資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
新人教版七年級數學暑假自學課
第十四講 整式
一、知識點導航
知識點歸納
知識點1 單項式
1. 單項式的概念
單項式：數或字母的積。（單獨的一個數或一個字母也是單項式）。例：5x；100；x；10ab等
【注意】（1）單項式包括三種類型：①數字與字母相乘或字母與字母相乘組成的式子；②單獨的一個數；③單獨的一個字母．
（2）單項式中不能含有加減運算，但可以含有除法運算．如：可以寫成。但若分母中含有字母，如就不是單項式，因為它無法寫成數字與字母的乘積．
2.單項式的系數：單項式中的數字叫做單項式的系數。例：的系數為。
【注意】（1）確定單項式的系數時，最好先將單項式寫成數與字母的乘積的形式，再確定其系數；
（2）圓周率π是常數．單項式中出現π時，應看作系數；
（3）當一個單項式的系數是1或-1時，“1”通常省略不寫；（4）單項式的系數是帶分數時，通常寫成假分數，如：寫成．
3.單項式的次數：一個單項式中所有字母的指數的和。例： 的次數為3次。
【注意】
單項式的次數是計算單項式中所有字母的指數和得到的，計算時要注意以下兩點：
（1）沒有寫指數的字母，實際上其指數是1，計算時不能將其遺漏；
（2）不能將數字的指數一同計算．
例1-1 .代數式，，，，，中，單項式的個數是（ ）．
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
總結：數與字母的積的形式的代數式是單項式，單獨的一個數或一個字母也是單項式．分母中含字母的不是單項式，分子中含加、減運算的式子也不是單項式．
例1-2 .下列說法中正確的是(　　)
A．不是單項式 B．的系數是
C．的系數是，次數是4 D．的系數為0，次數為2
總結：(1)當單項式的系數是1或－1時，“1”通常省略不寫；單項式的系數是帶分數時，通常寫成假分數．單項式的系數包括前面的符號．(2)我們把常數項的次數看做0.確定單項式的次數時，單項式中單獨一個字母的指數1不能忽略，如－3x3y，它的指數是4而不是3.(3)π是圓周率，是一個確定的數，不是字母．
例1-3 .用單項式表示下列各式，并指出其系數和次數．
(1)王明同學買2本練習冊花了n元，那么買m本練習冊要花多少元？
(2)正方體的棱長為a，那么它的表面積是多少？體積呢？
總結：此題考查了列代數式，用到的知識點是系數、次數、正方形的表面積公式、體積公式，根據題意列出式子是本題的關鍵．
知識點2 多項式
1. 多項式的有關概念
多項式：幾個單項式的和。
【注意】“幾個”是指兩個或兩個以上．
2.項：每個單項式叫做多項式的項，有幾項，就叫做幾項式。 常數項：不含字母的項。
【注意】（1）多項式的每一項包括它前面的符號．
（2）一個多項式含有幾項，就叫幾項式，如：是一個三項式
3.多項式的次數：所有項中，次數最高的項的次數就是多項式的次數（最高次數是n次，就叫做n次式）
【注意】（1）多項式的次數不是所有項的次數之和，而是多項式中次數最高的單項式的次數．（2）一個多項式中的最高次項有時不止一個，在確定最高次項時，都應寫出．
例2-1 .下列式子，，，中，多項式有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
總結：此題考查了多項式概念，幾個單項式的和是多項式，根據定義正確作出判定是解題關鍵．
例2-2 .多項式是 次 項式，按的升冪排列為 ．
總結：(1)多項式的項一定包括它的符號；(2)多項式的次數是多項式里次數最高項的次數，而不是各項次數的和；(3)幾次項是指多項式中次數是幾的項．
例2-3 .已知－5xm＋104xm－4xmy2是關于x、y的六次多項式，求m的值，并寫出該多項式．
總結：此題考查了多項式，解題的關鍵是弄清多項式次數是多項式中次數最高的項的次數．
知識點3 整式
整式：單項式與多項式統稱為整式。
【注意】①多項式是由多個單項式構成的；②單項式和多項式的區別在于是否含有加減運算；
③分母中含有字母的式子不是整式（因不是單項式或多項式）
例3-1 .指出下列各式中哪些是單項式？哪些是多項式？哪些是整式？
x2＋y2，－x，，10，6xy＋1，，m2n，2x2－x－5，，a7.
總結：(1)分母中含有字母(π除外)的式子不是整式；(2)單項式和多項式都是整式；(3)單項式不含加、減運算，多項式必含加、減運算．
例3-2 .在代數式，，，，，中，是整式的有（ ）
A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
知識點4 整式中的規律探究
探索圖形與數字規律.探索規律的一般方法：
1.探索規律的主要過程： 特殊 —— 一般 —— 特殊
2.探索規律的步驟：（1） 尋找數量關系； （2） 用代數式表示規律；（3）驗證規律
3.類型
（1）周期型
例4-1．有一列數，其中，則（ ）
A． B． C． D．1
遞推型
例4-2．一串數字如下：1，，5，，9，…如此下去，則第個數字與第個數字的和等于（　　）
A． B． C．2 D．
例4-3．按一定規律排列的單項式：，，，，，…，第n個單項式是（ ）
A． B． C． D．
例4-4．用大小相同的☆按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案用了4個☆，第②個圖案用了9個☆，第③個圖案用了16個☆，第④個圖案用了25個☆，……，按此規律排列下去，則第⑧個圖案中用的☆個數為（ ）

A．77 B．79 C．81 D．83
固定累加型
例4-5 .將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規律擺放：第1個圖形有6個小圓，第2個圖形有10個小圓，第3個圖形有16個小圓，第4個圖形有24個小圓，……，依次規律，第6個圖形有（ ）個小圓．
A．40 B．42 C．45 D．46
例4-6.云南少數民族服飾以其精美的花紋和艷麗的色彩越來越受到追求獨立與個性的設計師的喜愛．某民族服飾的花邊均是由若干個平移形成的有規律的圖案，如圖，第①個圖案由個組成，第②個圖案由個中組成，第③個圖案由個中組成，…，按此規律排列下去，第個圖案中的個數為（ ）
A． B． C． D．
漸變累加型
例4-7.．觀察下面一列數：1，，，，，……，按照這個規律，第10個數應該是 ，第n個數是 ．
例4-8．觀察下列一組數：，，，，…，它們是按一定規律排列的，那么這一組數的第個數是 ，第個數是 ．
易錯點點撥
易錯點1.確定單項式的系數和次數時出錯
單項式的系數包括前面的符號,且只與數字因數有關,而次數只與字母有關;確定系數時容易漏掉系數中的“_”號和“π”.確定次數時注意不要把“π”的次數也計算在內，不要把有些數字的次數計算在內。
例1.的系數與次數分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
錯解：A
易錯點2.混淆多項式次數和單項式次數
不要與單項式的次數混淆,誤將所有字母的指數和作為多項式的次數
例2 多項式的項數和次數分別為　　
A．2，7 B．3，8 C．2，8 D．3，15
錯解：D
易錯點3 多項式的項漏掉符號
多項式的項包括它前面的符號。不要與漏掉項的符號
例3 .對于多項式，下列說法正確的是　　
A．它是三次三項式 B．它的常數項是6
C．它的一次項系數是 D．它的二次項系數是2
錯解：B
針對訓練
1.單項式
1.代數式 ，，，，， 中，單項式個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2 .的系數與次數分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
3 .填表：
單項式
系數
次數
已知表示的相反數，表示的立方，表示的系數，表示0.6的倒數．
（1）直接寫出各字母所表示的數；
（2）計算，，，中所有負數的乘積，并判斷結果是否為正整數．
2.多項式
1.在代數式，下列結論正確的是( )
A．有個多項式，個單項式 B．有個多項式，個單項式
C．有個多項式，個單項式 D．有個多項式，個單項式
2.下列說法正確的個數是（ ）
①分別是多項式的項
②關于x的多項式是三次四項式
③若與是同類項，則
④三次多項式中至少有一項為三次單項式
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3..如果多項式是關于x的二次二項式，那么a,b的值可能是(　　)
A． B． C． D．
3 .整式
1.下列式子中，整式有 (填寫序號)
① ②0 ③ ④ ⑤ ⑥
2.多項式是關于的三次四項式，且二次項系數是，求 ．
∴．
整式中的規律探究
觀察下列等式：，，，，，，，，．回答下面問題：的末位數字是 ．
2.如圖，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，擺第一個圖形需要3個黑色棋子，擺第二個圖形需要8個黑色棋子，．．．，按照這樣的規律擺下去，擺第6個圖形需要黑色棋子的個數是 ．
3．用黑、白兩種顏色的正六邊形地磚按圖所示規律鋪地面，則第5個圖形有 塊白色地磚，第個圖形有 塊白色地磚．
．
4.觀察以下等式：
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
第4個等式：．
…
按照以上規律，解決下列問題：
(1)請直接寫出第5個等式．
(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的等式表示），并證明．
能力提升
提升1 單項式
1．已知是關于x、y的五次單項式，則m的值為（ ）
A． B．1 C． D．3
2．閱讀下面方框內的材料，解答相應的問題：
對稱式：一個含有多個字母的式子中，任意交換兩個字母的位置，當字母的取值均不相等，且都不為時，式子的值都不變，這樣的式子叫做對稱式例如：式子中任意兩個字母交換位置，可得到式子，，，因為，所以是對稱式而式子中字母，交換位置，得到式子，因為，所以不是對稱式．
問題：
(1)給出下列式子：，，，，其中是對稱式的是______填序號即可；
(2)寫出一個系數為，只含有字母，且次數為的單項式，使該單項式是對稱式；
寫出一個只含有字母，的三次三項式，使該多項式是對稱式；
(3)已知，，求，并直接判斷所得結果是否是對稱式．
3．已知a是最大的負整數，b是多項式的次數，c是單項式的系數，且a，b，c分別是點A，B，C在數軸上對應的數．
(1)求a，b，c的值，并在數軸上標出點A，B，C；

(2)若動點P、Q同時分別從點A、B出發沿數軸負方向運動，點P的速度是每秒個單位長度，點Q的速度是每秒2個單位長度，求運動幾秒后，點Q可以追上點P？
(3)在數軸上找一點M，使點M到A，B，C三點的距離之和等于10，請直接寫出所有點M對應的數．（不必說明理由）
提升2多項式
1.若是五次單項式，是三次二項式，則= ．
2 .已知關于，的多項式是六次四項式，常數項是2．求，的值．
3.若關于x的多項式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次項和一次項，求m、n的值．
提升3整式
1.已知多項式是關于x、y的四次四項式，則的值為 ．
2..若是一個五次二項式，則 .
提升4整式中的規律探究
生物學中，描述、解釋和預測種群數量的變化，常常需要建立數學模型．在營養和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型來表示．即：，，，，，，請你推算的個位數字是 ．
2.．觀察下列等式：
① ② ③……
那么第n（n為正整數）個等式為（ ）
A． B．
C． D．
3．觀察下列式子：
；
；
；
；
(1)猜想： ； ；
(2)根據以上發現的規律計算：，并直接寫出計算結果的個位數字．
新人教版七年級數學暑假自學課
第十四講 整式（解析版）
一、知識點導航
知識點歸納
知識點1 單項式
1. 單項式的概念
單項式：數或字母的積。（單獨的一個數或一個字母也是單項式）。例：5x；100；x；10ab等
【注意】（1）單項式包括三種類型：①數字與字母相乘或字母與字母相乘組成的式子；②單獨的一個數；③單獨的一個字母．
（2）單項式中不能含有加減運算，但可以含有除法運算．如：可以寫成。但若分母中含有字母，如就不是單項式，因為它無法寫成數字與字母的乘積．
2.單項式的系數：單項式中的數字叫做單項式的系數。例：的系數為。
【注意】（1）確定單項式的系數時，最好先將單項式寫成數與字母的乘積的形式，再確定其系數；
（2）圓周率π是常數．單項式中出現π時，應看作系數；
（3）當一個單項式的系數是1或-1時，“1”通常省略不寫；（4）單項式的系數是帶分數時，通常寫成假分數，如：寫成．
3.單項式的次數：一個單項式中所有字母的指數的和。例： 的次數為3次。
【注意】
單項式的次數是計算單項式中所有字母的指數和得到的，計算時要注意以下兩點：
（1）沒有寫指數的字母，實際上其指數是1，計算時不能將其遺漏；
（2）不能將數字的指數一同計算．
例1-1 .代數式，，，，，中，單項式的個數是（ ）．
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】C
【分析】本題主要考查了單項式的定義，解題的關鍵在于能夠熟知相關定義：表示數或字母的積的式子叫做單項式，單獨的一個數或一個字母也是單項式．
【詳解】解：在代數式，，，，，中，單項式有，，，，共4個，
故選：C．
總結：數與字母的積的形式的代數式是單項式，單獨的一個數或一個字母也是單項式．分母中含字母的不是單項式，分子中含加、減運算的式子也不是單項式．
例1-2 .下列說法中正確的是(　　)
A．不是單項式 B．的系數是
C．的系數是，次數是4 D．的系數為0，次數為2
【答案】C
【分析】本題主要考查了單項式的次數與系數以及單項式的定義，根據單項式中的數字因數叫做單項式的系數，一個單項式中所有字母的指數的和叫做單項式的次數，進而得出答案．
【詳解】解：A．是單項式，原說法錯誤，不符合題意；
B．的系數是，原說法錯誤，不符合題意；
C．的系數是，次數是4，原說法正確，符合題意；
D．的系數為1，次數為3，原說法錯誤，不符合題意；
故選：C．
總結：(1)當單項式的系數是1或－1時，“1”通常省略不寫；單項式的系數是帶分數時，通常寫成假分數．單項式的系數包括前面的符號．(2)我們把常數項的次數看做0.確定單項式的次數時，單項式中單獨一個字母的指數1不能忽略，如－3x3y，它的指數是4而不是3.(3)π是圓周率，是一個確定的數，不是字母．
例1-3 .用單項式表示下列各式，并指出其系數和次數．
(1)王明同學買2本練習冊花了n元，那么買m本練習冊要花多少元？
(2)正方體的棱長為a，那么它的表面積是多少？體積呢？
解析：(1)根據買2本練習冊花了n元，得出買1本練習冊花元，再根據買了m本練習冊，即可列出算式，再根據系數、次數的定義進行解答即可；
(2)根據正方體的棱長為a和表面積公式、體積公式列出式子，再根據系數、次數的定義進行解答．
解：(1)∵買2本練習冊花了n元，
∴買1本練習冊花元，∴買m本練習冊要花mn元，∴它的系數是，次數是2；
(2)∵正方體的棱長為a，
∴它的表面積是6a2，系數是6，次數是2；
它的體積是a3，系數是1，次數是3.
總結：此題考查了列代數式，用到的知識點是系數、次數、正方形的表面積公式、體積公式，根據題意列出式子是本題的關鍵．
知識點2 多項式
1. 多項式的有關概念
多項式：幾個單項式的和。
【注意】“幾個”是指兩個或兩個以上．
2.項：每個單項式叫做多項式的項，有幾項，就叫做幾項式。 常數項：不含字母的項。
【注意】（1）多項式的每一項包括它前面的符號．
（2）一個多項式含有幾項，就叫幾項式，如：是一個三項式
3.多項式的次數：所有項中，次數最高的項的次數就是多項式的次數（最高次數是n次，就叫做n次式）
【注意】（1）多項式的次數不是所有項的次數之和，而是多項式中次數最高的單項式的次數．（2）一個多項式中的最高次項有時不止一個，在確定最高次項時，都應寫出．
例2-1 .下列式子，，，中，多項式有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】根據多項式的定義，逐一判斷，即可求解，本題考查了多項式的定義，解題的關鍵是：熟練掌握多項式定義．
【詳解】解：是單項式，是多項式，是分式，是多項式，
其中多項式有2個，
故選：．
總結：此題考查了多項式概念，幾個單項式的和是多項式，根據定義正確作出判定是解題關鍵．
例2-2 .多項式是 次 項式，按的升冪排列為 ．
【答案】 五 四
【分析】本題主要考查了多項式的定義及其次數的定義，解題的關鍵在于能夠熟知相關定義：幾個單項式的和的形式叫做多項式，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數項，多項式里，次數最高項的次數叫做多項式的次數．
【詳解】解：多項式是五次四項式，按的升冪排列為，
故答案為：五；四；
總結：(1)多項式的項一定包括它的符號；(2)多項式的次數是多項式里次數最高項的次數，而不是各項次數的和；(3)幾次項是指多項式中次數是幾的項．
例2-3 .已知－5xm＋104xm－4xmy2是關于x、y的六次多項式，求m的值，并寫出該多項式．
解析：根據多項式中次數最高的項的次數叫做多項式的次數可得m＋2＝6，解得m＝4，進而可得此多項式．
解：由題意得m＋2＝6，
解得m＝4，
此多項式是－5x4＋104x4－4x4y2.
總結：此題考查了多項式，解題的關鍵是弄清多項式次數是多項式中次數最高的項的次數．
知識點3 整式
整式：單項式與多項式統稱為整式。
【注意】①多項式是由多個單項式構成的；②單項式和多項式的區別在于是否含有加減運算；
③分母中含有字母的式子不是整式（因不是單項式或多項式）
例3-1 .指出下列各式中哪些是單項式？哪些是多項式？哪些是整式？
x2＋y2，－x，，10，6xy＋1，，m2n，2x2－x－5，，a7.
解析：根據整式、單項式、多項式的概念和區別來進行判斷．
解：，的分母中含有字母，既不是單項式，也不是多項式，更不是整式．
單項式有：－x，10，m2n，a7；
多項式有：x2＋y2，，6xy＋1，2x2－x－5；
整式有：x2＋y2，－x，，10，6xy＋1，m2n，2x2－x－5，a7.
總結：(1)分母中含有字母(π除外)的式子不是整式；(2)單項式和多項式都是整式；(3)單項式不含加、減運算，多項式必含加、減運算．
例3-2 .在代數式，，，，，中，是整式的有（ ）
A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
【答案】B
【分析】本題考查了整式，掌握單項式和多項式統稱為整式，分母中含有字母的式子是分式不是整式是解題的關鍵．
根據單項式和多項式統稱為整式，可得答案．
【詳解】解：是整式的有，，，，所以有4個，
故選：B．
知識點4 整式中的規律探究
探索圖形與數字規律.探索規律的一般方法：
1.探索規律的主要過程： 特殊 —— 一般 —— 特殊
2.探索規律的步驟：（1） 尋找數量關系； （2） 用代數式表示規律；（3）驗證規律
3.類型
（1）周期型
例4-1．有一列數，其中，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本題考查了數字規律的探索，含乘方的有理數計算，根據已知分別求出的值，可以發現結果為，，，，，，每三個一循環，根據即可得出結果．
【詳解】解：，，，，
這列數是，，，，，，且這列數是每三個一循環的，
，，
，
故選：A．
遞推型
例4-2．一串數字如下：1，，5，，9，…如此下去，則第個數字與第個數字的和等于（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本題考查了數字的規律探究．根據題意推導一般性規律是解題的關鍵．
由題意可推導一般性規律為，第個數為，則第個數字為，第個數字為，然后求和作答即可．
【詳解】解：∵1，，5，，9，…，
∴可推導一般性規律為，第個數為，
∴第個數字為，第個數字為，
∴第個數字與第個數字的和等于，
故選：B．
例4-3．按一定規律排列的單項式：，，，，，…，第n個單項式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了數字的變化類，分別從系數，字母的指數兩個方面進行找規律．
【詳解】解：，
，
，
，
第n個為：；
故選：D．
例4-4．用大小相同的☆按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案用了4個☆，第②個圖案用了9個☆，第③個圖案用了16個☆，第④個圖案用了25個☆，……，按此規律排列下去，則第⑧個圖案中用的☆個數為（ ）

A．77 B．79 C．81 D．83
【答案】C
【分析】本題主要考查了圖形變化規律探究．根據前幾個圖形，發現☆的個數規律為，據此規律求解即可．
【詳解】解：由圖可知：第①個圖案用了☆的個數為，
第②個圖案用了☆的個數為，
第③個圖案用了☆的個數為，
第④個圖案用了☆的個數為，
……
第個圖案用了☆的個數為，
當時時，．
故選：C．
固定累加型
例4-5 .將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規律擺放：第1個圖形有6個小圓，第2個圖形有10個小圓，第3個圖形有16個小圓，第4個圖形有24個小圓，……，依次規律，第6個圖形有（ ）個小圓．
A．40 B．42 C．45 D．46
【答案】D
【分析】本題是一道找規律的題目，這類題型在中考中經常出現．對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的．分析數據可得：第1個圖形中小圓的個數為6；第2個圖形中小圓的個數為10；第3個圖形中小圓的個數為16；第4個圖形中小圓的個數為24；則知第個圖形中小圓的個數為，據此可得．
【詳解】解：由題意可知第1個圖形有小圓個；
第2個圖形有小圓個；
第3個圖形有小圓個；
第4個圖形有小圓個；
第6個圖形有小圓個，
故選：D
例4-6.云南少數民族服飾以其精美的花紋和艷麗的色彩越來越受到追求獨立與個性的設計師的喜愛．某民族服飾的花邊均是由若干個平移形成的有規律的圖案，如圖，第①個圖案由個組成，第②個圖案由個中組成，第③個圖案由個中組成，…，按此規律排列下去，第個圖案中的個數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查圖形的變化規律，解答的關鍵是發現基礎圖形數量的變化規律．根據所給圖形總結規律即可．
【詳解】解：第個圖案由個基礎圖形組成，
第個圖案由個基礎圖形組成，即，
第個圖案由個基礎圖形組成，，
，
第個圖案中基礎圖形的個數為：，
故選：D．
漸變累加型
例4-7.．觀察下面一列數：1，，，，，……，按照這個規律，第10個數應該是 ，第n個數是 ．
【答案】
【分析】本題考查數字類規律探索，解題的關鍵是根據題目的變化規律得到相應的結果．
觀察可得滿足：奇數項為正，偶數項為負，第n個數的分母為，分子比分母小，由此得出規律即可求解．
【詳解】解：解：觀察可得，當時，第n個數為，
則第10個數為：，
故答案為：．
例4-8．觀察下列一組數：，，，，…，它們是按一定規律排列的，那么這一組數的第個數是 ，第個數是 ．
【答案】
【分析】本題考查數字的變化規律，根據題目中的數字，可以發現數字的分子和分母的變化特點，從而可以寫出第個數，解題的關鍵是明確題意，發現數字的變化特點，寫出相應的數字．
【詳解】解：，，，，…，
這組數為：，，，…，
這一組數的第個數是，第個數是，
故答案為：，．
易錯點點撥
易錯點1.確定單項式的系數和次數時出錯
單項式的系數包括前面的符號,且只與數字因數有關,而次數只與字母有關;確定系數時容易漏掉系數中的“_”號和“π”.確定次數時注意不要把“π”的次數也計算在內，不要把有些數字的次數計算在內。
例1.的系數與次數分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
錯解：A
正解：
【答案】B
【分析】本題考查了單項式的系數與次數的概念，掌握定義是解題的關鍵．單項式的次數是指單項式中所有字母的指數和．利用單項式系數和次數的概念求解即可．
【詳解】解：的系數與次數分別為，，
故選：B．
易錯點2.混淆多項式次數和單項式次數
不要與單項式的次數混淆,誤將所有字母的指數和作為多項式的次數
例2 多項式的項數和次數分別為　　
A．2，7 B．3，8 C．2，8 D．3，15
錯解：D
正解：
【分析】多項式中每個單項式叫做多項式的項，這些單項式中的最高次數，就是這個多項式的次數，根據這個定義即可判定．
【解答】解：是八次三項式，故項數是3，次數是8．
故選：．
【點評】此題考查了多項式的定義．解題的關鍵是掌握多項式的有關定義，多項式中每個單項式叫做多項式的項，這些單項式中的最高次數，就是這個多項式的次數．
易錯點3 多項式的項漏掉符號
多項式的項包括它前面的符號。不要與漏掉項的符號
例3 .對于多項式，下列說法正確的是　　
A．它是三次三項式 B．它的常數項是6
C．它的一次項系數是 D．它的二次項系數是2
錯解：B
正解
【分析】利用多項式相關定義進行解答即可．
【解答】解：、它是二次三項式，故原題說法錯誤；
、它的常數項是，故原題說法錯誤；
、它的一次項系數是，故原題說法正確；
、它的二次項系數是1，故原題說法錯誤；
故選：．
【點評】此題主要考查了多項式，關鍵是掌握幾個單項式的和叫做多項式，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數項．多項式中次數最高的項的次數叫做多項式的次數．
針對訓練
1.單項式
1.代數式 ，，，，， 中，單項式個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題考查了單項式的知識，根據單項式的概念求解“數或字母的積組成的式子叫做單項式，單獨的一個數或字母也是單項式”．
【詳解】代數式 ，，，，， 中，，是單項式，共2個，
故選：B．
2 .的系數與次數分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】本題考查了單項式的系數與次數的概念，掌握定義是解題的關鍵．單項式的次數是指單項式中所有字母的指數和．利用單項式系數和次數的概念求解即可．
【詳解】解：的系數與次數分別為，，
故選：B．
3 .填表：
單項式
系數
次數
【答案】,,,,,6,2,3,8,1
【分析】先找出每個單項式中所有字母的指數，然后分別求得每個單項式中所有字母的指數和即可得到每個單項式的次數，據此完成表格．
【詳解】
單項式
系數
次數 6 2 3 8 1
【點睛】本題主要考查的是單項式的概念，掌握單項式的系數和次數的定義是解題的關鍵．
已知表示的相反數，表示的立方，表示的系數，表示0.6的倒數．
（1）直接寫出各字母所表示的數；
（2）計算，，，中所有負數的乘積，并判斷結果是否為正整數．
【分析】（1）根據相反數、立方、單項式的系數、倒數的概念解答即可；
（2）根據有理數的乘法法則、正整數的概念解答．
【解答】解：（1），，，；
（2）由題意得：，4是正整數，
所有負數的乘積結果是正整數．
【點評】本題考查的是相反數、立方、單項式的系數、倒數，熟記它們的概念是解題的關鍵．
2.多項式
1.在代數式，下列結論正確的是( )
A．有個多項式，個單項式 B．有個多項式，個單項式
C．有個多項式，個單項式 D．有個多項式，個單項式
【答案】A
【分析】根據多項式和單項式概念，逐個分析判斷即可．本題考查了多項式和單項式的概念，看清兩個分式是關鍵．
【詳解】解：在代數式中，
多項式有：，，共計個，
單項式有：，，，共計個，
故選：A．
2.下列說法正確的個數是（ ）
①分別是多項式的項
②關于x的多項式是三次四項式
③若與是同類項，則
④三次多項式中至少有一項為三次單項式
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】根據多項式的項與次數的定義、同類項的定義、一元一次方程的應用逐個判斷即可得．
【詳解】解：①分別是多項式的項，則原說法錯誤；
②當時，關于的多項式是三次三項式，則原說法錯誤；
③若與是同類項，則，即，則原說法正確；
④三次多項式中至少有一項為三次單項式，則原說法正確；
綜上，說法正確的個數是2個，
故選：B．
【點睛】本題考查多項式的次數與項、同類項、一元一次方程的應用，熟記多項式的相關知識是解題關鍵．
3..如果多項式是關于x的二次二項式，那么a,b的值可能是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了多項式的定義，多項式的項的定義及次數的定義，由此多余的項的系數應為0，據此解答．
【詳解】∵多項式是關于x的二次二項式，
∴
得
故選C．
3 .整式
1.下列式子中，整式有 (填寫序號)
① ②0 ③ ④ ⑤ ⑥
【答案】①②③④⑤
【分析】此題主要考查了整式的定義，直接利用單項式和多項式統稱為整式，進而判斷得出答案．
【詳解】解：①是單項式，也是整式；
②0是單項式，也是整式；
③是多項式，也是整式；
④是單項式，也是整式；
⑤是多項式，也是整式；
⑥分母中有字母，不是整式；
故答案為：①②③④⑤．
2.多項式是關于的三次四項式，且二次項系數是，求 ．
【答案】
【分析】本題考查多項式的知識，解題的關鍵是掌握多項式的定義，根據題意，則，求出，，即可．
【詳解】∵是關于的三次四項式，二次項系數是，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
整式中的規律探究
觀察下列等式：，，，，，，，，．回答下面問題：的末位數字是 ．
【答案】4
【分析】本題考查了數字型規律的探究．2的個位數字為2；的個位數字為6；的個位數字為4；的個位數字為0；的個位數字為2；確定循環節為4，計算，確定末位數字即可．
【詳解】解：2的個位數字為2；
的個位數字為6；
的個位數字為4；
的個位數字為0；
的個位數字為2；
所以循環節為4，
因為，
所以的末位數字是4．
故答案為：4．
2.如圖，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，擺第一個圖形需要3個黑色棋子，擺第二個圖形需要8個黑色棋子，．．．，按照這樣的規律擺下去，擺第6個圖形需要黑色棋子的個數是 ．
【答案】48
【分析】本題考查圖形類規律探索，根據已知圖形找出數字變化規律，利用規律求解．
【詳解】解：由圖可知，第1個圖形需要3個黑色棋子，；
第2個圖形需要8個黑色棋子，；
第3個圖形需要15個黑色棋子，；
第4個圖形需要24個黑色棋子，；
……
以此類推，第n個圖形需要黑色棋子個數為，
因此擺第6個圖形需要黑色棋子的個數是，
故答案為：48．
3．用黑、白兩種顏色的正六邊形地磚按圖所示規律鋪地面，則第5個圖形有 塊白色地磚，第個圖形有 塊白色地磚．
【答案】 22
【分析】本題考查了規律型圖形的變化類，解決本題的關鍵是根據圖形的變化尋找規律，總結規律，運用規律．
根據圖示，第1個圖形有白色地磚6塊；第2個圖形有白色地磚（塊；第3個圖形有白色地磚（塊；．．；第5個圖形白色地磚的塊數：（塊；；第個圖形白色地磚的塊數：塊．據此解答．
【詳解】解：第1個圖形有白色地磚6塊，
第2個圖形有白色地磚（塊，
第3個圖形有白色地磚（塊，
第5個圖形白色地磚的塊數：（塊，
第個圖形白色地磚的塊數：塊，
答：第5個圖形有22塊白色地磚，第個圖形有塊白色地磚．
故答案為：22；．
4.觀察以下等式：
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
第4個等式：．
…
按照以上規律，解決下列問題：
(1)請直接寫出第5個等式．
(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的等式表示），并證明．
【答案】(1)
(2)，見解析
【分析】本題考查的是數字的變化規律和列代數式，從題目中找出數字間的變化規律是解題的關鍵．
（1）根據上述等式，即可得出第5個等式：．
（2）第個等式：，證明等式左邊等式右邊即可．
【詳解】（1）解：根據上述等式，可知第5個等式：．
（2）解：第個等式：，
證明：等式左邊，
∴等式左邊等式右邊，
∴等式成立．
能力提升
提升1 單項式
1．已知是關于x、y的五次單項式，則m的值為（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【分析】本題考查單項式的次數的概念，絕對值的概念，掌握以上知識點是解題的關鍵，注意單項式的系數不是0．
一個單項式中所有字母的指數的和叫做單項式的次數，絕對值等于一個正數的數有兩個，它們互為相反數，單項式的系數不是0，由此即可得到答案．
【詳解】解：是關于、的五次單項式，
，
，
或，
，
，
故選：B．
2．閱讀下面方框內的材料，解答相應的問題：
對稱式：一個含有多個字母的式子中，任意交換兩個字母的位置，當字母的取值均不相等，且都不為時，式子的值都不變，這樣的式子叫做對稱式例如：式子中任意兩個字母交換位置，可得到式子，，，因為，所以是對稱式而式子中字母，交換位置，得到式子，因為，所以不是對稱式．
問題：
(1)給出下列式子：，，，，其中是對稱式的是______填序號即可；
(2)寫出一個系數為，只含有字母，且次數為的單項式，使該單項式是對稱式；
寫出一個只含有字母，的三次三項式，使該多項式是對稱式；
(3)已知，，求，并直接判斷所得結果是否是對稱式．
【答案】(1)
(2)，
(3)不是對稱式
【分析】本題考查了整式的加減，理解對稱式的概念是解題的關鍵．
（1）根據對稱式定義逐項判斷即可；
（2）①根據對稱式定義和題目上的條件，寫出對稱式即可；根據對稱式定義和題目上的條件，寫出對稱式即可；
（3）將整式化簡后，按照對稱式定義進行驗證即可．
【詳解】（1）解：根據對稱式的定義：，故是對稱式；，故不是對稱式；，故是對稱式．
故答案為：；
（2）解：①根據題意可寫出對稱式為：；
根據對稱式定義和題目上的條件，寫出對稱式為：，
（3）解：
；
根據對稱式的定義，可知不是對稱式．
3．已知a是最大的負整數，b是多項式的次數，c是單項式的系數，且a，b，c分別是點A，B，C在數軸上對應的數．
(1)求a，b，c的值，并在數軸上標出點A，B，C；

(2)若動點P、Q同時分別從點A、B出發沿數軸負方向運動，點P的速度是每秒個單位長度，點Q的速度是每秒2個單位長度，求運動幾秒后，點Q可以追上點P？
(3)在數軸上找一點M，使點M到A，B，C三點的距離之和等于10，請直接寫出所有點M對應的數．（不必說明理由）
【答案】(1)，，，圖見解析
(2)運動4秒后，點Q可以追上點P．
(3)M對應的數是或
【分析】（1）先根據負整數的定義、多項式和單項式的相關概念求出的值，再根據數軸的定義在數軸上標出點即可；
（2）設運動秒后，點Q可以追上點P，先根據數軸上兩點間的距離求出AB的長，再根據“路程速度時間”建立等式求解即可；
（3）設點M對應的數為k，分四種情況：點M在點C左側；點M在點C與點A中間；點M在點A與點B中間；點M在點B右側；分別根據數軸上兩點間的距離公式列出等式求解即可．
【詳解】（1）解：是最大的負整數，
，
是多項式的次數，
，
是單項式的系數，
，
綜上，，，；
在數軸上標出點如下圖所示：
；
（2）解：設運動秒后，點Q可以追上點P，
由數軸的性質得，，
由題意得，，
解得，
故運動4秒后，點Q可以追上點P；
（3）設點M對應的數為k
由題意，分以下四種情況：
①點M在點C左側，即
則，即
解得，符合題設
②點M在點C與點A中間，即
則，即
解得，不符題設，舍去
③點M在點A與點B中間，即
則，即
解得，符合題設
④點M在點B右側，即
則，即
解得，不符題設，舍去
綜上，存在符合條件的點M，點M對應的數是或2．
【點睛】本題考查了數軸的定義、多項式和單項式的相關概念，較難的是題（3），依據題意，正確分四種情況討論是解題關鍵．
提升2多項式
1.若是五次單項式，是三次二項式，則= ．
【答案】
【分析】此題考查了單項式的次數和多項式的定義，根據單項式的次數和多項式的次數得到，即可得到答案．
【詳解】解：若是五次單項式，是三次二項式，
∴，
∴，
∴
故答案為：
2 .已知關于，的多項式是六次四項式，常數項是2．求，的值．
【分析】利用多項式與單項式的次數與系數的確定方法得出，是解題關鍵．
【解答】解：多項式是六次四項式，常數項是2，
，，
解得：．
【點評】本題主要考查了多項式與單項式的次數，利用多項式與單項式的次數與系數的確定方法得出，是解題關鍵．
3.若關于x的多項式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次項和一次項，求m、n的值．
解析：多項式不含二次項和一次項，則二次項和一次項系數為0.
解：∵關于x的多項式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次項和一次項，
∴m＝0，n－1＝0，則m＝0，n＝1.
方法總結：多項式不含哪一項，則哪一項的系數為0.
提升3整式
1.已知多項式是關于x、y的四次四項式，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查代數式求值，根據題意，得到，進而得到，然后利用整體代入法，求值即可，解題的關鍵是得到．
【詳解】解：∵多項式是關于x、y的四次四項式，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
2..若是一個五次二項式，則 .
【答案】0
【分析】本題考查多項式的次數和項數，由題意知中只含2個單項式，可得，進而可得m的值．掌握多項式的次數和項數的定義是解題的關鍵．
【詳解】解： 是一個五次二項式，
中只含2個單項式，
，
時，，不合題意，
．
提升4整式中的規律探究
生物學中，描述、解釋和預測種群數量的變化，常常需要建立數學模型．在營養和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型來表示．即：，，，，，，請你推算的個位數字是 ．
【答案】6
【分析】本題考查了數字類變化規律，由題意得個位數字每四個數按，，，循環出現，結合，即可得出答案．
【詳解】解：由題意得，個位數字每四個數按，，，循環出現，
∵，
∴的個位數字與相同，是，
故答案為：．
2.．觀察下列等式：
① ② ③……
那么第n（n為正整數）個等式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此題考查了數字的變化規律，通過觀察，分析、歸納并發現其中的規律，并應用發現的規律解決問題是應該具備的基本能力．分別觀察等式左邊第一個數，第二個數，右邊的后一個因數之間的關系，可歸納出規律；
【詳解】解：①，
②，
③……
……
第n（n為正整數）個等式為，
故選：D．
3．觀察下列式子：
；
；
；
；
(1)猜想： ； ；
(2)根據以上發現的規律計算：，并直接寫出計算結果的個位數字．
【答案】(1)，；
(2)，4
【分析】本題考查了找規律，以及含乘方的有理數混合運算，解題的關鍵在于根據示例找出運算規律．
（1）由題易得運算規律為 ，再分別表示和即可；
（2）先將表示為題干規律形式，在尋找的個位數規律即可解題．
【詳解】（1）解：由題可知：運算規律為 ，
，
，
故答案為：，；
（2）解：根據題規律可得：，
，，，，，，，，
的個位數變化規律為2、4、8、6，4個數字為一個循環，
，
的個位數字為6，
的個位數字為4．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀教育網(www.21cnjy.com)
" 21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑