資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
人教版數學八年級上暑假預習課
第十六講 最短路徑
一、專題導航
二、知識點梳理
類型一、 垂直線段最短問題
方法技巧：一動點與一定點連成的線段中，若動點在定直線上，則垂線段最短。
典例剖析1
例1-1．如圖，等腰三角形ABC底邊BC的長為4 cm，面積為12 cm2，腰AB的垂直平分線EF交AB于點E，交AC于點F，若D為BC邊上的中點，M為線段EF上一點，則△BDM的周長最小值為( )
A. 5 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm
例1-2．如圖，在△ABC中，AC=BC=8，∠ACB=120°，BD平分∠ABC交AC于點D，點E、F分別是線段BD，BC上的動點，則CE+EF的最小值是（　　）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
例1-3．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，∠ABC的平分線交AC于點D，點E，F分別是BD、AB上的動點，則AE+EF的最小值為（　　）
A. 2 B. 2.4 C. 2.5 D. 3
類型二、兩點之間線段最短問題
定點關于定直線對稱轉化為兩點之間線段最短求最值．
①兩定一動
②一定兩動
③兩定兩動
典例剖析2
例2-1．如圖，∠MON=40°，P為∠MON內一點，A為OM上一點，B為ON上一點，當△PAB的周長取最小值時，∠APB的度數為（　　）
A. 40° B. 80° C. 100° D. 140°
例2-2．如圖，在正方形中，，分別為，的中點，為對角線上的一個動點，則下列線段的長等于最小值的是（ ）
A. B.
C. D.
例2-3．如圖，在△ABC中，點P在邊BC上方，連接PB，PC，S△PBC=S△ABC=，當PB+PC取得最小值時，∠PBC的度數是（　　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
例2-4．如圖，A，B兩個村莊獨自從河流l上安裝了兩條灌溉管道AD，BE，AD⊥l于點D，BE⊥l于點E．某水務局準備為兩村莊在河流l上重新安裝一臺大型的抽水設備灌溉農田．通過測量，確定在河流l的點P處安裝抽水設備，則到兩個村莊鋪設的管道AP+BP的長度最短，此時測得∠PBE=30°，DE=150米，則AP+BP的最小值為（　　）
A. 180米 B. 210米 C. 240米 D. 300米
類型三、造橋選址問題
造橋選址問題
方法技巧：將分散的線段平移集中，再求最值．
典例剖析3
例3-1．如圖，∠AOB=90°，OC=2，D為OC中點，長為1的線段EF（點F在點E的下方）在直線OB上移動，連接DE，CF，則DE+CF的最小值為（　　）
A. B.
C. 2 D. 3
例3-2．A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN，使從A到B的路徑AMNB最短的是（假定河的兩岸是平行線，橋與河岸垂直）（　　）
A.
（BM垂直于a） B.
（AM不平行BN）
C.
（AN垂直于b） D. （AM平行BN）
例3-3．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，若D，E是邊AB上的兩個動點，F是邊AC上的一個動點，DE=，則CD+EF的最小值為（　　）
A. - B. 3-
C. 1+ D. 3
變式訓練
變式1、 垂直線段最短問題
1．如圖，等邊△ABC，邊長為8，點D為邊BC上一點，以AD為邊在AD右側作等邊△ADE，連接CE，當△ADE周長最小時，CE的長度為（　　）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
2．如圖，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15°，OB=6，OC平分∠AOB，點P在射線OC上，點Q為邊OA上一動點，則PA+PQ的最小值是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3．如圖，在△ABC中，AB＝BC，AC＝2cm，，邊BC的垂直平分線為l，點D是邊AC的中點，點P是l上的動點，則△PCD的周長的最小值是______．
變式2、兩點之間線段最短問題
1．現需要在某條街道l上修建一個核酸檢測點P，向居住在A，B小區的居民提供核酸檢測服務，要使P到A，B的距離之和最短，則核酸檢測點P符合題意的是（　　）
A. B.
C. D.
2．如圖，等邊△ABC中，BD⊥AC于D，AD=3.5cm,點P、Q分別為AB、AD上的兩個定點且BP=AQ=2cm,在BD上有一動點E使PE+QE最短，則PE+QE的最小值為（　　）
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
3．如圖，在銳角△ABC中，∠ACB=50°；邊AB上有一定點P，M、N分別是AC和BC邊上的動點，當△PMN的周長最小時，∠MPN的度數是（　　）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
4．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，6），點B為x軸上一動點，以AB為邊在直線AB的右側作等邊三角形ABC．若點P為OA的中點，連接PC，則PC的長的最小值為_____．
變式3、類型三、造橋選址問題
1．如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中點，線段EF在邊AB上左右滑動，若EF=1，則GE+CF的最小值為 _____．
2．如圖所示，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，點E是AD的中點，點F是AB上任意一點，沿著EF翻折，點A落在點G處，點H是CD上任意一點，連接HG和HB，則HG+HB的最小值為 _____．
3．如圖，∠MON=15°，四邊形ABCD的頂點A在∠MON的內部，B，C兩點在OM上（C在B，O之間），且BC=1，點D在ON上，若當CD⊥OM時，四邊形ABCD的周長最小，則此時AD的長度是_____．
能力提升
提升1、 垂直線段最短問題
1．如圖，BD是△ABC的角平分線，E和F分別是AB和BD上的動點，已知△ABC的面積是12cm2，BC的長是8cm,則AF+EF的最小值是 _____cm.
2．如圖，銳角△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，M、N分別是BD、BC線段上運動的點，S△ABC=8，AB=4，則MN+MC的最小值是=_____．
3．如圖，在Rt△ABC中，AB=6，∠BAC=30°，∠BAC的平分線交BC于點D，E，F分別是線段AD和AB上的動點，則BE+EF的最小值是_____．
提升2、兩點之間線段最短問題
1．如圖，等邊△ABC中，BD⊥AC于D，QD=1.5，點P、Q分別為AB、AD上的兩個定點且BP=AQ=2，在BD上有一動點E使PE+QE最短，則PE+QE的最小值為 _____．
2．如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是BC的垂直平分線，P是直線EF上的任意一點，則PA+PB的最小值是 _____．
3．如圖，A，B兩個工廠位于一段直線形河的異側，A廠距離河邊AC=5km,B廠距離河邊BD=1km,經測量CD=8km,現準備在河邊某處（河寬不計）修一個污水處理廠E．
（1）設ED=x,請用x的代數式表示AE+BE的長；
（2）為了使兩廠的排污管道最短，污水廠E的位置應怎樣來確定此時需要管道多長？
（3）通過以上的解答，充分展開聯想，運用數形結合思想，請你猜想的最小值為多少？
4．（1）小河的同旁有甲、乙兩個村莊如圖（1），現計劃在河岸AB上建一個水泵站，向兩村供水，用以解決村民生活用水問題．（保留作圖痕跡）
①如果要求水泵站到甲、乙兩村莊的距離相等，水泵站M應建在河岸AB上的何處？
②如果要求建造水泵站，供水管道使用建材最省，水泵站N又應建在河岸AB上的何處？
（2）如圖（2），作出△ABC關于直線l的對稱圖形．
提升3、類型三、造橋選址問題
1.如圖，A、B是兩個蓄水池，都在河流a的同側，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個抽水站，將河水送到A、B兩地，問該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點．（保留作圖痕跡）
2.如圖，平行河岸兩側各有一城鎮，，根據發展規劃，要修建一條橋梁連接，兩鎮，已知相同長度造橋總價遠大于陸上公路造價，為了盡量減少總造價，應該選擇方案（ ）
A． B．
C． D．
3.在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點P、Q為BC邊上的兩個動點（點P位于點Q的左側，P、Q均不與頂點重合），PQ＝2
（1）如圖①，若點E為CD邊上的中點，當Q移動到BC邊上的中點時，求證：AP＝QE；
（2）如圖②，若點E為CD邊上的中點，在PQ的移動過程中，若四邊形APQE的周長最小時，求BP的長；
（3）如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個動點（M、N均不與頂點重合），當BP＝3，且四邊形PQNM的周長最小時，求此時四邊形PQNM的面積．
人教版數學八年級上暑假預習課
第十六講 最短路徑（解析版）
一、專題導航
二、知識點梳理
類型一、 垂直線段最短問題
方法技巧：一動點與一定點連成的線段中，若動點在定直線上，則垂線段最短。
典例剖析1
例1-1．如圖，等腰三角形ABC底邊BC的長為4 cm，面積為12 cm2，腰AB的垂直平分線EF交AB于點E，交AC于點F，若D為BC邊上的中點，M為線段EF上一點，則△BDM的周長最小值為( )
A. 5 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm
【答案】C
【解析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD⊥BC，再根據三角形的面積公式求出AD的長，再根據EF是線段AB的垂直平分線可知，點B關于直線EF的對稱點為點A，故AD的長為BM+MD的最小值，由此即可得出結論．
如圖，連接AD．
∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC AD=×4×AD=12，解得：AD=6（cm）．
∵EF是線段AB的垂直平分線，∴點B關于直線EF的對稱點為點A，∴AD的長為BM+MD的最小值，∴△BDM的周長最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）．
故選C．
【點睛】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質是解答此題的關鍵．
例1-2．如圖，在△ABC中，AC=BC=8，∠ACB=120°，BD平分∠ABC交AC于點D，點E、F分別是線段BD，BC上的動點，則CE+EF的最小值是（　　）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】作C點關于BD的對稱點C'，過C'作C'F⊥BC交BD于點E，交BC于點F，CE+EF的最小值C'F的長．
解：作C點關于BD的對稱點C'，過C'作C'F⊥BC交BD于點E，交BC于點F，
∴CE+EF=C'E+EF≥C'F，
∴CE+EF的最小值C'F的長，
∴CC'⊥BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠C'BG=∠GBC，
在△C'BG和△CBG中，
，
∴△C'BG≌△CBG（ASA），
∴BC=BC'，
∵AC=BC=8，∠ACB=120°，
∴∠ABC=30°，BC'=8，
在Rt△BFC'中，C'F=BC' sin30°=8×=4，
∴CE+EF的最小值為4，
故選：B．
例1-3．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，∠ABC的平分線交AC于點D，點E，F分別是BD、AB上的動點，則AE+EF的最小值為（　　）
A. 2 B. 2.4 C. 2.5 D. 3
【答案】B
【解析】作點A關于BD的對稱點M，過M作MF⊥AB于F，交BD于E，則AE+EF的最小值是MF的長．由MF∥CA可得，進而可得答案．
解：作點A關于BD的對稱點M，
∵BD平分∠ABC，
∴M落在BC上．
∴BM=BA=4，
過M作MF⊥AB于F，交BD于E，
則AE+EF的最小值是MF的長．
∵∠MFB=∠CAB=90°，
∴MF∥CA，
∴，
即，MF=2.4，
∴AE+EF=MF=2.4．
故選：B．
類型二、兩點之間線段最短問題
定點關于定直線對稱轉化為兩點之間線段最短求最值．
①兩定一動
②一定兩動
③兩定兩動
典例剖析2
例2-1．如圖，∠MON=40°，P為∠MON內一點，A為OM上一點，B為ON上一點，當△PAB的周長取最小值時，∠APB的度數為（　　）
A. 40° B. 80° C. 100° D. 140°
【答案】C
【解析】如圖，作P點關于OM、ON的對稱點P1，P2，PP1與OM交點為C，PP2與ON交點為D，連接P1P2交OM、ON于A、B兩點，則∠P1PA=∠P1，∠P2PB=∠P2，由題意知，當P1，A，B，P2四點共線時，△PAB的周長最小，由PP1⊥OM，PP2⊥ON，可知∠PCO=∠PDO=90°，∠P1PP2=360°-∠PCO-∠PDO-∠MON=140°，則∠P1PA+∠P2PB=∠P1+∠P2=180°-∠P1PP2=40°，根據∠APB=∠P1PP2-（∠P1PA+∠P2PB），計算求解即可．
解：如圖，作P點關于OM、ON的對稱點P1，P2，PP1與OM交點為C，PP2與ON交點為D，連接P1P2交OM、ON于A、B兩點，則∠P1PA=∠P1，∠P2PB=∠P2，
由題意知，當P1，A，B，P2四點共線時，△PAB的周長最小，
∵PP1⊥OM，PP2⊥ON，
∴∠PCO=∠PDO=90°，
∴∠P1PP2=360°-∠PCO-∠PDO-∠MON=140°，
∴∠P1PA+∠P2PB=∠P1+∠P2=180°-∠P1PP2=40°，
∴∠APB=∠P1PP2-（∠P1PA+∠P2PB）=100°，
故選：C．
例2-2．如圖，在正方形中，，分別為，的中點，為對角線上的一個動點，則下列線段的長等于最小值的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】連接，當點，，在同一直線上時，的最小值為長，依據，即可得到最小值等于線段的長．
解：如圖，連接，
由，，，
可得，
，
，
當點，，在同一直線上時，
的最小值為長，
此時，由，，，
可得，
，
最小值等于線段的長，
故選：D．
【點睛】本題考查的是軸對稱，最短路線問題，解題的關鍵是根據題意作出關于的對稱點．
例2-3．如圖，在△ABC中，點P在邊BC上方，連接PB，PC，S△PBC=S△ABC=，當PB+PC取得最小值時，∠PBC的度數是（　　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【答案】B
【解析】由三角形面積關系得出AP與BC平行，AP與BC的距離為BC，作點B關于直線AP的對稱點B'，連接B'C交AP于P′，則BB'⊥AP，P′B=P′B'，此時點P′到B、C兩點距離之和最小，證明△BB'C是等腰直角三角形，即可得出答案．
解：如圖，連接AP，
∵S△PBC=S△ABC==BC BC，
∴AP∥BC平行，AP與BC的距離為BC，
作B點關于AP的對稱點B'，連接B'C，交AP于P′點，連接P'B，
由對稱性可知，B'P′=BP′，
∴PB+PC=B'P′+P′C=B'C，此時PB+PC最小，
∵BB'=BC，
∴△BCB'是等腰直角三角形，
∴∠B'CB=∠B'=45°，
∴∠B'BP′=45°，
∴∠P′BC=45°，
∴當PB+PC取得最小值時，∠PBC的度數是45°．
故選：B．
例2-4．如圖，A，B兩個村莊獨自從河流l上安裝了兩條灌溉管道AD，BE，AD⊥l于點D，BE⊥l于點E．某水務局準備為兩村莊在河流l上重新安裝一臺大型的抽水設備灌溉農田．通過測量，確定在河流l的點P處安裝抽水設備，則到兩個村莊鋪設的管道AP+BP的長度最短，此時測得∠PBE=30°，DE=150米，則AP+BP的最小值為（　　）
A. 180米 B. 210米 C. 240米 D. 300米
【答案】D
【解析】延長AD到點F，使FD=AD，連接FP，則點F與點A關于直線l對稱，所以FP=AP，則AP+BP=FP+BP，則AP+BP最短，可知FP+BP最短，則F、P、B三點在同一直線上，所以∠A=∠F=∠PBE=30°，則AP=2PD，BP=2PE，AP+BP=2DE=300米，于是得到問題的答案．
解：延長AD到點F，使FD=AD，連接FP，
∵AD⊥l,
∴點F與點A關于直線l對稱，
∴FP=AP，
∴AP+BP=FP+BP，
∵AP+BP最短，
∴FP+BP最短，
∴F、P、B三點在同一直線上，
∵BE⊥l,
∴AD∥BE，∠ADP=∠BEP=90°，
∴∠A=∠F=∠PBE=30°，
∴AP=2PD，BP=2PE，
∴AP+BP=2（PD+PE）=2DE=2×150=300（米），
∴AP+BP的最小值為300米，
故選：D．
類型三、造橋選址問題
造橋選址問題
方法技巧：將分散的線段平移集中，再求最值．
典例剖析3
例3-1．如圖，∠AOB=90°，OC=2，D為OC中點，長為1的線段EF（點F在點E的下方）在直線OB上移動，連接DE，CF，則DE+CF的最小值為（　　）
A. B.
C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】如圖，作點D關于OB的對稱點T，作TR∥OB，使得TR=EF，連接CR交OB于F，在FO的延長線上，取點E，使得EF=1，連接ET．DE，此時DE+CF的值最小．
解：如圖，作點D關于OB的對稱點T，作TR∥OB，使得TR=EF，連接CR交OB于F，在FO的延長線上，取點E，使得EF=1，連接ET．DE，此時DE+CF的值最小．
∵RT=EF=1，RT∥EF，
∴四邊形TRFE是平行四邊形，
∴ET=FR，
∵D，T關于OB對稱，
∴ED=ET，
∴DE=RF，
∴DE+CF=RF+FC=RC，此時CR的值最小，最小值===，
故選：B．
例3-2．A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN，使從A到B的路徑AMNB最短的是（假定河的兩岸是平行線，橋與河岸垂直）（　　）
A.
（BM垂直于a） B.
（AM不平行BN）
C.
（AN垂直于b） D. （AM平行BN）
【答案】D
【解析】過A作河的垂線AH，要使最短，MN⊥直線a,AI=MN，連接BI即可得出N，作出AM、MN、BN即可．
解：根據垂線段最短，得出MN是河的寬時，MN最短，即MN⊥直線a（或直線b），只要AM+BN最短即可，
即過A作河岸a的垂線AH，垂足為H，在直線AH上取點I，使AI等于河寬．
連接IB交河的b邊岸于N，作MN垂直于河岸交a邊的岸于M點，所得MN即為所求．
故選：D．
例3-3．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，若D，E是邊AB上的兩個動點，F是邊AC上的一個動點，DE=，則CD+EF的最小值為（　　）
A. - B. 3-
C. 1+ D. 3
【答案】B
【解析】首先△ABC是含有30°角的直角三角形，因此可以得知各邊的長分別為AB=4，AC=2．因為D，E是邊AB上的兩個動點，F是邊AC上的一個動點，求CD+EF的最小值，就是需要轉換成同一直線上求解，即求C關于AB的對稱點C1，作C1C2∥AB．構建平行四邊形C1DEC2，作C2F⊥AC于F，交AB于E．利用平行四邊形和對稱圖形的性質，找出線段之間的關系．
解：如圖，過C作AB的對稱點C1，連接CC1，交AB于N；過C1作C1C2∥AB，且C1C2=，過C2作C2F⊥AC于F，交AB于E，C2F的長度即為所求最小值，
∵CC2∥DE，CC2=DE，
∴四邊形C1DEC2是平行四邊形，
∴C1D=C2E，
又∵C、C1關于AB對稱，
∴CD=C1D，
∴CD+EF=C2F，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴AC=BC=2，
∴CN=，AN=3，
過C2作C2M⊥AB，則C2M=C1N=CN=，
∴C2M∥C1N，C1C2∥MN，
∴MN=C1C2=，
∵∠MEC2=∠AEF，∠AFE=∠C2ME=90°，
∴∠MC2E=∠A=30°，
在Rt△C2ME中，ME=1，C2M=，C2E=2，
∴AE=AN-MN-ME=3--1=2-，
∴EF=1-，
∴C2F=2+1-=3-．
故選：B．
變式訓練
變式1、 垂直線段最短問題
1．如圖，等邊△ABC，邊長為8，點D為邊BC上一點，以AD為邊在AD右側作等邊△ADE，連接CE，當△ADE周長最小時，CE的長度為（　　）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】由等邊三角形的性質得C△ADE=3AD，當△ADE周長最小時，AD⊥BC時，AD最小，利用全等三角形的判定邊角邊得△ABD和△ACE全等，即得CE的長度．
解：
∵△ADE是等邊三角形，
∴AD=DE=AE，
∴C△ADE=3AD，
當△ADE周長最小時，
即AD最小，
當AD⊥BC時，AD最小，
此時，BD=AB sin30°=4，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠1+∠2=60°，
又∵∠2+∠3=60°，
∴∠1=∠3，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE=4，
故選：C．
2．如圖，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15°，OB=6，OC平分∠AOB，點P在射線OC上，點Q為邊OA上一動點，則PA+PQ的最小值是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】作AH⊥OB于H．交OC于P，作PQ⊥OA于Q，可得PA+PQ=PA+PH=AH，根據垂線段最短，PA+PQ最小值為AH，
解：作AH⊥OB于H，交OC于P，作PQ⊥OA于Q，
∵∠OAB=∠AOB=15°，
∴PH=PQ，
∴PA+PQ=PA+PH=AH，
∴PA+PQ的最小值為AH，
在Rt△ABH中，∵OB=AB=6，∠ABH=30°，
∴AH=AB=3，
∴PA+PQ的最小值為3，
故選：C．
3．如圖，在△ABC中，AB＝BC，AC＝2cm，，邊BC的垂直平分線為l，點D是邊AC的中點，點P是l上的動點，則△PCD的周長的最小值是______．
【答案】4
【解析】連接BD，由于AB=BC，點D是AC邊的中點，故BD⊥AC，再根據三角形的面積公式求出BD的長，再根據直線l是線段BC的垂直平分線可知，點C關于直線l的對稱點為點B，故BD的長為CP+PD的最小值，由此即可得出結論．
解：連接BD，
∵AB=BC，點D是BC邊的中點，
∴BD⊥AC，
∴S△ABC=AC BD=×2×BD=3，
解得BD=3，
∵直線l是線段BC的垂直平分線，
∴點C關于直線l的對稱點為點B，
∴AB的長為CP+PD的最小值，
∴△CDP的周長最短=（CP+PD）+CD=BD+AC=3+1=4．
故答案為：4．
【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質是解答此題的關鍵．
變式2、兩點之間線段最短問題
1．現需要在某條街道l上修建一個核酸檢測點P，向居住在A，B小區的居民提供核酸檢測服務，要使P到A，B的距離之和最短，則核酸檢測點P符合題意的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】作A點關于直線l的對稱點，連接對稱點和點B交l于點P，進而根據軸對稱性質解答即可．
解：作A點關于直線l的對稱點，連接對稱點和點B交l于點P，P即為所求．
故選：A．
2．如圖，等邊△ABC中，BD⊥AC于D，AD=3.5cm,點P、Q分別為AB、AD上的兩個定點且BP=AQ=2cm,在BD上有一動點E使PE+QE最短，則PE+QE的最小值為（　　）
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
【答案】C
【解析】作點Q關于BD的對稱點Q′，連接PQ′交BD于E，連接QE，此時PE+EQ的值最小．最小值PE+EQ=PE+EQ′=PQ′．
解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，
∴BA=BC，
∵BD⊥AC，
∴AD=DC=3.5cm,
作點Q關于BD的對稱點Q′，連接PQ′交BD于E，連接QE，此時PE+EQ的值最小．最小值PE+EQ=PE+EQ′=PQ′，
∵AQ=2cm,AD=DC=3.5cm,
∴QD=DQ′=1.5（cm），
∴CQ′=BP=2（cm），
∴AP=AQ′=5（cm），
∵∠A=60°，
∴△APQ′是等邊三角形，
∴PQ′=PA=5（cm），
∴PE+QE的最小值為5cm.
故選：C．
3．如圖，在銳角△ABC中，∠ACB=50°；邊AB上有一定點P，M、N分別是AC和BC邊上的動點，當△PMN的周長最小時，∠MPN的度數是（　　）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
【答案】D
【解析】根據對稱的性質，易求得∠C+∠EPF=180°，由∠ACB=50°，易求得∠D+∠G=50°，繼而求得答案．
解：作點P關于AC，BC的對稱點D，G，連接PD，PG分別交AC，BC于E，F，連接DG交AC于M，交BC于N，連接PM，PN．此時△PMN的周長最小．
∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴∠C+∠EPF=180°，
∵∠C=50°，
∴∠EPF=130°，
∵∠D+∠G+∠EPF=180°，
∴∠D+∠G=50°，
由對稱可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM，
∴∠GPN+∠DPM=50°，
∴∠MPN=130°-50°=80°，
故選：D．
4．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，6），點B為x軸上一動點，以AB為邊在直線AB的右側作等邊三角形ABC．若點P為OA的中點，連接PC，則PC的長的最小值為_____．
【答案】
【解析】以AP為邊作等邊三角形APE，連接BE，過點E作EF⊥AP于F，由“SAS”可證△ABE≌△ACP，可得BE＝PC，則當BE有最小值時，PC有最小值，即可求解．
解：如圖，以AP為邊作等邊三角形APE，連接BE，過點E作EF⊥AP于F，
∵點A的坐標為（0，6），
∴OA＝6，
∵點P為OA的中點，
∴AP＝3，
∵△AEP是等邊三角形，EF⊥AP，
∴AF＝PF＝，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAP，
在△ABE和△ACP中，
∴△ABE≌△ACP（SAS），
∴BE＝PC，
∴當BE有最小值時，PC有最小值，
即BE⊥x軸時，BE有最小值，
∴BE的最小值為OF＝OP＋PF＝3＋＝，
∴PC的最小值為，
故答案為．
【點睛】本題考查了軸對稱 最短路線問題，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．
變式3、類型三、造橋選址問題
1．如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中點，線段EF在邊AB上左右滑動，若EF=1，則GE+CF的最小值為 _____．
【答案】3
【解析】解法一：利用已知可以得出GC，EF長度不變，求出GE+CF最小時即可得出四邊形CGEF周長的最小值，利用軸對稱得出E，F位置，即可求出．
解法二：設AE=x,則BF=3-x,根據勾股定理可得：EG+CF=+，由勾股定理構建另一矩形EFGH，根據線段的性質：兩點之間線段最短可得結論．
解：解法一：如圖，作G關于AB的對稱點G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時GE+CF的值最小，
∵CH=EF=1，CH∥EF，
∴四邊形EFCH是平行四邊形，
∴EH=CF，
∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G為邊AD的中點，
∴DG'=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，
由勾股定理得：HG'==3，
即GE+CF的最小值為3．
解法二：∵AG=AD=1，
設AE=x,則BF=AB-EF-AE=4-x-1=3-x,
由勾股定理得：EG+CF=+，
如圖，矩形EFGH中，EH=3，GH=2，GQ=1，
P為FG上一動點，設PG=x,則FP=3-x,
∴EP+PQ=+，
當E，P，Q三點共線時，EP+PQ最小，最小值是3，
即EG+CF的最小值是3．
故答案為：3．
2．如圖所示，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，點E是AD的中點，點F是AB上任意一點，沿著EF翻折，點A落在點G處，點H是CD上任意一點，連接HG和HB，則HG+HB的最小值為 _____．
【答案】8
【解析】作點B關于CD的對稱點B'，連接B'G，交CD于點H．則HB=HB'，則HG+HB=HG+HB'，其最小值為B'G的長，點G在以點E為圓心，2為半徑的圓周上運動，所以EG+GB'的最小值為EB'，因此B'G的最小值為：B'E-2．
解：作點B關于CD的對稱點B'，連接B'G，交CD于點H．
則HB=HB'，
則HG+HB=HG+HB'，其最小值為B'G的長．
∵AD=4，點E是AD的中點，
∴AE=DE=GE=2，
∴點G在以點E為圓心，2為半徑的圓周上運動，
∵EG+GB'≥EB'，
∴EG+GB'的最小值為EB'，
∵EG=2，
∴B'G的最小值為：B'E-2．
在RtΔB'ME中，
EM=2+4=6，B'M=8，
B'E==10．
∴B'G的最小值為：B'E-2=10-2=8．
即HG+HB最小值為8．
故答案為：8．
3．如圖，∠MON=15°，四邊形ABCD的頂點A在∠MON的內部，B，C兩點在OM上（C在B，O之間），且BC=1，點D在ON上，若當CD⊥OM時，四邊形ABCD的周長最小，則此時AD的長度是_____．
【答案】2
【解析】根據最短問題解決的方法，分別作A關于OM，ON的對稱點，提供連接對稱點，列出四邊形周長公式，根據已知條件，要使得四邊形ABCD的周長最短，只需要四點共線，然后解直角三角形求出AD即可．
解：如圖1中，分別作點A關于直線OM，ON的對稱點A1，A2，連接BA1，DA2，過點A1作A1A3⊥CD于A3，
由圖可知：AQ=A1Q=A3C，AB＞AQ，當A，B，A1共線時，AB最短，此時A3C=AB，
∵四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+AD=A3C+CD+DA2+BC=A3C+CD+DA2+1，
∴當A3，C，D，A2共線時，四邊形ABCD的周長最短（如圖2中），作AH⊥CD于H．
∵∠MON=15°，CD⊥OM，
∴∠ODC=90°-15°=75°，
∴∠FDA2=∠ODC=∠ADF=75°，
∴∠ADH=180°-75°-75°=30°，
在Rt△ADH中，AD===2．
故答案為2．
能力提升
提升1、 垂直線段最短問題
1．如圖，BD是△ABC的角平分線，E和F分別是AB和BD上的動點，已知△ABC的面積是12cm2，BC的長是8cm,則AF+EF的最小值是 _____cm.
【答案】3
【解析】作E關于BD的對稱點G，連接FG，過點A作AH⊥BC于H，將AF+EF轉化AF+FG，由點到直線垂線段最短的AF+FG最小值為AH的長，由△ABC的面積是12cm2，BC的長是8cm,求出AH即可．
解：作E關于BD的對稱點G，連接FG，過點A作AH⊥BC于H，
∵BD是△ABC的角平分線，
∴G必在BC上，
∵E、G關于BD對稱，
∴EF=FG，
∴AF+EF=AF+FG，
∵點F在垂線段AH上最短，
∴AF+FG最小值為AH的長，
∵△ABC的面積是12cm2，BC的長是8cm,
∴×BC AH=12，
∴AH=3cm,
∴AF+EF的最小值是3cm,
故答案為：3．
2．如圖，銳角△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，M、N分別是BD、BC線段上運動的點，S△ABC=8，AB=4，則MN+MC的最小值是=_____．
【答案】4
【解析】作N點關于BD的對稱點N'，連接CN'，過C作CE⊥AB交于點E，則N'必在AB上，NM+CM=MN'+CN=CN'≥CE，由S△ABC=8，AB=4，可求EC=4，即MN+MC的最小值是4．
解：作N點關于BD的對稱點N'，連接CN'，過C作CE⊥AB交于點E，
∵BD是∠ABC的角平分線，
∴N'必在AB上，
∴NM+CM=MN'+CN=CN'≥CE，
∴當CN'=CE時，MN+MC的值最小，
∵S△ABC=8，AB=4，
∴EC=4，
∴MN+MC的最小值是4，
故答案為4．
3．如圖，在Rt△ABC中，AB=6，∠BAC=30°，∠BAC的平分線交BC于點D，E，F分別是線段AD和AB上的動點，則BE+EF的最小值是_____．
【答案】3
【解析】作BH⊥AC交AD于點E，作EF⊥AB于F，根據角平分線的性質可得EH=EF，即可求得BE+EF=BH，根據H是與B點的距離最短的點，即為BH最短即可解題．
解：作BH⊥AC交AD于點E，作EF⊥AB于F，
∵AD平分∠BAC，EH⊥AC，EF⊥AB，
∴EF=EH，
∴BE+EF=BE+EH=BH，
∵H是與B點的距離最短的點，即為BH最短，
∴BE+EF最短為BH，
∵AB=6，∠BAC=30°，
∴BH=AB=3，
故答案為 3．
提升2、兩點之間線段最短問題
1．如圖，等邊△ABC中，BD⊥AC于D，QD=1.5，點P、Q分別為AB、AD上的兩個定點且BP=AQ=2，在BD上有一動點E使PE+QE最短，則PE+QE的最小值為 _____．
【答案】5
【解析】作點Q關于BD的對稱點Q′，連接PQ′交BD于E，連接QE，此時PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′．
解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，
∴BA=BC，
∵BD⊥AC，AQ=2，QD=1.5，
∴AD=DC=AQ+QD=3.5，
作點Q關于BD的對稱點Q′，連接PQ′交BD于E，連接QE，此時PE+EQ的值最小．最小值PE+QE=PE+EQ′=PQ′，
∵AQ=2，AD=DC=3.5，
∴QD=DQ′=1.5，
∴CQ′=BP=2，
∴AP=AQ′=5，
∵∠A=60°，
∴△APQ′是等邊三角形，
∴PQ′=PA=5，
∴PE+QE的最小值為5．
故答案為：5．
2．如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是BC的垂直平分線，P是直線EF上的任意一點，則PA+PB的最小值是 _____．
【答案】4
【解析】根據線段的垂直平分線的性質可得BE=EC，根據兩點之間線段最短即可求解．
解：如圖，連接BP，
∵EF是BC的垂直平分線，
∴BP=CP，
根據兩點之間線段最短，
∴PA+PB=PA+PC=AC，
∴PA+PB的最小值即為AC的長為4．
∴PA+PB的最小值為4．
故答案為：4．
3．如圖，A，B兩個工廠位于一段直線形河的異側，A廠距離河邊AC=5km,B廠距離河邊BD=1km,經測量CD=8km,現準備在河邊某處（河寬不計）修一個污水處理廠E．
（1）設ED=x,請用x的代數式表示AE+BE的長；
（2）為了使兩廠的排污管道最短，污水廠E的位置應怎樣來確定此時需要管道多長？
（3）通過以上的解答，充分展開聯想，運用數形結合思想，請你猜想的最小值為多少？
【解析】（1）依據ED=x,AC⊥CD、BD⊥CD，故根據勾股定理可用x表示出AE+BE的長；
（2）根據兩點之間線段最短可知連接AB與CD的交點就是污水處理廠E的位置．過點B作BF⊥AC于F，構造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的長；
（3）根據AE+BE=可作出圖形，當A、E、B共線時，利用勾股定理求出AB的值即可．
解：（1）在Rt△ACE和Rt△BDE中，根據勾股定理可得AE=，BE=，
∴AE+BE=+，
（2）根據兩點之間線段最短可知，連接AB與CD的交點就是污水處理廠E的位置．

過點B作BF⊥AC于F，則有BF=CD=8，BD=CF=1．
∴AF=AC+CF=6．
在Rt△ABF中，BA=，
∴此時最少需要管道10km.
（3）根據以上推理，可作出下圖，設ED=x,BD=3，CD=15，AC=5，當A、E、B共線時，求出AB的值即為原式的最小值．
在Rt△ABF中，AF=8，BF=CD=15，
由勾股定理可得：AB=，
∴的最小值為17．
4．（1）小河的同旁有甲、乙兩個村莊如圖（1），現計劃在河岸AB上建一個水泵站，向兩村供水，用以解決村民生活用水問題．（保留作圖痕跡）
①如果要求水泵站到甲、乙兩村莊的距離相等，水泵站M應建在河岸AB上的何處？
②如果要求建造水泵站，供水管道使用建材最省，水泵站N又應建在河岸AB上的何處？
（2）如圖（2），作出△ABC關于直線l的對稱圖形．
【解析】（1）①利用線段的垂直平分線的性質解決問題即可．
②利用軸對稱解決最短問題即可．
（2）分別作出A，B，C關于直線l的對稱點A′，B′，C′即可．
解：（1）①如圖（1）中，點E即為所求．
②如圖（1）-1中，點E即為所求．
（2）如圖（2）中，△A′B′C′即為所求．
提升3、類型三、造橋選址問題
1.如圖，A、B是兩個蓄水池，都在河流a的同側，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個抽水站，將河水送到A、B兩地，問該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點．（保留作圖痕跡）
【解析】根據兩點間線段最短可知作點A關于直線a對稱的點C，連接BC交a于點P，則點P就是抽水站的位置．
解：作點A關于直線a對稱的點C，連接BC交a于點P，則點P就是抽水站的位置．
2.如圖，平行河岸兩側各有一城鎮，，根據發展規劃，要修建一條橋梁連接，兩鎮，已知相同長度造橋總價遠大于陸上公路造價，為了盡量減少總造價，應該選擇方案（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河寬，連接QP′，與河岸L相交于N，作NM⊥L，根據平行線的判定與性質，易證得此時PM+NQ最短.
【詳解】解：如圖，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河寬，連接QP′，與河岸L相交于N，作NM⊥L，則MN∥PP′且MN＝PP′，于是四邊形PMNP′為平行四邊形，故PM＝NP′．根據“兩點之間線段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．觀察選項，選項C符合題意．
故選C．
【點睛】本題主要考查最短路徑問題，解此題的關鍵在于熟練掌握其知識點.
3.在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點P、Q為BC邊上的兩個動點（點P位于點Q的左側，P、Q均不與頂點重合），PQ＝2
（1）如圖①，若點E為CD邊上的中點，當Q移動到BC邊上的中點時，求證：AP＝QE；
（2）如圖②，若點E為CD邊上的中點，在PQ的移動過程中，若四邊形APQE的周長最小時，求BP的長；
（3）如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個動點（M、N均不與頂點重合），當BP＝3，且四邊形PQNM的周長最小時，求此時四邊形PQNM的面積．
【答案】(1）見解析； (2) 4； (3) 4
【分析】（1）由“SAS”可證△ABP≌△QCE，可得AP=QE；
（2）要使四邊形APQE的周長最小，由于AE與PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．為此，先在BC邊上確定點P、Q的位置，可在AD上截取線段AF=DE=2，作F點關于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，則此時AP+EQ=EG最小，然后過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點，那么先證明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的長度；
（3）要使四邊形PQNM的周長最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作點P關于AD的對稱點F，作點Q關于CD的對稱點H，連接FH，交AD于M，交CD于N，連接PM，QN，此時四邊形PQNM的周長最小，由面積和差關系可求解．
（1）解：證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，BC=AD=8，
∵點E是CD的中點，點Q是BC的中點，
∴BQ=CQ=4，CE=2，
∴AB=CQ，
∵PQ=2，
∴BP=2，
∴BP=CE，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP≌△QCE（SAS），
∴AP=QE；
（2）如圖②，在AD上截取線段AF=PQ=2，作F點關于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點．
∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°，
∴∠CEQ=45°，
設BP=x，則CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，
在△CQE中，
∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，
∴CQ=EC，
∴6-x=2，
解得x=4，
∴BP=4；
（3）如圖③，作點P關于AD的對稱點F，作點Q關于CD的對稱點H，連接FH，交AD于M，交CD于N，連接PM，QN，此時四邊形PQNM的周長最小，連接FP交AD于T，
∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，
∴PF=8，PH=8，
∴PF=PH，
又∵∠FPH=90°，
∴∠F=∠H=45°，
∵PF⊥AD，CD⊥QH，
∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，
∴FT=TM=4，CN=CH=3，
∴四邊形PQNM的面積=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7．
【點撥】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，軸對稱求最短距離，直角三角形的性質；通過構造平行四邊形和軸對稱找到點P和點Q位置是解題的關鍵。
A
M
N
B
A
M
N
B
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