資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
人教版數學八年級上暑假預習課
第十四講 等腰三角形
一、專題導航
知識點梳理
知識點1 等腰三角形的定義及性質
等腰三角形的概念
有兩邊相等的三角形是等腰三角形。
等腰三角形的性質
1、等腰三角形的性質：
（1）等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）．
（2）等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相重合（通常稱作“三線合一”）．
2、解題方法：設輔助未知數法與拼湊法．
3、重要的數學思想方法：方程思想、整體思想和轉化思想．
在解決等腰三角形邊長的問題時，如果不明確底和腰時，要進行分類討論，同時要養成檢驗三邊長能否組成三角形的好習慣，把不符合題意的舍去。
典例剖析1
例1-1．如圖，AB=AE，AB∥DE，∠DAB=70°，∠E=40°．
（1）求∠DAE的度數；
（2）若∠B=30°，求證：AD=BC．
例1-2．已知：如圖，在等腰△ABC中，AB=AC．求作：在BC邊上找一點D，使得AD=CD．
小李同學在學習了尺規作圖的相關知識后，設計作圖步驟如下：
①分別以點A，C為圓心，大于AC長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點；
②連接MN，交BC于點D，連接AD；
③點D即為所求．
（1）請根據上述的設計方案，補全作圖痕跡，并分析小李同學的作圖依據是 _____；
（2）補充下面的證明過程：
證明：設MN交AC于點E，
∵MN垂直平分AC，
∴∠AED=∠CED=90°，_____，DE=DE，
∴△AED≌△CED，
∴AD=_____．（ _____）（填推理依據）．
知識點2等腰三角形的判定
判定定理
如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．【簡稱：等角對等邊】
說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質，又可作為判定辦法．
②等腰三角形的判定和性質互逆；
③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；
④判定定理在同一個三角形中才能適用
典例剖析2
例2-1．已知：如圖，中，是中點，垂足為，垂足為，且，求證：是等腰三角形
例2-2．如圖，在△ABC中，點O是AC邊上一個動點，過點O作直線MNBC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
（1）探究OE與OF的數量關系并加以證明；
（2）當點O運動到AC上的什么位置時，四邊形AECF是矩形，請說明理由；
（3）在（2）的基礎上，△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？為什么？
例2-3．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=35°，請用尺規作圖法在邊CB上求作一點D，使得AD將△ABC分為兩個等腰三角形．（不寫作法，保留作圖痕跡）
知識點3 等腰三角形的性質、判定的綜合
等腰三角形的性質的作用
性質1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據．
性質2用來證明線段相等，角相等，垂直關系等．
等腰三角形的判定是證明兩條線段_相等_的重要定理，是將三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據.等腰三角形的性質定理和判定定理是互逆定理
典例剖析3
例3-1．如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點．D，交AC于點E，那么下列結論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③BC=BD+CE；④△ADE的周長=AB+AC；⑤BF=CF．其中正確的有（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①②④⑤ D. ②④⑤
例3-2．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，過點D作DE∥AC，交AB于點E，若AB=6，則DE的長為（　　）
A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4
例3-3．一次函數y=2x-4的圖象與x軸交于點A，且經過點B（m,4）．
（1）求點A和點B的坐標；
（2）直接在圖的平面直角坐標系中畫出一次函數y=2x-4的圖象；
（3）點P在x軸的正半軸上，若△ABP是以AB為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的P點坐標．
三、變式訓練
變式1 等腰三角形的性質
1．如圖，在△ABC中，∠B=∠C，D，E分別是線段BC、AC上的一點，且AD=AE．
（1）如圖1，若∠BAC=90°，D為BC中點，則∠2的度數為_____；
（2）如圖2，用等式表示∠1與∠2之間的數量關系，并給予證明．
2．如圖，在中，，D是上的一點，且，點E是的中點，連接．求證：．
3．如圖，平行四邊形的對角線交于點O，E為中點，過點C作交的延長線于F，連接．
（1）求證：
（2）當滿足什么條件時，四邊形為矩形？請說明理由．
4．如圖，在中，.
⑴已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點P，連結AP，求證：；
⑵以點B為圓心，線段AB的長為半徑畫弧，與BC邊交于點Q，連結AQ，若，求的度數.
變式2 等腰三角形的判定
1．如圖，∠AOB=90°，線段OA=18cm,OB=6m,一機器人Q在點B處．
（1）若BC=AC，求線段BC的長；
（2）在（1）的條件下，機器人Q從點B出發，以3m/min的速度沿著△OBC的三條邊逆時針走一圈后回到點B，設行走的時間為t min,則t=_____時，△OBQ是以OB為腰的等腰三角形.
2．如圖在△ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°，∠ABC的平分線BD交邊AC于點D．
求證：△BCD為等腰三角形．
3．如圖△ABC是等邊三角形，BD是角平分線，延長BC至E，使CE=CD．求證△BED是等腰三角形．
變式3等腰三角形的判定性質綜合
1．如圖，．
（1）寫出與的數量關系
（2）延長到，使，延長到，使，連接．求證：．
（3）在（2）的條件下，作的平分線，交于點，求證：．
2．如圖，在中，，，點在線段上，于點，連接，．已知，．
（1）求證：．
（2）若，求線段的長．
3．定義：至少有一組對邊相等的四邊形為“等對邊四邊形”．
（1）請寫出一個你學過的特殊四邊形中是“等對邊四邊形”的名稱；
（2）如圖1，四邊形ABCD是“等對邊四邊形”，其中AB=CD，邊BA與CD的延長線交于點M，點E、F是對角線AC、BD的中點，若∠M=60°，求證：EFAB；
（3）如圖2．在△ABC中，點D、E分別在邊AC、AB上，且滿足∠DBC=∠ECB∠A，線段CE、BD交于點O．
①求證：∠BDC=∠AEC；
②請在圖中找到一個“等對邊四邊形”，并給出證明．
4．(1)發現：如圖，點是線段上的一點，分別以，為邊向外作等邊三角形和等邊三角形，連接，，相交于點．
①線段與的數量關系為：　 　；的度數為　 　．
②可看作經過怎樣的變換得到的？　 　．
(2)應用：如圖2，若點，，不在一條直線上，中的結論①還成立嗎？請說明理由；
(3)拓展：在四邊形中，，，，若，，請直接寫出，兩點之間的距離．
四、能力提升
提升1 等腰三角形的性質
1．如圖所示，D是等邊三角形ABC外一點，DB＝DC，∠BDC＝120°，點E，F分別在AB，AC上．
（1）求證：AD是BC的垂直平分線．
（2）若ED平分∠BEF，求證：FD平分∠EFC．
（3）在（2）的條件下，求∠EDF的度數．
2．如圖，已知等邊 的邊長為，現有兩點 M、N 分別從點 A、點 B 同時出發，沿三角形的邊運動，運動時間為，已知點 M的速度，點 N的速度為．當點 N 第一次到達 B 點時，M、N 同時停止運動．
（1）當點 N 第一次到達 B 點時，點M的位置在 ；當 M、N運動 秒時，點N追上點M；
（2）當點 M、N 在 邊上運動時，能否得到以為底邊的等腰三角形？如存在，請求出此時 M、N 運動的時間．
（3）當為直角三角形時，運動時間t的值是
提升2 等腰三角形的判定
1．如圖，點D、E在△ABC的邊BC上，AD=AE，BD=CE．
（1）求證：AB=AC；
（2）若∠BAC=108°，∠DAE=36°，直接寫出圖中除△ABC與△ADE外所有的等腰三角形．
2．如圖，點O是等邊△ABC內一點，D是△ABC外的一點，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，連接OD．
（1）求證：△OCD是等邊三角形；
（2）當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
（3）探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形．
3．如圖，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂線MN交AC于點D，交AB于點M，有下面4個結論：
①BD是∠ABC的角平分線；
②△BCD是等腰三角形；
③△ABC∽△BCD；
④△AMD≌△BCD．
（1）判斷其中正確的結論是哪幾個？
（2）從你認為是正確的結論中選一個加以證明．
提升3等腰三角形的判定性質綜合
1．（1）如圖1，在中，，D是邊的中點，E、F分別是、邊上的點．若B、E、F在一條直線上，且，探究與的數量之間有何等量關系，并證明你的結論．
（2）為了豐富學生的業余生活，增強學生的身體素質，某體育課上老師組織學生進行傳球訓練．如圖2所示，體育老師在地面畫了一塊場地，已知米，米，D為的中點，測得的長為15米，受訓練的兩名同學E和F分別在和邊上移動，老師站在C點位置給同學傳球，先把球傳給E同學，E同學再傳給F同學，請求出所傳球的運動路徑最小值（即的最小值）．
2．在中，，點O是所在平面內一點，連接OA，延長OA到點E，使得，連接OC，過點B作BD與OC平行，并使，且，連接DE．若，且，，則的大小為______．
3．如圖，是等腰直角三角形，，動點從點出發，沿以每秒個單位的速度向終點運動，過點作交于點點不與點、重合，點繞點沿逆時針方向旋轉至點，連結，，設點的運動時間為秒．
（1）______，______用含代數式表示
（2）當點落在線段上時，求的值；
（3）設與重疊部分面積為，用含的代數式表示；
（4）當線段的垂直平分線經過一邊中點時，直接寫出的值．
4．已知兩個等腰有公共頂點C，，連接是的中點，連接．
（1）如圖1，當與在同一直線上時，求證：；
（2）如圖2，當時，求證：．
人教版數學八年級上暑假預習課
第十四講 等腰三角形（解析版）
一、專題導航
知識點梳理
知識點1 等腰三角形的定義及性質
等腰三角形的概念
有兩邊相等的三角形是等腰三角形。
等腰三角形的性質
1、等腰三角形的性質：
（1）等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）．
（2）等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相重合（通常稱作“三線合一”）．
2、解題方法：設輔助未知數法與拼湊法．
3、重要的數學思想方法：方程思想、整體思想和轉化思想．
在解決等腰三角形邊長的問題時，如果不明確底和腰時，要進行分類討論，同時要養成檢驗三邊長能否組成三角形的好習慣，把不符合題意的舍去。
典例剖析1
例1-1．如圖，AB=AE，AB∥DE，∠DAB=70°，∠E=40°．
（1）求∠DAE的度數；
（2）若∠B=30°，求證：AD=BC．
【解析】（1）根據平行線的性質可得∠EAB，再根據角的和差關系即可求解；
（2）根據ASA可證△ADE≌△BCA，再根據全等三角形的性質即可求解．
解（1）∵AB∥DE，∠E=40°，
∴∠EAB=∠E=40°，
∵∠DAB=70°，
∴∠DAE=30°；
（2）證明：在△ADE與△BCA中，
，
∴△ADE≌△BCA（ASA），
∴AD=BC．
例1-2．已知：如圖，在等腰△ABC中，AB=AC．求作：在BC邊上找一點D，使得AD=CD．
小李同學在學習了尺規作圖的相關知識后，設計作圖步驟如下：
①分別以點A，C為圓心，大于AC長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點；
②連接MN，交BC于點D，連接AD；
③點D即為所求．
（1）請根據上述的設計方案，補全作圖痕跡，并分析小李同學的作圖依據是 _____；
（2）補充下面的證明過程：
證明：設MN交AC于點E，
∵MN垂直平分AC，
∴∠AED=∠CED=90°，_____，DE=DE，
∴△AED≌△CED，
∴AD=_____．（ _____）（填推理依據）．
【答案】(1)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等;(2)垂直的定義;(3)CD;(4)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等;
【解析】（1）根據線段垂直平分線的性質作出圖形即可；
（2）根據線段垂直平分線的性質即可得到結論．
解：（1）如圖所示，
作圖依據是線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；
故答案為：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；
（2）證明：設MN交AC于點E，
∵MN垂直平分AC，
∴∠AED=∠CED=90°，（垂直的定義）DE=DE，
∴△AED≌△CED，
∴AD=CD．（ 線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等）（填推理依據）．
故答案為：垂直的定義，CD，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等．
知識點2等腰三角形的判定
判定定理
如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．【簡稱：等角對等邊】
說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質，又可作為判定辦法．
②等腰三角形的判定和性質互逆；
③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；
④判定定理在同一個三角形中才能適用
典例剖析2
例2-1．已知：如圖，中，是中點，垂足為，垂足為，且，求證：是等腰三角形
【答案】見解析
【解析】由是中點可得，再證明可得，然后根據等角對等邊可得即可證明結論．
解：∵是中點
∴
在和中
∴
∴
∴,即是等腰三角形．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定等知識點，證得是解答本題的關鍵．
例2-2．如圖，在△ABC中，點O是AC邊上一個動點，過點O作直線MNBC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
（1）探究OE與OF的數量關系并加以證明；
（2）當點O運動到AC上的什么位置時，四邊形AECF是矩形，請說明理由；
（3）在（2）的基礎上，△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？為什么？
【答案】（1）OE=OF，證明見解析
（2）當點O運動到AC的中點處時，四邊形AECF是矩形，理由見解析
（3）∠ACB=90°，理由見解析
【解析】（1）由平行線的性質和角平分線定義得出∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，根據“等角對等邊”得出OE＝OC，OF＝OC，即可得出結論；
（2）由（1）得出的OE＝OC＝OF，點O運動到AC的中點時，則由OE＝OC＝OF＝OA，證出四邊形AECF是平行四邊形，再證出∠ECF＝90°即可；
（3）由已知和（2）得到的結論，點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，則推出四邊形AECF是矩形且對角線垂直，得出四邊形AECF是正方形．
【小問1詳解】
OE=OF ，
理由：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴MNBC，
∴∠BCE=∠NEC，
∴∠ACE=∠NEC，
∴OE=OC，
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=∠DCF，
∴MNBC，
∴∠MFC=∠DCF，
∴∠ACF=∠MFC，
∴OF=OC，
∴OE=OF；
【小問2詳解】
當點O運動到AC的中點處時，四邊形AECF是矩形，
理由：∵AO=OC，OE=OF ，
∴四邊形AECF是平行四邊形 ，
∵CE、CF分別是∠ACB、∠ACD平分線 ，
∴∠ECF=∠BCA +∠ACD =∠BCD=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形．
【小問3詳解】
在（2）的條件下，當△ABC滿足條件∠ACB=90°時，四邊形AECF是正方形，
理由：∴MNBC，∠ACB=90°，
∴∠AOE=90° ，
即AC⊥EF，而平行四邊形AECF是矩形．
∴矩形AECF是正方形．
【點睛】此題是四邊形綜合題目，考查了正方形和矩形的判定、平行四邊形的判定、等腰三角形的判定、平行線的性質以及角平分線的定義等知識；本題綜合性強，屬于探究條件型題．
例2-3．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=35°，請用尺規作圖法在邊CB上求作一點D，使得AD將△ABC分為兩個等腰三角形．（不寫作法，保留作圖痕跡）
【解析】根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，作線段BC的垂直平分線，交BC于點D，連接AD，則△ACD與△ABD即為兩個等腰三角形．
解：如圖，作線段BC的垂直平分線，交BC于點D，連接AD，
可得AD=CD=BD，
則△ACD與△ABD即為兩個等腰三角形．
∴點D即為所求．
知識點3 等腰三角形的性質、判定的綜合
等腰三角形的性質的作用
性質1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據．
性質2用來證明線段相等，角相等，垂直關系等．
等腰三角形的判定是證明兩條線段_相等_的重要定理，是將三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據.等腰三角形的性質定理和判定定理是互逆定理
典例剖析3
例3-1．如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點．D，交AC于點E，那么下列結論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③BC=BD+CE；④△ADE的周長=AB+AC；⑤BF=CF．其中正確的有（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①②④⑤ D. ②④⑤
【答案】B
【解析】由平行線得到角相等，由角平分線得角相等，根據平行線的性質及等腰三角形的判定和性質．
解：∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵BF是∠ABC的平分線，CF是∠ACB的平分線，
∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB，
∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，
∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．
∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，
∴△ADE的周長AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC，
①②④正確，
故選：B．
例3-2．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，過點D作DE∥AC，交AB于點E，若AB=6，則DE的長為（　　）
A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4
【答案】B
【解析】求出∠CAD=∠BAD=∠EDA，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，根據直角三角形斜邊上中線性質求出即可．
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB=90°，
∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°．
∴∠ABD=∠BDE．
∴DE=BE．
∵AB=6，
∴DE=BE=AE=AB=3，
故選：B．
例3-3．一次函數y=2x-4的圖象與x軸交于點A，且經過點B（m,4）．
（1）求點A和點B的坐標；
（2）直接在圖的平面直角坐標系中畫出一次函數y=2x-4的圖象；
（3）點P在x軸的正半軸上，若△ABP是以AB為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的P點坐標．
【解析】（1）把y=0和4分別代入函數解析式，即可求得相應的x和m的值，即可得點A、B的坐標；
（2）利用描點法畫圖象即可；
（3）根據等腰三角形的性質即可得出答案．
解：（1）∵一次函數 y=2x-4 的圖象與x軸交于點A，
∴令y=0，2x-4=0，
解得x=2，
∴點A的坐標是（2，0），
∵點B（m,4）在一次函數y=2x-4 的圖象上，
把B（m,4）代入y=2x-4，得2m-4=4，
∴m=4，
∴點B的坐標是（4，4）；
（2）圖象過點A的坐標是（2，0），點B的坐標是（4，4），如圖：
（3）∵A（2，0），B（4，4），
∴AB==2，
∵點P在x軸的正半軸上，△ABP是以AB為腰的等腰三角形，
∴P的坐標為（6，0）或（2+2，0）．
三、變式訓練
變式1 等腰三角形的性質
1．如圖，在△ABC中，∠B=∠C，D，E分別是線段BC、AC上的一點，且AD=AE．
（1）如圖1，若∠BAC=90°，D為BC中點，則∠2的度數為_____；
（2）如圖2，用等式表示∠1與∠2之間的數量關系，并給予證明．
【答案】22.5°
【解析】（1）根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，再根據等邊對等角的性質∠B=∠C，∠ADE=∠AED，進而得出∠BAD=2∠CDE．
（2）根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，再根據等邊對等角的性質∠B=∠C，∠ADE=∠AED，進而得出∠BAD=2∠CDE．
解：（1）∠AED=∠CDE+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∵∠B=∠C，∠BAC=90°，D是BC中點，
∴∠BAD=45°，
∴∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD=2∠CDE，
∴∠2=22.5°；
故答案為：22.5°．
（2）∠AED=∠CDE+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD=2∠CDE，∠1=2∠2．
2．如圖，在中，，D是上的一點，且，點E是的中點，連接．求證：．
【答案】見解析
【解析】根據直角三角形斜邊上中線的性質得出，根據等腰三角形性質得出，根據三角形外角性質得出，再根據已知條件即可證明結論．
證明：∵，
∴為直角三角形．
又∵點E是的中點，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
又∵，
∴．
【點睛】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的性質，三角形外角的性質，解題的關鍵是熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
3．如圖，平行四邊形的對角線交于點O，E為中點，過點C作交的延長線于F，連接．
（1）求證：
（2）當滿足什么條件時，四邊形為矩形？請說明理由．
【答案】（1）見解析 （2）當滿足時，四邊形為矩形，理由見解析
【解析】（1）由證明即可；
（2）先證四邊形為平行四邊形，再由等腰三角形的性質得，則，即可得出平行四邊形為矩形．
【小問1詳解】
∵，
∴，
∵E是的中點，
∴，
在和中，
，
∴；
小問2詳解】
當滿足時，四邊形為矩形，理由如下：
∵，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴，
∴，
∴平行四邊形為矩形．
【點睛】本題考查了矩形的判定、全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質，證明是解題的關鍵．
4．如圖，在中，.
⑴已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點P，連結AP，求證：；
⑵以點B為圓心，線段AB的長為半徑畫弧，與BC邊交于點Q，連結AQ，若，求的度數.
【答案】（1）見解析；（2）∠B=36°.
【解析】（1）根據垂直平分線的性質，得到PA=PB，再由等腰三角形的性質得到∠PAB=∠B，從而得到答案；
（2）根據等腰三角形的性質得到∠BAQ=∠BQA，設∠B=x，由題意得到等式∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，即可得到答案.
（1）證明：因為點P在AB的垂直平分線上，
所以PA=PB，
所以∠PAB=∠B，
所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.
（2）根據題意，得BQ=BA，
所以∠BAQ=∠BQA，
設∠B=x，
所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，
所以∠BAQ=∠BQA=2x，
在△ABQ中，x+2x+2x=180°，
解得x=36°，即∠B=36°.
【點睛】本題考查垂直平分線的性質、等腰三角形的性質，解題的關鍵是掌握垂直平分線的性質、等腰三角形的性質.
變式2 等腰三角形的判定
1．如圖，∠AOB=90°，線段OA=18cm,OB=6m,一機器人Q在點B處．
（1）若BC=AC，求線段BC的長；
（2）在（1）的條件下，機器人Q從點B出發，以3m/min的速度沿著△OBC的三條邊逆時針走一圈后回到點B，設行走的時間為t min,則t=_____時，△OBQ是以OB為腰的等腰三角形.
【答案】4或6
【解析】（1）設BC=x m,則OC=（18-x）m,利用直角三角形的勾股定理得出x的值即可；
（2）根據等腰三角形的定義，分兩種情況進行討論，列出關于t的方程解答即可．
解：（1）設BC=x m,
∵BC=AC，
∴OC=OA-CA=OA-BC=（18-x）m,
在Rt△OBC中，OB2+OC2=BC2，
即62+（18-x）2=x2，
解得：x=10，
即線段BC的長為10m；
（2）當點Q在OC上時，OB=OQ=6，
此時3t=6+6=12，
解得t=4，
當點Q在BC上時，OB=BQ=6，
此時6+8+10-3t=6，
解得t=6，
綜上所述，當t=4s或6s時，△OBQ是以OB為腰的等腰三角形．
故答案為：4或6．
2．如圖在△ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°，∠ABC的平分線BD交邊AC于點D．
求證：△BCD為等腰三角形．
【解析】先利用三角形的內角和求出∠ABC=70°，再利用角平分線的定義求出∠DBC=35°，最后利用等邊對等角即可解答．
證明：∵∠BAC=75°，∠ACB=35°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABC=35°，
∴∠DBC=∠ACB=35°，
∴DB=DC，
∴△BCD為等腰三角形．
3．如圖△ABC是等邊三角形，BD是角平分線，延長BC至E，使CE=CD．求證△BED是等腰三角形．
【解析】根據等邊三角形的性質及等腰三角形的判定可得結論．
證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD是角平分線，
∴∠DBC=∠ABC=30°．（三線合一）
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠E=∠CDE=∠ACB=30°，
∴∠DBC=∠E，
∴BD=DE，
∴△BED是等腰三角形．
變式3等腰三角形的判定性質綜合
1．如圖，．
（1）寫出與的數量關系
（2）延長到，使，延長到，使，連接．求證：．
（3）在（2）的條件下，作的平分線，交于點，求證：．
【答案】（1），
（2）見解析 （3）見解析
【解析】（1）勾股定理求得，結合已知條件即可求解；
（2）根據題意畫出圖形，證明，得出，則，即可得證；
（3）延長交于點，延長交于點，根據角平分線以及平行線的性質證明，進而證明，即可得證．
【小問1詳解】
解：∵
∴，
∵
∴
即；
【小問2詳解】
證明：如圖所示，
∴
∴，
∵，
∴
∵，,
∴
∴
∴
∴
【小問3詳解】
證明：如圖所示，延長交于點，延長交于點，
∵，，
∴，
∴
∵是的角平分線，
∴，
∴
∴
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴，
又，則，
在中，
，
∴，
∴
【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，勾股定理，平行線的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．
2．如圖，在中，，，點在線段上，于點，連接，．已知，．
（1）求證：．
（2）若，求線段的長．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】（1）先根據三角形內角和定理求出，進而求出，再根據三角形內角和定理得到，進而根據等邊對等角和三角形外角的性質推出，即可證明；
（2）先求出，得到，在中根據勾股定理和含30度角的直角三角形的性質求出的長即可 ．
【小問1詳解】
證明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理，三角形外角的性質，等腰三角形的性質與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，靈活運用所學知識是解題的關鍵．
3．定義：至少有一組對邊相等的四邊形為“等對邊四邊形”．
（1）請寫出一個你學過的特殊四邊形中是“等對邊四邊形”的名稱；
（2）如圖1，四邊形ABCD是“等對邊四邊形”，其中AB=CD，邊BA與CD的延長線交于點M，點E、F是對角線AC、BD的中點，若∠M=60°，求證：EFAB；
（3）如圖2．在△ABC中，點D、E分別在邊AC、AB上，且滿足∠DBC=∠ECB∠A，線段CE、BD交于點O．
①求證：∠BDC=∠AEC；
②請在圖中找到一個“等對邊四邊形”，并給出證明．
【答案】（1）如：平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形等；（2）證明見解析；（3）①證明見解析；②四邊形EBCD是等對邊四邊形．證明見解析．
【解析】（1）理解等對邊四邊形的圖形的定義，有平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形等，可得出答案．
（2）取BC的中點N，連接EN，FN，由中位線定理可得EN＝12CD，FN＝12AB，可證明△EFN為等邊三角形，則結論得證；
（3）①證明∠EOB＝∠A，利用四邊形內角和可證明∠BDC＝∠AEC；
②作CG⊥BD于G點，作BF⊥CE交CE延長線于F點．根據AAS可證明△BCF≌△CBG，則BF＝CG，證明△BEF≌△CDG，可得BE＝CD，則四邊形EBCD是“等對邊四邊形”．
（1）如：平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形等．
（2）如圖1，取BC的中點N，連接EN，FN，
∴ENCD，FNAB，
∴EN=FN．
∵∠M=60°，
∴∠MBC+∠MCB=120°．
∵FN∥AB，EN∥MC，
∴∠FNC=∠MBC，∠ENB=∠MCB，
∴∠ENF=180°﹣120°=60°，
∴△EFN為等邊三角形，
∴EF=FNAB．
（3）①證明：∵∠BOE=∠BCE+∠DBC，∠DBC=∠ECB∠A，
∴∠BOE=2∠DBC=∠A．
∵∠A+∠AEC+∠ADB+∠EOD=360°，∠BOE+∠EOD=180°，
∴∠AEC+∠ADB=180°．
∵∠ADB+∠BDC=180°，
∴∠BDC=∠AEC；
②解：此時存在等對邊四邊形，是四邊形EBCD．
如圖2，作CG⊥BD于G點，作BF⊥CE交CE延長線于F點．
∵∠DBC=∠ECB∠A，BC=CB，∠BFC=∠BGC=90°，
∴△BCF≌△CBG(AAS)，
∴BF=CG．
∵∠BEF=∠ABD+∠DBC+∠ECB，∠BDC=∠ABD+∠A，
∴∠BEF=∠BDC，
∴△BEF≌△CDG(AAS)，
∴BE=CD，
∴四邊形EBCD是等對邊四邊形．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質，中位線定理，等腰三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，四邊形內角和等知識，解決本題的關鍵是理解等對邊四邊形的定義．
4．(1)發現：如圖，點是線段上的一點，分別以，為邊向外作等邊三角形和等邊三角形，連接，，相交于點．
①線段與的數量關系為：　 　；的度數為　 　．
②可看作經過怎樣的變換得到的？　 　．
(2)應用：如圖2，若點，，不在一條直線上，中的結論①還成立嗎？請說明理由；
(3)拓展：在四邊形中，，，，若，，請直接寫出，兩點之間的距離．
【答案】(1)①，；②可看作繞點順時針旋轉得到的；(2)(1)中的結論①依然成立；理由見解析；(3)
【解析】（1）①證明，得出，，，根據，即可得出結論；
②由①知：，且，則可看作繞點順時針旋轉得到的；
（2）同（1）的方法證明，得出，，，根據，即可得出結論；
（3）過點作于，過點作，交延長線于，得出是等腰直角三角形，證明，則，進而得出，勾股定理即可求解．
解：（1）①、都為等邊三角形，
，，，
，
在和中，，
，
，，
，
，
故答案為：，；
②由①知：，
，，，
，
可看作繞點順時針旋轉得到的，
故答案為：可看作繞點順時針旋轉得到的；
（2）若點，，不在一條直線上，（1）中的結論①依然成立；理由如下：
、都為等邊三角形，
，，，
，
在和中，，
，
，，
，
；
（3）過點作于，過點作，交延長線于，如圖所示：
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
．
【點睛】本題考查了旋轉變換，全等三角形的綜合，勾股定理，等腰三角形的性質與判定，正確的添加輔助線是解題的關鍵．
四、能力提升
提升1 等腰三角形的性質
1．如圖所示，D是等邊三角形ABC外一點，DB＝DC，∠BDC＝120°，點E，F分別在AB，AC上．
（1）求證：AD是BC的垂直平分線．
（2）若ED平分∠BEF，求證：FD平分∠EFC．
（3）在（2）的條件下，求∠EDF的度數．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）∠EDF＝60°．
【解析】（1）求出AB=AC，BD=DC，根據線段垂直平分線性質求出即可；
（2）過D作DM⊥EF，連接AD，求出AD平分∠BAC，求出∠ABC=∠ACB=60°，求出BD=DM，BD=DC，推出DM=DC即可；
（3）求出DB=DM，DM=DC，∠EBD=∠EMD=90°，證出△EBD≌△EMD，推出∠BDE=∠EDM，同理∠CDF=∠FDM，進而得出2∠EDF=∠BDC=120°．
（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，
∴A在BC的垂直平分線上，
∵BD＝DC，
∴D在BC的垂直平分線上，
∴AD是BC的垂直平分線
（2）過D作DM⊥EF，連接AD，
∵AD是BC的垂直平分線，
∴AD平分∠BAC，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝DC，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°，
∴DB⊥AB，DC⊥AC，
∵DM⊥EF，ED平分∠BEF，AD平分∠BAC，
∴BD＝DM，BD＝DC，
∴DM＝DC，
∴FD平分∠EFC；
（3）如圖，
∵DE平分∠BEF，DB⊥AB，DM⊥EF，DF平分∠CFE，
∴DB＝DM，DM＝DC，∠EBD＝∠EMD＝90°，
在△EBD和△EMD中
，
∴△EBD≌△EMD，
∴∠BDE＝∠EDM，
同理∠CDF＝∠FDM，
∴2∠EDF＝∠BDC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠EDF＝60°．
【點睛】此題考查了等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質以及全等三角形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用與輔助線的作法.
2．如圖，已知等邊 的邊長為，現有兩點 M、N 分別從點 A、點 B 同時出發，沿三角形的邊運動，運動時間為，已知點 M的速度，點 N的速度為．當點 N 第一次到達 B 點時，M、N 同時停止運動．
（1）當點 N 第一次到達 B 點時，點M的位置在 ；當 M、N運動 秒時，點N追上點M；
（2）當點 M、N 在 邊上運動時，能否得到以為底邊的等腰三角形？如存在，請求出此時 M、N 運動的時間．
（3）當為直角三角形時，運動時間t的值是
【答案】（1）線段的中點，6
（2）存在，當M、N運動8秒時，能得到以為底的等腰三角形
（3），，，9
【解析】（1）先求解N第一次到達B的時間，可得M的位置，再點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，可得，再解方程即可；
（2）先證明，可得，再建立方程，即可得到答案；
（3）當點N在上運動時，如圖3，若，如圖4，當，再利用含的直角三角形的性質列方程即可，當點N在上運動時，點M也在AC上，此時A，M，N不能構成三角形：當點N在上運動時，如圖5，當點N位于中點處時，由為等邊三角形知，如圖6，當點M位于中點處時，由時等邊三角形知，即是直角三角形，再列方程求解即可．
【小問1詳解】
解：當點 N 第一次到達 B 點時，，
此時運動了，
∴點M的位置在線段BC的中點，
設點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，，
解得：，
即當M、N運動6秒時，點N追上點M．
【小問2詳解】
當點M、N在邊上運動時，可以得到以為底邊的等腰三角形，
由（1）知6秒時M、N兩點重合，恰好在C處，
如圖2，假設是等腰三角形，
∴，
∴．
∴，
∵是等邊三角形，
∴，AB=AC，
在和中，
∵，，
∴
∴，
∴，
解得，符合題意．
所以假設成立，當M、N運動8秒時，能得到以為底的等腰三角形．
【小問3詳解】
當點N在上運動時，如圖3，
若，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，解得．
如圖4，當，
同理可得：由得，解得；
當點N在上運動時，點M也在AC上，此時A，M，N不能構成三角形：
當點N在上運動時，
如圖5，當點N位于中點處時，由為等邊三角形知，
即是直角三角形，
則，解得．
如圖6，當點M位于中點處時，由時等邊三角形知，即是直角三角形，
則；
綜上，當，，，9時，可得到直角三角形．
【點睛】本題考查的是動態幾何問題，等邊三角形的性質，等腰三角形的定義，含的直角三角形的性質，一元一次方程的應用，清晰的分類討論是解本題的關鍵．
提升2 等腰三角形的判定
1．如圖，點D、E在△ABC的邊BC上，AD=AE，BD=CE．
（1）求證：AB=AC；
（2）若∠BAC=108°，∠DAE=36°，直接寫出圖中除△ABC與△ADE外所有的等腰三角形．
【解析】（1）首先過點A作AF⊥BC于點F，由AD=AE，根據三線合一的性質，可得DF=EF，又由BD=CE，可得BF=CF，然后由線段垂直平分線的性質，可證得AB=AC．
（2）根據等腰三角形的判定解答即可．
證明：（1）過點A作AF⊥BC于點F，
∵AD=AE，
∴DF=EF，
∵BD=CE，
∴BF=CF，
∴AB=AC．
（2）∵∠B=∠BAD，∠C=∠EAC，∠BAE=∠BEA，∠ADC=∠DAC，
∴除△ABC與△ADE外所有的等腰三角形為：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，
2．如圖，點O是等邊△ABC內一點，D是△ABC外的一點，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，連接OD．
（1）求證：△OCD是等邊三角形；
（2）當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
（3）探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形．
【解析】（1）根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得證；
（2）根據全等易得∠ADC=∠BOC=α=150°，結合（1）中的結論可得∠ADO為90°，那么可得所求三角形的形狀；
（3）根據題中所給的全等及∠AOB的度數可得∠AOD的度數，根據等腰三角形的兩底角相等分類探討即可．
證明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC，
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等邊三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等邊三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等邊三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．
①當∠AOD=∠ADO時，190°-α=α-60°，
∴α=125°．
②當∠AOD=∠OAD時，190°-α=50°，
∴α=140°．
③當∠ADO=∠OAD時，
α-60°=50°，
∴α=110°．
綜上所述：當α=110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形．
3．如圖，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂線MN交AC于點D，交AB于點M，有下面4個結論：
①BD是∠ABC的角平分線；
②△BCD是等腰三角形；
③△ABC∽△BCD；
④△AMD≌△BCD．
（1）判斷其中正確的結論是哪幾個？
（2）從你認為是正確的結論中選一個加以證明．
【解析】（1）利用等腰三角形和線段垂直平分線的性質分析．
（2）先①根據等腰三角形的性質證明∠ABC=∠ACB，再根據中垂線的性質證明．
解：（1）連接BD，
①∵AB=AC，∠A=36°
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB==72°，
∵AB垂直平分線交AC于D，交AB于M，
∴根據中垂線的性質，中垂線上的點到線段的兩個端點的距離相等．
有AD=BD，∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°，
∴BD平分∠ABC，故正確；
②∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°，
∴BD=BC，
∴△BCD是等腰三角形．故正確；
③∠ABC=∠ACB=∠BDC=∠C，
∴△ABC∽△BCD，故正確；
④∵∠AMD=90°≠∠C=72°，
∴△AMD與△BCD不是全等三角形．故不正確．
∴①、②、③命題都正確．正確的結論是①、②、③；
（2）證明：BD平分∠ABC，
∵AB=AC，∠A=36°
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB==72°，
∵AB垂直平分線交AC于D，交AB于M，
∴根據中垂線的性質，中垂線上的點到線段的兩個端點的距離相等．有AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°，
∴BD平分∠ABC．
提升3等腰三角形的判定性質綜合
1．（1）如圖1，在中，，D是邊的中點，E、F分別是、邊上的點．若B、E、F在一條直線上，且，探究與的數量之間有何等量關系，并證明你的結論．
（2）為了豐富學生的業余生活，增強學生的身體素質，某體育課上老師組織學生進行傳球訓練．如圖2所示，體育老師在地面畫了一塊場地，已知米，米，D為的中點，測得的長為15米，受訓練的兩名同學E和F分別在和邊上移動，老師站在C點位置給同學傳球，先把球傳給E同學，E同學再傳給F同學，請求出所傳球的運動路徑最小值（即的最小值）．
【答案】（1），證明見解析；
（2）米．
【解析】（1）根據等角對等邊，可知是等腰三角形，易證，證明≌，進而結論得證；
（2）根據垂線段最短可知當B，E，F三點共線，且垂直時，有最小值為，根據等體積法求解即可．
【小問1詳解】
解：．
理由如下：∵，
∴，．
∵，D是邊的中點，
∴，，
∴．
∵，
∴．
在和中
∵
∴≌，
∴，
∴．
【小問2詳解】
解：解：如圖，連接
∵，，
∴，
∴，
∴當B，E，F三點共線，且垂直時，有最小值為．
由等面積法可得，
解得米，
∴所傳球的運動路徑最小值為米．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，等體積法，垂線段最短．解題的關鍵在于對知識的靈活運用．
2．在中，，點O是所在平面內一點，連接OA，延長OA到點E，使得，連接OC，過點B作BD與OC平行，并使，且，連接DE．若，且，，則的大小為______．
【答案】或
【解析】分點O在內部和點O在外部兩種情況，分別畫出圖形，利用全等三角形的判定和性質，結合中位線性質，等腰三角形的判定和性質，求出即可．
解：當點O在內部時，連接交于點F，連接，延長交于點M，連接，如圖所示：
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴為垂直平分線，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵為的中點，A為的中點，
∴，
∴；
當點O在外部時，連接交于點F，連接，延長交于點M，連接，如圖所示：
同理可得：，
∴，
∵，，
∴，垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴、A、O、M四點共圓，
∴，
∵為的中點，A為的中點，
∴，
∴；
綜上分析可知，或．
故答案為：或．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，三角形中位線性質，垂直平分線性質，等腰三角形的判定和性質，平行線的性質，解題的關鍵是分類討論，作出圖形，構造全等三角形解決問題．
3．如圖，是等腰直角三角形，，動點從點出發，沿以每秒個單位的速度向終點運動，過點作交于點點不與點、重合，點繞點沿逆時針方向旋轉至點，連結，，設點的運動時間為秒．
（1）______，______用含代數式表示
（2）當點落在線段上時，求的值；
（3）設與重疊部分面積為，用含的代數式表示；
（4）當線段的垂直平分線經過一邊中點時，直接寫出的值．
【答案】（1） ，
（2）
（3）
（4）或或
【解析】（1）利用等腰直角三角形的判定和性質解決問題即可；
（2）如圖中，當點落在線段上時，；
（3）當時，如圖中，重疊部分是，當時，如圖中，重疊部分是四邊形，分別求解即可；
（4）分三種情形，分別畫出圖形，構建方程求解．
【小問1詳解】
解：，，
，
，
，
，
，
，
故答案為：，；
【小問2詳解】
如圖中，當點落在線段上時，，
，
．
【小問3詳解】
當時，如圖中，重疊部分是，．
當時，如圖中，重疊部分是四邊形，．
綜上所述，．
【小問4詳解】
如圖中，當垂直平分線經過的中點時，，
，
．
如圖中，當的垂直平分線經過的中點時，，此時，
如圖中，當的垂直平分線經過的中點時，
，
，
，
綜上所述，滿足條件的的值為或或．
【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質，線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．
4．已知兩個等腰有公共頂點C，，連接是的中點，連接．
（1）如圖1，當與在同一直線上時，求證：；
（2）如圖2，當時，求證：．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】（1）法一：延長交于點，易證為等腰直角三角形，得到，進而得到為的中位線，即可得證；法二：延長交于，證明，進而推出是等腰直角三角形，得到，進而得到，即可得證；
（2）法一：延長交于點D，連接，易得，，證明，得到，即可得證；法二：延長交于D，連接、，分別證明，推出是等腰直角三角形，進而得證．
【小問1詳解】
解：法一：
如圖：延長交于點，
∵等腰有公共頂點C，，
∴，，，
∴，
∴，
∴點為線段的中點，
又∵點為線段的中點，
∴為的中位線，
∴；
法二：
如圖，延長交于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中點，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵在等腰直角中，，
∴，
∴；．
【小問2詳解】
法一：
如圖，延長交于點D，連接，則：，
∵，
∴，
∴，
∵為等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴點B為中點，又點M為中點，
∴．
延長與交于點G，連接，
同法可得：，，
∴點E為中點，又點M為中點，
∴．
在與中，
，
∴，
∴，
∴．
法二：
如圖，延長交于D，連接、，
∵為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的中點，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，三角形的中位線定理，以及斜邊上的中線等于斜邊的一半．解題的關鍵是添加合適的輔助線，證明三角形全等．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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