資源簡(jiǎn)介

三角函數(shù)專題研究
三角函數(shù)是歷年來(lái)高考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容。純粹的三角考查題目要占到22分——27分高考分?jǐn)?shù)，如果再加上在其他學(xué)科中的應(yīng)用分值就應(yīng)該在40分左右。可以說(shuō)三角是高考中的一個(gè)絕對(duì)重點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題。但由于這部分內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)多，公式多，題型多，尤其是近年來(lái)在其他學(xué)科中的應(yīng)用就更多。所以三角問(wèn)題的解決是每位考生必須重視的問(wèn)題。現(xiàn)筆者結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)對(duì)其進(jìn)行了一點(diǎn)簡(jiǎn)單的研究和整理，以起到拋磚引玉的效果，不妥之處望同事們指正。
一、三角函數(shù)基本題型
角的概念推廣及角度制與弧度制的換算（文科：了解）
任意角三角函數(shù)的計(jì)算（文科：理解）
利用同角三角函數(shù)關(guān)系，誘導(dǎo)公式，兩角和公式的化簡(jiǎn)求值（熟練掌握）
簡(jiǎn)單的三角不等式解法 （熟練掌握）
已知角求三角函數(shù)值，已知三角函數(shù)值求角（熟練掌握）
三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)(文科：理解)(五點(diǎn)法作圖重點(diǎn)) （熟練掌握）
三角函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，周期性（熟練掌握）
三角函數(shù)與其它學(xué)科(解斜三角形，方程，向量，數(shù)列，解幾，導(dǎo)數(shù))綜合性題目(高考熱點(diǎn)題型)
二、三角函數(shù)基本公式
角的單位制
關(guān)系
弧長(zhǎng)公式
扇形面積公式
角度制
弧度制
1弧度＝
l＝
角
的
終
邊
位置
角的集合
在x軸正半軸上
在x軸負(fù)半軸上
在x軸上　
在y軸上
在第一象限內(nèi)
在第二象限內(nèi)
在第三象限內(nèi)
在第四象限內(nèi)
特
殊
角
的
三
角
函
數(shù)
值
函數(shù)/角
0
2
sina
0
1
0
－1
0
cosa
1
0
－1
0
1
tana
0
1
不存在
0
不存在
0
cota
不存在
1
0
不存在
0
不存在
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
同角關(guān)系
倒數(shù)關(guān)系；
商的關(guān)系
平方關(guān)系
tana·cota=1
sina/cosa = tana
sin2a＋cos2a=1
sinacsca=1
cosa/sina = cota
1+tan2a=sec2a
cosa·seca=1
1+cot2a=csc2a
誘導(dǎo)公式
Sin(-a)=-sina cos(-a)=cosa tan(-a)=-tana cot(-a)=-cota
sin (π/2 – α) = cosα sin (π – α) = sinα
cos (π/2 – α) = sinα cos (π – α) = - cosα
tan (π/2 – α) = cotα tan (π – α) = - tanα
cot (π/2 – α) = tanα cot (π – α) = - cotα
sin (3π/2 – α)= – cosα
cos(3π/2 – α)= —sinα
sin (2π – α) = – sinα
cos (2π – α) = cosα
sin (π/2 + α) = cosα
cos (π/2 + α) = - sinα
tan (π/2 + α) = - cotα
cot (π/2 + α) = - tanα
sin(π + α) = – sinα
cos(π +α) = - cosα
tan(π +α) = tanα
cot (π +α) = cotα
tan(3π/2 – α) = cotα
cot(3π/2 – α) = tanα
tan(2π- α) = – tanα
cot((2π- α) = – cotα
sin (3π/2 +α) = – cosα
cos(3π/2 +α) = sinα
tan(3π/2 +α)= – cotα
cot(3π/2 +α)= – tanα
sin(2kπ + α) = sinα
cos(2kπ + α) = cosα
tan(2kπ+α) = tanα
cot(2kπ+α) = cotα
(其中K∈Z)
兩角和與差的三角函數(shù)公式
萬(wàn)能公式
sin()=sin
文科：了解
tan
半角的正弦、余弦和正切公式
三角函數(shù)的降冪公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3
cos3
文科：了解

三角函數(shù)的和差化積公式
三角函數(shù)的積化和差公式
文、理科：了解
化為一個(gè)三角函數(shù)的形式(構(gòu)造輔助角公式)
（其中角所在象限由的符號(hào)確定，角的值由確定）
（熟練掌握）
三、近年高考試題對(duì)比研究：
A
I、06年陜西：選擇題：成等差數(shù)列。是等式成立的_________ 條件(充分而非必要)(5分)
06年考查的知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列與簡(jiǎn)單的三角方程的結(jié)合問(wèn)題
大題：(12分)
I、求的最小正周期。(6分)
II、求使函數(shù)取得最大值的集合(6分)
取最大值時(shí)，有
即
所求的集合為
考查的知識(shí)點(diǎn)：求三角復(fù)合函數(shù)的最小正周期及最值，（共占17分）
II、07年陜西省：選擇題：，數(shù)列_________(5分)
考查知識(shí)點(diǎn)：已知某三角函數(shù)式，求三角函數(shù)式的值
大題：設(shè)函數(shù)且圖象記過(guò)點(diǎn)()
I、求m值,II求函數(shù)的最小值及此時(shí)的集合。（12分）
解(I)
由已知
II由(I)得
當(dāng)時(shí)，
由得x值的集合為：
考查知識(shí)點(diǎn)：向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及三角函數(shù)求最值。（共占17分）
B、
III、07全國(guó)I卷：選擇題：理：是第四象限角，求______(-)(5分)
文：α是第四象限角則________(5分)
考查知識(shí)點(diǎn)：知一個(gè)三角函數(shù)值，求另一個(gè)三角函數(shù)值。
大題17：設(shè)銳角三角形ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，a = 2bsinA (10分)
I、　求B的大小；　II、理：求cosA + sinC的范圍　文：若 a = 3，c = 5，求b
解：（I）由a = 2bsinA，由正弦定理得：sinA = 2sinB·sinA
∴sinB =
又∵0 < B <
∴ B =
理：（II）cosA + sinC = cosA + sin(π - - A)
= cosA + sin( + A)
= cosA + cosA + sinA
= sin(A + )
∵△ABC為銳角三角形
∴A + B >
∴ > A > - B
又∵ B =
∴
∴
∴ < sin(A + ) <
∴＜ A + <
∴取值范圍(，)
文： II 由余弦定理得
b2 = a2 + c2 – 2acos B
= 27 + 25 – 45 = 7
∴ b =
考查知識(shí)點(diǎn)：正弦、余弦定理，已知角的取值范圍，求三角斜函數(shù)值域（共占15分）
C
II、07年全國(guó)II卷
選擇題：1、理sin210o = _________ ( - ) 文：cos330o = ___________ () (5分)
2、文理合用： y = | sinx | 的一個(gè)單調(diào)區(qū)間 (π，π) (5分)
17、在△ABC中，已知內(nèi)角A = ，邊BC = 2，設(shè)內(nèi)角B = x，周長(zhǎng)為y。
I 求函數(shù) y = f(x) 的解析式和定義域。
II 求y的最大值。 (10分)
解：I、∵A + B + C =π，A = ，B > 0，C > 0得，0 < B < π
由正弦定理，知：AC = ·sinB = ·sinx = 4sinx
AB = ·sinC = 4sin(π – x) + 2
∴ (0 < x < π)
II ∵ y = 4（sinx + cosx + sinx) + 2
= 4sin(x + ) + 2( < x + < )
∴ 當(dāng) x + = ，即當(dāng)x = π時(shí)，ymax = 6
共占：20分
考查知識(shí)點(diǎn)：
① 求特殊角的三角函數(shù)值；
② 三角復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(圖像法)
③ 以三角形為背景設(shè)置的求實(shí)際函數(shù)的解析式，定義域及最值。
三、08 年三角部分命題預(yù)測(cè)
選擇題文理都應(yīng)以最基本的題型為主，文、理可能分開(kāi)獨(dú)立命題，復(fù)習(xí)中應(yīng)以知角求值，簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)求值，圖象變換為主；尤其要注重三角與向量，三角與方程三角與導(dǎo)數(shù)交叉的簡(jiǎn)單題型 。
大題今年應(yīng)特別注重與解三角形（與周長(zhǎng)面積）有關(guān)的題型。其背景也可能放在其它代數(shù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、向量中。但考查的仍應(yīng)是定義域，值域、最小正周期及最值和正弦、余弦定理的應(yīng)用，也應(yīng)注重利用五點(diǎn)法確定， y = Asin(ωx + ) x∈R A > 0，ω > 0，| | < 的解析式。利用構(gòu)造輔助角公式化簡(jiǎn)仍是重中之重。
四、重點(diǎn)題型簡(jiǎn)介
1、若關(guān)于x的方程 4cosx – cos2x + m = 0恒有實(shí)數(shù)解，求m的取值范圍。 [0，8] (07年成都二診)
2、若函數(shù)y = Asin(ωx + )，x∈R，A > 0，ω> 0，| | < ，若該函數(shù)圖像一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為 (，3)，與其相鄰的對(duì)稱中心坐標(biāo)是 ( - ，0) （07年合肥質(zhì)檢）
① 求函數(shù) y = Asin(ωx + )的解析式；
② 理：求函數(shù)圖像在x = - 處的切線方程
文：求函數(shù)最小值，并寫出自變量取得最小值時(shí)x的集合。
3、(理) 已知角A、B、C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，其對(duì)邊分別為 a、b、c，若= ( - cos，sin)， = ( cos，sin)，a = 2，且= （07年師大附中二聯(lián)）
① 若△ABC面積為，求b + c的值； 4
② 求b + c 的取值范圍。
4、(文) 已知向量= (cos ，cos )， = (cos，sin )，且x∈［0，π］令f(x) = 2a + b
① 當(dāng)a = 1時(shí)，求f(x) 的遞增區(qū)間；
② 當(dāng)a <0時(shí)，f(x) 值域是［3，4］求a、b
5、若= (sinθ，) ， = ( 1 ，) θ∈(π，π)，則與的關(guān)系？(⊥)
6、(理) 設(shè)函數(shù) f(x) = 2cosx ( cosx + sinx ) – 1，x ∈R ，又點(diǎn)P1 (x1，y1)，P2 ( x2，y2) …………Pn (xn，yn ) ( n∈N*)，在函數(shù)y = f(x)圖像上，且滿足條件：x1 = ，xn + 1 – xn =，求 Nn = y1 + y2 + … + yn值)
（07年杭州質(zhì)檢二）
n為奇數(shù)時(shí)，Nn = 2 n為偶數(shù)時(shí)，Nn = 0。
7、已知a、b、c分別是△ABC的對(duì)邊，且a2 + c2 – b2 = ac （07年廣州檢測(cè)2）
① 求角B的大小；
② 若c = 3a，求tanA的值。
8、(理) 已知A(3，0)，B(0，3)， C (?cosθ，sinθ)θ∈(，)（07年西安八校聯(lián)考）
① 若 | | = | |，求角θ的弧度數(shù)。
②若 = - 1，求的值。
9、(文) 已知sin(θ - ) = ，cos2θ = ，求sinθ及tan (θ+ )。
sinθ= tan (θ+ ) =
10、(理) 已知△ABC面積為S，且滿足3≤ S ≤3，且= 6，與夾角為θ。 （07年湖南十校聯(lián)考）
① 求θ的取值范圍；
② 若f(θ) = sin2θ + 2sinθcosθ + 3sin2θ ，求f(θ)的最小值。
11、（理）已知其導(dǎo)數(shù)的部分圖象如右圖，且的圖象按向量平移后得到，求的解析式（07年江西重點(diǎn)高中聯(lián)考）＝4

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