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6.3
向心加速度
第六章 圓周運動
必修二
如果不受力
做勻速直線運動
那么做勻速圓周運動的地球所受合外力方向有何特點？
問題與討論
做圓周運動
速度的方向一定改變
問題：地球繞著太陽做圓周運動是否一定受力？
地球一定有加速度
地球合力一定不為0
討論1：地球受到什么力的作用
這個力可能沿什么方向
受到太陽的引力作用
方向由地球指向太陽
V
F
F
F
V
V
結論：做勻速圓運動的衛星，合外力方向指向圓心（地心），與速度v垂直
小球受到幾個力的作用
這幾個力的合力沿什么方向
小球受到重力、桌面的支持力和繩子的拉力。
重力和支持力相互抵消，合力為繩子的拉力，沿著繩子指向圓心。
活動體驗：輕繩栓一小球,在光滑桌面上做勻速圓周運動，
G
FN
F
1.定義：做勻速圓周運動的物體加速度指向圓心.這 個加速度稱為向心加速度．
2.方向:指向圓心（時刻發生變化）
3.意義：反映速度方向改變快慢的物理量。
一、向心加速度
4.理解：只改變速度的方向，不改變速度大小。
根據牛頓第二定律和向心力表達式 ，可得出向心加速度的大小
二、向心加速度的大?。?br/>an =
v2
r
an = ω2r
向心加速度大小的表達式：
1. 勻速圓周運動的向心加速度：
2. 用ω 和 r 來表示向心加速度：
3. 請用 v 和ω 來表示向心加速度：
4. 請用 T 和 r 來表示向心加速度：
5. 請用 n ( f )和 r 來表示向心加速度：
從公式 看，an與r 成反比
從公式 看，an與r 成正比
an =
v2
r
an = rω2
那么，a與半徑r究竟成正比還是成反比
由a = rω2 知，做勻速圓周運動的物體，角速度一定時，向心加速度與半徑成正比
由a = v2/r 知，做勻速圓周運動的物體，其線速度大小一定時，向心加速度與半徑成反比
分析歸納：(P22思考與討論）
an =
v2
r
an = rω2
o
r
ω一定
v一定
a
討論2.甲、乙兩物體都在做勻速圓周運動,關于以下四種情況各舉一個例子。在這四種情況下哪個物體的向心加速度比較大？
A.它們的線速度相等，乙的半徑小。
B.它們的周期相等，甲的半徑大。
C.它們的角速度相等，乙的線速度小。
D.它們的線速度相等，在相同的時間內甲與圓心的連線掃過的角度比乙的大。
(an=v2/r)
乙
(an=vω)
(an=vω)
(an=2πr/T)
甲
甲
甲
a
an
aτ
o
切向加速度aτ：改變線速度的大小
向心加速度an：改變線速度的方向
勻速圓周運動有切向加速度嗎？
勻速圓周運動中切向加速度為零，只有向心加速度，即：a = an;其合外力必須指向圓心。
討論2.變速圓周運動的加速度a還始終指向圓心嗎？為什么？
課堂鞏固
【例題1】下列關于向心加速度的說法中正確的是（　　）
A.向心加速度表示做圓周運動的物體速率改變的快慢
B.向心加速度表示角速度變化的快慢
C.勻速圓周運動的向心加速度大小不變
D.只要是圓周運動，其加速度都是不變的
【解析】　圓周運動有兩種情形：
一是勻速圓周運動：加速度的方向指向圓心，a=an（大小不變，方向時刻改變）
二是非勻速圓周運動：a=
圓周運動中的加速度是反映速度變化快慢的物理量，故選項C正確。
C
【例題2】（多選）關于圓周運動，下列說法中正確的是（　　）
A.物體做勻速圓周運動時，向心加速度就是物體的合加速度
B.物體做圓周運動時，向心加速度就是物體的合加速度
C.物體做圓周運動時的加速度的方向始終指向圓心
D.物體做勻速圓周運動時的加速度的方向始終指向圓心
AD
【例題3】如圖所示，一半徑為R的球體繞軸O1O2以角速度ω勻速轉動，A、B為球體上兩點。下列說法中正確的是（　?。?br/>A.A、B兩點具有相同的角速度
B.A、B兩點具有相同的線速度
C.A、B兩點具有相同的向心加速度
D.A、B兩點的向心加速度方向都指向球心
A
【例題4】如圖 6.3-3 所示，在長為 l 的細繩下端拴一個質量為 m 的小球，捏住繩子的上端，使小球在水平面內做圓周運動，細繩就沿圓錐面旋轉，這樣就成了一個圓錐擺。當繩子跟豎直方向的夾角為 θ 時，小球運動的向心加速度 an 的大小為多少？通過計算說明 ：要增大夾角 θ，應該增大小球運動的角速度 ω。
第一步，根據曲線運動的速度方向沿著切線方向，畫出物體經過 A、B 兩點時的速度方向，分別用 vA、vB 表示，如圖甲所示。
拓展1：向心加速度的方向
第二步，平移 vA 至 B 點，如圖乙所示。
第三步，根據矢量運算法則，做出物體由 A 點到 B 點的速度變化量 Δv，其方向由 vA 的箭頭位置指向 vB 的箭頭位置，如圖丙所示。由于物體做勻速圓周運動，vA、vB 的大小相等，所以，Δv與 vA、vB 構成等腰三角形。
第四步，假設由 A 點到 B 點的時間極短，在勻速圓周運動的速度大小一定的情況下，A 點到 B 點的距離將非常小，作出此時的 Δv，如圖丁所示。
得出結論：仔細觀察圖丁，可以發現，此時，Δv與vA、vB都幾乎垂直，因此Δv的方向幾乎沿著圓周的半徑，指向圓心。由于加速度a與Δv的方向是一致的，所以從運動學角度分析也可以發現：
物體做勻速圓周運動時的加速度指向圓心。
O
B
A
vA
vB
vA
Δv
拓展2：向心加速度表達式的推導
設做勻速圓周運動的物體的線速度的大小為v ，軌跡半徑為r。經過時間△t，物體從A點運動到B點。嘗試用v 、r 寫出向心加速度的表達式。
Δ
θ
Δ
θ
課堂小結

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