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概率和統(tǒng)計(jì)綜合問題高考大題的類型與解法
概率和統(tǒng)計(jì)綜合問題是近幾年高考的熱點(diǎn)問題之一，可以這樣毫不夸張地說，只要是數(shù)學(xué)高考試卷，都必有一個(gè)概率和統(tǒng)計(jì)綜合問題的12分大題。從題型上看是18（或19）題的12分大題，難度系數(shù)為中，低檔，一般考生都會拿到9到12分。縱觀近幾年高考試卷，歸結(jié)起來概率和統(tǒng)計(jì)綜合大題問題主要包括：①統(tǒng)計(jì)表（或統(tǒng)計(jì)圖）與隨機(jī)變量分布列和隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的綜合問題；②概率與統(tǒng)計(jì)中22列聯(lián)表的綜合問題；③概率與統(tǒng)計(jì)中線性回歸方程的綜合問題；④概率與統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的綜合問題；⑤概率與簡單隨機(jī)抽樣的綜合問題等幾種類型。各種類型問題結(jié)構(gòu)上具有一定的特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實(shí)際解答概率和統(tǒng)計(jì)綜合大題問題時(shí)，到底應(yīng)該如何抓住問題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準(zhǔn)確地解答問題呢？下面通過典型例題的詳細(xì)解析來回答這個(gè)問題。
【典例1】解答下列問題：
某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段
由參賽隊(duì)中的一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段，由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分，該隊(duì)的比賽成績?yōu)榈诙A段得分的總和。某參賽對由甲，乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立。（2024全國高考新高考II）
（1）若p=0.4,q=0.5，甲參加第一階段比賽，求甲，乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分的概率；
（2）假設(shè)0＜p＜q。
①為使得甲，乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段的比賽？
②為使得甲，乙所在隊(duì)的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段的比賽？
2、（理）某省舉辦了一次高三年級化學(xué)模擬考試，其中甲市有10000名學(xué)生參考，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，該省及各市本次模擬考試成績（滿分100分）都近似服從正態(tài)分布N（u，）。
（1）已知本次模擬考試甲市平均成績?yōu)?5分，87分以上共有228人，甲市學(xué)生A的成績?yōu)?6分，試估計(jì)學(xué)生A在甲市的大致名次；
（2）在該省本次模擬考試的參考學(xué)生中隨機(jī)抽取40人，記X表示在本次考試中化學(xué)成績在（u-3，u+3）之外的人數(shù)，求P（X≥1）的概率及X的數(shù)學(xué)期望。
參考數(shù)據(jù)：0.9011，參考公式：若XN（u，），有P（u-（文）2024年1月，某市的高二調(diào)研考試首次采用了“3+1+2”新高考模式，該模式下，計(jì)算學(xué)生個(gè)人總成績時(shí)，“3+1”的學(xué)科均以原始分記入，再選的“2”個(gè)學(xué)科（學(xué)生在政治，地理，化學(xué)，生物中選修的2科）以賦分成績記入，賦分成績的具體算法是：先將該市某再選科目原始成績按從高到低劃分為A，B，C，D，E五個(gè)等級，各等級人數(shù)所占比例分別約為15%，35%，35%，13%，2%，依照轉(zhuǎn)換公式，將五個(gè)等級的原始分分別轉(zhuǎn)換到10086，8571，7056，5541，4030五個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，并對所得分?jǐn)?shù)的小數(shù)點(diǎn)后一位進(jìn)行“四舍五入”，最后得分保留為整數(shù)的轉(zhuǎn)換分成績，并作為賦分成績，具體等級比例和賦分區(qū)間如下表：已知該市本次高二調(diào)研考試化學(xué)科目考試成績滿分為100分。
（1）已知轉(zhuǎn)換公式符合一次函數(shù)模型，若學(xué)生甲，乙在本次考試中化學(xué)成績分別為84，78，轉(zhuǎn)換分成績?yōu)?8，71，試估算該市本次化學(xué)原始成績B等級中的最高分；
（2）現(xiàn)從該市本次高二調(diào)研考試的化學(xué)成績中隨機(jī)選取100名學(xué)生的原始成績進(jìn)行分析，其頻率分布直方圖如圖所示，求出圖中a的值，并用樣本估計(jì)總體的方法，估計(jì)該市本次化學(xué)原始成績B等級中的最低分。
3、某市為了解中學(xué)生的課外閱讀情況，從該市全體中學(xué)生中隨機(jī)抽取了500名學(xué)生，調(diào)查他們在寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長t（單位：分鐘）得到如表所示的頻數(shù)分布表，已知所調(diào)查的學(xué)生中寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長不超過100分鐘。
時(shí)長t [0，20） [20，40） [40，60） [60，80） [80，100]
學(xué)生人數(shù) 50 100 200 125 25
估計(jì)這500名學(xué)生寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長（同一組中的數(shù)據(jù)用該
組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
（2）（理）用頻率估計(jì)概率，從該市中學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加座談，抽到的學(xué)生寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長在[0，20）內(nèi)記0分，在[20，60）內(nèi)記1分，在[60，100]內(nèi)記2分，用X表示這兩名學(xué)生得分之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。（文）若按照分層抽樣的方法從本次調(diào)查中寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長在[0，20）和[20，40）的兩組中共抽取6人進(jìn)行問卷調(diào)查，并從6人中隨機(jī)選取2人進(jìn)行座談，求這2人中至少有一人寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長在[0，20）的概率。
4、“十四五”時(shí)期，成都基于歷史文化底蘊(yùn)，獨(dú)特資源 賦，生活城市特質(zhì)和市民美好生活需要，高水平推進(jìn)“三城三都”（世界文創(chuàng)名城，旅游名城，賽事名城和國際美食之都，音樂之都，會展之都）建設(shè)，2023年，成都大運(yùn)會的成功舉辦讓賽事名城的形象深入人心，讓世界看到成都的專業(yè)，活力和對體育的熱愛；2024年，相約去鳳凰山體育場觀看成都蓉城隊(duì)的比賽已經(jīng)成為成都人最時(shí)尚的生活方式之一，已知足球比賽積分規(guī)則為：球隊(duì)勝一場積3分，平一場積1分，負(fù)一場積0分，成都蓉城隊(duì)2024年七月還將迎來主場與A對和客場與B隊(duì)的兩場比賽，根據(jù)前期比賽成績，設(shè)成都蓉城隊(duì)主場與A隊(duì)比賽取勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為；客場與B隊(duì)比賽取勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為，且兩場比賽結(jié)果相互獨(dú)立。
求成都蓉城隊(duì)七月主場與A隊(duì)比賽獲得積分超過客場與B隊(duì)比賽獲得積分的概率；
用X表示成都蓉城隊(duì)七月與A隊(duì)和B隊(duì)比賽獲得積分之和，求X的分布列與期望。
5、甲，乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃。無論之前投籃情況如何，甲每次投籃命中率均為0.6，乙每次投籃命中率均為0.8，由抽簽確定第一次投籃的人選，第一次投籃的人是甲，乙的概率各為0.5。
（1）求第二次投籃的人是乙的概率；
（2）求第i次投籃的人是甲的概率；
（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且p（=1）=1-p（=0）=qi，i=1，2，---n，
則E（）=，記前n次（即從第一次到第n次）投籃中甲投籃的次數(shù)為Y，求E（Y）（2023全國高考新高考I）。
6、甲，乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局，三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍，已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立。
（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；
（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望（2022全國高考甲卷理）
7、某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確，則從另一類問題中在隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束。A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分。已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)（2021全國高考新高考I卷）。
（1）若小明先回答A類問題，記X為小明累計(jì)得分，求X的分布列；
（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)該選擇先回答哪類問題？并說明理由。
8、《營造法式》是中國北宋時(shí)期官方頒布的一部建筑設(shè)計(jì)與施工的書籍，標(biāo)志著我國古代建筑技術(shù)和工藝發(fā)展到了較高水平，中國近代建筑之父梁恩成用現(xiàn)代語言和制圖方法對該書進(jìn)行了注釋，著有《（營造法式）注釋》，為了讓建筑類學(xué)生了解古建筑設(shè)計(jì)與構(gòu)造的原理，某建筑大學(xué)為大三和大四的學(xué)生開設(shè)了一門選修課程《營造法式及其注釋》，為檢測學(xué)生學(xué)習(xí)效果，要求所有選修該門課程的學(xué)生完成“應(yīng)用營造法式獨(dú)立制作一件古建筑模型”的作業(yè)，已知選修該門課程的大三與大四學(xué)生的人數(shù)之比為3:2，現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有作業(yè)中隨機(jī)抽取100份（每位學(xué)生均上交一份作業(yè)），并評出成績，得到如下頻率分布表：
（理）（1）求x，y的值，并估計(jì)這100份作業(yè)中大三學(xué)生作業(yè)的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
在這100份作業(yè)的樣本中，從成績在[50，80）的大四學(xué)生作業(yè)中隨機(jī)抽取2份，記抽取的這2份作業(yè)中成績在[60，70）的份數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望。
成績（單位：分） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100）
頻數(shù)（不分年級） 4 x 20 38 30
頻數(shù)（大三年級） 3 6 15 y 12
（文）（1）求y的值，若以頻率作為概率，從選修該門課程的大四學(xué)生中隨機(jī)選取1名，試估計(jì)該學(xué)生的作業(yè)成績在[60，80）的概率；
（2）估計(jì)這100份作業(yè)中大三學(xué)生作業(yè)的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）（2021成都市高三三診）
〖思考問題1〗
（1）【典例1】是統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望綜合的問題，解答這類問題需要理解隨機(jī)事件概率，統(tǒng)計(jì)圖，隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)我的基本概念；掌握求隨機(jī)事件概率，隨機(jī)變量概率分布列與數(shù)學(xué)期望的基本求法和統(tǒng)計(jì)表（或統(tǒng)計(jì)圖）的性質(zhì)與基本作法；
（2）求某事件的概率，根據(jù)統(tǒng)計(jì)表（或統(tǒng)計(jì)圖），結(jié)合隨機(jī)事件概率的計(jì)算公式通過運(yùn)算就可求出某個(gè)事件的概率；運(yùn)用統(tǒng)計(jì)表（或統(tǒng)計(jì)圖）解答相關(guān)問題時(shí)，應(yīng)該根據(jù)問題條件確定統(tǒng)計(jì)表（或統(tǒng)計(jì)圖）屬于哪一種類型，結(jié)合這種統(tǒng)計(jì)表（或統(tǒng)計(jì)圖）的性質(zhì)實(shí)施問題的解答；求隨機(jī)變量概率分布列（或數(shù)學(xué)期望）的基本方法是：①確定隨機(jī)變量的可能取值；②分別求出各隨機(jī)變量值的概率；③得到隨機(jī)變量概率分布列，從而求出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。
[練習(xí)1]解答下列問題：
1、2019年12月，《生活垃圾分類標(biāo)志》新標(biāo)準(zhǔn)發(fā)布并正式實(shí)施，為進(jìn)一步普及生活垃圾分類知識，了解居民生活垃圾分類情況，某社區(qū)開展了一次關(guān)于垃圾分類的問卷調(diào)查活動，并對隨機(jī)抽取的1000人的年齡進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下的各年齡段頻數(shù)分布表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：
（1）請補(bǔ)全各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖，并求出各年齡段頻數(shù)分布表中m，n的值；
（2）現(xiàn)從年齡在,[30，40）段中采用分層抽樣的方法選取5名代表參加垃圾分類知識交流活動，應(yīng)社區(qū)要求，從被選中的這5名代表中任意選2名作交流發(fā)言，求選取的2名發(fā)言者中恰有1名年齡段在[35，40）段中的概率（2021成都市高三零診）。
2、2018年央視大型文化節(jié)目《經(jīng)典詠流傳》的熱播，在全民中掀起了誦讀詩詞的熱潮，某大學(xué)社團(tuán)調(diào)查了該校文學(xué)院300名學(xué)生每天誦讀詩詞的時(shí)間（所有學(xué)生誦讀時(shí)間都在兩小時(shí)內(nèi)），并按時(shí)間（單位：分鐘）將學(xué)生分成六個(gè)組：［0,20），［20,40），［40,60），［60,80），［80,100），［100,120］，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到了如圖所示的頻率分布直方圖（2019成都市高三零診）。
（1）求頻率分布直方圖中a的值；并估計(jì)該校文學(xué)院的學(xué)生每天誦讀詩詞的時(shí)間的平均數(shù)；
（2）若兩個(gè)同學(xué)誦讀詩詞的時(shí)間x，y滿足|x-y|＞60，則這兩個(gè)同學(xué)組成一個(gè)“Tean”,已知從每天誦讀詩詞的時(shí)間小于20分鐘和大于或等于80分鐘的所有學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取了5人，現(xiàn)從這5人中隨機(jī)選取2人，求選取的兩人能組成一個(gè)“Tean”的概率。
3、（理）某部門為了解企業(yè)在生產(chǎn)過程中的用水量情況，對每 7 3 1
天的用水量作了記錄，得到了大量該企業(yè)的日用水量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)， 8 3 5 6 7 8 9
從這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取12天的數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所 9 5 7 8 9
示的莖葉圖（單位：噸），若用水量不低于95噸，則稱這一天
的用水量超標(biāo)。
（1）從這12天的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3個(gè)，求至多有1天用水量超標(biāo)的概率；
（2）以這12天的樣本數(shù)據(jù)中用水量超標(biāo)的頻率作為概率，估計(jì)該企業(yè)未來3天中用水量超標(biāo)的天數(shù)，記隨機(jī)變量X為未來3天中用水量超標(biāo)的天數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。
（文）某部門為了解企業(yè)在生產(chǎn)過程中的用水量 日用水量 ［70,80）［80,90）［90,100］
情況，對每天的用水量作了記錄，得到了該企業(yè)（單位：噸）
的日用水量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，從這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī) 頻數(shù) 3 6 m
抽取12天的用水量的數(shù)據(jù)作為樣本，得到的統(tǒng) 頻率 n 0.5 p
計(jì)結(jié)果如右表：（2018成都市高三一診）
（1）求m，n，p的值；
（2）已知樣本中日用水量在［80,90）內(nèi)的這六個(gè)數(shù)據(jù)分別為83，85，86，87，88，89，從六個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)，求抽取的兩個(gè)數(shù)據(jù)中至少有一個(gè)大于86的概率。
4、（理）某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完。根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：）有關(guān)，如果氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果氣溫位于區(qū)間［20，25），需求量為300瓶；如果氣溫低于20，需求量為200瓶。為了確定6月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得到下面的頻率分布表：
最高氣溫 ［10，15）［15，20）［20，25）［25，30）［30，35）［35，40）
天數(shù) 2 16 36 25 7 4
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率（2017全國高考新課標(biāo)III卷）。
（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；
（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n（單位：瓶）為多少時(shí)，y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？
（文）（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；
（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出y的所有可能值，并估計(jì)y大于零的概率。
【典例2】解答下列問題：
1、某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲，乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨
機(jī)抽取了150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：
優(yōu)級品 合格品 不合格品 總計(jì) 優(yōu)級品 非優(yōu)級品
甲車間 26 24 0 50 甲車間
乙車間 70 28 2 100 乙車間
總計(jì) 96 52 2 150
填寫如表列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？
能否有99%的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？
（2）已知升級改造前該工廠產(chǎn)品優(yōu)級品率p=0.5,設(shè)為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)
級品率，如果＞p+1.65，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？
參考數(shù)據(jù)：12.247，=，（2024全國高考甲卷）
p(≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
某校高中階段實(shí)行體育模塊化課程教學(xué)，在高一年級開設(shè)了籃球和羽毛球兩個(gè)模塊課
程，從該校高一年級隨機(jī)抽取的100名男生和100名女生中，統(tǒng)計(jì)出參加上述課程的情況如下：
男生 女生 總計(jì)
參加籃球模塊課程人數(shù) 60 20 80
參加羽毛球模塊課程人數(shù) 40 80 120
總計(jì) 100 100 200
根據(jù)上述列聯(lián)表，是否有99.9%的把握認(rèn)為該校高一年級體育模塊化課程的選擇與性別有關(guān)；
（2）（理）根據(jù)抽取的200名學(xué)生的模塊化課程成績，每個(gè)模塊課程的前3名獲得參加體育模塊化教學(xué)推廣大使的評選資格，若在有評選資格的6名學(xué)生中隨機(jī)選出2人作為體育模塊化課程教學(xué)的推廣大使，記這兩人中來自籃球模塊化課程的人數(shù)為X，求X的分布列和期望。（文）根據(jù)抽取的200名學(xué)生的模塊化課程成績，每個(gè)模塊課程的前3名獲得參加體育模塊化教學(xué)推廣大使的評選資格，若在有評選資格的6名學(xué)生中隨機(jī)選出2人作為體育模塊化課程教學(xué)的推廣大使，求這2人來自不同模塊化課程的概率。
附：=， P（≥）0.025 0.010 0.005 0.001
5.024 6.635 7.879 10.828
3、（理）為探究某箹物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組（不加箹物）和實(shí)驗(yàn)組（加箹物）。
（1）設(shè)其中兩只小鼠中，對照組小鼠數(shù)目為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）測得40只小鼠體重如下（單位：g），（已按從小到大排好）。
對照組：17.3，18.4，20..1，20.4，21..3，23..2，24.6， 24.8， 25.0， 25.4， 26.1， 26.3，26.4， 26.5， 26.8， 27.0， 27.4， 27.5， 27.6， 28.3；
實(shí)驗(yàn)組：3.4， 6.6， 6.8， 6.9， 7.8， 8.2， 9.4， 10.0， 10.4， 11.2， 14.4， 17.3，
19.2， 20.2， 23.6， 23.8， 24.3， 25.1， 25.2， 26.0。
①求40只小鼠體重的中位數(shù)m，并完成下面22列聯(lián)表：
②根據(jù)22列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為箹物對小鼠生長有抑制作用。
對照組 6 14 20 k 0.10 0.05 0.01
實(shí)驗(yàn)組 14 6 20 p(≥k) 2.716 3.541 6.615
合計(jì) 20 20 40
（文）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在搞濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g），試驗(yàn)結(jié)果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?5.2，18.8，20..2，21.3，22..5，23..2，25.8， 26.5， 27.5， 30.1， 32.6， 34.3，34.8， 35.6， 35.6， 35.8， 36.2， 37.3， 40.5， 43.2；
試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?.8， 9.2， 11.4， 12.4， 13.2， 15.5， 16.5， 18.0， 18.8， 19.2， 19.8， 20.2，21.6， 22.8， 23.6， 23.9， 25.1， 28.2， 32.3， 36.5。
（1）計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；
（2）①求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本在小于m與不小于m的
數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下表22列聯(lián)表：
②根據(jù)①中的22列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？（2023全國高考甲卷）
附：=
對照組 6 14 20 k 0.100 0.050 0.010
實(shí)驗(yàn)組 14 6 20 p (≥k) 2.706 3.841 6.635
合計(jì) 20 20 40
4、某中學(xué)為了豐富學(xué)生的課余生活，欲利用每周一下午的自主活動時(shí)間，面向本校高二學(xué)生開設(shè)“廚藝奧秘”，“金景栽培”，“家庭攝影”，“名畫鑒賞”四門選修課，由學(xué)生自主申報(bào)，每人只能報(bào)一門，也可以不報(bào)。該校高二有兩種班型-文科班和理科班（各由2個(gè)班），據(jù)調(diào)查這四個(gè)中有100人報(bào)名參加了本次選修課，報(bào)名情況統(tǒng)計(jì)如下表：
廚藝奧秘 金景栽培家庭攝影名畫鑒賞 課程類型 課 程 合計(jì)
文科1班 11 5 14 6 勞育課程 美育課程
文科2班 12 7 11 4 文科班 35 35 70
理科1班 3 1 9 3 理科班 10 20 20
理科2班 5 1 6 2 合計(jì) 45 55 100
若把“廚藝奧秘”，“金景栽培”統(tǒng)稱為“勞育課程”，把“家庭攝影”，“名畫鑒賞”統(tǒng)稱為“美育課程”，請根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成以上22列聯(lián)表；
根據(jù)（1）列聯(lián)表所填數(shù)據(jù)，判斷是否有99%的把握認(rèn)為課程的選擇與班型有關(guān)。附：
= （成都市高2020級高三二診）
p（ >）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
5、甲，乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運(yùn)載， 準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù) 未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)
為了解這兩家公司長途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲 A 240 20
、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到如表所示的列聯(lián)表： B 210 30
（1）根據(jù)上表，分別估計(jì)兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；
（2）能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？
（2022全國高考甲卷文）
6、一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與 不夠良好 良好
當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠 病例組 40 60
良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī) 對照組 10 90
調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），
得到如表所示的數(shù)據(jù)：
能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？
（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件
“選到的人患有該疾病”， 與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病
風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)指標(biāo)，記該指標(biāo)為R。
①證明：R=.；
②利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出p（A|B），的估計(jì)值，并利用①的結(jié)果給出R的估計(jì)值（2022全國高考新高考I卷）
附：，。
7、甲，乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機(jī)床產(chǎn)品質(zhì)量，分別用兩臺機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：
一級品 二級品 合計(jì)
甲機(jī)床 150 50 200
乙機(jī)床 120 80 200
合計(jì) 270 130 400
（1）甲機(jī)床，乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？
（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？（2021全國高考甲卷）
8、以網(wǎng)絡(luò)公司為某貧困山區(qū)培養(yǎng)了100名“鄉(xiāng)土直播員”，以幫助宣傳該山區(qū)文化和銷售該山區(qū)的農(nóng)副產(chǎn)品，從而帶領(lǐng)山區(qū)人民早日脫貧致富，該公司將這100名“鄉(xiāng)土直播員”中每天直播時(shí)間不少于5小時(shí)的評為“網(wǎng)紅鄉(xiāng)土直播員”，其余的評為“鄉(xiāng)土直播達(dá)人”，根據(jù)實(shí)際評選結(jié)果得到了下面22列聯(lián)表： 網(wǎng)紅鄉(xiāng)土直播員 鄉(xiāng)土直播達(dá)人 合計(jì)
（1）根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn) 男 10 40 50
為“網(wǎng)紅鄉(xiāng)土直播員”與性別有關(guān)？ 女 20 30 50
（2）（理）在“網(wǎng)紅鄉(xiāng)土直播員”按分層抽樣 合計(jì) 30 70 100
方法抽取6人，在這6人中選2人作為“鄉(xiāng)土直播推廣大使”，設(shè)被選中的2名“鄉(xiāng)土直播推廣大使”中男性人數(shù)為，求的分布列和期望。
（文）在“網(wǎng)紅鄉(xiāng)土直播員”按分層抽樣方法抽取6人，在這6人中選2人作為“鄉(xiāng)土直播推廣大使”，設(shè)被選中的2名“鄉(xiāng)土直播推廣大使”，求這倆人中恰有一男一女的概率（2021成都市高三一診）
附：
（其中n=a+b+c+d）
〖思考問題2〗
【典例2】是概率與統(tǒng)計(jì)中獨(dú)立性檢驗(yàn)綜合的問題，解答這類問題需要理解古典概率，22列聯(lián)表，兩個(gè)變量相關(guān)的基本概念；掌握古典概率，22列聯(lián)表，兩個(gè)變量相關(guān)系數(shù)的求法和判斷兩個(gè)變量是否相關(guān)的基本方法；
（2）求某個(gè)事件的概率，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，結(jié)合古典概率的計(jì)算公式通過運(yùn)算就可求出某個(gè)
事件的概率；22列聯(lián)表依據(jù)統(tǒng)計(jì)表可以直接列出，求相關(guān)系數(shù)時(shí)，需要根據(jù)22列聯(lián)表和相關(guān)公式通過運(yùn)算就可求出，判定兩個(gè)變量是否相關(guān)的基本方法是：①作出變量的散點(diǎn)圖，根據(jù)變量散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷；②運(yùn)用公式求出相關(guān)系數(shù)的值，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的值進(jìn)行判斷。
[練習(xí)2]解答下列問題：
1、某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）
鍛煉人次 （0，200] （200，400] （400，600]
空氣質(zhì)量等級
1（優(yōu)） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（輕度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”，若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”。根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面22列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？（2020全國高考新課標(biāo)III）
人次400 人次>400
空氣質(zhì)量好
空氣質(zhì)量不好
附：= ， P（k） 0.050 0.010 0.001
其中n=a+b+c+d。 K 3.841 6.635 10.828
2、為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和S濃度（單位：ug/）,得下表：
（1）估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且S濃度不超過150”的概率；
S [0，50] （50，150] （150，475]
PM2.5
[0，35] 32 18 4
（35，75] 6 8 12
（75，115] 3 7 10
（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面22列聯(lián)表：
S [0，150] （150，475]
PM2.5
[0，75]
（75，115]
（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與S濃度有關(guān)？（2020全國高考新高考I）
賦：附：= ， P（k） 0.050 0.010 0.001
其中n=a+b+c+d。 K 3.841 6.635 10.828
3、某公司有1000名員工，其中男性員工400名，采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取100名員工進(jìn)行5G手機(jī)購買意向的調(diào)查，將計(jì)劃在今年購買5G手機(jī)的員工稱為“追光簇”，計(jì)劃在明年及明年以后才購買5G手機(jī)的員工稱為“觀望者”調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)抽取的這100名員工中屬于“追光簇”的女性員工和男性員工各有20人。 屬于“追光簇” 屬于“觀望者”合計(jì)
（理）（1）完成下列22列聯(lián)表，并判斷 女性員工
是否有95%的把握認(rèn)為該公司員工屬于“追 男性員工
光簇”與性別有關(guān)； 合計(jì) 100
（2）已知被抽取的這100名員工中，有10名是人事部的員工，這10名中有3名“追光簇
”，現(xiàn)從這10名員工中隨機(jī)抽取3名，記被抽取的3名中屬于“追光簇”的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及首席期望。
（文）（1）同（理）（1）；
（2）已知被抽取的這100名員工中，有6名是人事部的員工，，這6名中有3名“追光簇
”，現(xiàn)從這6名員工中隨機(jī)抽取3名，求抽取到的3名中恰有1名屬于“追光簇”的概率（2020成都市高三一診）附：= ，其中n=a+b+c+d。
P（） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.801 5.024 6.635 7.879 10.828
4、（理）為了讓稅收政策更好的為社會發(fā)展服務(wù)，國家在修訂《中華人民共和國個(gè)人所得稅法》之后發(fā)布了《個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除暫行辦法》，明確“專項(xiàng)附加扣除”就是子女教育，繼續(xù)教育，大病醫(yī)療，住房貸款利息，住房租金，贍養(yǎng)老人等費(fèi)用，并公布了相應(yīng)的定額扣除標(biāo)準(zhǔn)，決定自2019年1月1日起施行，某企業(yè)為了調(diào)查內(nèi)部員工對新個(gè)稅方案的滿意程度與年齡的關(guān)系，通過問卷調(diào)查，整理數(shù)據(jù)得如下22列聯(lián)表：
（1）根據(jù)列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為滿意度與年齡有關(guān)？
（2）為了幫助年齡在40歲及以下的未購房的8名員工解決實(shí)際困難，該企業(yè)擬按員工貢獻(xiàn)積分x（單位：分）給予相應(yīng)的住房補(bǔ)貼y（單位：元），現(xiàn)有兩種補(bǔ)貼方案，方案甲：y=1000+700x；方案乙：y= 3000,0＜x5，已知這8名員工的貢獻(xiàn)積分分別為2分，3分，6分，7分，7分，11分， 5600，,5＜x10，12分，12分，將采用方案甲比采用方案乙獲得更多補(bǔ)貼的員工記為 9000，x＞10 ，“A類員工”，為了解員工對補(bǔ)貼方案的認(rèn)可度，現(xiàn)從這8名員工中隨機(jī)抽取4名進(jìn)行面談，求恰好抽到3名“A類員工”的概率。
（文）為了讓稅收政策更好的為社會發(fā)展服務(wù)，國家在修訂《中華人民共和國個(gè)人所得稅法》之后發(fā)布了《個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除暫行辦法》，明確“專項(xiàng)附加扣除”就是子女教育，繼續(xù)教育，大病醫(yī)療，住房貸款利息，住房租金，贍養(yǎng)老人等費(fèi)用，并公布了相應(yīng)的定額扣除標(biāo)準(zhǔn)，決定自2019年1月1日起施行，某機(jī)關(guān)為了調(diào)查內(nèi)部職員對新個(gè)稅方案的滿意程度是否與年齡有關(guān)系，通過問卷調(diào)查，整理數(shù)據(jù)得如下22列聯(lián)表：
（1）根據(jù)列聯(lián)表，能否有85%的把握認(rèn)為滿意度與年齡有關(guān)？
（2）若已經(jīng)在滿意程度為“基本滿意”的職員中用分層抽樣的方式選取了5名職員，現(xiàn)從這5名職員中隨機(jī)選取3名進(jìn)行面談，求面談的職員中恰有2名年齡在40歲及以下的概率（2019成都市高三二診）
【典例3】解答下列問題：
1、某種產(chǎn)品的價(jià)格x（單位：萬元/噸）與需求 x 12 11 10 9 8
量y（單位：噸）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示： y 5 6 8 10 11
（1）已知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；
（2）請預(yù)測當(dāng)該產(chǎn)品定價(jià)為6萬元時(shí)，需求量能否超過15噸？并說明理由。
參考公式：=-，=（成都市高2021級高三零診）
2、某旅游公司針對旅游復(fù)蘇設(shè)計(jì)了一款文創(chuàng)產(chǎn)品來提高收益，該公司統(tǒng)計(jì)了今年以來這款文創(chuàng)產(chǎn)品定價(jià)x（單位：元）與銷量y（單位：萬件）的數(shù)據(jù)如下表所示：
依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，判斷是否可用 產(chǎn)品定價(jià)x（單位：元） 9 9.5 10 10.5 11
線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請計(jì)算相 銷量y（單位：萬件） 11 10 8 6 5
關(guān)系數(shù)并加以說明（計(jì)算結(jié)果精確到0.01）；
建立y關(guān)于x的回歸方程，預(yù)測當(dāng)產(chǎn)品定價(jià)為8.5元時(shí)，銷量可達(dá)到多少萬件。
參考公式：r=，=，=-。參考數(shù)據(jù)
8.06（成都市高2020級高三三珍）
3、（理）某項(xiàng)目的建設(shè)過程中，發(fā)現(xiàn)其補(bǔ)貼額x（單位：百萬元）與該項(xiàng)目的經(jīng)濟(jì)回報(bào)y（單位：千萬元）之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
補(bǔ)貼額x（單位：百萬元） 2 3 4 5 6
經(jīng)濟(jì)回報(bào)y（單位：千萬元） 2.5 3 4 4.5 6
（1）根據(jù)上表所給的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸直線方程= x+ ；
（2）為高質(zhì)量完成該項(xiàng)目，決定對負(fù)責(zé)該項(xiàng)目的7名工程師進(jìn)行考核，考核結(jié)果為4人優(yōu)秀，3人合格，現(xiàn)從這7名工程師中隨機(jī)抽取3人，用X表示抽取的3人中考核優(yōu)秀的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望。參考公式：=，=-。
（文）某項(xiàng)目的建設(shè)過程中，發(fā)現(xiàn)其補(bǔ)貼額x（單位：百萬元）與該項(xiàng)目的經(jīng)濟(jì)回報(bào)y（單位：千萬元）之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
補(bǔ)貼額x（單位：百萬元） 2 3 4 5 6
經(jīng)濟(jì)回報(bào)y（單位：千萬元） 2.5 3 4 4.5 6
（1）根據(jù)上表所給的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸直線方程= x+ ；
（2）請根據(jù)（1）中所得到的線性回歸方程，預(yù)測當(dāng)補(bǔ)貼額達(dá)到8百萬元時(shí)，該項(xiàng)目的經(jīng)濟(jì)回報(bào)。參考公式：=，=-（成都市2019級高三一診）
4、經(jīng)驗(yàn)說明，一般樹的胸徑（樹的主干在地面以上1.3m處的直徑）越大，樹就越高，由于測量樹高比測量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測樹高，下面給出了某林場在研究樹高與胸徑之間的關(guān)系時(shí)收集的某種樹的數(shù)據(jù)：
編號 1 2 3 4 5 6
胸徑（cm） 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3
樹高（m） 18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1
編號 7 8 9 10 11 12
胸徑（cm） 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2
樹高（m） 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7
（1）根據(jù)表繪制樹高y與胸徑x之間關(guān)系的散點(diǎn)圖；
（2）分析樹高y與胸徑x之間的相關(guān)關(guān)系，并求y關(guān)于x的線性回歸方程；
（3）預(yù)測當(dāng)樹的胸徑為50.6cm時(shí)，數(shù)的高度約是多少（精確到0.01）（2021全國高考新高考II）.
附：回歸方程=x+中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：
5、某種機(jī)械設(shè)備，隨著使用年限的增加，它的使用功能漸漸減退，使用價(jià)值逐年減少，通常把它使用價(jià)值逐年減少的“值”換算成費(fèi)用，稱之為“失效費(fèi)”，其中機(jī)械設(shè)備的使用年限x（單位：年）與失效費(fèi)y（單位：萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：
使用年限x（單位：年） 1 2 3 4 5 6 7
失效費(fèi)y(單位：萬元) 2.30 3.30 3.60 4.40 4.80 5.20 5.30
（1）由表中數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)關(guān)系系數(shù)加以說明（精確到0.01）；
（2）求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并估算該種機(jī)械設(shè)備使用10年的失效費(fèi)（2021成都市高三二診）
線性回歸方程=x+中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：
〖思考問題3〗
（1）【典例3】是概率與統(tǒng)計(jì)中線性回歸方程綜合的問題，解答這類問題需要理解古典概率，線性回歸方程的基本概念；掌握求古典概率，線性回歸方程的基本求法和判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)的基本方法；
（2）求某個(gè)事件的概率，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，結(jié)合古典概率的計(jì)算公式通過運(yùn)算就可求出某個(gè)事件的概率；求變量線性回歸方程時(shí)，需要根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和相關(guān)公式通過運(yùn)算分別求出，的值，把所求的值代入式子就可得到線性回歸方程；判斷變量是否線性的基本方法有：①先根據(jù)數(shù)據(jù)作出變量的散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷；②運(yùn)用相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式，通過運(yùn)算求出相關(guān)系數(shù)的值，根據(jù)相關(guān)系數(shù)值的大小進(jìn)行判斷。
[練習(xí)3]解答下列問題：
1、某動漫影視制作公司長期堅(jiān)持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動漫題材，制
作出一批又一批的優(yōu)秀動漫影視作品，獲得市場和廣大觀眾的一致好評，同時(shí)也為公司贏得豐厚的利潤，該公司2013年至2019年的利潤y關(guān)于年份代號x的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表（一致該公司的年利潤與年份代號線性相關(guān)）：
年 份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019
年份代號x 1 2 3 4 5 6 7
年利潤y(單位：億元) 29 33 36 44 48 52 59
（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測該公司2020年（年份代號記為8）的年利潤；
（2）（理）當(dāng)統(tǒng)計(jì)表中某年年利潤的實(shí)際值大于由（1）中線性回歸方程計(jì)算出該年利潤的估計(jì)值時(shí)，稱該年為A級利潤年，否則稱為B級利潤年，將（1）中預(yù)測的該公司2020年的年利潤視作該年利潤的實(shí)際值，現(xiàn)從2013年至2020年這8年中隨機(jī)抽取2年，求恰有1（1）中線年為A級利潤年的概率；（文）當(dāng)統(tǒng)計(jì)表中某年年利潤的實(shí)際值大于由性回歸方程計(jì)算出該年利潤的估計(jì)值時(shí)，稱該年為A級利潤年，否則稱為B級利潤年，將（1）中預(yù)測的該公司2020年的年利潤視作該年利潤的實(shí)際值，現(xiàn)從2015年至2020年這6年中隨機(jī)抽取2年，求恰有1年為A級利潤年的概率（2020成都市高三二診）。
參考公式：=，=-。
2、（理）在2018年俄羅斯世界杯期間，莫斯科的部分餐廳經(jīng)營了來自中國的小龍蝦，這些小龍蝦均標(biāo)有等級代碼，為得到小龍蝦等級代碼數(shù)值x與銷售單價(jià)y之間的關(guān)系，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：（2019成都市高三一診）
（理）（1）已知銷售單價(jià)y與等級代碼數(shù)值x之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性
回歸方程（系數(shù)精確到0.1）；
（2）（理）若莫斯科某個(gè)餐廳打算從上表的6種等級的中國小龍蝦中隨機(jī)選2種進(jìn)行促銷，記被選中的2種等級代碼數(shù)值在60以下（不含60）的數(shù)量為X，求X的分布列記數(shù)學(xué)期望。
（文）若莫斯科某個(gè)餐廳銷售的中國小龍蝦的等級代碼數(shù)值為98，請估計(jì)該等級的中國小龍蝦銷售單價(jià)為多少元？
3、如圖所示，是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位：億元）的折線圖。
為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型，根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1，2，----，17）建立模型①：=-30.4
+13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1，2，----，7）建立模型②：=99+17.5t（2018全國高考新課標(biāo)II卷）。
（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；
（2）你認(rèn)為用哪一個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由。
【典例4】解答下列問題：
1、某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗(yàn)，每次配對試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品伸縮率，甲，乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，（i=1，2，---，10，），試驗(yàn)結(jié)果如下：
試驗(yàn)序號i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸縮率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸縮率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
記=-（i=1，2，---，10，），記，，------，的樣本平均數(shù)為，樣本方差為
。
求，；
（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯
著提高（如果≥2，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）（2023全國高考乙卷）
2、某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：
利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性，此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p（c）；
誤診率是將未患病者判定為陽性，記為q（c），假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)平均分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率。
（1）當(dāng)p（c）=0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率q（c）；
（2）設(shè)函數(shù)f(c)=p（c）+q（c），當(dāng)c[95,105]時(shí)，求f(c)的解析式，并求f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值（2023全國高考新高考II）
3、成都作為常住人口超2000萬的超大城市，注冊青年志愿者人數(shù)超114萬，志愿服務(wù)時(shí)長超268萬小時(shí)，2022年6月，成都22個(gè)市級部門聯(lián)合啟動了2022年成都市青年志愿者服務(wù)項(xiàng)目大賽。項(xiàng)目大賽申報(bào)期間，共收到331個(gè)主體的416個(gè)志愿服務(wù)項(xiàng)目，覆蓋文明實(shí)踐，社區(qū)治理與鄰里守望，環(huán)境保護(hù)等13大領(lǐng)域，已知某領(lǐng)域共有50支志愿隊(duì)伍申報(bào)，主管部門組織專家對志愿者申報(bào)隊(duì)伍進(jìn)行評審打分，并將專家評分（單位：分）分成6組：[40，50），[50，60），---[90，100]得到如圖所示的頻率分布直方圖。
（1）求圖中m的值；
（2）（理）從評分不低于80分的隊(duì)伍中隨機(jī)選取3支隊(duì)伍，該3支隊(duì)伍中評分不低于90分的隊(duì)伍數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望。
（文）已知評分在[85，100]的隊(duì)伍有4支，若從評分在[80，90）的隊(duì)伍中任選兩支，求這兩支隊(duì)伍至少有一支隊(duì)伍評分不低于85分的概率。
4、某建設(shè)行政主管部門對轄區(qū)內(nèi)A，B，C三類工程共120個(gè)項(xiàng)目，進(jìn)行驗(yàn)收評估，規(guī)定評估分?jǐn)?shù)在85分及其以上的項(xiàng)目被確定為“驗(yàn)收合格”項(xiàng)目，未達(dá)到85分的項(xiàng)目被確定,“有待整改”項(xiàng)目，現(xiàn)通過分層抽樣的方法獲得了三類工程的12個(gè)項(xiàng)目，其評估分?jǐn)?shù)如下：A類：88，90，86，87，79；B類：85，82，91，74，92；C類：84，90。
（1）試估算A，B，C這三類工程中每工類程項(xiàng)目的個(gè)數(shù)；
（2）在選取的樣本中，從B類的5個(gè)工程項(xiàng)目中隨機(jī)選取2個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行深度調(diào)研，求選出的2個(gè)項(xiàng)目中既有“驗(yàn)收合格”項(xiàng)目，又有“有待整改”項(xiàng)目的概率（成都市2020級高三零診）
5、某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山，為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材
積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量毎棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單
位：），得到如下數(shù)據(jù)：
樣本號i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總計(jì)
根部橫截面積 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.60
材積量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.90
并計(jì)算得=0.038，=1.6158，=0.2474。
（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186，已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值（2022全國高考乙卷）
附：相關(guān)系數(shù)r=，1.377。
6、“2021年全國城市節(jié)約用水宣傳周”已于5月9日至15日舉行，成都市圍繞“貫徹新發(fā)展理念，建設(shè)節(jié)水型城市”這一主題，開展了形式多樣，內(nèi)容豐富的活動，進(jìn)一步增強(qiáng)全民保護(hù)水資源，防治水污染，節(jié)約用水的意識。為了解活動開展成效，某街道辦事處工作人員赴一小區(qū)調(diào)查住戶的節(jié)約用水情況，隨機(jī)抽取了300名業(yè)主進(jìn)行節(jié)約用水調(diào)查評分，將得到的分?jǐn)?shù)分成6組：[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）求a的值，并估計(jì)這300名業(yè)主評分的中位數(shù)；
（2）若先用分層抽樣的方法從評分在[90，95）和[95，100]的業(yè)主中抽取5人，然后再從抽出的5名業(yè)主中任意選取2人作進(jìn)一步訪談，求這2人中至少有1人的評分在[95，100]的概率（成都市2019級高三零診）
7、某中學(xué)為研究課外閱讀時(shí)長對語文成績的影響，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生某階段每人每天課外閱讀的平均時(shí)長（單位：分鐘）及他們的語文成績，得到如下的統(tǒng)計(jì)表：
平均時(shí)長（單位：分鐘）（0,20] （20,40] （40,60] （60,80]
人數(shù) 9 21 15 5
語文成績優(yōu)秀人數(shù) 3 9 10 3
（1）估計(jì)該階段這50名學(xué)生每天課外閱讀平均時(shí)長的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
（2）（理）若從課外閱讀平均時(shí)長在區(qū)間（0,20]和（60,80]的學(xué)生中各隨機(jī)選取2名進(jìn)行研究，求所選4名學(xué)生中至少有3名語文成績優(yōu)秀的學(xué)生的概率。（文）若從課外閱讀平均時(shí)長在區(qū)間（60,80]的學(xué)生中隨機(jī)選取3名進(jìn)行研究，求所選3名學(xué)生中至少有2名語文成績優(yōu)秀的學(xué)生的概率（成都市2019級高三二診）
8、某中學(xué)為增強(qiáng)學(xué)生的環(huán)保意識，舉辦了“愛成都，護(hù)環(huán)境”的知識競賽活動，為了解本次知識競賽活動參賽學(xué)生的成績，從中抽取了n名學(xué)生的分?jǐn)?shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分，所有學(xué)生的得分都在區(qū)間[50，100]中）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出如下的頻率分布直方圖，并作出下面的樣本分?jǐn)?shù)莖葉圖（圖中僅列出了得分在[50，60），[60，70）的數(shù)組）。
（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中x，y的值；
（2）（理）在選取的樣本中，從競賽成績不低于70分的三組學(xué)生中按分層抽樣抽取了9名學(xué)生，再從抽取的這9名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生到天府廣場參加環(huán)保知識宣傳活動，求這2名學(xué)生中恰有1名學(xué)生的分?jǐn)?shù)在[70，80）中的概率。（文）在選取的樣本中，從競賽成績不低于80分的兩組學(xué)生中按分層抽樣抽取了5名學(xué)生，再從抽取的這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生到天府廣場參加環(huán)保知識宣傳活動，求這2名學(xué)生的分?jǐn)?shù)在[80，90）中的概率（成都市2019級高三三珍）
9、某廠研究了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：
舊設(shè)備 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新設(shè)備 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別為和，樣本方差分別記為和。
（1）求，，，；
（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果-2
，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）（2021全國高考乙卷）。
〖思考問題4〗
（1）【典例4】是概率與統(tǒng)計(jì)指標(biāo)綜合的問題，解答這類問題需要理解古典概率，平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，方差的基本概念；掌握求古典概率，平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，方差的計(jì)算公式和基本求法；
（2）求某個(gè)事件的概率，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，結(jié)合古典概率的計(jì)算公式通過運(yùn)算就可求出某個(gè)事件的概率；求平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，方差時(shí)，需要根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，結(jié)合相關(guān)公式通過運(yùn)算就可求出相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。
[練習(xí)4]解答下列問題：
1、（理）甲，乙，丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰；比
賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束。經(jīng)抽簽，甲，乙首先比賽，丙輪空。設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為。
（1）求甲連勝四場的概率；
（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；
（3）求丙最終獲勝的概率。
（文）某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品（單位：件）按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個(gè)等級，加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品，B級品，C級品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元，對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元，該廠有甲，乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù)，甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件，廠家決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：
甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表 乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表
等級 A B C D 等級 A B C D
頻數(shù) 40 20 20 20 頻數(shù) 28 17 34 21
（1）分別估計(jì)甲，乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；
（2）分別求甲，乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)？（2020全國高考新課標(biāo)I）
2、某公司為加強(qiáng)對銷售員的考核與管理，從銷售部門隨機(jī)抽取了2019年度某一銷售小組的月均銷售額，該小組各組員2019年度的月均銷售額（單位：萬元）分別為：3.35,3.35,3.38，
3.41,3.43,3.44,3.46,3.48,3.51,3.54,3.56,3.56,3.57,3.59,3.60,3.64,3.64,3.67,3.70,3.70（2020成都市高三三診）。
（1）根據(jù)公司人力資源部門的要求，若月均銷售額超過3.52萬元的組員不低于全組人數(shù)的65%，則對該銷售小組給予獎(jiǎng)勵(lì)，否則不予獎(jiǎng)勵(lì)，判斷該公司是否需要對抽取的銷售小組發(fā)放獎(jiǎng)勵(lì)；
（2）（理）在該銷售小組中，已知月均銷售額最高的5名銷售員中有一名的月均銷售額造假，為找出月均銷售額造假的組員，現(xiàn)決定請專業(yè)機(jī)構(gòu)對這5名銷售員的月均銷售額逐一進(jìn)行審核，直到能確定出造假組員為止，設(shè)審核次數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（文）從該銷售小組月均銷售額超過3.60萬元的銷售員中隨機(jī)抽取2名組員，求選取的2名組員
中至少有1名月均銷售額超過3.68萬元的概率。
3、（理）11分制乒乓球比賽，每贏一球的1分，當(dāng)某局打成10：10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束。甲，乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)，甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立，在某局雙方10：10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了x個(gè)球該局比賽結(jié)束。
（1）求P（x=2）；
（2）求事件“x=4且甲獲勝”的概率。
（文）某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻率分布表。
（1）分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例，產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例；
（2）求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）（精確到0.01）（2019全國高考新課標(biāo)II）附：8.602
【典例5】解答下列問題：
1、在某地區(qū)進(jìn)行流行病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖。
（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（2）估計(jì)該地區(qū)一人患這種疾病年齡在區(qū)間[20,70）的概率；
（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40,50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%，從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間[40,50），求此人患該種疾病的概率（樣本數(shù)據(jù)中的患者年齡位于個(gè)區(qū)間的頻率作為患者年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.00
01）（2022全國高考新高考II卷）
2、某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加，為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分為面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)（，）（i=1，2，-----，20），其中和分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動物的數(shù)量，并計(jì)算得：=60，=1200，=80，=9000，=800。
（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；
（2）求樣本（，）（i=1，2，-----，20）的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為提高樣本的代表性以獲得該
地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由（2020全國高考新課標(biāo)II）。
附：相關(guān)系數(shù)r=，1.414.
〖思考問題5〗
（1）【典例5】是概率與統(tǒng)計(jì)中隨機(jī)抽樣綜合的問題，解答這類問題需要理解古典概率，簡單隨機(jī)抽樣，系統(tǒng)抽樣，分層抽樣的基本概念；掌握求古典概率，簡單隨機(jī)抽樣，系統(tǒng)抽樣，分層抽樣的基本求法；
（2）求某個(gè)事件的概率，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，結(jié)合古典概率的計(jì)算公式通過運(yùn)算就可求出某個(gè)事件的概率；簡單隨機(jī)抽樣，系統(tǒng)抽樣，分層抽樣各具有不同的特點(diǎn)，適用的范圍也不一樣，在具體隨機(jī)抽樣時(shí)，首先注意問題的特征，其次是選用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ缓笤侔聪鄳?yīng)的抽樣方法進(jìn)行抽樣。
[練習(xí)5]解答下列問題：
1、為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某城區(qū)對轄區(qū)內(nèi)A，B，C三類行業(yè)共200個(gè)單位的生態(tài)環(huán)境治理成效進(jìn)行了考核評估，考評分?jǐn)?shù)達(dá)到80分及其以上的單位被稱為“星級”環(huán)保單位，未達(dá)到80分的單位被稱為“非星級”環(huán)保單位，現(xiàn)通過分層抽樣的方法獲得了這三類行業(yè)的20個(gè)單位，其考評分?jǐn)?shù)如下：
A類行業(yè)： 85， 82， 77， 78， 83， 87；
B類行業(yè)： 76， 67， 80， 85， 79， 81；
C類行業(yè)： 87， 88， 76， 86， 75， 84， 90， 82。
（1）試估算著三類行業(yè)中每類行業(yè)的單位個(gè)數(shù)；
（2）若在A行業(yè)抽樣的這6個(gè)單位中，隨機(jī)選取3個(gè)單位進(jìn)行交流發(fā)言，求選出的3個(gè)單位中既有“星級”環(huán)保單位，又有“非星級”環(huán)保單位的概率（2020成都市高三零診）
概率和統(tǒng)計(jì)綜合問題高考大題的類型與解法
概率和統(tǒng)計(jì)綜合問題是近幾年高考的熱點(diǎn)問題之一，可以這樣毫不夸張地說，只要是數(shù)學(xué)高考試卷，都必有一個(gè)概率和統(tǒng)計(jì)綜合問題的12分大題。從題型上看是18或19題的12分大題，難度為中，低檔題型，一般的考生都會拿到9到12分。縱觀近幾年高考試卷，歸結(jié)起來概率和統(tǒng)計(jì)綜合大題問題主要包括：①概率與統(tǒng)計(jì)中22列聯(lián)表的綜合問題；②概率與統(tǒng)計(jì)中線性回歸方程的綜合問題；③概率與統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的綜合問題；④概率與簡單隨機(jī)抽樣的綜合問題；⑤概率與統(tǒng)計(jì)圖的綜合問題等幾種類型。各種類型問題結(jié)構(gòu)上具有一定的特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實(shí)際解答概率和統(tǒng)計(jì)綜合大題問題時(shí)，到底應(yīng)該如何抓住問題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準(zhǔn)確地解答問題呢？下面通過典型例題的詳細(xì)解析來回答這個(gè)問題。
【典例5】解答下列問題：
1、某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段
由參賽隊(duì)中的一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段，由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分，該隊(duì)的比賽成績?yōu)榈诙A段得分的總和。某參賽隊(duì)由甲，乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立。（2024全國高考新高考II）
（1）若p=0.4,q=0.5，甲參加第一階段比賽，求甲，乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分的概率；
（2）假設(shè)0＜p＜q。
①為使得甲，乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段的比賽？
②為使得甲，乙所在隊(duì)的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段的比賽？
【解析】
【考點(diǎn)】①相互獨(dú)立事件概率定義與性質(zhì)；②求相互獨(dú)立事件概率的基本方法；③互斥事件概率定義與性質(zhì)；④求互斥事件概率的基本方法；⑤隨機(jī)變量概率分布定義與性質(zhì)；⑥求隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望定義與性質(zhì)；⑦求隨機(jī)變量分布列的基本方法；；⑧求隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的基本方法。
【解題思路】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的性質(zhì)，運(yùn)用求相互獨(dú)立事件概率的基本方法，結(jié)合問題條件就可求出甲，乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分的概率；（2）①根據(jù)相互獨(dú)立事件和互斥事件概率的性質(zhì)，運(yùn)用求相互獨(dú)立事件概率和互斥事件概率的基本方法，結(jié)合問題條件分別求出甲，乙參加第一階段比賽第使得甲，乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率，就可得出結(jié)論；②根據(jù)隨機(jī)變量概率分布列和數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，運(yùn)用求隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的基本方法，分別求出甲，乙參加第一階段比賽關(guān)于隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望，就可得出為使得甲，乙所在隊(duì)的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段的比賽。
【詳細(xì)解答】（1）設(shè)甲，乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分的事件為A，p=0.4,q=0.5，甲參加第一階段比賽，p（A）=[1-][1-]=0.7840.875=0.686；（2）①設(shè)甲參加第一階段比賽，甲，乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的事件為B，乙參加第一階段比賽，甲，乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的事件為C，0＜p＜q，p（B）=[1-]=-.
，p（C）=[1-]=-.，p（B）-p（C）=-.
-+.=（q-p）（+pq+）+ （p-q）[++（p-pq）（q-pq）]
=3pq（p-q）[(1-p)(1-q)-1]>0，p（B）>-p（C），若0＜p＜q，為使得甲，乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由甲參加第一階段的比賽；②若甲參加第一階段比賽，當(dāng)0＜p＜q時(shí)，設(shè)甲，乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)殡S機(jī)變量X，X的可能取值為0，5，10，15，
p（X=0）=[1-]，p（X=5）=3q[1-]，p（X=10）=3
]（1-q），p（X=15）=[1-]，若乙參加第一階段比賽，當(dāng)0＜p＜q時(shí)，設(shè)甲，乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)殡S機(jī)變量Y，Y的可能取值為0，5，10，15，p（Y=0）=[1-]，p（Y=5）=3p[1-]，p（Y=10）=3[1-]（1-p），
p（Y=15）=[1-]，隨機(jī)變量X的概率分
布列分別如表所示：
X 0 5 10 15
p [1-] 3q[1-] 3]（1-q） [1-]
Y 0 5 10 15
p [1-] 3p[1-] 3]（1-p） [1-]
EX=0+15q[1-]+30]（1-q）+15 [1-] =15 [1-]（q-2++2-2+) =15q[1-]，EY=0+15p[1-]+30 [1-
]（1-p）+15 [1-] =15 [1-]（p-2++2-2+) =15p[1-]，EX-EY=15q[1-]-15p[1-]=15（p-q）pq（p+q-3）>0，E（X）>-E（Y），若0＜p＜q，為使得甲，乙所在隊(duì)的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由甲參加第一階段的比賽。
2、（理）某省舉辦了一次高三年級化學(xué)模擬考試，其中甲市有10000名學(xué)生參考，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，該省及各市本次模擬考試成績（滿分100分）都近似服從正態(tài)分布N（u，）。
（1）已知本次模擬考試甲市平均成績?yōu)?5分，87分以上共有228人，甲市學(xué)生A的成績?yōu)?6分，試估計(jì)學(xué)生A在甲市的大致名次；
（2）在該省本次模擬考試的參考學(xué)生中隨機(jī)抽取40人，記X表示在本次考試中化學(xué)成績在（u-3，u+3）之外的人數(shù)，求P（X≥1）的概率及X的數(shù)學(xué)期望。
參考數(shù)據(jù)：0.9011，參考公式：若XN（u，），有P（u-（文）2024年1月，某市的高二調(diào)研考試首次采用了“3+1+2”新高考模式，該模式下，計(jì)算學(xué)生個(gè)人總成績時(shí)，“3+1”的學(xué)科均以原始分記入，再選的“2”個(gè)學(xué)科（學(xué)生在政治，地理，化學(xué)，生物中選修的2科）以賦分成績記入，賦分成績的具體算法是：先將該市某再選科目原始成績按從高到低劃分為A，B，C，D，E五個(gè)等級，各等級人數(shù)所占比例分別約為15%，35%，35%，13%，2%，依照轉(zhuǎn)換公式，將五個(gè)等級的原始分分別轉(zhuǎn)換到10086，8571，7056，5541，4030五個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，并對所得分?jǐn)?shù)的小數(shù)點(diǎn)后一位進(jìn)行“四舍五入”，最后得分保留為整數(shù)的轉(zhuǎn)換分成績，并作為賦分成績，具體等級比例和賦分區(qū)間如下表：已知該市本次高二調(diào)研考試化學(xué)科目考試成績滿分為100分。
（1）已知轉(zhuǎn)換公式符合一次函數(shù)模型，若學(xué)生甲，乙在本次考試中化學(xué)成績分別為84，78，轉(zhuǎn)換分成績?yōu)?8，71，試估算該市本次化學(xué)原始成績B等級中的最高分；
（2）現(xiàn)從該市本次高二調(diào)研考試的化學(xué)成績中隨機(jī)選取100名學(xué)生的原始成績進(jìn)行分析，其頻率分布直方圖如圖所示，求出圖中a的值，并用樣本估計(jì)總體的方法，估計(jì)該市本次化學(xué)原始成績B等級中的最低分。
【解析】
【考點(diǎn)】①正態(tài)分布定義與性質(zhì)；②隨機(jī)變量概率分布定義與性質(zhì)；③求隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的基本求法；④一元一次函數(shù)定義與性質(zhì)；⑥頻率分布直方圖定義與性質(zhì)；⑦樣本估計(jì)總體的基本方法。
【解題思路】（理）（1）根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，結(jié)合問題條件求出的值，從而得出系數(shù)A成績在該市的大致名次；（2）根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，分別求出隨機(jī)抽取一名學(xué)生在（u-3【詳細(xì)解答】（理）（1）本次模擬考試成績（滿分100分）近似服從正態(tài)分布N（u，），u=65分，=0.0228，=
=0.0228，P（X≥u+2）=0.0228，u+=65+2=87，=11，76=65+11=6
5+，==0.1587，P（X≥u+）=0.1587，估計(jì)學(xué)生A在甲市的大致名次為1587名；（2）在甲市參考學(xué)生中，隨機(jī)抽取1名學(xué)生，成績在（u-3，u+3）之內(nèi)的概率為P（u-30.0989，隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX=np=400.0026=0.104。
（文）（1）設(shè)一元一次函數(shù)模型為y=kx+b，學(xué)生甲，乙在本次考試中化學(xué)成績分別為84，78，轉(zhuǎn)換分成績?yōu)?8，71，78=84k+b①，71=78k+b②，聯(lián)立①②解得：k=，b=-20，轉(zhuǎn)換公式為y=x-20，y=85時(shí)，x=90，估算該市本次化學(xué)原始成績B等級中的最高分為90分；（2）設(shè)樣本中該市本次化學(xué)原始成績B等級中的最低分為x，10（0.005+0.010+0.012+0.015+a+0.033）=1，a=0.025，10（0.010+0.015+0.025）=0.5=15%+35%，x=70分，即該市本次化學(xué)原始成績B等級中的最低分為70分。
課外閱讀對于培養(yǎng)學(xué)生閱讀興趣，拓寬知識視野，提高閱讀能力具有重要作用。3、某市為了解中學(xué)生的課外閱讀情況，從該市全體中學(xué)生中隨機(jī)抽取了500名學(xué)生，調(diào)查他們在寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長t（單位：分鐘）得到如表所示的頻數(shù)分布表，已知所調(diào)查的學(xué)生中寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長不超過100分鐘。
時(shí)長t [0，20） [20，40） [40，60） [60，80） [80，100]
學(xué)生人數(shù) 50 100 200 125 25
估計(jì)這500名學(xué)生寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長（同一組中的數(shù)據(jù)用該
組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
（2）（理）用頻率估計(jì)概率，從該市中學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加座談，抽到的學(xué)生寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長在[0，20）內(nèi)記0分，在[20，60）內(nèi)記1分，在[60，100]內(nèi)記2分，用X表示這兩名學(xué)生得分之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。（文）若按照分層抽樣的方法從本次調(diào)查中寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長在[0，20）和[20，40）的兩組中共抽取6人進(jìn)行問卷調(diào)查，并從6人中隨機(jī)選取2人進(jìn)行座談，求這2人中至少有一人寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長在[0，20）的概率。
【解析】
【考點(diǎn)】①頻數(shù)定義與性質(zhì)；②一組數(shù)據(jù)平均數(shù)定義與性質(zhì)；③求一組數(shù)據(jù)平均數(shù)的基本方法；④頻率定義與性質(zhì)；⑤隨機(jī)變量分布列定義與性質(zhì)；⑥求隨機(jī)變量分布列的基本方法；
⑦隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望定義與性質(zhì)；⑧求隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的基本方法。
【解題思路】（1）根據(jù)頻數(shù)和已知隨機(jī)平均數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用求已知隨機(jī)平均數(shù)的基本方法，結(jié)合問題條件就可求出這500名學(xué)生寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長；（理）（2）根據(jù)頻率，隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，運(yùn)用求隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的基本方法，結(jié)合問題條件就可求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望。（文）若按照分層抽樣的方法從本次調(diào)查中寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長在[0，20）和[20，40）的兩組中共抽取6人進(jìn)行問卷調(diào)查，并從6人中隨機(jī)選取2人進(jìn)行座談，求這2人中至少有一人寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長在[0，20）的概率。
【詳細(xì)解答】（1）==49（分鐘），估計(jì)這500名學(xué)生寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)
長為=49分鐘；（2）（理）用頻率估計(jì)概率，隨機(jī)X表示這兩名學(xué)生得分之和，隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，4，p（X=0）==，p（X=1）=2 X 0 1 2 3 4
=，p（X=2）=+2=， p
p（X=3）=2=，p（X=4）==，隨機(jī)變量X的分布列如表所示，EX=0+1+2+3+4=（分鐘）隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為分鐘。（文）設(shè)抽出這2人中至少有一人寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長在[0，20）的事件為C，按照分層抽樣的方法從本次調(diào)查中寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長在[0，20）和[20，40）的兩組中共抽取6人，寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長在[0，20）抽出的人數(shù)為=2（人），寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長在[20，40）抽出的人數(shù)為=4（人），令平均時(shí)長在[0，20）的2人分別為，，平均時(shí)長在[20，40）的4人分別為，，，，從6人中隨機(jī)抽取2人的基本事件共有，，，，，，，，，，，，，，15個(gè)，抽出這2人中至少有一人寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長在[0，20）的基本事件有，，，，，，，，9個(gè)，p（C）==，抽出這2人中至少有一人寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長在[0，20）的概率為。
4、“十四五”時(shí)期，成都基于歷史文化底蘊(yùn)，獨(dú)特資源 賦，生活城市特質(zhì)和市民美好生活需要，高水平推進(jìn)“三城三都”（世界文創(chuàng)名城，旅游名城，賽事名城和國際美食之都，音樂之都，會展之都）建設(shè)，2023年，成都大運(yùn)會的成功舉辦讓賽事名城的形象深入人心，讓世界看到成都的專業(yè)，活力和對體育的熱愛；2024年，相約去鳳凰山體育場觀看成都蓉城隊(duì)的比賽已經(jīng)成為成都人最時(shí)尚的生活方式之一，已知足球比賽積分規(guī)則為：球隊(duì)勝一場積3分，平一場積1分，負(fù)一場積0分，成都蓉城隊(duì)2024年七月還將迎來主場與A對和客場與B隊(duì)的兩場比賽，根據(jù)前期比賽成績，設(shè)成都蓉城隊(duì)主場與A隊(duì)比賽取勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為；客場與B隊(duì)比賽取勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為，且兩場比賽結(jié)果相互獨(dú)立。
求成都蓉城隊(duì)七月主場與A隊(duì)比賽獲得積分超過客場與B隊(duì)比賽獲得積分的概率；
用X表示成都蓉城隊(duì)七月與A隊(duì)和B隊(duì)比賽獲得積分之和，求X的分布列與期望。
【解析】
【考點(diǎn)】①隨機(jī)事件定義與性質(zhì)；②相互獨(dú)立事件定義與性質(zhì)；③互斥事件定義與性質(zhì)；④隨機(jī)變量概率分布列定義與性質(zhì)；⑤隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望定義與性質(zhì)；⑥求隨機(jī)事件，相互獨(dú)
立事件和互斥事件概率的基本方法；⑦求隨機(jī)變量概率分布列（或數(shù)學(xué)期望）的基本方法。
【解題思路】（1）根據(jù)隨機(jī)事件，相互獨(dú)立事件和互斥事件的性質(zhì)，運(yùn)用求隨機(jī)事件，相互獨(dú)立事件和互斥事件概率的基本方法，結(jié)合問題條件就可求出成都蓉城隊(duì)七月主場與A隊(duì)比賽獲得積分超過客場與B隊(duì)比賽獲得積分的概率；（2）根據(jù)事件事件概率分布列和數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，運(yùn)用求隨機(jī)變量概率分布列（或數(shù)學(xué)期望）平面法向量的基本方法，就可求出隨機(jī)變量X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望。
【詳細(xì)解答】（1）設(shè)成都蓉城隊(duì)七月主場與A隊(duì)比賽獲得積分超過客場與B隊(duì)比賽獲得積分的事件為C，p（C）=++=++=，成都蓉城隊(duì)七月主場與A隊(duì)比賽獲得積分超過客場與B隊(duì)比賽獲得積分的概率為；（2）隨機(jī)變量X表示成都蓉城隊(duì)七月與A隊(duì)和B隊(duì)比賽獲得積分之和，隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，4，6，p（X=0）==，p（X=1）=+=，p（X=2）==，
p（X=3）=+=，p（X=4）=+=，p（X=6）==，隨機(jī)變量X的概率分布列為： X 0 1 2 3 4 6
P 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為EX=0+1+2+3+4+6=。
5、甲，乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃。無論之前投籃情況如何，甲每次投籃命中率均為0.6，乙每次投籃命中率均為0.8，由抽簽確定第一次投籃的人選，第一次投籃的人是甲，乙的概率各為0.5。
（1）求第二次投籃的人是乙的概率；
（2）求第i次投籃的人是甲的概率；
（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且p（=1）=1-p（=0）=qi，i=1，2，---n，則E（）=，記前n次（即從第一次到第n次）投籃中甲投籃的次數(shù)為Y，求E（Y）（2023全國高考新高考I）。
【解析】
【考點(diǎn)】①相互獨(dú)立事件概率定義與性質(zhì)；②求相互獨(dú)立事件概率的基本方法；③互斥事件概率定義與性質(zhì)；④求互斥事件概率的基本方法；⑤隨機(jī)變量概率分布定義與性質(zhì)；⑥求隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的基本方法。
【解題思路】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件和互斥事件概率的性質(zhì)，運(yùn)用求相互獨(dú)立事件概率和互斥事件概率的基本方法，結(jié)合問題條件就可求出第二次投籃的人是乙的概率；（2）根據(jù)相互獨(dú)立事件和互斥事件概率的性質(zhì)，運(yùn)用求相互獨(dú)立事件概率和互斥事件概率的基本方法，結(jié)合問題條件就可求出第i次投籃的人是甲的概率；（3）由（2）得到隨機(jī)變量Y的概率分布列，根據(jù)隨機(jī)變量概率分布列的性質(zhì)，運(yùn)用求隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的基本方法就可求出E（Y）的值。
【詳細(xì)解答】（1）設(shè)第i次甲投籃命中的事件為，第i次乙投籃命中的事件為，第二次投籃的人是乙的事件為C，第二次投籃的人是乙的可能情況有兩種，其一，第一次投籃的人是甲，且甲第一次投籃沒有命中；其二，第一次投籃的人是乙，且乙第一次投籃命中，
p（C）=0.5（1-0.6）+0.50.8=0.2+0.4=0.6，即第二次投籃的人是乙的概率為0.6；（2）設(shè)第i次投籃的人是甲的事件為，當(dāng)i=1時(shí)，p（）=0.5，當(dāng)i≥2時(shí)，p（）=0.6p（）+0.2（1-p（））=0.4p（）+0.2，p（）-=（p（）-），p（）=0.5（1-0.8）+0.50.6=0.1+0.3=0.4，-=，-=，數(shù)列{（p（）-}是以
為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，p（）-=，p（）=+，
即第i次投籃的人是甲的概率為+；（3）設(shè)第i次投籃的人是甲的事件為，
隨機(jī)變量Y的概率分布列滿足：p（）=+（i=1，2，---n，），
E（Y）===+=（1-）+（n）。
6、甲，乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0
分，沒有平局，三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍，已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立。
（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；
（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望（2022全國高考甲卷理）
【解析】
【考點(diǎn)】①相互獨(dú)立事件定義與性質(zhì)；②互斥事件定義與性質(zhì)；③求相互獨(dú)立事件概率的基本方法；④求互斥事件概率的基本方法；⑤隨機(jī)變量概率分布列定義與性質(zhì)；⑥隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望定義與性質(zhì)；⑦求隨機(jī)變量概率分布列和數(shù)學(xué)期望的基本方法。
【解題思路】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件和互斥事件的性質(zhì)，運(yùn)用求相互獨(dú)立事件和互斥事件概率的基本方法，結(jié)合問題條件就可求出甲學(xué)校獲得冠軍的概率；（2）根據(jù)隨機(jī)變量概率分布列和數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，運(yùn)用求隨機(jī)變量概率分布列和數(shù)學(xué)期望的基本方法，結(jié)合問題條件就可求出隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望。
【詳細(xì)解答】（1）設(shè)甲學(xué)校獲得冠軍的事件為A，甲學(xué)校獲得冠軍要么比賽的三個(gè)項(xiàng)目都獲勝，要么是比賽的三個(gè)項(xiàng)目中兩個(gè)獲勝，甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8， p（A）=0.50.40.8+0.50.4(1-0.8)+ 0.5(1-0.4)0.8+(1-0.5)0.40.8=0.16+0.04
+0.24+0.16=0.6；（2）由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值為0，10，20，30，p（X=0）=0.50.40.8=0.16，p（X=10）=0.50.4(1-0.8)+ 0.5(1-0.4)0.8+(1-0.5)0.40.8=0.44，
p（X=20）=0.5（1-0.4）(1-0.8)+（1- 0.5）(1-0.4)0.8+(1-0.5)0.4（1-0.8）=0.06+0.24
+0.04=0.34，p（X=30）=（1-0.5）（1-0.4）(1-0.8)=0.06，隨機(jī)變量X的概率分布列如表所示，隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E（X） X 0 10 20 30
=00.16+100.44+200.34+300.06=0 p 0.16 0.44 0.34 0.06
+4.4+6.8+1.8=13（分）。
7、某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確，則從另一類問題中在隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束。A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分。已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)（2021全國高考新高考I卷）。
（1）若小明先回答A類問題，記X為小明累計(jì)得分，求X的分布列；
（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)該選擇先回答哪類問題？并說明理由。
【解析】
【考點(diǎn)】①古典概率的定義與性質(zhì)；②求古典概率的基本求法；③求隨機(jī)變量概率分布列的基本方法；④求隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的基本求法。
【解題思路】（1）根據(jù)古典概率的性質(zhì)和求古典概率的基本方法，結(jié)合問題條件分別求出X=0分，X=20分，X=100分的概率，運(yùn)用求隨機(jī)變量分布列的基本方法就可求出小明先回答A類問題，記X為小明累計(jì)得分時(shí)，X的分布列；（2）根據(jù)求隨機(jī)變量概率分布列的基本方法，結(jié)合問題條件求出頻率的求法求出小明先回答B(yǎng)類問題，記Y為小明累計(jì)得分時(shí)，Y的分布列，運(yùn)用求隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的基本方法，分別求出小明先回答A類問題，隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和小明先回答B(yǎng)類問題，隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)變量的數(shù)學(xué)期望就可得出結(jié)論。
【詳細(xì)解答】（1）隨機(jī)變量X的可能取值為0分， 隨機(jī)變量X 0 20 100
20分，100分，p（X=0）=1-0.8=0.2，p（X=20） 概率p 0.2 0.32 0.48
=0.8 （1-0.6）=0.32，p（X=100）=0.8 0.6=0.48，小明先回答A類問題，記X為小明累計(jì)得分時(shí)，X的分布列如表所示；（2）小明先回答B(yǎng)類問題，記Y為小明累計(jì)得分，隨機(jī)變量Y的可能取值為0分，80分，100分，p 隨機(jī)變量Y 0 80 100
（Y=0）=1-0.6=0.4，p（Y=80）=0.6（1-0.8） 概率p 0.4 0.12 0.48
=0.12，p（Y=100）=0.60.8=0.48，小明先回答B(yǎng)類問題，記Y為小明累計(jì)得分時(shí)，Y的分布列如表所示, EX=0+0.3220+1000.48=54.4（分），EY=0+0.1280+1000.48=57.6（分），57.6>54.4，為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)該選擇先回答B(yǎng)類問題。
8、《營造法式》是中國北宋時(shí)期官方頒布的一部建筑設(shè)計(jì)與施工的書籍，標(biāo)志著我國古代建筑技術(shù)和工藝發(fā)展到了較高水平，中國近代建筑之父梁恩成用現(xiàn)代語言和制圖方法對該書進(jìn)行了注釋，著有《（營造法式）注釋》，為了讓建筑類學(xué)生了解古建筑設(shè)計(jì)與構(gòu)造的原理，某建筑大學(xué)為大三和大四的學(xué)生開設(shè)了一門選修課程《營造法式及其注釋》，為檢測學(xué)生學(xué)習(xí)效果，要求所有選修該門課程的學(xué)生完成“應(yīng)用營造法式獨(dú)立制作一件古建筑模型”的作業(yè)，已知選修該門課程的大三與大四學(xué)生的人數(shù)之比為3:2，現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有作業(yè)中隨機(jī)抽取100份（每位學(xué)生均上交一份作業(yè)），并評出成績，得到如下頻率分布表：
（理）（1）求x，y的值，并估計(jì)這100份作業(yè)中大三學(xué)生作業(yè)的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
（2）在這100份作業(yè)的樣本中，從成績在[50，80）的大四學(xué)生作業(yè)中隨機(jī)抽取2份，記抽取的這2份作業(yè)中成績在[60，70）的份數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望。
成績（單位：分） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100）
頻數(shù)（不分年級） 4 x 20 38 30
頻數(shù)（大三年級） 3 6 15 y 12
（文）（1）求y的值，若以頻率作為概率，從選修該門課程的大四學(xué)生中隨機(jī)選取1名，試估計(jì)該學(xué)生的作業(yè)成績在[60，80）的概率；
（2）估計(jì)這100份作業(yè)中大三學(xué)生作業(yè)的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）（2021成都市高三三診）
【解析】
【考點(diǎn)】①頻數(shù)的定義與性質(zhì)；②加權(quán)平均數(shù)計(jì)算公式及運(yùn)用；③隨機(jī)變量概率分布列的定義與性質(zhì)；④求隨機(jī)變量概率分布列的基本方法；⑤隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義與性質(zhì)；⑥求隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的基本方法；⑦隨機(jī)事件概率大于與性質(zhì)；⑧求隨機(jī)事件概率的基本方法。
【解題思路】（理）（1）根據(jù)頻數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合問題條件分別得到關(guān)于x，y的方程，求解方程求出x，y的值，根據(jù)求加權(quán)平均數(shù)公式和基本方法就可求出大三學(xué)生作業(yè)的平均成績；（2）運(yùn)用求隨機(jī)變量概率分布列的基本方法求出隨機(jī)變量X的分布列，根據(jù)分布列利用求隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的基本方法通過運(yùn)算就可求出隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望。（文）（1）根據(jù)頻數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合問題條件分別得到關(guān)于y的方程，求解方程求出y的值，運(yùn)用隨機(jī)事件概率的性質(zhì)和求隨機(jī)事件概率的基本方法，就可求出該學(xué)生的作業(yè)成績在[60，80）的概率；（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表，運(yùn)用加權(quán)平均數(shù)計(jì)算公式就可求出這100份作業(yè)中大三學(xué)生作業(yè)的平均成績。
【詳細(xì)解答】（理）（1）4+x+20+38+30=100，x=100-（4+20+38+30）=8，3+6+15+y+12
=100=60，y=60-（3+6+15+12）=24，
=81（分），這100份作業(yè)中大三學(xué)生作業(yè)的平均成績?yōu)?1分；（2）由題意可知，X的取值可能為0，1，2，這100名學(xué)生中成績在[50，80）的大四學(xué)生人數(shù)為1+2+5=8（人），成績在[60，70）的大四學(xué)生人數(shù)為8-6=2(人)， X 0 1 2
p(X=0)= ==，p(X=1)= p
= = ，p(X=2)= = = ，隨機(jī)變量X的概率分布列如表所示，隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為 0+1+2=。（文）（1）設(shè)從選修該門課程的大四學(xué)生中隨機(jī)選取1名，該學(xué)生的作業(yè)成績在[60，80）的事件為A3+6+15+y+12=100=60，
y=60-（3+6+15+12）=24，4+x+20+38+30=100，x=100-（4+20+38+30）=8，這100
名學(xué)生中大四學(xué)生的人數(shù)為100=40（人），大四學(xué)生中作業(yè)成績在[60，80）的人數(shù)為
（8+20）-（6+15）=7（人），p(A)= ，即從選修該門課程的大四學(xué)生中隨機(jī)選取1
名，估計(jì)該學(xué)生的作業(yè)成績在[60，80）的概率為；
（2）==81（分），這100份作業(yè)中大三學(xué)生作業(yè)的平均成績?yōu)?1分。
〖思考問題1〗
（1）【典例1】是統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望綜合的問題，解答這類問題需要理解隨機(jī)事件概率，統(tǒng)計(jì)圖，隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)我的基本概念；掌握求隨機(jī)事件概率，隨機(jī)
變量概率分布列與數(shù)學(xué)期望的基本求法和統(tǒng)計(jì)表（或統(tǒng)計(jì)圖）的性質(zhì)與基本作法；
（2）求某事件的概率，根據(jù)統(tǒng)計(jì)表（或統(tǒng)計(jì)圖），結(jié)合隨機(jī)事件概率的計(jì)算公式通過運(yùn)算就可求出某個(gè)事件的概率；運(yùn)用統(tǒng)計(jì)表（或統(tǒng)計(jì)圖）解答相關(guān)問題時(shí)，應(yīng)該根據(jù)問題條件確定統(tǒng)計(jì)表（或統(tǒng)計(jì)圖）屬于哪一種類型，結(jié)合這種統(tǒng)計(jì)表（或統(tǒng)計(jì)圖）的性質(zhì)實(shí)施問題的解答；求隨機(jī)變量概率分布列（或數(shù)學(xué)期望）的基本方法是：①確定隨機(jī)變量的可能取值；②分別求出各隨機(jī)變量值的概率；③得到隨機(jī)變量概率分布列，從而求出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。
[練習(xí)1]解答下列問題：
1、2019年12月，《生活垃圾分類標(biāo)志》新標(biāo)準(zhǔn)發(fā)布并正式實(shí)施，為進(jìn)一步普及生活垃圾分類知識，了解居民生活垃圾分類情況，某社區(qū)開展了一次關(guān)于垃圾分類的問卷調(diào)查活動，并對隨機(jī)抽取的1000人的年齡進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下的各年齡段頻數(shù)分布表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：
（1）請補(bǔ)全各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖，并求出各年齡段頻數(shù)分布表中m，n的值；
（2）現(xiàn)從年齡在,[30，40）段中采用分層抽樣的方法選取5名代表參加垃圾分類知識交流活動，應(yīng)社區(qū)要求，從被選中的這5名代表中任意選2名作交流發(fā)言，求選取的2名發(fā)言者中恰有1名年齡段在[35，40）段中的概率（2021成都市高三零診）。
（答案：（1）補(bǔ)全各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖如圖所示，n=100，m=200；（2）從被選中的這5名代表中任意選2名作交流發(fā)言，選取的2名發(fā)言者中恰有1名年齡段在[35，40）段中的概率為。）
2、2018年央視大型文化節(jié)目《經(jīng)典詠流傳》的熱播，在全民中掀起了誦讀詩詞的熱潮，某大學(xué)社團(tuán)調(diào)查了該校文學(xué)院300名學(xué)生每天誦讀詩詞的時(shí)間（所有學(xué)生誦讀時(shí)間都在兩小時(shí)內(nèi)），并按時(shí)間（單位：分鐘）將學(xué)生分成六個(gè)組：［0,20），［20,40），［40,60），［60,80），［80,100），［100,120］，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到了如圖所示的頻率分布直方圖（2019成都市高三零診）。
（1）求頻率分布直方圖中a的值；并估計(jì)該校文學(xué)院的學(xué)生每天誦讀詩詞的時(shí)間的平均數(shù)；
（2）若兩個(gè)同學(xué)誦讀詩詞的時(shí)間x，y滿足|x-y|＞60，則這兩個(gè)同學(xué)組成一個(gè)“Tean”,已知從每天誦讀詩詞的時(shí)間小于20分鐘和大于或等于80分鐘的所有學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取了5人，現(xiàn)從這5人中隨機(jī)選取2人，求選取的兩人能組成一個(gè)“Tean”的概率。
（答案：（1）a=0.0025，該校文學(xué)院的學(xué)生每天誦讀詩詞的時(shí)間的平均數(shù)為64（分鐘）；（2）從這5人中隨機(jī)選取2人，選取的兩人能組成一個(gè)“Tean”的概率。）
3、（理）某部門為了解企業(yè)在生產(chǎn)過程中的用水量情況，對每 7 3 1
天的用水量作了記錄，得到了大量該企業(yè)的日用水量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)， 8 3 5 6 7 8 9
從這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取12天的數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所 9 5 7 8 9
示的莖葉圖（單位：噸），若用水量不低于95噸，則稱這一天
的用水量超標(biāo)。
（1）從這12天的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3個(gè)，求至多有1天用水量超標(biāo)的概率；
（2）以這12天的樣本數(shù)據(jù)中用水量超標(biāo)的頻率作為概率，估計(jì)該企業(yè)未來3天中用水量超標(biāo)的天數(shù)，記隨機(jī)變量X為未來3天中用水量超標(biāo)的天數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。
（文）某部門為了解企業(yè)在生產(chǎn)過程中的用水量 日用水量 ［70,80）［80,90）［90,100］
情況，對每天的用水量作了記錄，得到了該企業(yè)（單位：噸）
的日用水量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，從這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī) 頻數(shù) 3 6 m
抽取12天的用水量的數(shù)據(jù)作為樣本，得到的統(tǒng) 頻率 n 0.5 p
計(jì)結(jié)果如右表：（2018成都市高三一診）
（1）求m，n，p的值；
（2）已知樣本中日用水量在［80,90）內(nèi)的這六個(gè)數(shù)據(jù)分別為83，85，86，87，88，89，從六個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)，求抽取的兩個(gè)數(shù)據(jù)中至少有一個(gè)大于86的概率。
（答案：（理）（1）即從這12天的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3個(gè)，至多有1天用水量超標(biāo)的概率為；（2）隨機(jī)變量X的分布列如表所示， X 0 1 2 3
隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為1天。 P
（文）（1）m=3，n=0.25，p=0.25；（2）從六個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)，抽取的兩個(gè)數(shù)據(jù)中至少有一個(gè)大于86的概率為。）
（理）某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶
6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完。根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每
天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：）有關(guān)，如果氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果
氣溫位于區(qū)間［20，25），需求量為300瓶；如果氣溫低于20，需求量為200瓶。為了確定6月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得到下面的頻率分布表：
最高氣溫 ［10，15）［15，20）［20，25）［25，30）［30，35）［35，40）
天數(shù) 2 16 36 25 7 4
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率（2017全國高考新課標(biāo)III卷）。
（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；
（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n（單位：瓶）為多少時(shí)，y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？
（文）（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；
（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出y的所有可能值，并估計(jì)y大于零的概率。
（答案：（理）（1）隨機(jī)變量X的分布列如表所示， X 200 300 500
當(dāng)n=300時(shí)，y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值520元。 p
（文）（1）六月份這種酸奶一天的需求量不超過300的概率為；（2）估計(jì)y大于零的概率為。）
【典例2】解答下列問題：
1、某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲，乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨
機(jī)抽取了150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：
優(yōu)級品 合格品 不合格品 總計(jì) 優(yōu)級品 非優(yōu)級品
甲車間 26 24 0 50 甲車間 26 24
乙車間 70 28 2 100 乙車間 70 30
總計(jì) 96 52 2 150
（1）填寫如表列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？
能否有99%的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？
（2）已知升級改造前該工廠產(chǎn)品優(yōu)級品率p=0.5,設(shè)為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)
級品率，如果＞p+1.65，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？
參考數(shù)據(jù)：12.247，=，（2024全國高考甲卷）
p(≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【解析】
【考點(diǎn)】①獨(dú)立性檢驗(yàn)定義與性質(zhì)；②22列聯(lián)表定義與性質(zhì)；③獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本方法；④隨機(jī)事件概率定義與性質(zhì)；⑤求隨機(jī)事件概率的基本方法。
【解題思路】（1）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)和22列聯(lián)表的性質(zhì)，運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本方法，結(jié)合問題條件得出22列聯(lián)表如表所示，從而求出能否有95%的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲，乙

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