資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上暑假預(yù)習(xí)課
第十五講 等邊三角形
一、專題導(dǎo)航
知識(shí)點(diǎn)梳理
知識(shí)點(diǎn)1 等邊三角形的定義及性質(zhì)
等邊三角形概念：三條邊都相等的三角形，叫等邊三角形。它是特殊的等腰三角形。
等邊三角形的性質(zhì)
等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60
等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸。任意一角的平分線所在直線都是它的對(duì)稱軸。
典例剖析1
例1-1．如圖，BD是等邊△ABC的邊AC上的高，以點(diǎn)D為圓心，DB長為半徑作弧交BC的延長線于點(diǎn)E，則∠DEC=（　　）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
例1-2．如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，以BD為邊作等邊△BDE，連接CE．若CD=2，CE=6，則BC=（　　）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
例1-3．如圖，AB=4，AC=2，以BC為邊向上構(gòu)造等邊三角形BCD，連接AD并延長至點(diǎn)P，使AD=PD，則PB的最小值是（　　）
A. B. 4-2
C. 4- D. 4-4
知識(shí)點(diǎn)2 等邊三角形的判定
三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.
有一個(gè)角是60 的等腰三角形是等邊三角形。
說明：①等邊三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．
（3）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30 ，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半
典例剖析2
例2-1．下列三角形：①有兩個(gè)角等于60°的三角形；②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形；③三個(gè)角都相等的三角形；④三邊都相等的三角形．其中是等邊三角形的有（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④
例2-2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一點(diǎn)，BD＝BC，過點(diǎn)D作AB的垂線交AC于點(diǎn)E，CD交BE于點(diǎn)F．
（1）求證：BE垂直平分CD；
（2）若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求證：△CBD是等邊三角形．
例2-3．如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M，N分別是BC，DE的中點(diǎn)，若，BC＝8，連接EM，DM，求△EDM的面積．
知識(shí)點(diǎn)3 等邊三角形的性質(zhì)和判定綜合
（1）三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離等。
（2）三角形三個(gè)邊的中垂線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。
（3）常用輔助線：①三線合一；②過中點(diǎn)做平行線[
典例剖析3
例3-1．如圖，∠AOB=120°，點(diǎn)P為∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)，若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：①PM=PN；②OM+ON=OP；③四邊形PMON的面積保持不變；④△PMN的周長保持不變．其中說法正確的是_______．(填序號(hào))
例3-2．已知：四邊形中，，，，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且平分，過點(diǎn)A作，垂足為H．判斷線段之間的數(shù)量關(guān)系：___________；并證明你的結(jié)論．
例3-3．已知：如圖，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD為邊BC的垂直平分線，以AC為邊作等邊三角形ACE，△ACE與△ABC在直線AC的異側(cè)，直線BE交DA的延長線于點(diǎn)F，連接FC交AE于點(diǎn)M．
（1）求證：∠FEA＝∠FBA．
（2）求∠EFC的度數(shù)．
（3）猜想線段FE，F(xiàn)A，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
變式訓(xùn)練
變式1 等邊三角形的定義及性質(zhì)
1．如圖，P是正△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若將△PBC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到△P′BA，則∠PBP′的度數(shù)是（　　）
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
2．如圖，在邊長為4的等邊中，，分別為，的中點(diǎn)，于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，則的長為__________．
3．如圖，點(diǎn)，分別是邊長為的等邊的邊，上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)出發(fā)，且速度都為，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，連接，交于點(diǎn)，則在，運(yùn)動(dòng)的過程中，
（1）求證：；
（2）的大小變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；
（3）當(dāng)為何值時(shí)，是直角三角形？
變式2 等邊三角形的判定
1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，D是AB上的一點(diǎn)，BD=BC，過點(diǎn)D作AB的垂線交AC于點(diǎn)E，CD交BE于點(diǎn)F．
（1）求證：BE垂直平分CD；
（2）若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求證：△CBD是等邊三角形．
2．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為AB邊的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，DE=DF．求證：△ABC是等邊三角形．
3．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點(diǎn)D、E在BC上，且AE=BE．
（1）求∠CAE的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)D為線段EC的中點(diǎn)，求證：△ADE是等邊三角形．
變式3 等邊三角形的性質(zhì)與判定綜合
1．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，、分別為邊、上兩點(diǎn)，若滿足，則、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系是_______________．
【類比應(yīng)用】（2）如圖2，中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，、分別為邊、上兩點(diǎn)，若滿足，試探究、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【拓展延伸】（3）在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，、分別為直線、上兩點(diǎn)，若滿足，，請(qǐng)直接寫出的長．
2．如圖，在△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)D在邊BC的延長線上，線段AC，CD的垂直平分線交于點(diǎn)E，連接AE，CE，DE，AD．
（1）若∠BAC=60°，求證：△ADE是等邊三角形；
（2）求∠AED與∠ACB之間的數(shù)量關(guān)系．
3．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，若∠BAO＝30°，AB＝4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）如圖1，求證：△ABC是等邊三角形．
（2）如圖2，點(diǎn)D是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，求線段CE的最小值．
（3）如圖3，若將△ABO沿直線AC平移，記平移后的△ABO為△，在平移過程中，是否存在這樣的點(diǎn)，使得△為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
4．課本再現(xiàn)：（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．求證：△ADE是等邊三角形．
課本中給出一種證明方法如下：
證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠A=∠ADE=∠AED，
∴△ADE是等邊三角形．
“想一想，本題還有其他證法嗎？” 給出的另外一種證明方法，請(qǐng)補(bǔ)全：
證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C，∠A=60°．
∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE，∠C=①_____，
∴②_____=③_____，
∴AD=AE．（④_____）
∴△ADE是等腰三角形．
又∵∠A=60°，∴△ADE是等邊三角形．
（2）如圖2，等邊三角形ABC的兩條角平分線相交于點(diǎn)D，延長BD至點(diǎn)E，使得AE=AD，求證：△ADE是等邊三角形．
5．已知∠AOB=120°，點(diǎn)P為射線OA上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)C為∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，連接CP，將線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ，且點(diǎn)Q恰好落在射線OB上，不與點(diǎn)O重合．
（1）依據(jù)題意補(bǔ)全圖1；
（2）用等式表示∠CPO與∠CQO的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）連接OC，寫出一個(gè)OC的值，使得對(duì)于任意點(diǎn)P，總有OP+OQ=4，并證明．
能力提升
提升1 等邊三角形的定義及性質(zhì)
1．在等邊△ABC中，點(diǎn)D是直線BC上的一個(gè)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），以AD為邊在AD右側(cè)作等邊△ADE，連接CE．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：BD＝CE；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上時(shí)，若∠BAE＝α，求∠DEC的度數(shù)；（用含α的代數(shù)式表示）
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，若BD⊥DE，且S△ABC＝4，求△ACF的面積．
2．如圖，已知等邊 的邊長為，現(xiàn)有兩點(diǎn) M、N 分別從點(diǎn) A、點(diǎn) B 同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，已知點(diǎn) M的速度，點(diǎn) N的速度為．當(dāng)點(diǎn) N 第一次到達(dá) B 點(diǎn)時(shí)，M、N 同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)點(diǎn) N 第一次到達(dá) B 點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M的位置在 ；當(dāng) M、N運(yùn)動(dòng) 秒時(shí)，點(diǎn)N追上點(diǎn)M；
（2）當(dāng)點(diǎn) M、N 在 邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以為底邊的等腰三角形？如存在，請(qǐng)求出此時(shí) M、N 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（3）當(dāng)為直角三角形時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值是
3．如圖所示，D是等邊三角形ABC外一點(diǎn)，DB＝DC，∠BDC＝120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上．
（1）求證：AD是BC的垂直平分線．
（2）若ED平分∠BEF，求證：FD平分∠EFC．
（3）在（2）的條件下，求∠EDF的度數(shù)．
提升2 等邊三角形的判定
1 .已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)．
（1）求證：△BED是等腰三角形：
（2）當(dāng)∠BCD=_____°時(shí)，△BED是等邊三角形．
2．等邊△ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試說明你的結(jié)論．
3 .綜合與實(shí)踐
【問題情境】如圖，圖，在等邊三角形中，是邊上一定點(diǎn)，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作等邊三角形，連接．
【問題解決】如圖，若點(diǎn)在邊上，在上截取，連接．
（1）請(qǐng)判斷的形狀，并說明理由．
（2）若，，求的長．
【類比探究】如圖，若點(diǎn)在邊的延長線上，請(qǐng)直接寫出線段，與之間存在的數(shù)量關(guān)系．
提升3 等邊三角形的性質(zhì)與判定綜合
1．在等邊△ABC中，
（1）如圖1，P，Q是BC邊上兩點(diǎn)，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度數(shù)；
（2）點(diǎn)P，Q是BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，且AP=AQ，點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為M，連接AM，PM．
①依題意將圖2補(bǔ)全；
②求證：PA=PM．
2．已知：如圖，△ABC、△CDE都是等邊三角形，AD、BE相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別是線段AD、BE的中點(diǎn)．
（1）求證：AD=BE；
（2）求∠DOE的度數(shù)；
（3）求證：△MNC是等邊三角形．
3．如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是△ABC外的一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，連接OD．
（1）求證：△OCD是等邊三角形；
（2）當(dāng)α=150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
（3）探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形．
4．如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E、F分別是線段AB、BC、CA上的點(diǎn)，
（1）若AD=BE=CF，問△DEF是等邊三角形嗎？試證明你的結(jié)論；
（2）若△DEF是等邊三角形，問AD=BE=CF成立嗎？試證明你的結(jié)論．
人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上暑假預(yù)習(xí)課
第十五講 等邊三角形
一、專題導(dǎo)航
知識(shí)點(diǎn)梳理
知識(shí)點(diǎn)1 等邊三角形的定義及性質(zhì)
等邊三角形概念：三條邊都相等的三角形，叫等邊三角形。它是特殊的等腰三角形。
等邊三角形的性質(zhì)
等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60
等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸。任意一角的平分線所在直線都是它的對(duì)稱軸。
典例剖析1
例1-1．如圖，BD是等邊△ABC的邊AC上的高，以點(diǎn)D為圓心，DB長為半徑作弧交BC的延長線于點(diǎn)E，則∠DEC=（　　）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
【答案】C
【解析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ABC=60°，根據(jù)等邊三角形三線合一可得∠CBD=30°，再根據(jù)作圖可知BD=ED，進(jìn)一步可得∠DEC的度數(shù)．
解：在等邊△ABC中，∠ABC=60°，
∵BD是AC邊上的高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABC=30°，
∵BD=ED，
∴∠DEC=∠CBD=30°，
故選：C．
例1-2．如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，以BD為邊作等邊△BDE，連接CE．若CD=2，CE=6，則BC=（　　）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】在CB上取一點(diǎn)G使得CG=CD，即可判定△CDG是等邊三角形，可得CD=DG=CG，易證∠BDG=∠EDC，即可證明△BDG≌△EDC，可得BG=CE，即可解題．
解：在CB上取一點(diǎn)G使得CG=CD，
∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，
∴△CDG是等邊三角形，
∴CD=DG=CG，
∵∠BDG+∠EDG=60°，∠EDC+∠EDG=60°，
∴∠BDG=∠EDC，
在△BDG和△EDC中，
，
∴△BDG≌△EDC（SAS），
∴BG=CE，
∴BC=BG+CG=CE+CD=8，
故選：B．
例1-3．如圖，AB=4，AC=2，以BC為邊向上構(gòu)造等邊三角形BCD，連接AD并延長至點(diǎn)P，使AD=PD，則PB的最小值是（　　）
A. B. 4-2
C. 4- D. 4-4
【答案】D
【解析】以AB為邊構(gòu)造等邊三角形A′AB，連接A′P，取AB的中點(diǎn)M，連接DM，證明△ABC≌△A′BD，可得AC=A′D=2，從而可得DM是△ABP的中位線，所以PB=2DM，當(dāng)DM最小時(shí)，PB有最小值，根據(jù)△AA′B是等邊三角形，M是AB中點(diǎn)，可得當(dāng)點(diǎn)A′，D，M在同一條直線上時(shí)，DM有最小值，然后根據(jù)勾股定理即可求出結(jié)論．
解：如圖，以AB為邊構(gòu)造等邊三角形A′AB，連接A′P，取AB的中點(diǎn)M，連接DM，
在等邊三角形A′AB和等邊三角形BCD中，
AB=A′B，BC=BD，∠ABA′=∠CBD=60°，
∴∠ABC=60°-∠ABD，∠A′BD=60°-∠ABD，
∴∠ABC=∠A′BD，
在△ABC和△A′BD中，
，
∴△ABC≌△A′BD（SAS），
∴AC=A′D=2，
∵AD=PD，AM=BM，
∴DM是△ABP的中位線，
∴PB=2DM，
∴當(dāng)DM最小時(shí)，PB有最小值，
∵△AA′B是等邊三角形，M是AB中點(diǎn)，
∴當(dāng)點(diǎn)A′，D，M在同一條直線上時(shí)，DM有最小值，
此時(shí)，A′A=4，AM=2，A′M⊥AB，
∴A′M===2，
∴DM=A′M-A′D=2-2，
∴PB的最小值是4-4．
故選：D．
知識(shí)點(diǎn)2 等邊三角形的判定
三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.
有一個(gè)角是60 的等腰三角形是等邊三角形。
說明：①等邊三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．
（3）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30 ，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半
典例剖析2
例2-1．下列三角形：①有兩個(gè)角等于60°的三角形；②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形；③三個(gè)角都相等的三角形；④三邊都相等的三角形．其中是等邊三角形的有（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④
【答案】D
【解析】直接根據(jù)等邊三角形的判定方法進(jìn)行判斷．
解：①有兩個(gè)角等于60°的三角形是等邊三角形；
②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形；
③三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；
④三邊都相等的三角形是等邊三角形；
故選：D．
例2-2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一點(diǎn)，BD＝BC，過點(diǎn)D作AB的垂線交AC于點(diǎn)E，CD交BE于點(diǎn)F．
（1）求證：BE垂直平分CD；
（2）若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求證：△CBD是等邊三角形．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】（1）先證Rt△EBC≌Rt△EBD，得出BE是∠DBC的角平分線，再根據(jù)等腰三角形三線合一即可得證；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可知CD=DB，再根據(jù)DB=BC，即可證明結(jié)論．
【小問1詳解】
解：證明：∵∠ACB=90，且DE⊥AB，
∴∠EDB=∠ACB=90°，
在Rt△EBC和Rt△EBD中，
，
∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），
∴∠CBE=∠DBE，
∵BD=BC，
∴△BDC是等腰三角形，
∴BF⊥CD，CF=DF，
∴BE垂直平分CD．
【小問2詳解】
∵D是AB的中點(diǎn)，∠ACB=90°，
∴DC=DB，
又∵BD=BC，
∴DC=DB=BC，
∴△CBD是等邊三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形與等邊三角形，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)與等邊三角形的判定是解決本題的關(guān)鍵．
例2-3．如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M，N分別是BC，DE的中點(diǎn)，若，BC＝8，連接EM，DM，求△EDM的面積．
【答案】△EDM的面積為
【解析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MD=ME=，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠BME+∠CMD，然后求出∠DME=60°，可得證出△EDM是等邊三角形，進(jìn)而即可求解．
解：連接ME，MD，如圖，
∵BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，
∴MD=ME==BM=CM，
∴點(diǎn)N是DE的中點(diǎn)，
，
∵M(jìn)D=ME=BM=CM，
∴∠BME+∠CMD=180°-2∠ABC+180°-2∠ACB=360°-2（∠ABC+∠ACB），
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∴∠BME+∠CMD=360°-2×120°=120°，
∴∠DME=60°，
∴△MED是等邊三角形．
在中，EM=ED=4，EN=ND=，
．
△EDM的面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，證明△MED是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
知識(shí)點(diǎn)3 等邊三角形的性質(zhì)和判定綜合
（1）三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離等。
（2）三角形三個(gè)邊的中垂線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。
（3）常用輔助線：①三線合一；②過中點(diǎn)做平行線[
典例剖析3
例3-1．如圖，∠AOB=120°，點(diǎn)P為∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)，若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：①PM=PN；②OM+ON=OP；③四邊形PMON的面積保持不變；④△PMN的周長保持不變．其中說法正確的是_______．(填序號(hào))
【答案】①②③
【解析】作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根據(jù)題意得：∠EPM=∠FPN，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得PE=PF，從而得到Rt△POE≌Rt△POF，進(jìn)而得到OE=OF，可得到△PEM≌△PFN，從而得到∠PEM=∠PFN，EM=NF，PM=PN，可得S△PEM=S△PFN，OM+ON= 2OE，從而得到①②③正確，再由M，N的位置變化，可得MN的長度是變化的，再證得△PMN是等邊三角形，可得故④錯(cuò)誤，即可求解．
解：如圖，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
∵OP=OP，PE=PF，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
∵∠MPE=∠NPF， PE=PF，∠PEM=∠PFN，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴∠PEM=∠PFN，EM=NF，PM=PN，故①正確；
∴S△PEM=S△PFN，
∴S四邊形PMON=S四邊形PEOF=定值，故③正確；
∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正確；
∵M(jìn)，N的位置變化，
∴MN的長度是變化的，
∵PM=PN，∠MPN=60°，
∴△PMN是等邊三角形，
∴△PMN的周長是變化的，故④錯(cuò)誤，
∴說法正確的有①②③．
故答案為：①②③
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，等邊三角形判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，等邊三角形判定和性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
例3-2．已知：四邊形中，，，，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且平分，過點(diǎn)A作，垂足為H．判斷線段之間的數(shù)量關(guān)系：___________；并證明你的結(jié)論．
【答案】，證明見解析
【解析】先證明是等邊三角形，再證明，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明，在上截取，先證明，得出，再證明，得出，即可解決問題．
，
證明：∵，，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
在上截取，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
例3-3．已知：如圖，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD為邊BC的垂直平分線，以AC為邊作等邊三角形ACE，△ACE與△ABC在直線AC的異側(cè)，直線BE交DA的延長線于點(diǎn)F，連接FC交AE于點(diǎn)M．
（1）求證：∠FEA＝∠FBA．
（2）求∠EFC的度數(shù)．
（3）猜想線段FE，F(xiàn)A，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【答案】（1）證明見解析
（2）60° （3）FE+FA=2FD，證明見解析
【解析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)及線段的垂直平分線的性質(zhì)證明；
（2）利用角之間的相等關(guān)系進(jìn)行等量代換，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出答案；
（3）在CF上取 N使得FN=FE，利用（2）的結(jié)論，證明△EFN是等邊三角形，得到∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF，再證明△EFA≌△ENC（SAS），得到FA=NC，F(xiàn)E+FA=FN+NC=FC，再利用直角三角形中30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半得到FC=2FD，結(jié)論得證．
【小問1詳解】
解：∵AD為邊BC的垂直平分線，
∴AB=AC，
∵△ACE為等邊三角形，
∴AC=AE，
∴AB=AE，
∴∠FEA=∠FBA；
【小問2詳解】
解：∵AD為邊BC的垂直平分線
∴AB=AC，F(xiàn)B=FC，
∴∠ABC=∠ACB，∠FBC=∠FCB，
∴∠FBC－∠ABC=∠FCB－∠ACB，即∠ABE=∠ACF，
∵∠ABE=∠AEF，
∴∠AEF=∠ACF，
∵∠FME=∠CMA，
∴∠EFC=∠CAE，
∵等邊三角形ACE中，∠CAE=60°，
∴∠EFC=60°．
【小問3詳解】
解：FE+FA＝2FD，
證明：CF上取 N使得FN=FE，
由（2）得∠EFM=∠CAM=60°，
∵FN=FE，
∴△EFN是等邊三角形，
∴∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF，
∵△ACE為等邊三角形，
∴∠AEC=60°，EA=EC，
∴∠FEN=∠AEC，
∴∠FEN－∠MEN=∠AEC－∠MEN，即∠AEF=∠CEN，
在△EFA和∠ENC中，
EF＝EN，∠AEF＝∠CEN，EA＝EC，
∴△EFA≌△ENC（SAS），
∴FA=NC，
∴FE+FA=FN+NC=FC，
∵∠EFC=∠FBC+∠FCB=60°，∠FBC=∠FCB，
∴∠FCB=×60°=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠FDC=90°，
∴FC=2FD，
∴FE+FA=2FD．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用及線段的垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式訓(xùn)練
變式1 等邊三角形的定義及性質(zhì)
1．如圖，P是正△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若將△PBC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到△P′BA，則∠PBP′的度數(shù)是（　　）
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
【答案】B
【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：△PBC≌△P′BA，故∠PBC=∠P′BA，即可求解．
解：∠PBP′=∠P′BA+∠PBA，
=∠PBC+∠PBA，
=∠ABC，
=60°．
故選：B．
2．如圖，在邊長為4的等邊中，，分別為，的中點(diǎn)，于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，則的長為__________．
【答案】
【解析】連接DE，根據(jù)題意可得ΔDEG是直角三角形，然后根據(jù)勾股定理即可求解DG的長．
解：連接DE，
∵D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，
∴DE∥AC，DE=AC．
∵ΔABC是等邊三角形，且BC=4，
∴∠DEB=60°，DE=2．
∵EF⊥AC，∠C=60°，EC=2，
∴∠FEC=30°，EF=．
∴∠DEG=180°-60°-30°=90°．
∵G是EF的中點(diǎn)，
∴EG=．
在RtΔDEG中，DG=．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理以及三角形中位線性質(zhì)定理，記住和熟練運(yùn)用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．如圖，點(diǎn)，分別是邊長為的等邊的邊，上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)出發(fā)，且速度都為，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，連接，交于點(diǎn)，則在，運(yùn)動(dòng)的過程中，
（1）求證：；
（2）的大小變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；
（3）當(dāng)為何值時(shí)，是直角三角形？
【答案】（1）見解析 （2）不變，
（3）或
【解析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，根據(jù)點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)速度相等，得出，即可證明；
（2）由（1）得，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，即可求解．
（3）分，兩種情況討論，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．
【小問1詳解】
證明：∵是等邊三角形，
∴，，
∵點(diǎn)、的速度相同，
∴，
在和中
∴；
【小問2詳解】
解：的大小不發(fā)生變化，
∵，
∴，
∴
；
【小問3詳解】
∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，則，
∴，
當(dāng)時(shí)，
∵，則
∴，
∴，解得，
當(dāng)時(shí)，
∵，
∴，則
∴，解得，
∴當(dāng)為或時(shí)，為直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
變式2 等邊三角形的判定
1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，D是AB上的一點(diǎn)，BD=BC，過點(diǎn)D作AB的垂線交AC于點(diǎn)E，CD交BE于點(diǎn)F．
（1）求證：BE垂直平分CD；
（2）若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求證：△CBD是等邊三角形．
【解析】（1）先證Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），即可得出BE是∠DBC的角平分線，再根據(jù)等腰三角形三線合一即可得證；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可知CD=DB，又根據(jù)DB=BC，即可證明結(jié)論．
證明：（1）∵∠ACB=90，且DE⊥AB，
∴∠EDB=∠ACB=90°，
在Rt△EBC和Rt△EBD中，
，
∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），
∴∠CBE=∠DBE，
∵BD=BC，
∴△BDC是等腰三角形，
∴BF⊥CD，CF=DF，
∴BE垂直平分CD．
（2）∵D是AB的中點(diǎn)，∠ACB=90°，
∴DC=DB，
又∵BD=BC，
∴DC=DB=BC，
∴△CBD是等邊三角形．
2．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為AB邊的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，DE=DF．求證：△ABC是等邊三角形．
【解析】證明Rt△ADE≌Rt△BDF得到∠A=∠B，則CA=CB，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法得到結(jié)論．
證明：∵D為AB的中點(diǎn)，
∴AD=BD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED=∠BFD=90°．
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），
∴∠A=∠B，
∴CA=CB，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC
∴△ABC是等邊三角形．
3．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點(diǎn)D、E在BC上，且AE=BE．
（1）求∠CAE的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)D為線段EC的中點(diǎn)，求證：△ADE是等邊三角形．
【解析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和是180°，可以求得∠CAE的度數(shù)；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，可以得到結(jié)論成立．
解：（1）∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵AE=BE，
∴∠B=∠EAB，
∴∠EAB=30°，
∵∠BAC=120°，
∴∠CAE=∠BAC-∠EAB=120°-30°=90°，
即∠CAE=90°；
（2）方法一：證明：由（1）知，∠CAE=90°，
∵∠C=30°，
∴∠AEC=60°，
∴∠DEA=60°，
∵點(diǎn)D為線段EC的中點(diǎn)，
∴AD=DE，
∴∠DEA=∠DAE，
又∵∠DEA=60°，
∴∠DEA=∠DAE=60°，
∴∠ADE=60°，
∴∠DEA=∠DAE=∠ADE，
∴△ADE是等邊三角形．
方法二：證明：由（1）知，∠CAE=90°，
∵∠C=30°，
∴∠AEC=60°，AE=CE，
∴∠DEA=60°，
∵點(diǎn)D為EC的中點(diǎn)，
∴AD=CE=DE，
∴AD=DE=AE，
∴△ADE是等邊三角形．
變式3 等邊三角形的性質(zhì)與判定綜合
1．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，、分別為邊、上兩點(diǎn)，若滿足，則、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系是_______________．
【類比應(yīng)用】（2）如圖2，中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，、分別為邊、上兩點(diǎn)，若滿足，試探究、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【拓展延伸】（3）在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，、分別為直線、上兩點(diǎn)，若滿足，，請(qǐng)直接寫出的長．
【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）的長為或
【解析】（1）證明，可得，從而證明；
（2）取中點(diǎn)G，連接，利用證明，得到，可得；
（3）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)或當(dāng)點(diǎn)E在延長線上時(shí)，取的中點(diǎn)H，連接，同（2）證明，得到，從而求解．
解：（1）如圖1，∵，
∴，
∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案為：；
（2）．理由是：
取中點(diǎn)G，連接，如圖2
∵點(diǎn)G是斜邊中點(diǎn)，
∴，
∵，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，，
∴為等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，如圖3，取的中點(diǎn)H，連接，
當(dāng)，，時(shí)，
，此時(shí)F在的延長線上，
同（2）可得：，
∴，
∵，，
∴，
當(dāng)點(diǎn)E在延長線上時(shí)，如圖4，
同理可得：；
綜上：的長為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是適當(dāng)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，從而得到線段之間的關(guān)系．
2．如圖，在△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)D在邊BC的延長線上，線段AC，CD的垂直平分線交于點(diǎn)E，連接AE，CE，DE，AD．
（1）若∠BAC=60°，求證：△ADE是等邊三角形；
（2）求∠AED與∠ACB之間的數(shù)量關(guān)系．
【解析】（1）根據(jù)線段AC，CD的垂直平分線交于點(diǎn)E，得到AE=DE=AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理確定∠AED=360°-∠EAC-∠ACD-∠EDC=60°得證．
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理，鄰補(bǔ)角計(jì)算即可．
解：（1）∵線段AC，CD的垂直平分線交于點(diǎn)E，
∴AE=DE=CE，∠EAC=∠ECA，∠EDC=∠ECD，
∴∠AED=360°-∠EAC-∠ACD-∠EDC=360°-∠ACE-∠ACD-∠ECD=360°-2∠ACD，
∵∠BAC=60°，∠B=90°，
∴∠ACD=∠B+∠BAC=90°+60°=150°，
∴∠AED=360°-300°=60°，
∴△ADE是等邊三角形；
（2）∠AED與∠ACB之間的數(shù)量關(guān)系為∠AED=2∠ACB．理由如下：
∵線段AC，CD的垂直平分線交于點(diǎn)E，
∴AE=DE=CE，∠EAC=∠ECA，∠EDC=∠ECD，
∴∠AED=360°-∠EAC-∠ACD-∠EDC=360°-∠ACE-∠ACD-∠ECD=360°-2∠ACD，
∵∠ACD=180°-∠ACB，
∴∠AED=360°-2（180°-∠ACB）=2∠ACB，
∴∠AED=2∠ACB．
3．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，若∠BAO＝30°，AB＝4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）如圖1，求證：△ABC是等邊三角形．
（2）如圖2，點(diǎn)D是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，求線段CE的最小值．
（3）如圖3，若將△ABO沿直線AC平移，記平移后的△ABO為△，在平移過程中，是否存在這樣的點(diǎn)，使得△為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】（1）見解析 （2）
（3）點(diǎn)A'的坐標(biāo)是（-1，3）或（2-，3）或（1，）或（2+3，-3）．
【解析】（1）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得BO=2，∠ABC=60°，可得直線AO垂直平分BC，則AB=AC，即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)E作x軸垂線EH，過點(diǎn)A作y軸垂線，兩條垂線相交于點(diǎn)F，因?yàn)榫€段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，所以易證得△ADO≌△AEF（AAS）．可得AO=AF=2，則點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線FE，當(dāng)點(diǎn)E與H重合時(shí)，CE的值最小，求出CH即可；
（3）分四種情況畫出圖形，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．
【小問1詳解】
證明：在Rt△ABO中，∠BAO=30°，AB=4
∴BO=2，∠ABC=60°，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），
∴CO=2，
∴BO=CO，
∴直線AO垂直平分BC，
∴AB=AC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形；
【小問2詳解】
解：如圖2，過點(diǎn)E作x軸垂線EH，過點(diǎn)A作y軸垂線，兩條垂線相交于點(diǎn)F，
∴∠AOD=∠AFE=90°，∠DAE=90°，∠OAF=90°，
∴∠OAD=∠FAE，
∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，
∴AE=AD，
∴△ADO≌△AEF（AAS）．
∴AO=AF．
在Rt△ABO中，∠BAO=30°，AB=4，
∴AO＝，
∴AF＝．
∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線FE，
∴當(dāng)點(diǎn)E與H重合時(shí)，CE的值最小，CE的最小值=CH= 2；
【小問3詳解】
解：存在，
∵△ABO沿直線AC平移，記平移后的△ABO為△A'B'O'，
∴，，，
∴=OA=，
①如圖， = =，過點(diǎn)O′作H⊥C于H，延長交x軸于D，
∴A′H=CH=C，
∵，
∴∠=∠OAC=30°，
∴H=3，
∴C=6，
∴CD=3，D=，
∴OD=CD=OC=3-2=1，
∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)是（-1，）；
②=C，如圖，交x軸于D，
∵AC=AB=4，
∴C==，
∵OA，
∴∠C=∠OAC=30°，
∴CD=，A′D=3，
∴OD=OC-CD=2-，
∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)是（2-，3）；
③C= C，如圖，交x軸于D，
∵OA，OA⊥BC，
∴⊥BC，
∴D=D==，
∵∠C=∠OAC=30°，
∴CD=1，
∴OD=OC-CD=2-1=1，
∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)是（1，）；
④C=，如圖，過點(diǎn)作D⊥y軸于D，
∴C= =2，
∴A=4+2，
∵∠OAC=30°，
∴D=2+，AD=2+3，
∴OD=AD-OA=2+3-2=3，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)是（2+3，-3）；
綜上，存在，點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，3）或（2-，3）或（1，）或（2+3，-3）．
【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)、平移的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
4．課本再現(xiàn)：（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．求證：△ADE是等邊三角形．
課本中給出一種證明方法如下：
證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠A=∠ADE=∠AED，
∴△ADE是等邊三角形．
“想一想，本題還有其他證法嗎？” 給出的另外一種證明方法，請(qǐng)補(bǔ)全：
證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C，∠A=60°．
∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE，∠C=①_____，
∴②_____=③_____，
∴AD=AE．（④_____）
∴△ADE是等腰三角形．
又∵∠A=60°，∴△ADE是等邊三角形．
（2）如圖2，等邊三角形ABC的兩條角平分線相交于點(diǎn)D，延長BD至點(diǎn)E，使得AE=AD，求證：△ADE是等邊三角形．
【答案】(1)∠AED;(2)∠ADE;(3)∠AED;(4)等角對(duì)等邊;
【解析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得出答案；
（2）由等邊三角形的判定可得出答案．
解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C，∠A=60°．
∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE（等角對(duì)等邊），
∴△ADE是等腰三角形．
又∵∠A=60°，
∴△ADE是等邊三角形．
故答案為：①∠AED；②∠ADE；③∠AED；④等角對(duì)等邊；
（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∵BE和AD分別為∠ABC和∠BAC的平分線，
∴，．
∵∠ADE為△ABD的外角，
∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°，
∵AE=AD，
∴△ADE是等邊三角形．
5．已知∠AOB=120°，點(diǎn)P為射線OA上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)C為∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，連接CP，將線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ，且點(diǎn)Q恰好落在射線OB上，不與點(diǎn)O重合．
（1）依據(jù)題意補(bǔ)全圖1；
（2）用等式表示∠CPO與∠CQO的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）連接OC，寫出一個(gè)OC的值，使得對(duì)于任意點(diǎn)P，總有OP+OQ=4，并證明．
【解析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；
（2）根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可得答案；
（3）連接OC，在射線OA上取點(diǎn)D，使得DP=OQ，連接CD，首先證明△COQ≌△CDP，然后△COD為等邊三角形，進(jìn)而可得答案．
解：（1）補(bǔ)圖如圖1：
（2）∠CQO+∠CPO=180°，
理由如下：∵四邊形內(nèi)角和360°，
且∠AOB=120°，∠PCQ=60°，
∴∠CQO+∠CPO=∠1+∠2=180°．
（3）OC=4時(shí)，對(duì)于任意點(diǎn)P，總有OP+OQ=4．
證明：連接OC，在射線OA上取點(diǎn)D，使得DP=OQ，連接CD．
∴OP+OQ=OP+DP=OD．
∵∠1+∠2=180°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠1=∠3．
∵CP=CQ，
在△CQO和△CPD中
，
∴△COQ≌△CDP（SAS）．
∴∠4=∠6，OC=CD．
∵∠4+∠5=60°，
∴∠5+∠6=60°．
即∠OCD=60°．
∴△COD是等邊三角形．
∴OC=OD=OP+OQ=4．
能力提升
提升1 等邊三角形的定義及性質(zhì)
1．在等邊△ABC中，點(diǎn)D是直線BC上的一個(gè)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），以AD為邊在AD右側(cè)作等邊△ADE，連接CE．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：BD＝CE；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上時(shí)，若∠BAE＝α，求∠DEC的度數(shù)；（用含α的代數(shù)式表示）
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，若BD⊥DE，且S△ABC＝4，求△ACF的面積．
【答案】（1）見解析；（2）∠DEC =60°＋α；（3）2
【解析】（1）證明△BAD≌△CAE（SAS），可得結(jié)論．
（2）證明∠ECD＝60°，∠CDE＝∠CAE＝60° α，可得結(jié)論．
（3）證明BC＝CD，AF＝DF，可得結(jié)論．
（1）證明：如圖1中，
∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：如圖2中，設(shè)AE交CD于O．
∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABD＝180° ∠ABC＝120°，
∴∠ACE＝120°，
∴∠DCE＝∠ACE ∠ACB＝60°，
∵∠AOC＝∠DOE，∠ACO＝∠DEO＝60°，
∴∠EDC＝∠CAO＝60° α，
∴∠DEC＝180° ∠EDC ∠ECD＝180° （60° α） 60°＝60°＋α；
（3）解：如圖3中，
∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，
∴∠ACB＝∠B＝∠ADE＝60°，AC＝BC，
∵ED⊥BD，
∴∠EDB＝90°，
∴∠ADB＝90° 60°＝30°，
∴∠BAD＝180° ∠B ∠ADB＝90°，
∵∠ACB＝∠CAD＋∠CDA＝60°，
∴∠CDA＝∠CAD＝30°，
∴CA＝CD，
∴CB＝CD，
∴S△ACD＝S△ABC＝4，
∵EA＝ED，CA＝CD，
∴CE垂直平分線段AD，
∴AF＝DF，
∴S△ACF＝S△ACD＝2．
【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．
2．如圖，已知等邊 的邊長為，現(xiàn)有兩點(diǎn) M、N 分別從點(diǎn) A、點(diǎn) B 同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，已知點(diǎn) M的速度，點(diǎn) N的速度為．當(dāng)點(diǎn) N 第一次到達(dá) B 點(diǎn)時(shí)，M、N 同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)點(diǎn) N 第一次到達(dá) B 點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M的位置在 ；當(dāng) M、N運(yùn)動(dòng) 秒時(shí)，點(diǎn)N追上點(diǎn)M；
（2）當(dāng)點(diǎn) M、N 在 邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以為底邊的等腰三角形？如存在，請(qǐng)求出此時(shí) M、N 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（3）當(dāng)為直角三角形時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值是
【答案】（1）線段的中點(diǎn)，6
（2）存在，當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)8秒時(shí)，能得到以為底的等腰三角形
（3），，，9
【解析】（1）先求解N第一次到達(dá)B的時(shí)間，可得M的位置，再點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，可得，再解方程即可；
（2）先證明，可得，再建立方程，即可得到答案；
（3）當(dāng)點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3，若，如圖4，當(dāng)，再利用含的直角三角形的性質(zhì)列方程即可，當(dāng)點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M也在AC上，此時(shí)A，M，N不能構(gòu)成三角形：當(dāng)點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖5，當(dāng)點(diǎn)N位于中點(diǎn)處時(shí)，由為等邊三角形知，如圖6，當(dāng)點(diǎn)M位于中點(diǎn)處時(shí)，由時(shí)等邊三角形知，即是直角三角形，再列方程求解即可．
【小問1詳解】
解：當(dāng)點(diǎn) N 第一次到達(dá) B 點(diǎn)時(shí)，，
此時(shí)運(yùn)動(dòng)了，
∴點(diǎn)M的位置在線段BC的中點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，，
解得：，
即當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)6秒時(shí)，點(diǎn)N追上點(diǎn)M．
【小問2詳解】
當(dāng)點(diǎn)M、N在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以為底邊的等腰三角形，
由（1）知6秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處，
如圖2，假設(shè)是等腰三角形，
∴，
∴．
∴，
∵是等邊三角形，
∴，AB=AC，
在和中，
∵，，
∴
∴，
∴，
解得，符合題意．
所以假設(shè)成立，當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)8秒時(shí)，能得到以為底的等腰三角形．
【小問3詳解】
當(dāng)點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3，
若，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，解得．
如圖4，當(dāng)，
同理可得：由得，解得；
當(dāng)點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M也在AC上，此時(shí)A，M，N不能構(gòu)成三角形：
當(dāng)點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
如圖5，當(dāng)點(diǎn)N位于中點(diǎn)處時(shí)，由為等邊三角形知，
即是直角三角形，
則，解得．
如圖6，當(dāng)點(diǎn)M位于中點(diǎn)處時(shí)，由時(shí)等邊三角形知，即是直角三角形，
則；
綜上，當(dāng)，，，9時(shí)，可得到直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查的是動(dòng)態(tài)幾何問題，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的定義，含的直角三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．
3．如圖所示，D是等邊三角形ABC外一點(diǎn)，DB＝DC，∠BDC＝120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上．
（1）求證：AD是BC的垂直平分線．
（2）若ED平分∠BEF，求證：FD平分∠EFC．
（3）在（2）的條件下，求∠EDF的度數(shù)．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）∠EDF＝60°．
【解析】（1）求出AB=AC，BD=DC，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出即可；
（2）過D作DM⊥EF，連接AD，求出AD平分∠BAC，求出∠ABC=∠ACB=60°，求出BD=DM，BD=DC，推出DM=DC即可；
（3）求出DB=DM，DM=DC，∠EBD=∠EMD=90°，證出△EBD≌△EMD，推出∠BDE=∠EDM，同理∠CDF=∠FDM，進(jìn)而得出2∠EDF=∠BDC=120°．
（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，
∴A在BC的垂直平分線上，
∵BD＝DC，
∴D在BC的垂直平分線上，
∴AD是BC的垂直平分線
（2）過D作DM⊥EF，連接AD，
∵AD是BC的垂直平分線，
∴AD平分∠BAC，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝DC，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°，
∴DB⊥AB，DC⊥AC，
∵DM⊥EF，ED平分∠BEF，AD平分∠BAC，
∴BD＝DM，BD＝DC，
∴DM＝DC，
∴FD平分∠EFC；
（3）如圖，
∵DE平分∠BEF，DB⊥AB，DM⊥EF，DF平分∠CFE，
∴DB＝DM，DM＝DC，∠EBD＝∠EMD＝90°，
在△EBD和△EMD中
，
∴△EBD≌△EMD，
∴∠BDE＝∠EDM，
同理∠CDF＝∠FDM，
∴2∠EDF＝∠BDC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠EDF＝60°．
【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法.
提升2 等邊三角形的判定
1 .已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)．
（1）求證：△BED是等腰三角形：
（2）當(dāng)∠BCD=_____°時(shí)，△BED是等邊三角形．
【答案】150
【解析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BE=AC，DE=AC，從而得到BE=DE．
（2）利用等邊對(duì)等角以及三角形外角的性質(zhì)得出∠DEB=∠DAB，即可得出∠DAB=30°，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和即可求得答案．
證明：（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，
∴BE=AC，DE=AC，
∴BE=DE，
∴△BED是等腰三角形；
（2）∵AE=ED，
∴∠DAE=∠EDA，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵∠DAE+∠EDA=∠DEC，
∠EAB+∠EBA=∠BEC，
∴∠DAB=∠DEB，
∵△BED是等邊三角形，
∴∠DEB=60°，
∴∠BAD=30°，
∴∠BCD=360°-90°-90°-30°=150°．
故答案為：150．
2．等邊△ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試說明你的結(jié)論．
【解析】先證△ABP≌△ACQ得AP=AQ，再證∠PAQ=60°，從而得出△APQ是等邊三角形．
解：△APQ為等邊三角形．
證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC．
在△ABP與△ACQ中，
∵，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）．
∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ．
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°，
∴△APQ是等邊三角形．
3 .綜合與實(shí)踐
【問題情境】如圖，圖，在等邊三角形中，是邊上一定點(diǎn)，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作等邊三角形，連接．
【問題解決】如圖，若點(diǎn)在邊上，在上截取，連接．
（1）請(qǐng)判斷的形狀，并說明理由．
（2）若，，求的長．
【類比探究】如圖，若點(diǎn)在邊的延長線上，請(qǐng)直接寫出線段，與之間存在的數(shù)量關(guān)系．
【答案】問題解決：（1）是等邊三角形，理由見解析；（2）；類比探究：線段，與之間的等量關(guān)系是．
【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定是解答本題的關(guān)鍵．
問題解決：
（1）利用等邊三角形的性質(zhì)，得到是等邊三角形．
（2）由于是等邊三角形，得到，從而，所以，進(jìn)而，得到答案．
類比探究：
過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，由平行線的性質(zhì)得到，得出為等邊三角形，則，證明，得出，進(jìn)而得到．
【詳解】問題解決：
解：（1）是等邊三角形理由是：
是等邊三角形
又
是等邊三角形．
（2）是等邊三角形，
，
是等邊三角形，
，，
是等邊三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
．
類比探究：
線段，與之間的等量關(guān)系是理由是：
是等邊三角形，
，
過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，如圖，
，
，，
，
為等邊三角形，
，，
為等邊三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
提升3 等邊三角形的性質(zhì)與判定綜合
1．在等邊△ABC中，
（1）如圖1，P，Q是BC邊上兩點(diǎn)，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度數(shù)；
（2）點(diǎn)P，Q是BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，且AP=AQ，點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為M，連接AM，PM．
①依題意將圖2補(bǔ)全；
②求證：PA=PM．
【解析】（1）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠APC，由等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；
②過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)解答即可．
解：（1）∵△ABC為等邊三角形
∴∠B=60°
∴∠APC=∠BAP+∠B=80°
∵AP=AQ
∴∠AQB=∠APC=80°，
（2）①補(bǔ)全圖形如圖所示，
②證明：過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，如圖．
由△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴∠APQ-∠B=∠AQP-∠C，
即∠PAB=∠QAC，
∵點(diǎn)Q，M關(guān)于直線AC對(duì)稱，
∴∠QAC=∠MAC，AQ=AM
∴∠MAC+∠PAC=∠PAB+∠PAC=60°，
∵AP=AM，
∴△APM為等邊三角形
∴PA=PM．
2．已知：如圖，△ABC、△CDE都是等邊三角形，AD、BE相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別是線段AD、BE的中點(diǎn)．
（1）求證：AD=BE；
（2）求∠DOE的度數(shù)；
（3）求證：△MNC是等邊三角形．
【解析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，求出∠ACD=∠BCE，證△ACD≌△BCE即可；
（2）根據(jù)全等求出∠ADC=∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可；
（3）求出AM=BN，根據(jù)SAS證△ACM≌△BCN，推出CM=CN，求出∠NCM=60°即可．
解：（1）∵△ABC、△CDE都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵等邊三角形DCE，
∴∠CED=∠CDE=60°，
∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED，
=∠ADC+60°+∠BED，
=∠CED+60°，
=60°+60°，
=120°，
∴∠DOE=180°-（∠ADE+∠BED）=60°，
答：∠DOE的度數(shù)是60°．
（3）證明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC
又∵點(diǎn)M、N分別是線段AD、BE的中點(diǎn)，
∴AM=AD，BN=BE，
∴AM=BN，
在△ACM和△BCN中
，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM=CN，
∠ACM=∠BCN，
又∠ACB=60°，
∴∠ACM+∠MCB=60°，
∴∠BCN+∠MCB=60°，
∴∠MCN=60°，
∴△MNC是等邊三角形．
3．如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是△ABC外的一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，連接OD．
（1）求證：△OCD是等邊三角形；
（2）當(dāng)α=150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
（3）探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形．
【解析】（1）根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得證；
（2）根據(jù)全等易得∠ADC=∠BOC=α=150°，結(jié)合（1）中的結(jié)論可得∠ADO為90°，那么可得所求三角形的形狀；
（3）根據(jù)題中所給的全等及∠AOB的度數(shù)可得∠AOD的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等分類探討即可．
證明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC，
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等邊三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等邊三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等邊三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．
①當(dāng)∠AOD=∠ADO時(shí)，190°-α=α-60°，
∴α=125°．
②當(dāng)∠AOD=∠OAD時(shí)，190°-α=50°，
∴α=140°．
③當(dāng)∠ADO=∠OAD時(shí)，
α-60°=50°，
∴α=110°．
綜上所述：當(dāng)α=110°或125°或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形．
4．如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E、F分別是線段AB、BC、CA上的點(diǎn)，
（1）若AD=BE=CF，問△DEF是等邊三角形嗎？試證明你的結(jié)論；
（2）若△DEF是等邊三角形，問AD=BE=CF成立嗎？試證明你的結(jié)論．
【解析】（1）由SAS易證△ADF≌△BED≌△CFE，所以DF=DE=EF，即△DEF是等邊三角形；
（2）先證明∠1+∠2=120°，∠2+∠3=120°．可得∠1=∠3．同理∠3=∠4．則△ADF≌△BED≌△CFE，故能證明AD=BE=CF．
解：（1）△DEF是等邊三角形．
證明如下：
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C，AB=BC=CA，
又∵AD=BE=CF，
∴DB=EC=FA，（2分）
∴△ADF≌△BED≌△CFE，（3分）
∴DF=DE=EF，即△DEF是等邊三角形；（4分）
（2）AD=BE=CF成立．
證明如下：
如圖，∵△DEF是等邊三角形，
∴DE=EF=FD，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°，
∴∠1+∠2=120°，
又∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠2+∠3=120°，
∴∠1=∠3，（6分）
同理∠3=∠4，
∴△ADF≌△BED≌△CFE，（7分）
∴AD=BE=CF．（8分）
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