資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題27 解三角形的應用（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 2
【考點突破】 4
【考點1】解三角形應用舉例 4
【考點2】求解平面幾何問題 6
【考點3】三角函數與解三角形的交匯問題 8
【分層檢測】 10
【基礎篇】 10
【能力篇】 12
【培優篇】 13
考試要求：
能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題.
1.仰角和俯角
在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方叫仰角，目標視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).
2.方位角
從正北方向起按順時針轉到目標方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點的方位角為α(如圖2).
3.方向角
正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.
1.不要搞錯各種角的含義，不要把這些角和三角形內角之間的關系弄混.
2.解決與平面幾何有關的計算問題關鍵是找清各量之間的關系，從而應用正、余弦定理求解.
一、單選題
1．（2021·全國·高考真題）魏晉時劉徽撰寫的《海島算經》是有關測量的數學著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（ ）
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
二、填空題
2．（2024·上海·高考真題）已知點B在點C正北方向，點D在點C的正東方向，,存在點A滿足，則 (精確到0.1度)
3．（2021·浙江·高考真題）在中，，M是的中點，，則 ， .
4．（2021·浙江·高考真題）我國古代數學家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則 .
三、解答題
5．（2021·全國·高考真題）記是內角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.
（1）證明：；
（2）若，求.
【考點1】解三角形應用舉例
一、單選題
1．（2024·陜西西安·模擬預測）在高的樓頂處，測得正西方向地面上兩點與樓底在同一水平面上）的俯角分別是和，則兩點之間的距離為（ ）．
A． B． C． D．
2．（2024高一下·全國·專題練習）鼎湖峰，矗立于浙江省縉云縣仙都風景名勝區，狀如春筍拔地而起，其峰頂鑲嵌著一汪小湖，傳說黃帝煉丹鼎墜積水成湖．白居易曾以詩賦之：“黃帝旌旗去不回，片云孤石獨崔嵬．有時風激鼎湖浪，散作晴天雨點來”．某校開展數學建模活動，有建模課題組的學生選擇測量鼎湖峰的高度，為此，他們設計了測量方案．如圖，在山腳A測得山頂P的仰角為，沿傾斜角為的斜坡向上走了90米到達B點（A，B，P，Q在同一個平面內），在B處測得山頂P的仰角為，則鼎湖峰的山高PQ為（ ）米
A． B． C． D．
二、多選題
3．（23-24高三下·重慶·階段練習）如圖，在海面上有兩個觀測點在的正北方向，距離為，在某天10：00觀察到某航船在處，此時測得分鐘后該船行駛至處，此時測得，則（ ）

A．觀測點位于處的北偏東方向
B．當天10：00時，該船到觀測點的距離為
C．當船行駛至處時，該船到觀測點的距離為
D．該船在由行駛至的這內行駛了
4．（2021·江蘇徐州·二模）如圖，某校測繪興趣小組為測量河對岸直塔(A為塔頂，B為塔底)的高度，選取與B在同一水平面內的兩點C與D(B，C，D不在同一直線上)，測得.測繪興趣小組利用測角儀可測得的角有：，則根據下列各組中的測量數據可計算出塔的高度的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·上海·高考真題）已知點B在點C正北方向，點D在點C的正東方向，,存在點A滿足，則 (精確到0.1度)
6．（2022·河北衡水·模擬預測）瀑布是廬山的一大奇觀，唐代詩人李白曾在《望廬山瀑布中》寫道：日照香爐生紫煙，遙看瀑布掛前川，飛流直下三千尺，疑是銀河落九天.為了測量某個瀑布的實際高度，某同學設計了如下測量方案：沿一段水平山道步行至與瀑布底端在同一水平面時，在此位置測得瀑布頂端的仰角正切值為，沿山道繼續走20，測得瀑布頂端的仰角為.已知該同學沿山道行進的方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成角為.根據這位同學的測量數據，可知該瀑布的高度為 ；若第二次測量后，繼續行進的山道有坡度，坡角大小為，且兩段山道位于同一平面內，若繼續沿山道行進，則該同學望向瀑布頂端與底端的視角正切值為 .（此人身高忽略不計）
反思提升：
1.在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內，視線與水平線的夾角.
2.準確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖.
3.運用正、余弦定理，有序地解相關的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運用.
4.測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結果轉化為實際問題的解.
5.方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角.
【考點2】求解平面幾何問題
一、單選題
1．（2024·青海西寧·模擬預測）在平行四邊形中，，，，沿將折起，則三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·黑龍江大慶·模擬預測）下列命題中，不正確的是（ ）
A．線性回歸直線必過樣本點的中心
B．若平面平面，平面平面，則平面平面
C．若“，則”的逆命題為假命題
D．若為銳角三角形，則.
二、多選題
3．（23-24高三下·河北滄州·階段練習）在中，內角所對的邊分別為，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則是等腰三角形
B．若，則的面積為
C．若，則周長的最大值為
D．若角滿足，則
4．（2023·江西·模擬預測）黃金分割是指將整體一分為二，較小部分與較大部分的比值等于較大部分與整體部分的比值，其比值為，這個比例被公認為是最能引起美感的比例．四名同學對此展開了探究，下列說法中正確的是（ ）
A．若橢圓的焦點在軸上，上頂點為，右頂點為，左焦點為．小歐提出只要滿足，橢圓的離心率就等于
B．一頂角等于的等腰三角形，小斯通過正、余弦定理和二倍角公式，算得該三角形底邊長與腰長的比值等于
C．假設，小萊發現若公比大于0的等比數列與著名的斐波那契數列的遞推公式相同，則數列的公比等于
D．小利在閱讀時了解到：古老的雅典帕提農神廟，其柱頂至屋頂的距離與柱高滿足，則
三、填空題
5．（2024·陜西安康·模擬預測）如圖，平面四邊形中，，則四邊形面積的最大值為 .
6．（2024·河南·三模）如圖，在中，角所對的邊分別為，已知，的平分線交邊于點邊上的高為邊上的高為，，則 ； .

反思提升：
平面幾何中解三角形問題的求解思路
(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內利用正弦、余弦定理求解；
(2)尋找各個三角形之間的聯系，交叉使用公共條件，求出結果.
【考點3】三角函數與解三角形的交匯問題
一、解答題
1．（2024·北京·三模）已知函數的最小正周期為.
(1)求的值；
(2)在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.c為在上的最大值，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求的取值范圍.條件①：；條件②：；條件③：的面積為S，且.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個條件計分.
2．（2024·全國·模擬預測）如圖，已知平面四邊形中，．
(1)若四點共圓，求；
(2)求四邊形面積的最大值．
3．（2024·福建漳州·模擬預測）如圖，在四邊形中，，，且的外接圓半徑為4.
(1)若，，求的面積；
(2)若，求的最大值.
4．（2023·全國·模擬預測）已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
(1)若，求c的值以及的面積；
(2)若，求的值以及的取值范圍．
5．（2023·云南保山·二模）如圖，在平面四邊形中，，，.

(1)當四邊形內接于圓O時，求角C；
(2)當四邊形面積最大時，求對角線的長.
6．（2023·全國·模擬預測）十字測天儀廣泛應用于歐洲中世紀晩期的航海領域，主要用于測量太陽等星體的方位，便于船員確定位置．如圖1所示，十字測天儀由桿和橫檔構成，并且是的中點，橫檔與桿垂直并且可在桿上滑動．十字測天儀的使用方法如下：如圖2，手持十字測天儀，使得眼睛可以從點觀察．滑動橫檔使得，在同一水平面上，并且眼睛恰好能觀察到太陽，此時視線恰好經過點，的影子恰好是．然后，通過測量的長度，可計算出視線和水平面的夾角（稱為太陽高度角），最后通過查閱地圖來確定船員所在的位置．

(1)在某次測量中，，橫檔的長度為20，求太陽高度角的正弦值．
(2)在桿上有兩點，滿足．當橫檔的中點位于時，記太陽高度角為，其中，都是銳角．證明：．
反思提升：
解三角形與三角函數的綜合應用主要體現在以下兩方面：(1)利用三角恒等變換化簡三角函數式進行解三角形；(2)解三角形與三角函數圖象和性質的綜合應用.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·河南新鄉·二模）在中，內角，，的對邊分別為，，，且，，，則（ ）
A．為銳角三角形 B．為直角三角形
C．為鈍角三角形 D．的形狀無法確定
2．（2024·湖南·模擬預測）湖南省衡陽市的來雁塔，始建于明萬歷十九年（1591年），因鴻雁南北遷徙時常在境內停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點文物保護單位.為測量來雁塔的高度，因地理條件的限制，分別選擇C點和一建筑物DE的樓頂E為測量觀測點，已知點A為塔底，在水平地面上，來雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如圖所示）.測得，在C點處測得E點的仰角為30°，在E點處測得B點的仰角為60°，則來雁塔AB的高度約為（ ）（，精確到）
A． B． C． D．
3．（2023·陜西寶雞·二模）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·貴州·模擬預測）如圖，甲秀樓位于貴州省貴陽市南明區甲秀路，是該市的標志性建筑之一.甲秀樓始建于明朝，后樓毀重建，改名“鳳來閣”，清代甲秀樓多次重修，并恢復原名、現存建筑是宣統元年（1909年）重建.甲秀樓上下三層，白石為欄，層層收進.某研究小組將測量甲秀樓最高點離地面的高度，選取了與該樓底在同一水平面內的兩個測量基點與，現測得，，，在點測得甲秀樓頂端的仰角為，則甲秀樓的高度約為（參考數據：，）（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2024·甘肅蘭州·一模）某學校開展測量旗桿高度的數學建模活動，學生需通過建立模型、實地測量，迭代優化完成此次活動．在以下不同小組設計的初步方案中，可計算出旗桿高度的方案有
A．在水平地面上任意尋找兩點，，分別測量旗桿頂端的仰角，，再測量，兩點間距離
B．在旗桿對面找到某建筑物（低于旗桿），測得建筑物的高度為，在該建筑物底部和頂部分別測得旗桿頂端的仰角和
C．在地面上任意尋找一點，測量旗桿頂端的仰角，再測量到旗桿底部的距離
D．在旗桿的正前方處測得旗桿頂端的仰角，正對旗桿前行5m到達處，再次測量旗桿頂端的仰角
6．（2023·重慶·三模）如圖，為了測量障礙物兩側A，B之間的距離，一定能根據以下數據確定AB長度的是（ ）
A．a，b， B．，，
C．a，， D．，，b
7．（20-21高三上·河北張家口·階段練習）在中，角、、的對邊分別是、、．下面四個結論正確的是（ ）
A．，，則的外接圓半徑是4
B．若，則
C．若，則一定是鈍角三角形
D．若，則
三、填空題
8．（2024·廣東茂名·二模）在中，，點在線段上，且，則 .
9．（21-22高二上·河南·期末）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設△ABC的面積為S，其中，，則S的最大值為 ．
10．（2023·福建寧德·二模）在中，，，則的最大值為 ．
四、解答題
11．（2022·全國·模擬預測）在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若b=2，且．
(1)求角B的大小；
(2)若是銳角三角形，求面積的取值范圍．
12．（2023·吉林通化·模擬預測）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，求面積的最大值.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·全國·二模）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，且，則△ABC周長的最大值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2023·黑龍江哈爾濱·二模）在中，內角，，的對邊分別為，，，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，，則邊上的中線長為
B．若，，，則有兩個解
C．若不是直角三角形，則一定有
D．若是銳角三角形，則一定有
三、填空題
3．（2024·寧夏石嘴山·模擬預測）海寶塔位于銀川市興慶區，始建于北朝晚期，是一座方形樓閣式磚塔，內有木梯可盤旋登至頂層，極目遠眺，巍巍賀蘭山，綿綿黃河水，塞上江南景色盡收眼底.如圖所示，為了測量海寶塔的高度，某同學（身高173cm）在點處測得塔頂的仰角為，然后沿點向塔的正前方走了38m到達點處，此時測得塔頂的仰角為，據此可估計海寶塔的高度約為 m.（計算結果精確到0.1）

四、解答題
4．（2023·江蘇鎮江·三模）在凸四邊形中，.
(1)若.求的長；
(2)若四邊形有外接圓，求的最大值.
【培優篇】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知是銳角三角形，內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·河北邯鄲·三模）已知的三個內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，面積為，則下列說法正確的是（ ）
A．的取值范圍是
B．若為邊的中點，且，則的面積的最大值為
C．若是銳角三角形，則的取值范圍是
D．若角的平分線與邊相交于點，且，則的最小值為10
三、解答題
3．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知，，
（1）求的最小正周期及單調遞減區間；
（2）已知銳角的內角的對邊分別為，且，，求邊上的高的最大值．
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專題27 解三角形的應用（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 2
【考點突破】 10
【考點1】解三角形應用舉例 10
【考點2】求解平面幾何問題 16
【考點3】三角函數與解三角形的交匯問題 22
【分層檢測】 31
【基礎篇】 31
【能力篇】 39
【培優篇】 43
考試要求：
能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題.
1.仰角和俯角
在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方叫仰角，目標視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).
2.方位角
從正北方向起按順時針轉到目標方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點的方位角為α(如圖2).
3.方向角
正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.
1.不要搞錯各種角的含義，不要把這些角和三角形內角之間的關系弄混.
2.解決與平面幾何有關的計算問題關鍵是找清各量之間的關系，從而應用正、余弦定理求解.
一、單選題
1．（2021·全國·高考真題）魏晉時劉徽撰寫的《海島算經》是有關測量的數學著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（ ）
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
二、填空題
2．（2024·上海·高考真題）已知點B在點C正北方向，點D在點C的正東方向，,存在點A滿足，則 (精確到0.1度)
3．（2021·浙江·高考真題）在中，，M是的中點，，則 ， .
4．（2021·浙江·高考真題）我國古代數學家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則 .
三、解答題
5．（2021·全國·高考真題）記是內角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.
（1）證明：；
（2）若，求.
參考答案：
1．A
【分析】利用平面相似的有關知識以及合分比性質即可解出．
【詳解】如圖所示：
由平面相似可知，，而 ，所以
，而 ，
即＝ ．
故選：A.
【點睛】本題解題關鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標進行轉化即可解出．
2．
【分析】設，在和中分別利用正弦定理得到，，兩式相除即可得到答案.
【詳解】設，
在中，由正弦定理得，
即’
即①
在中，由正弦定理得，
即，即，②
因為，得，
利用計算器即可得，
故答案為：.
3．
【分析】由題意結合余弦定理可得，進而可得，再由余弦定理可得.
【詳解】由題意作出圖形，如圖，
在中，由余弦定理得，
即，解得（負值舍去），
所以，
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由余弦定理得.
故答案為：；.
4．25
【分析】分別求得大正方形的面積和小正方形的面積，然后計算其比值即可.
【詳解】由題意可得，大正方形的邊長為：，
則其面積為：，
小正方形的面積：，
從而.
故答案為：25.
5．（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）根據正弦定理的邊角關系有，結合已知即可證結論.
（2）方法一：兩次應用余弦定理，求得邊與的關系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【詳解】（1）設的外接圓半徑為R，由正弦定理，
得，
因為，所以，即．
又因為，所以．
（2）[方法一]【最優解】：兩次應用余弦定理
因為，如圖，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因為，所以，解得或，
當時，（舍去）．
當時，．
所以．
[方法二]：等面積法和三角形相似
如圖，已知，則，
即，
而，即，
故有，從而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
則．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相結合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化簡得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：構造輔助線利用相似的性質
如圖，作，交于點E，則．
由，得．
在中，．
在中．
因為，
所以，
整理得．
又因為，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因為，所以．
以向量為基底，有．
所以，
即，
又因為，所以．③
由余弦定理得，
所以④
聯立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D為坐標原點，所在直線為x軸，過點D垂直于的直線為y軸，
長為單位長度建立直角坐標系，
如圖所示，則．
由（1）知，，所以點B在以D為圓心，3為半徑的圓上運動．
設，則．⑤
由知，，
即．⑥
聯立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
【整體點評】(2)方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質和正余弦定理的性質解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數學問題利用等面積法使得問題轉化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；
方法四：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系的不錯選擇；
方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起；
方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數形結合充分挖掘幾何性質使得問題更加直觀化.
【考點1】解三角形應用舉例
一、單選題
1．（2024·陜西西安·模擬預測）在高的樓頂處，測得正西方向地面上兩點與樓底在同一水平面上）的俯角分別是和，則兩點之間的距離為（ ）．
A． B． C． D．
2．（2024高一下·全國·專題練習）鼎湖峰，矗立于浙江省縉云縣仙都風景名勝區，狀如春筍拔地而起，其峰頂鑲嵌著一汪小湖，傳說黃帝煉丹鼎墜積水成湖．白居易曾以詩賦之：“黃帝旌旗去不回，片云孤石獨崔嵬．有時風激鼎湖浪，散作晴天雨點來”．某校開展數學建模活動，有建模課題組的學生選擇測量鼎湖峰的高度，為此，他們設計了測量方案．如圖，在山腳A測得山頂P的仰角為，沿傾斜角為的斜坡向上走了90米到達B點（A，B，P，Q在同一個平面內），在B處測得山頂P的仰角為，則鼎湖峰的山高PQ為（ ）米
A． B． C． D．
二、多選題
3．（23-24高三下·重慶·階段練習）如圖，在海面上有兩個觀測點在的正北方向，距離為，在某天10：00觀察到某航船在處，此時測得分鐘后該船行駛至處，此時測得，則（ ）

A．觀測點位于處的北偏東方向
B．當天10：00時，該船到觀測點的距離為
C．當船行駛至處時，該船到觀測點的距離為
D．該船在由行駛至的這內行駛了
4．（2021·江蘇徐州·二模）如圖，某校測繪興趣小組為測量河對岸直塔(A為塔頂，B為塔底)的高度，選取與B在同一水平面內的兩點C與D(B，C，D不在同一直線上)，測得.測繪興趣小組利用測角儀可測得的角有：，則根據下列各組中的測量數據可計算出塔的高度的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·上海·高考真題）已知點B在點C正北方向，點D在點C的正東方向，,存在點A滿足，則 (精確到0.1度)
6．（2022·河北衡水·模擬預測）瀑布是廬山的一大奇觀，唐代詩人李白曾在《望廬山瀑布中》寫道：日照香爐生紫煙，遙看瀑布掛前川，飛流直下三千尺，疑是銀河落九天.為了測量某個瀑布的實際高度，某同學設計了如下測量方案：沿一段水平山道步行至與瀑布底端在同一水平面時，在此位置測得瀑布頂端的仰角正切值為，沿山道繼續走20，測得瀑布頂端的仰角為.已知該同學沿山道行進的方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成角為.根據這位同學的測量數據，可知該瀑布的高度為 ；若第二次測量后，繼續行進的山道有坡度，坡角大小為，且兩段山道位于同一平面內，若繼續沿山道行進，則該同學望向瀑布頂端與底端的視角正切值為 .（此人身高忽略不計）
參考答案：
1．D
【分析】根據圖形，利用直角三角形求解即可.
【詳解】由題意，
而，
所以.
故選：D
2．B
【分析】先利用正弦定理得出的長，再利用直角三角形可求答案.
【詳解】在中，則，
因為，
且，
則，
在中，則．
故選：B．
3．ACD
【分析】利用方位角的概念判斷A，利用正弦定理、余弦定理求解后判斷BCD．
【詳解】A選項中，,，
因為在D的正北方向，所以位于的北偏東方向，故A正確.
B選項中，在中，，，則,又因為，
所以km,故B錯誤.
C選項中，在中，由余弦定理，得
，即km，故C正確.
D選項中，在中，，，則.
由正弦定理，得AC=km，故D正確.
故選：ACD．
4．ACD
【分析】根據解三角形的原理：解一個三角形，需要知道三個條件，且至少一個為邊長. 分析每一個選項的條件看是否能求出塔的高度.
【詳解】解一個三角形，需要知道三個條件，且至少一個為邊長.
A. 在中，已知，可以解這個三角形得到，再利用、解直角得到的值；
B. 在中，已知無法解出此三角形，在中，已知無法解出此三角形，也無法通過其它三角形求出它的其它幾何元素，所以它不能計算出塔的高度；
C. 在中，已知，可以解得到,再利用、解直角得到的值；
D.
如圖，過點作,連接.
由于,
所以，所以可以求出的大小，
在中，已知可以求出再利用、解直角得到的值.
故選：ACD
【點睛】方法點睛：解一個三角形，需要知道三個條件，且至少一個為邊長. 判斷一個三角形能不能解出來常利用該原理.
5．
【分析】設，在和中分別利用正弦定理得到，，兩式相除即可得到答案.
【詳解】設，
在中，由正弦定理得，
即’
即①
在中，由正弦定理得，
即，即，②
因為，得，
利用計算器即可得，
故答案為：.
6． 60 3
【分析】根據題意畫出圖形，設高度為，則可表示出，在中利用余弦
定理即可求出的值；由已知數據易知，則，則可得到
，再由兩角和的正切公式計算出結果.
【詳解】如圖，設瀑布頂端為，底端為，高為，
該同學第一次測量的位置為，第二次測量的位置為，
則，,
所以，
在中由余弦定理可知：
即，
解得：;
如圖，兩段山道為,過作于點，
由題意知：，，
所以，
在中，即，
所以，
所以，
所以，
又，
所以，
，
所以.
故答案為：60；3.
反思提升：
1.在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內，視線與水平線的夾角.
2.準確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖.
3.運用正、余弦定理，有序地解相關的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運用.
4.測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結果轉化為實際問題的解.
5.方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角.
【考點2】求解平面幾何問題
一、單選題
1．（2024·青海西寧·模擬預測）在平行四邊形中，，，，沿將折起，則三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·黑龍江大慶·模擬預測）下列命題中，不正確的是（ ）
A．線性回歸直線必過樣本點的中心
B．若平面平面，平面平面，則平面平面
C．若“，則”的逆命題為假命題
D．若為銳角三角形，則.
二、多選題
3．（23-24高三下·河北滄州·階段練習）在中，內角所對的邊分別為，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則是等腰三角形
B．若，則的面積為
C．若，則周長的最大值為
D．若角滿足，則
4．（2023·江西·模擬預測）黃金分割是指將整體一分為二，較小部分與較大部分的比值等于較大部分與整體部分的比值，其比值為，這個比例被公認為是最能引起美感的比例．四名同學對此展開了探究，下列說法中正確的是（ ）
A．若橢圓的焦點在軸上，上頂點為，右頂點為，左焦點為．小歐提出只要滿足，橢圓的離心率就等于
B．一頂角等于的等腰三角形，小斯通過正、余弦定理和二倍角公式，算得該三角形底邊長與腰長的比值等于
C．假設，小萊發現若公比大于0的等比數列與著名的斐波那契數列的遞推公式相同，則數列的公比等于
D．小利在閱讀時了解到：古老的雅典帕提農神廟，其柱頂至屋頂的距離與柱高滿足，則
三、填空題
5．（2024·陜西安康·模擬預測）如圖，平面四邊形中，，則四邊形面積的最大值為 .
6．（2024·河南·三模）如圖，在中，角所對的邊分別為，已知，的平分線交邊于點邊上的高為邊上的高為，，則 ； .

參考答案：
1．C
【分析】根據題意確定中，故平面平面時，三棱錐的體積最大，補形為正方體后，外接球的半徑為正方體的體對角線的一半為，進而可得.
【詳解】在中，，則，
所以，則
由題可知，當平面平面時，三棱錐的體積最大.
如圖，可將三棱錐補全為正方體，則三棱錐外接球的半徑為，
故其外接球的表面積為.
故選：C
2．B
【分析】根據回歸方程的特征可判定A正確；根據線面位置關系的判定與性質，可判斷B不正確；根據不等式的性質，可判斷C正確；根據三角形的性質和正弦函數的單調性，可判定D正確.
【詳解】對于A中，由回歸直線的概念知線性回歸直線必過樣本點的中心，所以A正確；
對于B中，若平面平面，平面平面，則平面平面或平面與平面相交，所以B不正確；
對于C中，命題“，則”逆命題為“，則”
因為，其中的符號不確定，所以為假命題，所以C正確；
對于D中，若為銳角三角形，可得，即，
又由在區間上為增函數，所以，所以D正確.
故選：B.
3．BCD
【分析】對A：由正弦定理及倍角公式判斷；對B：用余弦定理及面積公式求解；對C：用余弦定理及基本不等式求解；對D：構造利用其單調性判斷.
【詳解】對A：，由正弦定理，
，即，
或，
即或
是等腰三角形或直角三角形，故A錯誤；
對B. ，
，
，所以B正確；
對C：，
又，
，
又，
周長的最大值為故C正確；
對D： 令，則，
所以在上為增函數，
即，
所以，所以，即，故D正確.
故選：BCD
4．ABD
【分析】選項A，將條件中數量積用坐標表示，整理方程可得；選項B，分別用正余弦定理得到邊長與腰長的方程，聯立方程組可得；選項C，由等比數列性質，在兩邊同除以可得公比的方程；選項D，結合對數性質，借助連等式設法，找到的等量關系即可.
【詳解】對選項A，設橢圓的方程為，
則，，，
由，得，
即，即，可得，故A正確；
對選項，設該三角形底邊長為，腰長為，
由正弦定理得，即①；
又由余弦定理得②，
①②兩式聯立得，即，
由于，，故，故B正確；
對選項C，設數列的公比為，，則，
由題意得，，兩邊同除以整理得，
，解得，故C錯誤；
對選項D，設，
則，，，由，
得，即，
則，且，解得，故D正確．
故選：ABD．
5．10
【分析】設，利用余弦定理求出，進而可求出，再根據換元，結合三角函數的性質即可得解.
【詳解】設，
則，
而，
則，
所以，
令，則，
則
，其中，
當且僅當時取等號，
此時，即，
所以四邊形面積的最大值為10.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理實現“邊化角”；
（2）利用余弦定理實現“角化邊”.
求三角形有關代數式的取值范圍也是一種常見的類型，主要方法有兩類：
（1）找到邊與邊之間的關系，利用基本不等式來求解；
（2）利用正弦定理，轉化為關于某個角的三角函數，利用函數思想求解.
6．
【分析】根據題意結合角度關系分析可知：，，即可得結果；根據題意利用正項定理可得，，根據圖形分別求，即可得結果.
【詳解】在中，可知，
因為，且為的平分線，可知，
則，
在中，可得，
在中，可得，
所以；
因為，
，
在中，由正弦定理可得，
則，解得，
由正弦定理可得，
且為的平分線，則，可得，
在中，由正弦定理可得，
在中，可知，則，
在中，可知，
在中，可知，
所以.
故答案為：；.
反思提升：
平面幾何中解三角形問題的求解思路
(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內利用正弦、余弦定理求解；
(2)尋找各個三角形之間的聯系，交叉使用公共條件，求出結果.
【考點3】三角函數與解三角形的交匯問題
一、解答題
1．（2024·北京·三模）已知函數的最小正周期為.
(1)求的值；
(2)在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.c為在上的最大值，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求的取值范圍.條件①：；條件②：；條件③：的面積為S，且.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個條件計分.
2．（2024·全國·模擬預測）如圖，已知平面四邊形中，．
(1)若四點共圓，求；
(2)求四邊形面積的最大值．
3．（2024·福建漳州·模擬預測）如圖，在四邊形中，，，且的外接圓半徑為4.
(1)若，，求的面積；
(2)若，求的最大值.
4．（2023·全國·模擬預測）已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
(1)若，求c的值以及的面積；
(2)若，求的值以及的取值范圍．
5．（2023·云南保山·二模）如圖，在平面四邊形中，，，.

(1)當四邊形內接于圓O時，求角C；
(2)當四邊形面積最大時，求對角線的長.
6．（2023·全國·模擬預測）十字測天儀廣泛應用于歐洲中世紀晩期的航海領域，主要用于測量太陽等星體的方位，便于船員確定位置．如圖1所示，十字測天儀由桿和橫檔構成，并且是的中點，橫檔與桿垂直并且可在桿上滑動．十字測天儀的使用方法如下：如圖2，手持十字測天儀，使得眼睛可以從點觀察．滑動橫檔使得，在同一水平面上，并且眼睛恰好能觀察到太陽，此時視線恰好經過點，的影子恰好是．然后，通過測量的長度，可計算出視線和水平面的夾角（稱為太陽高度角），最后通過查閱地圖來確定船員所在的位置．

(1)在某次測量中，，橫檔的長度為20，求太陽高度角的正弦值．
(2)在桿上有兩點，滿足．當橫檔的中點位于時，記太陽高度角為，其中，都是銳角．證明：．
參考答案：
1．(1)1
(2)
【分析】利用三角恒等變換整理可得，結合最小正周期分析求解；
以為整體，結合正弦函數最值可得.若選條件①：利用正弦定理結合三角恒等變換可得，利用正弦定理邊化角，結合三角恒等變換可得，結合正弦函數分析求解；若選條件②：利用正弦定理結合三角恒等變換可得，利用正弦定理邊化角，結合三角恒等變換可得，結合正弦函數分析求解；若選條件③：利用面積公式、余弦定理可得，利用正弦定理邊化角，結合三角恒等變換可得，結合正弦函數分析求解.
【詳解】（1）由題意可知：，
因為函數的最小正周期為，且，所以.
（2）由（1）可知：，
因為，則，
可知當，即時，取到最大值3，即.
若條件①：因為，
由正弦定理可得，
又因為，
可得，且，則，
可得，所以，
由正弦定理可得，可得，
則
，
因為銳角三角形，則，解得，
可得，則，可得
所以的取值范圍為；
若條件②；因為，
由正弦定理可得：，
則，
因為，則，
可得，
即，且，所以，
由正弦定理可得，可得，
則
，
因為銳角三角形，則，解得，
可得，則，可得
所以的取值范圍為；
若選③：因為，則，
整理得，且，所以，
由正弦定理可得，可得，
則
，
因為銳角三角形，則，解得，
可得，則，可得
所以的取值范圍為.
2．(1)
(2)．
【分析】（1）由于四點共圓，所以， 因此，然后在兩個三角形中分別用這兩角余弦定理建立等式即可求解；
（2）利用三角形面積公式可得：，然后結合第一問的可得出含四邊形面積的表達式，再結合三角形內角的范圍及余弦函數的性質得到結果.
【詳解】（1）在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
由于四點共圓，所以， 因此，
上述兩式相加得：，
得．
（2）由（1）得：，
化簡得，①
四邊形的面積：，
整理得，②
①②兩邊分別平方然后相加得：
由于，，
因此當時，取得最小值，
此時四邊形的面積最大，由，得，
故四邊形面積的最大值為．
3．(1)4；
(2).
【分析】（1）在三角形中，根據正弦定理求得，再在三角形中，利用三角形面積公式即可求得結果；
（2）設，在三角形中分別用正弦定理表示，從而建立關于的三角函數，進而求三角函數的最大值，即可求得結果.
【詳解】（1）因為，的外接圓半徑為4，所以，解得.
在中，，則，解得.
又，所以；
在中，，，，
所以.
（2）設，.
又，所以.
因為，所以.
在中，，由正弦定理得，
即，解得
.
在中，，由正弦定理得，
即，解得，
所以.
又，所以，
當且僅當，即時，取得最大值1，
所以的最大值為.
4．(1)，
(2)，
【分析】（1）根據題意，化簡得到，再由余弦定理求得，結合三角形的面積公式，即可求解；
（2）由，求得，由正弦定理，求得，進而求得的取值范圍.
【詳解】（1）解：由，可得，
因為，所以，所以，可得，
由余弦定理得，
所以的面積．
（2）解：因為，所以，
解得，
在中，由正弦定理得，則，
因為，故，所以，
即的取值范圍為.
5．(1)
(2).
【分析】（1）根據，結合余弦定理求解即可；
（2）將四邊形的面積拆成兩個三角形的面積之和，由余弦定理和三角形面積公式結合三角函數的性質即可求解.
【詳解】（1）由余弦定理可得：
，
，
所以.
又四邊形內接于圓，
所以，
所以，
化簡可得，又，
所以.
（2）設四邊形的面積為S，
則，
又，
所以，即
平方后相加得，即，
又，
所以時，有最大值，即S有最大值.
此時，，代入得.
又，所以
在中，可得：
，即.
所以，對角線的長為.
6．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）方法一，根據三邊長度，利用余弦定理，求，再求正弦值；
方法二，先求，再根據二倍角公式求；
（2）首先由正切公式，求得，再根據不等關系，放縮為，再結合函數的單調性，即可比較角的大小.
【詳解】（1）方法一，
由題意，．由于是的中點，且，所以，
且．
由余弦定理，
．
從而，即太陽高度角的正弦值為．
方法二
由題意，．由于是的中點，且，所以，
且．
于是，并且，
從而
即太陽高度角的正弦值為．
（2）由題意，，．
由于，是銳角，則，，所以，
從而．
根據，可知
．
由于函數在單調遞增，且，，
所以，即．
反思提升：
解三角形與三角函數的綜合應用主要體現在以下兩方面：(1)利用三角恒等變換化簡三角函數式進行解三角形；(2)解三角形與三角函數圖象和性質的綜合應用.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·河南新鄉·二模）在中，內角，，的對邊分別為，，，且，，，則（ ）
A．為銳角三角形 B．為直角三角形
C．為鈍角三角形 D．的形狀無法確定
2．（2024·湖南·模擬預測）湖南省衡陽市的來雁塔，始建于明萬歷十九年（1591年），因鴻雁南北遷徙時常在境內停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點文物保護單位.為測量來雁塔的高度，因地理條件的限制，分別選擇C點和一建筑物DE的樓頂E為測量觀測點，已知點A為塔底，在水平地面上，來雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如圖所示）.測得，在C點處測得E點的仰角為30°，在E點處測得B點的仰角為60°，則來雁塔AB的高度約為（ ）（，精確到）
A． B． C． D．
3．（2023·陜西寶雞·二模）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·貴州·模擬預測）如圖，甲秀樓位于貴州省貴陽市南明區甲秀路，是該市的標志性建筑之一.甲秀樓始建于明朝，后樓毀重建，改名“鳳來閣”，清代甲秀樓多次重修，并恢復原名、現存建筑是宣統元年（1909年）重建.甲秀樓上下三層，白石為欄，層層收進.某研究小組將測量甲秀樓最高點離地面的高度，選取了與該樓底在同一水平面內的兩個測量基點與，現測得，，，在點測得甲秀樓頂端的仰角為，則甲秀樓的高度約為（參考數據：，）（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2024·甘肅蘭州·一模）某學校開展測量旗桿高度的數學建模活動，學生需通過建立模型、實地測量，迭代優化完成此次活動．在以下不同小組設計的初步方案中，可計算出旗桿高度的方案有
A．在水平地面上任意尋找兩點，，分別測量旗桿頂端的仰角，，再測量，兩點間距離
B．在旗桿對面找到某建筑物（低于旗桿），測得建筑物的高度為，在該建筑物底部和頂部分別測得旗桿頂端的仰角和
C．在地面上任意尋找一點，測量旗桿頂端的仰角，再測量到旗桿底部的距離
D．在旗桿的正前方處測得旗桿頂端的仰角，正對旗桿前行5m到達處，再次測量旗桿頂端的仰角
6．（2023·重慶·三模）如圖，為了測量障礙物兩側A，B之間的距離，一定能根據以下數據確定AB長度的是（ ）
A．a，b， B．，，
C．a，， D．，，b
7．（20-21高三上·河北張家口·階段練習）在中，角、、的對邊分別是、、．下面四個結論正確的是（ ）
A．，，則的外接圓半徑是4
B．若，則
C．若，則一定是鈍角三角形
D．若，則
三、填空題
8．（2024·廣東茂名·二模）在中，，點在線段上，且，則 .
9．（21-22高二上·河南·期末）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設△ABC的面積為S，其中，，則S的最大值為 ．
10．（2023·福建寧德·二模）在中，，，則的最大值為 ．
四、解答題
11．（2022·全國·模擬預測）在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若b=2，且．
(1)求角B的大小；
(2)若是銳角三角形，求面積的取值范圍．
12．（2023·吉林通化·模擬預測）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，求面積的最大值.
參考答案：
1．C
【分析】根據余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.
【詳解】由于,
故為鈍角，進而三角形為鈍角三角形
故選：C
2．B
【分析】現從四棱錐中提取兩個直角三角形和的邊角關系，進而分別解出兩個三角形邊的長，求出來雁塔AB的高度即可.
【詳解】過點作，交于點，
在直角三角形中，因為，
所以，
在直角三角形中，因為，
所以，
則.
故選：B.
3．C
【分析】確定角范圍后，由正弦定理表示出，再利用三角函數性質得結論．
【詳解】因為是銳角三角形，所以，，所以，，
由正弦定理得，所以．
故選：C．
4．C
【分析】
利用正弦定理在中取得的長，根據正切函數的定，可得答案.
【詳解】
由題意可知，，，所以，又因，
由正弦定理，可得：，解得，
又因為，所以，
故選:C.
5．BCD
【分析】根據各選項的描述，結合正余定理的邊角關系判斷所測數據是否可以確定旗桿高度即可.
【詳解】對于A：如果，兩點與旗桿底部不在一條直線上時，就不能測量出旗桿的高度，故A不正確．
對于B：如下圖， 中由正弦定理求，則旗桿的高，故B正確；
對于C：在直角三角形直接利用銳角三角函數求出旗桿的高，故C正確；
對于D：如下圖，中由正弦定理求，則旗桿的高，故D正確；
故選：BCD.
6．ACD
【分析】由三角形全等的條件或者正、余弦定理即可判定.
【詳解】法一、根據三角形全等的條件可以確定A、C、D三項正確，它們都可以唯一確定三角形；
法二、對于A項，由余弦定理可知，可求得，即A正確；
對于B項，知三個內角，此時三角形大小不唯一，故B錯誤；
對于C項，由正弦定理可知，即C正確；
對于D項，同上由正弦定理得，即D正確；
故選：ACD.
7．BC
【解析】根據正弦定理可求出外接圓半徑判斷A，由條件及正弦定理可求出，可判斷B,由余弦定理可判斷C，取特殊角可判斷D.
【詳解】由正弦定理知，所以外接圓半徑是2，故A錯誤；
由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正確；
因為，所以C為鈍角，一定是鈍角三角形，故C正確；
若，顯然，故D錯誤.
故選：BC
8．
【分析】余弦定理求，勾股定理證得為直角三角形，，勾股定理求的值.
【詳解】由余弦定理，，
則有，即為直角三角形，，，
由，得，所以.
故答案為：.
9．
【分析】應用余弦定理有，再由三角形內角性質及同角三角函數平方關系求，根據基本不等式求得，注意等號成立條件，最后利用三角形面積公式求S的最大值.
【詳解】由余弦定理知：，而，
所以，而，即，當且僅當時等號成立，
又，當且僅當時等號成立.
故答案為：
10．
【分析】根據題意求得，得到，結合三角函數的性質，即可求解.
【詳解】因為，，可得，
則，且，即，
所以
，其中，
當，即時，取得最大值.
故答案為：.
11．(1)
(2)
【分析】（1）根據題意和余弦定理，求得，再結合余弦定理求得，即可求解；
（2）由（1）可得，，化簡，根據是銳角三角形求得，得到，即，結合面積公式，即可求解.
【詳解】（1）解：由余弦定理可得，整理得，
又由，
因為，所以．
（2）解：由（1）可知：，所以，，
故，
，
因為是銳角三角形，，解得，
可得，所以，故，
又由的面積，所以．
12．(1)
(2)
【分析】（1）由二倍角余弦公式及正弦邊角關系得，根據余弦定理求的余弦值，進而確定其大小；
（2）由已知和余弦定理得，再由求面積最大值，注意取值條件.
【詳解】（1）由已知，
即，由正弦邊角關系得，
所以，又，所以.
（2）由余弦定理，得，又，
所以，當且僅當時等號成立，
所以，故的面積的最大值為.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·全國·二模）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，且，則△ABC周長的最大值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2023·黑龍江哈爾濱·二模）在中，內角，，的對邊分別為，，，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，，則邊上的中線長為
B．若，，，則有兩個解
C．若不是直角三角形，則一定有
D．若是銳角三角形，則一定有
三、填空題
3．（2024·寧夏石嘴山·模擬預測）海寶塔位于銀川市興慶區，始建于北朝晚期，是一座方形樓閣式磚塔，內有木梯可盤旋登至頂層，極目遠眺，巍巍賀蘭山，綿綿黃河水，塞上江南景色盡收眼底.如圖所示，為了測量海寶塔的高度，某同學（身高173cm）在點處測得塔頂的仰角為，然后沿點向塔的正前方走了38m到達點處，此時測得塔頂的仰角為，據此可估計海寶塔的高度約為 m.（計算結果精確到0.1）

四、解答題
4．（2023·江蘇鎮江·三模）在凸四邊形中，.
(1)若.求的長；
(2)若四邊形有外接圓，求的最大值.
參考答案：
1．D
【分析】根據正弦定理及三角形角度關系可得角的大小，再根據正弦定理邊化角結合三角恒等變換與正弦型函數的性質求得的取值范圍，從而得△ABC周長的最大值.
【詳解】因為，
由正弦定理得，
因為，所以，由于，故，則，
由正弦定理得，
故，
又，則，所以，則，
故△ABC周長的最大值為.
故選：D.
2．CD
【分析】利用向量化即可判斷A；利用正弦定理解三角形即可判斷B；根據三角形內角和定理結合兩角和的正弦定理即可判斷C；由，，結合正弦函數的單調性即可比較，進而可判斷D.
【詳解】對于A，由為的中點得：
，
所以邊上的中線長為，故A錯誤；
對于B，，，，
因為，所以，
所以或，
又因為，所以，且只有一個解，
所以只有一個解，故B錯誤；
對于C，因為，
所以，
又因為，
所以，
所以，故C正確；
對于D，因為是銳角三角形，所以，
又，所以，
所以，所以，
同理，
所以，故D正確.
故選：CD.
3．
【分析】如圖，由三角形的外角和可得，進而求出BD，設m，利用勾股定理求出DG，即可求出DC.
【詳解】如圖，設海寶塔塔底中心為點，與交于點，
過點作于點，則，

由題意知，m，m，
所以，則，
在中，m，
又是的外角，即有，
所以，
在中，m，設m，則m，
在中，由勾股定理得，
即，整理得，解得或（舍），
所以m，所以m，
即海寶塔的高度為m.
故答案為：
4．(1)
(2).
【分析】（1）由同角關系可得正弦值，進而由和差角公式，結合余弦定理即可求解，
（2）根據正弦定理可得，同理可知，進而由三角函數的性質即可求解最值.
【詳解】（1）因為，所以，
所以，
由余弦定理可知，，即
（2）因為四邊形有外接圓，所以，
因為，且由正弦定理可知，，
所以，即，
設，則，
由正弦定理可知，，
所以，同理可知，
所以，
因為，所以，所以當，
即時，取得最大值為.

【培優篇】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知是銳角三角形，內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·河北邯鄲·三模）已知的三個內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，面積為，則下列說法正確的是（ ）
A．的取值范圍是
B．若為邊的中點，且，則的面積的最大值為
C．若是銳角三角形，則的取值范圍是
D．若角的平分線與邊相交于點，且，則的最小值為10
三、解答題
3．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知，，
（1）求的最小正周期及單調遞減區間；
（2）已知銳角的內角的對邊分別為，且，，求邊上的高的最大值．
參考答案：
1．C
【分析】由余弦定理和正弦定理，結合正弦和角公式得到，結合為銳角三角形，得到，故，再利用正弦定理得到，求出取值范圍即可.
【詳解】因為，得．
由余弦定理得，
所以，即．
由正弦定理得，
因為，則，
所以，即．
因為是銳角三角形，所以，，所以．
又在上單調遞增，所以，則．
因為是銳角三角形，所以，，，
所以，
由正弦定理得
，
令，因為，所以．
在上單調遞增，
當時，，當時，，
故
故選：C．
【點睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關的范圍問題，與面積有關的范圍問題，或與角度有關的范圍問題，
常用處理思路：①余弦定理結合基本不等式構造不等關系求出答案；
②采用正弦定理邊化角，利用三角函數的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；
③巧妙利用三角換元，實現邊化角，進而轉化為正弦或余弦函數求出最值.
2．ABC
【分析】借助面積公式與余弦定理由題意可得，對A：借助三角恒等變換公式可將其化為正弦型函數，借助正弦型函數的單調性即可得；對B：借助向量數量積公式與基本不等式即可得；對C：借助正弦定理可將其化為與角有關的函數，結合角度范圍即可得解；對D：借助等面積法及基本不等式計算即可得.
【詳解】由題意知，整理得，
由余弦定理知，，，．
對A，
，
，，，
的取值范圍為，故A正確；
對B，為邊的中點，，
則，
，當且僅當時，等號成立，
，故B正確；
對于C，，
是銳角三角形，，
，，故C正確；
對于D，由題意得，
即，
整理得，即，
，
當且僅當時，等號成立，故D錯誤．
故選：ABC.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查三角形中的最值與范圍問題，主要思考方向有兩個，一個是借助余弦定理得到邊之間的關系，從而通過基本不等式求解，一個是借助正弦定理將邊化為角，通過三角形中角的關系將多個變量角化為單變量，借助函數性質得到范圍或最值.
3．（1）最小正周期為；單調遞減區間為；（2）．
【分析】（1）整理得，可得其最小正周期及單調遞減區間；（2）由，可得，設邊上的高為，所以有，由余弦定理可知：，得出，最后可得最大值.
【詳解】解：（1）
．
的最小正周期為：；
當時，
即當時，函數單調遞減，
所以函數單調遞減區間為：；
（2）因為，所以
，，
，．
設邊上的高為，所以有，
由余弦定理可知：，
，，
（當用僅當時，取等號），所以，
因此邊上的高的最大值.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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