角平分線的定義，等邊對等角，熟練掌握和運用線段垂直平分線的作法和性質是解決本題的關鍵．
提升4 線段垂直平分線綜合
1 .如圖，在中，邊的垂直平分線交于點，邊的垂直平分線交于點，與相交于點．已知的周長為．

(1)求的長；
(2)分別連接，，，若的周長為，求的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查線段垂直平分線的性質，（1）由線段垂直平分線的性質推出，，由的周長為，得到，即可求出；（2）由線段垂直平分的性質得到，由的周長，，即可求出，得到．由線段垂直平分線的性質得到，，是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：垂直平分，
，
同理，得，
的周長為，
，
；
（2）如圖，連接，，，

垂直平分，
．
同理，得，
的周長，，
，
．
2.如圖，在△ABC中，點E是BC邊上的一點，連接AE，BD垂直平分AE，垂足為F，交AC于點D，連接DE．
（1）若△ABC的周長為18，△DEC的周長為6，求AB的長．
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度數．
【分析】（1）根據線段垂直平分線的性質得到AB＝BE，AD＝DE，根據三角形的周長公式計算，得到答案；
（2）根據三角形內角和定理求出∠BAC，證明△BAD≌△BED，根據全等三角形的性質得到∠BED＝∠BAC＝105°，根據三角形的外角性質計算即可．
【解析】解：（1）∵BD是線段AE的垂直平分線，
∴AB＝BE，AD＝DE，
∵△ABC的周長為18，△DEC的周長為6，
∴AB+BE+EC+CD+AD＝18，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝6，
∴AB+BE＝18﹣6＝12，
∴AB＝6；
（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
在△BAD和△BED中，
，
∴△BAD≌△BED（SSS），
∴∠BED＝∠BAC＝105°，
∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°．
3.如圖，△ABE和△ADC分別沿著邊AB、AC翻折180°形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，BE與DC交于點F，則∠EFC的度數為（　　）
A．20° B．30° C．40° D．45°
【分析】根據∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，三角形的內角和定理分別求得∠BCA，∠ABC，∠BAC的度數，然后根據折疊的性質求出∠D、∠DAE、∠BEA的度數，在△AOD中，根據三角形的內角和定理求出∠AOD的度數，繼而可求得∠EOF的度數，最后根據三角形的外角定理求出∠EFC的度數．
【解析】在△ABC中，
∵∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，
∴設∠BCA為28x，∠ABC為5x，∠BAC為3x，
則28x+5x+3x＝180°，
解得：x＝5°，
則∠BCA＝140°，∠ABC＝25°，∠BAC＝15°，
由折疊的性質可得：∠D＝25°，∠DAE＝3∠BAC＝45°，∠BEA＝140°，
在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠DAE﹣∠D＝110°，
∴∠EOF＝∠AOD＝110°，
∴∠EFC＝∠BEA﹣∠EOF＝140°﹣110°＝30°．
故選：B．
【點評】本題考查圖形的折疊變化及三角形的內角和定理．關鍵是要理解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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