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數列高考大題的類型與解法
數列問題也是近幾年高考的熱點問題之一，可以這樣毫不夸張地說，只要是數學高考試卷，都必有一個數列問題的12分大題或兩到三個數列問題的5分小題。從題型上看是17或18題的12分大題或選擇題（也可能是填空題）的5分小題；難度為中，低檔題型，一般的考生都會拿到7到12分；縱觀近幾年高考試卷，歸結起來數列大題問題主要包括：①等差數列與等比數列之間的綜合，運用錯項相減法求數列的前n項和；②等差數列與等比數列之間的綜合，求基本數列（等差數列或等比數列）的前n項和；③等差數列與等比數列之間的綜合，運用裂項相消法求數列的前n項和；④等差數列與等比數列之間的綜合，運用拆項求和法求數列的前n項和；⑤等差數列與等比數列之間的綜合，求數列前n項和的最值等幾種類型。各種類型問題結構上具有一定的特征，解答方法也有一定的規律可尋。那么在實際解答數列大題問題時，到底應該如何抓住問題的結構特征，快捷，準確地解答問題呢？下面通過典型例題的詳細解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
（理）記為{}的前n項和，且4=3+4。
（1）求數列{}的通項公式；
（2）設=n，求數列｛｝的前n項和。
（文）已知等比數列{}的前n項和為，且2=3-3。
（1）求數列{}的通項公式；
（2）求數列{}的前n項和（2024全國高考甲卷）
2、設m為正整數，數列，，------，是公差不為0的等差數列，若從中刪去兩項和（i＜j）后剩余的4m項可被平均分成m組，且每組的4個數都能構成等差數列，則稱數列，，------，是（i，j）一可分數列。
寫出所有的（i，j）1≤i≤j≤6，使數列，，------，是（i，j）一可分數列；
當m ≥ 3時，證明數列，，------，是（2，13）一可分數列；
從1，2，------4m+2中一次任取兩個數i和j（i＜j)，記數列，，------，是
j）一可分數列的概率為，證明>（2024全國高考新高考I）
3、記（x）=x+++---+-2（xR，n）。
（1）當x=2時，（2）為數列{}的前n項和，求數列{}的通項公式；
（2）記（x）是（x）的導函數，求（2）（成都市搞2021級高三二診）
4、已知數列{}中，=1，設為{}的前n項和，2=n。
（1）求數列{}的通項公式；
（2）求數列{}的前n項和。（2023全國高考甲卷理）
5、已知等比數列{}的公比為3，且，+3，-6成等差數列。
（1）求數列{}的通項公式；
（2）求數列{n}的前n項和（成都市高2020級高三二診）
〖思考問題1〗
（1）【典例1】是等差數列，等比數列之間的綜合與一般數列求和的問題，解答這類問題需要理解等差數列，等比數列的定義，通項公式，前n項和公式等基本概念，掌握等差數列，等比數列的通項公式與前n項和公式，并能熟練運用公式解答相關問題，注意一般數列的結構特征，選用恰當的求和方法求出結果；
（2）第一小題一般是求通項公式的問題，解答時只需根據題給條件求出數列的首項和公差d（或公比q），再運用通項公式就可以得出結果；第二小題是一般數列求和的問題，解答時注意數列通項是兩個因式的積，其中一個因式分裂出來構成等差數列，另一個因式分裂出來構成等比數列的特征（這種數列也稱為差比數列），求和的基本方法是錯項相減法；
（3）錯項相減法的基本方法是：①根據通項公式把前n項和表示出來；②將①式的兩邊同乘以等比數列的公比；③兩式相減右邊得到一個基本數列（等差數列或等比數列）與某項（或某幾項）的和；④運用基本數列前n項和公式求出右邊的和；⑤求出數列的前n項和（等式兩邊同除以的系數）。
[練習1]解答下列問題：
1、(理）設數列｛｝滿足=3，=3-4n。
（1）計算，，猜想數列｛｝的通項公式并加以證明；
（2）求數列｛｝的前n項和
（文）設等比數列｛｝滿足+=4，-=8。
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）記為數列｛｝的前n項和，若+=，求m（2020全國高考新課標III）。
2、已知等比數列｛｝的前n項和為，公比q＞1，且+1為，的等差中項，=14。
（1）求數列｛｝的通項公式；
(2)記=.，求數列｛｝的前n項和（2019成都市高三二診）
【典例2】解答下列問題：
1、 已知雙曲線C：-=m（m＞0），點（5，4）在C上，k為常數，0＜k＜n(n=2，3，---)，過斜率為k的直線與C的左支相交于點，令為關于y軸的對稱點，記的坐標為（，）。
若k=，求（，）；
證明數列｛-｝是公比為的等比數列；
設為的面積，證明對任意的正整數n，=（2024全國高考
新高考II）
2、已知數列｛｝為等差數列，數列｛｝是公比為2的等比數列，且-=-
=-。
（1）證明：=；
（2）求集合{k|=+，1m500}中元素個數（2022全國高考新高考II卷）
3、已知等差數列{}滿足2+=0，=2-2。
（1）求數列{}的通項公式；
（2）設=，求數列{}的前n項和（成都市2019級高三一診）
+1，n為奇數，
4、已知數列｛｝滿足：=1，= +2，n為偶數。
（1）記=，寫出，，并求數列{}的通項公式；
（2）求｛｝的前20項和（2021全國高考新高考I）。
5、（理）已知數列{}的各項均為正數，記為{}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立。①數列{}是等差數列；②數列{}是等差數列；③=3。注：若選擇不同組合分別解答，則按第一個解答計分。
（文）記為{}的前n項和，已知>0，=3，且數列{}是等差數列，證明：數列{}是等差數列（2021全國高考甲卷）。
6、（理）記為{}的前n項和，為數列{}的前n項積，已知+=2。
（1）證明：數列{}是等差數列；
（2）求數列{}的通項公式。
（文）設{}是首項為1的等比數列，數列{}滿足：=，已知，3，9成等差數列。
（1）求數列{}，{}的通項公式；
（2）記和分別為{}，{}的前n項和，證明：<（2021全國高考乙卷）。
7、記是公差不為0的等差數列{}的前n項和，若=，.=。
（1）求數列{}的通項公式；
（2）求使>成立的n的最小值（2021全國高考新高考II卷）。
〖思考問題2〗
（1）【典例2】是等差數列，等比數列之間的綜合問題，解答這類問題需要理解等差數列，
等比數列的定義，通項公式，前n項和公式等基本概念，掌握等差數列，等比數列的通項公式與前n項和公式，并能熟練運用公式解答相關問題；
（2）第一小題一般是求通項公式的問題，解答時只需根據題給條件求出數列的首項和公差d（或公比q），再運用通項公式就可以得出結果；第二小題一般是求數列的前n項和，解答時應該分辨清楚數列是等差數列，還是等比數列，然后直接選用相應的前n項和公式通過運算求出結果。
[練習2]解答下列問題：
1、已知數列｛｝中，=1，=3，+3=4，=-，n。
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）記=（+），數列｛｝的前n項和為，求（2021成都市高三三診）。
2、設｛｝是公比不為1的等比數列，為，的等差中項。
（1）求｛｝的公比；
（2）若=1，求數列｛｝的前n項和（2020全國高考新課標I理）。
9、已知公比大于1的等比數列｛｝滿足+=20，=8。
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）記為｛｝在區間（0，m]（m∈）中的項的個數，求數列{}的前100項和（2020全國高考新高考I）
3、已知公比大于1的等比數列｛｝滿足+=20，=8。
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）求-+------+（2020全國高考新高考II）
4、（文）記為等差數列{ }的前n項和，已知=-。
（1）若=4，求數列{ }的通項公式；
（2）若＞0，求使得的n的取值范圍（2019全國高考新課標I）
5、（理）已知數列{ }和{ }滿足=1，=0，4=3-+4，4=3--4。
（1）證明：{ +}是等比數列，{ -}是等差數列；
（2）求數列{ }和{ }的通項公式。
（文）已知{ }是各項均為正數的等比數列，=2，=2+16。
（1）求數列{ }的通項公式；
（2）設= ，求數列{ }的前n項和（2019全國高考新課標II）
【典例3】解答下列問題：
1、設為數列{}的前n項和，已知2=+n。（成都市高2021級高三三珍）
（1）證明數列{+1}是等比數列；
（2）設=（+1），=，求數列{}的前n項和。
2、記為數列｛｝的前n項和，已知=1，{}是公差為的等差數列。
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）證明：+ +------+ <2（2022全國高考新高考I卷）
3、（理）為數列｛｝的前n項和，已知>0，+2=4+3。
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）設=，求數列｛｝的前n項和。
（文）已知等差數列｛｝的前n項和滿足：=0，=-5。
（1）數列｛｝的通項公式；
（2）求數列{}的前n項和（2021全國高考乙卷）。
〖思考問題3〗
（1）【典例3】是等差數列，等比數列之間的綜合與一般數列求和的問題，解答這類問題需要理解等差數列，等比數列的定義，通項公式，前n項和公式等基本概念，掌握等差數列，等比數列的通項公式與前n項和公式，并能熟練運用公式解答相關問題，注意一般數列的結構特征，選用恰當的求和方法求出結果；
（2）第一小題一般是求通項公式的問題，解答時只需根據題給條件求出數列的首項和公差d（或公比q），再運用通項公式就可以得出結果；第二小題是一般數列求和的問題，解答時注意數列通項是一個分式，分式的分子為常數，分母是幾個連續整數的積這一結果特征，然后利用裂項相消法求出數列的前n項和；
（3）裂項相消法求出數列的前n項和的基本方法是：①將數列的通項分裂成兩項之差；②根據數列前n項和的定義，得到數列前n項和的表示式；③消去表示式中中間的項，并求出表示式的結果；④得出所求數列的前n項和。
[練習3]解答下列問題：
1、已知｛｝是遞增的等比列數，=1，且2，，成等差數列。
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）設=（n∈），求數列｛｝的前n項和（2020成都市高三二珍）
2、已知等差數列｛｝的前n項和為，且=2，=66.
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）（理）若數列｛｝滿足=，求證：++------+＜1。（文）若數列｛｝滿足=，求數列｛｝的前n項和（2017成都市高三零珍）
【典例4】解答下列問題：
記為等差數列｛｝的前n項和，已知=11，=40。
求數列｛｝的通項公式；
求數列｛||｝的前n項和（2023全國高考乙卷文）
設等差數列｛｝的公差為d，且d>1，令=，記，分別為數列｛｝，｛｝的前n項和。
若3=3+，+=21，求數列｛｝的通項公式；
若｛｝為等差數列，且-=99，求d（2023全國高考新高考I）
3、數列｛｝為等差數列，= -6，n為奇數，記，分別為｛｝，｛｝的
2，n為偶數，前n項和，=32，=16。
求數列｛｝的通項公式；
證明：當n>5時，>（2023全國高考新高考II）
〖思考問題4〗
（1）【典例4】是等差數列，等比數列之間的綜合問題，解答這類問題需要理解等差數列，
等比數列的定義，通項公式，前n項和公式等基本概念，掌握等差數列，等比數列的通項公式與前n項和公式，并能熟練運用公式解答相關問題；
第一小題一般是求通項公式的問題，解答時只需根據題給條件求出數列的首項和公差d（或公比q），再運用通項公式就可以得出結果；第二小題是求一般數列的前n項和的問題，解答時注意數列通項是幾項的和，每一項分離出來之后可構成基本數列，具有這個特征的數列，求和都采用拆項和法；
拆項求和法的基本方法是：①將通項中的相應項分離出來構成基本數列；②運用基本數列前n項和公式求出各基本數列的前n項和；③把各基本數列前n項和相加；④得出所求數列的前n項和。
[練習4]解答下列問題：
1、（理）已知數列｛｝滿足：=-2，=2+4.
（1）證明數列｛+4｝是等比數列；
（2）求數列｛｝的前n項和。
（文）在等比數列｛｝中，已知=8，且，+1，成等差數列。
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）求數列｛|-4|｝的前n項和（2017成都市一珍）
2、已知數列｛｝的前n項和= (n)。
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）設= + ，求數列｛｝的前2n項和。
【典例5】解答下列問題：
1、記為數列{}的前n項和，已知+n=2+1。
（1）證明：數列{}是等差數列；
（2）若，，成等比數列，求的最小值（2022全國高考甲卷）
2、設為等差數列｛｝的前n項和，已知=-7，=-15。
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）求，并求的最小值（2018全國高考新課標II卷（理））
〖思考問題5〗
（1）【典例5】是等差數列，等比數列之間的綜合與求等差數列前n項和的最值問題，解答這類問題需要理解等差數列，等比數列的定義，通項公式，前n項和公式等基本概念，掌握等差數列，等比數列的通項公式與前n項和公式，并能熟練運用公式解答相關問題，注意等差數列前n項和是關于n的二次函數，運用求函數最值的基本方法就可求出結果；
（2）第一小題一般是求通項公式的問題，解答時只需根據題給條件求出數列的首項和公差d（或公比q），再運用通項公式就可以得出結果；第二小題是求等差數列前n項和的最值問題，解答時注意等差數列前n項和是關于n的二次函數，利用求函數最值的基本方法就可求出等差數列的前n項和的最值。
[練習5]解答下列問題：
1、設{ }是等差數列，=-10，+10，+8，+6成等比數列。
（1）求數列{ }的通項公式；
（2）記{ }的前n項和為，求的最小值（2019全國高考北京（文））
數列高考大題的類型與解法
數列問題也是近幾年高考的熱點問題之一，可以這樣毫不夸張地說，只要是數學高考試卷，都必有一個數列問題的12分大題或兩到三個數列問題的5分小題。從題型上看是17或18題的12分大題或選擇題（也可能是填空題）的5分小題；難度為中，低檔題型，一般的考生都會拿到7到12分；縱觀近幾年高考試卷，歸結起來數列大題問題主要包括：①等差數列與等比數列之間的綜合，運用錯項相減法求數列的前n項和；②等差數列與等比數列之間的綜合，求基本數列（等差數列或等比數列）的前n項和；③等差數列與等比數列之間的綜合，運用裂項相消法求數列的前n項和；④等差數列與等比數列之間的綜合，運用拆項求和法求數列的前n項和；⑤等差數列與等比數列之間的綜合，求數列前n項和的最值等幾種類型。各種類型問題結構上具有一定的特征，解答方法也有一定的規律可尋。那么在實際解答數列大題問題時，到底應該如何抓住問題的結構特征，快捷，準確地解答問題呢？下面通過典型例題的詳細解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、（理）記為{}的前n項和，且4=3+4。
（1）求數列{}的通項公式；
（2）設=n，求數列｛｝的前n項和。
（文）已知等比數列{}的前n項和為，且2=3-3。
（1）求數列{}的通項公式；
（2）求數列{}的前n項和（2024全國高考甲卷）
【解析】
【考點】①數列通項與前n項和之間的關系及運用；②等比數列定義與性質；③求等比數列通項公式的基本方法；④差比數列定義與性質；⑤錯項相減求數列前n項和的基本方法；⑥拆項求數列前n項和的基本方法。
【解題思路】（理）（1）根據數列通項與前n項和之間的關系和等差數列的性質，運用求等差數列通項公式的基本方法就可求出數列{}的通項公式；（2）根據（1）得出數列｛｝的通項公式，運用錯項相減求和法就可求出數列｛｝的前n項和.。（文）（1）根據數列通項與前n項和之間的關系和等差數列的性質，運用求等差數列通項公式的基本方法就可求出數列{}的通項公式；（2）根據（1）得出數列｛｝的通項公式，運用拆項求和法的基本方法就可求出數列｛｝的前n項和。
【詳細解答】（理）（1）當n=1時，4=4=3+4，=4；當n2時，4=3+4
①，4=3+4②，①-②得：4（-）=4=3-3，
=-3，4=4（+）=3+4，=-44+4=-12，當n2時，數列{}是以-12為首項，-3為公比的等比數列，=-12=4（n2），當n=1時，=4=4成立，數列{}的通項公式為=4；（2）由（1）得：=n=4n，=4[1+23+3+-------+（n-1）+n]①，①（-3）得：3=4[3+2+3+-------+（n-1）+n]②，①-②有：-2=-4[1+3+++-------+-n]=-4[-n]=-2+2-4n，=1+(2n-1)。（文）2=3-3①，2=3-3②，①-②得：2（-）=2=3-3，=，當n=1時，2=2=3-3，=1，數列{}是以1為首項，為公比的等比數列，=1=，數列{}的通項公式為=；（2）由（1）知==-，=[++----
+]-n=-n=-n-。
2、設m為正整數，數列，，------，是公差不為0的等差數列，若從中刪去兩項和（i＜j）后剩余的4m項可被平均分成m組，且每組的4個數都能構成等差數列，則稱數列，，------，是（i，j）一可分數列。
（1）寫出所有的（i，j）1≤i≤j≤6，使數列，，------，是（i，j）一可分數列；
（2）當m ≥ 3時，證明數列，，------，是（2，13）一可分數列；
（3）從1，2，------4m+2中一次任取兩個數i和j（i＜j)，記數列，，------，是
j）一可分數列的概率為，證明>（2024全國高考新高考I）
【解析】
【考點】①等差數列定義與性質；②（i，j）一可分數列定義與性質；③證明數列是（i，j）一可分數列的基本方法；④隨機事件概率定義與性質；⑤求隨機事件概率的基本方法。
【解題思路】（1）根據等差數列和（i，j）一可分數列的性質，結合問題條件就可寫出所有的（i，j）1≤i≤j≤6，使數列，，------，是（i，j）一可分數列；（2）根據等差數列和（i，j）一可分數列的性質，運用證明數列是（i，j）一可分數列的基本方法，結合問題條件，就可證明當m ≥ 3時，數列，，------，是（2，13）一可分數列；（3）根據隨機事件，等差數列和（i，j）一可分數列的性質，運用求隨機事件概率的基本方法，結合問題條件，就可證明>。
【詳細解答】（1） 當（i，j）=（1，2）時，數列，，，是公差為d的等差數列；當（i，j）=（1，6）時，數列，，，是公差為d的等差數列；當（i，j）=（5，6）時，數列，，，是公差為d的等差數列；所有的（i，j）1≤i≤j≤6，使數列，，------，是（i，j）一可分數列為（i，j）=（1，2），（i，j）=（1，6），
j）=（5，6）；（2）證明： 當m=3時，數列，，，-----，，，可以分成，，，；，，，；，，，三組公差為3d的等差數列，m=3時，數列，，------，是（2，13）一可分數列； 當m>3時，數列，，------，去掉，后，前三組按m=3時，分為，，，；，，，；，，，三組，后面的每4個相鄰項分為一組，即，，，；----------，，，（m-3）組公差為d的等差數列，m>3時，數列，，------，是（2，13）一可分數列，綜上所述，m≥3時，數列，，------，是（2，13）一可分數列；（3）證明：當m=1時，數列，，，，，為（i，j）一可分數列的概率==>；當m=2時，數列，，，-----，，，為（i，j）一可分數列的概率==>；以此類推，可知當m=1，2，---
5r+2時，數列，，------，是（i，j）一可分數列為+m+1=（m+1）（m+2）個，數列也是（4k+2，6r+1）是（i，j）一可分數列為-m=m（m-1）個，綜上所述，可行的（4k+7，4r+1）與m（m-1）+（m+1）（m+2）=+m+1組，≥
==>。
3、記（x）=x+++---+-2（xR，n）（成都市高2021級高三二診）
（1）當x=2時，（2）為數列{}的前n項和，求數列{}的通項公式；
（2）記（x）是（x）的導函數，求（2）。
【解析】
【考點】①數列通項公式定義與性質；②數列前n項定義與性質；③函數導函數定義與性質；④函數求導公式，法則和基本方法；⑤錯項相減法求數列前n和的基本方法。
【解題思路】（1）根據數列通項公式與前n項和的性質，運用求數列通項公式的基本方法，結合問題條件就可求出數列{}的通項公式；（2）根據函數導函數的性質，運用函數求導公式，法則和基本方法求出（x）的表示式，利用錯項相減法求數列前n和的基本方法，就可求出（2）的值。
【詳細解答】（1）①當n=1時，= （2）=2-2=0，②當n≥2時，=（2）-（2）=++----++-（++----+）=，當n=1時，=20， 數列{} 的通項公式為= 0，n=1，（2）（x）=1+2x+3+4+------2024，（2）
，n≥2； =1+22+3+4+----+2023+2024①，①2，2（2）=2+2+3+----+2023+2024②，①-②得：-（2）=1+2+++----+-2024=-2024=-1-2023，（2）=2023+1。
4、已知數列{}中，=1，設為{}的前n項和，2=n。
（1）求數列{}的通項公式；
（2）求數列{}的前n項和。（2023全國高考甲卷理）
【解析】
【考點】①數列定義與性質；②數列通項公式與前n項和公式之間的關系及運用；③數學疊乘法及運用；④錯項相減求和法及運用。
【解題思路】（1）根據數列的性質，運用數列通項公式與前n項和公式之間的關系，結合問題條件得到關于，的等式，利用數學疊乘法就可求出數列{}的通項公式；（2）根據數列{}通項公式得到數列{}的通項公式，運用錯項相減求和的基本方法就可求出數列{}的前n項和。
【詳細解答】（1）當n=1時，2=2=，=0；當n2時， 2=n①，2=（n-1）②，①-②得：2（-）=2=n-（n-1），（n-2）=（n-1）
，=，=，-------，=，=，=n-1，=n-1(n2)，
當n=1時，=1-1=0成立，數列{}的通項公式為=n-1；（2）數列{}
={}={}， =+2+3+------+（n-1）+n①，①得：=+2+3+------+（n-1）+n②，①-②得：=++
+------++-n=1--n=1-（n+2）， =2-（n+2）。
5、已知等比數列{}的公比為3，且，+3，-6成等差數列。
（1）求數列{}的通項公式；
（2）求數列{n}的前n項和（成都市高2020級高三二診）
【解析】
【考點】①等比數列定義與性質；②等差中項定義與性質；③等比數列通項公式及運用；④錯項相減法求數列前n和的基本方法。
【解題思路】（1）根據等比數列和等差中項的性質，運用等比數列通項公式，結合問題條件得到關于的等式，從而求出的值，就可求出數列{}的通項公式；（2）根據數列{n}的結構特征，運用錯項相減法求數列前n和的基本方法，就可求出數列{n}的前n項和。
【詳細解答】（1） 等比數列{}的公比為3，且，+3，-6成等差數列，2（3+3） =+3-6， =-6， =-6=-2；（2） n=-2n，=-2［3+2+
3+-------+（n-1）+n］①，①3得：3=-2［+2+3+-------+（n-1）+n］②。①-②得：-2=-2（3++++-------+-n）=-2（-n
），=（-n）-。
〖思考問題1〗
（1）【典例1】是等差數列，等比數列之間的綜合與一般數列求和的問題，解答這類問題需要理解等差數列，等比數列的定義，通項公式，前n項和公式等基本概念，掌握等差數列，等比數列的通項公式與前n項和公式，并能熟練運用公式解答相關問題，注意一般數列的結構特征，選用恰當的求和方法求出結果；
（2）第一小題一般是求通項公式的問題，解答時只需根據題給條件求出數列的首項和公差d（或公比q），再運用通項公式就可以得出結果；第二小題是一般數列求和的問題，解答時注意數列通項是兩個因式的積，其中一個因式分裂出來構成等差數列，另一個因式分裂出來構成等比數列的特征（這種數列也稱為差比數列），求和的基本方法是錯項相減法；
（3）錯項相減法的基本方法是：①根據通項公式把前n項和表示出來；②將①式的兩邊同乘以等比數列的公比；③兩式相減右邊得到一個基本數列（等差數列或等比數列）與某項（或某幾項）的和；④運用基本數列前n項和公式求出右邊的和；⑤求出數列的前n項和（等式兩邊同除以的系數）。
[練習1]解答下列問題：
1、(理）設數列｛｝滿足=3，=3-4n。
（1）計算，，猜想數列｛｝的通項公式并加以證明；
（2）求數列｛｝的前n項和
（文）在等比數列｛｝中，已知=8，且，+1，成等差數列。
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）求數列｛|-4|｝的前n項和（2017成都市一珍）
（答案：（理）（1）提示：證明數列相鄰兩項的比為常數；（2）=-4n-2。
（文）（1）數列｛｝的通項公式為：=；（2）=-4n-2。）
2、已知等比數列｛｝的前n項和為，公比q＞1，且+1為，的等差中項，=14。
（1）求數列｛｝的通項公式；
(2)記=.，求數列｛｝的前n項和（2019成都市高三二診）
（答案：（1）=；（2）=（n-1）+2。）
【典例2】解答下列問題：
1、 已知雙曲線C：-=m（m＞0），點（5，4）在C上，k為常數，0＜k＜n(n=2，3，---)，過斜率為k的直線與C的左支相交于點，令為關于y軸的對稱點，記的坐標為（，）。
（1）若k=，求（，）；
（2）證明數列｛-｝是公比為的等比數列；
（3）設為的面積，證明對任意的正整數n，=（2024全國高考
新高考II）
【解析】
【考點】①雙曲線定義與性質；②等比數列定義與性質；③證明數列是等比數列的基本方法；④三角形面積公式及運用；⑤兩條直線平行的充分必要條件及運用。
【解題思路】（1）根據雙曲線的性質，結合問題條件求出m的值，聯立直線與雙曲線的方程就可求出，的值；（2）根據雙曲線和等比數列的性質，運用證明數列是等比數列的基本方法，結合問題條件就可證明列｛-｝是公比為的等比數列；（3）根據兩條直線平行的充分必要條件，結合問題條件，證明直線平行直線，運用三角形面積公式就可證明=。
【詳細解答】（1）點（5，4）在C上， m=25-16=9， 雙曲線C：-=9， k=，直線過點（5，4），直線的方程為x-2y+3=0，聯立直線與雙曲線的方程得：
3-12y=0 ，x=-3，y=0，或 x=5，y=4，（-3，0），（3，0）；（2） 證明：
點（，），（-，）均在斜率為k的直線上，且均在雙曲線C上，k=①，-=9②，-=9③，聯立①②③得：（-）-（-）
=k（-）+k（-），（1-k）（-）=（1+k）（-），
=，數列｛-｝是公比為的等比數列；（3）設t=，0＜k＜1，
t>1，-=（5-4）=，-=9，+=9，=（+9），
=（-+9），==1-=1-，
==1-=1-，=，直線//直線，=。
2、已知數列｛｝為等差數列，數列｛｝是公比為2的等比數列，且-=-
=-。
（1）證明：=；
（2）求集合{k|=+，1m500}中元素個數（2022全國高考新高考II卷）
【解析】
【考點】①等差數列定義與性質；②等比數列定義與性質；③等差數列通項公式及運用；④等比數列通項公式及運用；⑤表示集合的基本方法。
【解題思路】（1）設等差數列｛｝的首項為，公差為d，等比數列｛｝首項為，根據等差數列和等比數列的性質，運用等差數列和等比數列的通項公式，結合問題條件得到關于，d，的方程組，求解方程組求出，就可證明結論；（2）由（1）知==，根據等差數列和等比數列的通項公式，結合問題條件得到k關于m的表示式，由m的取值范圍，求出k的取值范圍，從而就可求出求集合{k|=+，1m500}中元素個數。
【詳細解答】（1）證明：設等差數列｛｝的首項為，公差為d，等比數列｛｝首項為，-=-=-，+d-2=+2d-4，d-2=0①，+2d-4=8--3d，12-2-5d=0②，聯立①②得：2-2=0，=；（2）
由（1）知==，=.=d.，+=+(m-1)d+=md，=+，
d.=md，=m，1m500，1500，0k-28，2k10，
集合{k|=+，1m500}={2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合{k|=+，1m500}中元素個數是9個。
3、已知等差數列{}滿足2+=0，=2-2。
（1）求數列{}的通項公式；
（2）設=，求數列{}的前n項和（成都市2019級高三一診）
【解析】
【考點】①等差數列定義與性質；②等差數列通項公式及運用；③數列前n項和定義與性質；④求數列前n項和的基本方法。
【解題思路】（1）根據等差數列的性質，運用等差數列通項公式得到關于等差數列{}的首項，公差的方程組，求解方程組求出數列{}的首項，公差的值就可得出數列{}的通項公式；（2）根據數列前n項和的性質，運用求數列前n項和的基本方法就可求出數列{}的前n項和。
【詳細解答】（1）設等差數列{}的首項為，公差為d， 2+=0，=2-2，
3+6d=0①，+6d=2+6d-2②，聯立①②解得：=2，d=-1，數列{}的通項公式為=2+（n-1）(-1)=-n+3；（2）===， 數列{}的前n項和為=+2+1+++------+==8（1-）=8-。
+1，n為奇數，
4、已知數列｛｝滿足：=1，= +2，n為偶數。
（1）記=，寫出，，并求數列{}的通項公式；
（2）求｛｝的前20項和（2021全國高考新高考I）。
【解析】
【考點】①數列遞推公式及運用；②等差數列的定義與性質；③等差數列通項公式及運用；④等差數列前n項和公式及運用；⑤判斷一個數列是等差數列的基本方法。
【解題思路】（1）根據數列遞推公式，結合問題條件求出，，運用判斷一個數列是等差數列的基本方法，判斷數列{}為等差數列，利用等差數列的通項公式就可求出數列{}的通項公式；（2）由（1）知求數列｛｝的奇項數列和偶項數列都是以3為公差的等差數列，運用等差數列的前n項和公式就可求出｛｝的前20項和。
【詳細解答】（1）=1，=，==+1=1+1=2，==+1=+2+1=2+2+1=5，
==+1=+2+1=+3，=，-=+3-=3，數列{}是以2為首項，3為公差的等差數列，=2+3（n-1）=3n-1，即數列{}的通項公式為：
=3n-1；（2）由（1）知數列｛｝的奇項數列和偶項數列都是以3為公差的等差數列，=101+3+102+3=30+1093=300，即數列｛｝的前20項和為300。
5、（理）已知數列{}的各項均為正數，記為{}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立。①數列{}是等差數列；②數列{}是等差數列；③=3。注：若選擇不同組合分別解答，則按第一個解答計分。
（文）記為{}的前n項和，已知>0，=3，且數列{}是等差數列，證明：數列{}是等差數列（2021全國高考甲卷）。
【解析】
【考點】①等差數列的定義與性質；②等差數列通項公式及運用；③等差數列前n項和公式及運用；④證明數列是等差數列的基本方法。
【解題思路】（理）由題意，不妨選擇①③為條件，證明②成立，根據等差數列的性質和等差數列通項公式，結合問題條件得到關于等差數列{}首項，公差d的等式，從而把首項表示為關于公差d的式子，運用等差數列前n項和公式得到關于公差d的式子，利用證明數列為等差數列的基本方法就可證明數列{}是等差數列。（文）根據等差數列的性質和等差數列通項公式，結合問題條件得到關于等差數列{}公差d，的等式，從而把公差d表示為關于首項的式子，運用等差數列前n項和公式得到關于數列首項的式子，從而得到關于數列首項的式子，利用證明數列為等差數列的基本方法就可證明數列{}是等差數列。
【詳細解答】（理）設等差數列{}的公差為d，=+d，=3，=，=n+d=(+-)d=d，數列{}的各項均為正數，d>0，==，當n=1時，=，當n2時，=，
=，-=（-）=為常數，數列{}是以
為首項，為公差的等差數列。（文）證明：設等差數列{}的公差為d，>0，=3，=，==2，d=-=2-
=， =+（n-1）=n，=，當n=1時，==，當
n2時，=-=-=（-+2n-1）=（2n-1），=[2（n-1）-1] =（2n-3），-=[2n-1-(2n-3)] =2為常數， -=3
-=2，數列{}是以為首，2為公差的等差數列。
6、（理）記為{}的前n項和，為數列{}的前n項積，已知+=2。
（1）證明：數列{}是等差數列；
（2）求數列{}的通項公式。
（文）設{}是首項為1的等比數列，數列{}滿足：=，已知，3，9成等差數列。
（1）求數列{}，{}的通項公式；
（2）記和分別為{}，{}的前n項和，證明：<（2021全國高考乙卷）。
【解析】
【考點】①等差數列的定義與性質；②判斷一個數列是等差數列的基本方法；③數列通項與前n項和之間的關系；④等比數列的定義與性質；⑤等差中項的定義與性質；⑥等比數列通項公式及運用；⑦等比數列前n項和公式及運用；⑧裂項相消法求數列前n項和的基本方法。
【解題思路】（理）（1）根據判斷一個數列是等差數列的基本方法，結合問題條件就可證明數列{}是等差數列；（2）根據數列通項與前n項和之間的關系，運用（1）的結論就可求出數列｛｝的通項公式。（文）根據等比數列通項公式和等差中項的性質，結合問題條件得到關于等比數列｛｝公比的方程，求解方程求出公比的值就可求出數列{}，{}的通項公式；（2）根據等比數列前n項和公式與裂項相消法求數列前n項和的基本方法分別求出數列｛｝，{}的前n項和與就可證明結論。
【詳細解答】（理）（1）證明：當n2時，=，+=2，+=2，
2（-）=1，-=，當n=1時，+=2，=2，=，數列{}是以為首項，為公差的等差數列；（2）由（1）得：=+（n-1）=，
+=2，+=2，=，=，當n=1時，=
=，當n2時，=-=-=-， 當n=1時，=-，
數列{}的通項公式為：= ，n=1，
-，n2。
（文）設等比數列{}的公比為q，數列{}首項為1，，3，9成等差數列，6q=1+9，=0，q=，=，==n，數列{}，{}的通項公式分別為：=，=n；（2）==-，
=+2+3+------+（n-1）+n①，=+2+3+-----+（n-1）+ n ②，①-②得：=+++-----+- n =
- n =-- n =-（+），=-（+），
-=-（+）-+=（--）=-<0，<。
7、記是公差不為0的等差數列{}的前n項和，若=，.=。
（1）求數列{}的通項公式；
（2）求使>成立的n的最小值（2021全國高考新高考II卷）。
【解析】
【考點】①等差數列的定義與性質；②等差數列通項公式及運用；③等差數列前n項和公式及運用。
【解題思路】（1）根據等差數列的通項公式與前n項和公式，結合問題條件得到關于等差數列{}首項，公差的方程組，求解方程組求出等差數列{}首項，公差的值就可求出數列{}的通項公式；（2）由（1）得到等差數列{}的通項公式與前n
項和公式，從而得到關于n的不等式，求解不等式就可求出使>成立的n的最
小值。
【詳細解答】（1）設等差數列{}的首項為，公比為q，=，.=，
+2d=3+3d①，（+d）（+3d）=4+6d②，聯立①②解得：=0，d=0或=-，d=，d0，=-，d=，=-+（n-1）=n-，數列{}的通項公式=n-；（2）由（1）得：=-n+=-n，>，
-n>n-，-4n+3>0，n<1或n>3，n， n>3，即使>成立的n的最小值為4。
8、已知數列｛｝中，=1，=3，+3=4，=-，n。
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）記=（+），數列｛｝的前n項和為，求（2021成都市高三三診）。
【解析】
【考點】①等比數列的定義與性質；②判斷一個數列是等比數列的基本方法；③等比數列通項公式及運用；④對數的定義與性質；⑤等差數列前n項和公式及運用。
【解題思路】（1）根據等比數列的性質和判斷一個數列是等比數列的基本方法，結合問題條件得到數列｛｝是等比數列，運用等比數列的通項公式就可求出數列｛｝的通項公式；（2）根據（1）求出關于n的式子，從而得到=+，運用對數的性質得到數列｛｝的通項公式，運用等差數列的前n項和公式就可求出的值。
【詳細解答】（1）+3=4，=-，-=3（-），
=3，=3，=1，=3，=-=3-1=2，數列｛｝是以2為首項，3
為公比的等比數列，數列｛｝的通項公式為：=2；（2）=（-）
+（-）+------+（-）+（-）+=++------+++=+1=，
=-，=+，=（+）===n，=+
+------+=1+2+------+（n-1）+n=，即==210。
〖思考問題2〗
（1）【典例2】是等差數列，等比數列之間的綜合問題，解答這類問題需要理解等差數列，
等比數列的定義，通項公式，前n項和公式等基本概念，掌握等差數列，等比數列的通項公式與前n項和公式，并能熟練運用公式解答相關問題；
（2）第一小題一般是求通項公式的問題，解答時只需根據題給條件求出數列的首項和公差d（或公比q），再運用通項公式就可以得出結果；第二小題一般是求數列的前n項和，解答時應該分辨清楚數列是等差數列，還是等比數列，然后直接選用相應的前n項和公式通過運算求出結果。
[練習2]解答下列問題：
1、設｛｝是公比不為1的等比數列，為，的等差中項。
（1）求｛｝的公比；
（2）若=1，求數列｛｝的前n項和（2020全國高考新課標I理）。
（答案：（1）數列｛｝的公比q=2；（2）=-。）
2、已知公比大于1的等比數列｛｝滿足+=20，=8。
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）記為｛｝在區間（0，m]（m∈）中的項的個數，求數列{}的前100項和
（2020全國高考新高考I）
（答案：（1）=；（2）=484。）
3、已知公比大于1的等比數列｛｝滿足+=20，=8。
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）求-+------+（2020全國高考新高考II）
（答案：（1）=；（2）當n為奇數時，-+------+=8-+；
當n為偶數時，-+------+=8-。）
4、（文）記為等差數列{ }的前n項和，已知=-。
（1）若=4，求數列{ }的通項公式；
（2）若＞0，求使得的n的取值范圍（2019全國高考新課標I）
（答案：（1）=-2n+10；（2）使得的n的取值范圍是[1，10]。）
5、（理）已知數列{ }和{ }滿足=1，=0，4=3-+4，4=3--4。
（1）證明：{ +}是等比數列，{ -}是等差數列；
（2）求數列{ }和{ }的通項公式。
（文）已知{ }是各項均為正數的等比數列，=2，=2+16。
（1）求數列{ }的通項公式；
（2）設= ，求數列{ }的前n項和（2019全國高考新課標II）
（答案：（理）（1）提示：證明數列{ +}相鄰兩項的比為常數，證明數列{ -}
相鄰理項的差為常數；（2）=+n-，=-n+。（文）（1）=+n-；
（2）列{ }的前n項和為。）
【典例3】解答下列問題：
1、設為數列{}的前n項和，已知2=+n。（成都市高2021級高三三珍）
（1）證明數列{+1}是等比數列；
（2）設=（+1），=，求數列{}的前n項和。
【解析】
【考點】①數列前n項和與通項之間的關系式及運用；②等比數列定義與性質；③判斷（或證明）數列是等比數列的基本方法；④對數定義與性質；⑤裂項相消求和法及運用。
【解題思路】（1）根據數列前n項和與通項之間的關系，運用判斷（或證明）數列是等比數列的基本方法，結合問題條件就可證明數列{+1}是等比數列；（2）根據對數的性質，由（1）求出的表示式，從而得到的表示式，運用裂項相消求和法就可求出數列{}的前n項和。
【詳細解答】（1）①當n=1時，2=+1=+1， =1，+1=1+1=2，②當n≥2時，2=+n，2=+n-1，兩時相減得：2-2 =-+1 =+1 ， +1=2+1+1=2（+1），=2，當n≥2時，數列{+1}是以公比為2的等比數列，2=+2=++2=+3，=3，+1=3+1=4，==2，數列{+1}是以2為首項，公比為2的等比數列；（2）由（1）得+1=2=，=（+1）=n，===-，=1-+-+-+-------+-
+-=1-=。
2、記為數列｛｝的前n項和，已知=1，{}是公差為的等差數列。
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）證明：+ +------+ <2（2022全國高考新高考I卷）
【解析】
【考點】①等差數列定義與性質；②等差數列通項公式及運用；③等差數列前N項和公式及運用；④數列前N項和公式與通項公式之間的關系及運用；⑤裂項相消求數列前n項和的基本方法。
【解題思路】（1）根據等差數列的性質，結合問題條件得到與之間的關系式，求出，從而得到關于，的等式，運用判斷一個數列是等差數列的基本方法判斷數列｛｝是等差數列，利用等差數列的通項公式就可求出數列｛｝的通項公式；（2）根據裂項相消求數列前n項和的基本方法就可求出數列｛｝的前n項和。（文）（1）設等差數列｛｝的首項為，公差為d，根據等差數列前n項和公式，結合問題條件得到關于等差數列｛｝的首項為，公差為d的方程組，求解方程組求出等差數列｛｝的首項為，公差為d的值就可求出數列｛｝的通項公式；（2）根據裂項相消求數列前n項和的基本方法就可求出數列｛｝的前n項和。
【詳細解答】（1）=1，==1，=1，{}是公差為的等差數列，
=1+（n-1）=n+，=（n+），=（n+）（n2），
-==n（-）+-，（n-1）-（n+1）=0，
=，=，-------，=，=，=，=1+=，
3（+）=4，=3=3，=（n2），當n=1時，=
=1成立，數列｛｝的通項公式為： =；（2）證明：由（1）知，=，
==2（-），+ +------+ =2（1-+-+-------+-
+-）=2（1-）<21=2，+ +------+ <2。
3、（理）為數列｛｝的前n項和，已知>0，+2=4+3。
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）設=，求數列｛｝的前n項和。
（文）已知等差數列｛｝的前n項和滿足：=0，=-5。
（1）數列｛｝的通項公式；
（2）求數列{}的前n項和（2021全國高考乙卷）。
【解析】
【考點】①等差數列的定義與性質；②等差數列通項公式及運用；③數列通項公式與前n項和公式之間的關系；④判斷一個數列是等差數列的基本方法；⑤等差數列前n項和公式及運用；⑥裂項相消求數列前n項和的基本方法。
【解題思路】（理）（1）根據數列通項公式與前n項和公式之間的關系，結合問題條件求出，從而得到關于，的等式，運用判斷一個數列是等差數列的基本方法判斷數列｛｝是等差數列，利用等差數列的通項公式就可求出數列｛｝的通項公式；（2）根據裂項相消求數列前n項和的基本方法就可求出數列｛｝的前n項和。（文）（1）設等差數列｛｝的首項為，公差為d，根據等差數列前n項和公式，結合問題條件得到關于等差數列｛｝的首項為，公差為d的方程組，求解方程組求出等差數列｛｝的首項為，公差為d的值就可求出數列｛｝的通項公式；（2）根據裂項相消求數列前n項和的基本方法就可求出數列｛｝的前n項和。
【詳細解答】（理）（1）當n=1時， +2=4+3，=4，=3或=-1，>0，=3；當n2時，+2=4+3①，+2=4+3②，①-②得：
-+2-2=4（-）=4，（+）（-）-2（+）=（+）
（--2）=0，+>0，--2=0，-,=2，+2=4（+）+3，=16，=5或=-3，>0，=5，當n2時，數列｛｝是以5為首項，2為公差的等差數列，=5+2（n-2）=2n+1（n2），當n=1時，=21+1
2+1=3成立，數列｛｝的通項公式為： =2n+1；（2）==
=（-），=++------+=（-+-+-------+-
+-）=（-）=，即數列｛｝的前n項和為。
（文）（1）設等差數列｛｝的首項為，公差為d，=3+3d=0①，=5+10d=-5②，聯立①②解得：=1，d=-1，=1-（n-1）=2-n，即數列｛｝的通項公式為： =2-n；
（2）===（-），=（-1-1+1-+-+-+-------+-+-）=（-1-）
=-，即數列｛｝的前n項和為-。
〖思考問題3〗
（1）【典例3】是等差數列，等比數列之間的綜合與一般數列求和的問題，解答這類問題需要理解等差數列，等比數列的定義，通項公式，前n項和公式等基本概念，掌握等差數列，等比數列的通項公式與前n項和公式，并能熟練運用公式解答相關問題，注意一般數列的結構特征，選用恰當的求和方法求出結果；
（2）第一小題一般是求通項公式的問題，解答時只需根據題給條件求出數列的首項和公差d（或公比q），再運用通項公式就可以得出結果；第二小題是一般數列求和的問題，解答時注意數列通項是一個分式，分式的分子為常數，分母是幾個連續整數的積這一結果特征，然后利用裂項相消法求出數列的前n項和；
（3）裂項相消法求出數列的前n項和的基本方法是：①將數列的通項分裂成兩項之差；②
根據數列前n項和的定義，得到數列前n項和的表示式；③消去表示式中中間的項，并求出
表示式的結果；④得出所求數列的前n項和。
[練習3]解答下列問題：
1、已知｛｝是遞增的等比列數，=1，且2，，成等差數列。
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）設=（n∈），求數列｛｝的前n項和（2020成都市高三二珍）（答案：（1）==；（2）=。）
2、已知等差數列｛｝的前n項和為，且=2，=66.
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）（理）若數列｛｝滿足=，求證：++------+＜1。（文）若數列｛｝滿足=，求數列｛｝的前n項和（2017成都市高三零珍）（答案：（1）=n；（2）（理）提示：求出數列｛｝的前n項和，再比較與1的大小。（文）=-2。）
【典例4】解答下列問題：
1、記為等差數列｛｝的前n項和，已知=11，=40。
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）求數列｛||｝的前n項和（2023全國高考乙卷文）
【解析】
【考點】①等差數列定義與性質；②等差數列通項公式及運用；③等差數列前n項和公式及運用；④拆項求和法及運用。
【解題思路】（1）根據等差數列的性質，運用等差數列通項公式與前n項和公式，結合問題條件得到關于首項，公差d的方程組，求解方程組求出首項，公差d的值，就可求出數列{}的通項公式；（2）根據數列{}通項公式得到數列{||}的通項公式，運用拆項求和的基本方法就可求出數列{||}的前n項和。
【詳細解答】（1）設等差數列｛｝的首項為，公差為d，=11，=40，
+d=11①，10+45d=40②，聯立①②解得：=13，d=-2，=+（n-1）d=13-2n+2
=15-2n；（2）由（1）知，==15-2n，||= 15-2n，1≤n≤7，= 14n- ，1≤n≤7， 2n-15，n≥8， -14n+98，n≥8。
2、設等差數列｛｝的公差為d，且d>1，令=，記，分別為數列｛｝，｛｝的前n項和。
（1）若3=3+，+=21，求數列｛｝的通項公式；
（2）若｛｝為等差數列，且-=99，求d（2023全國高考新高考I）
【解析】
【考點】①等差數列定義與性質；②等差數列通項公式及運用；③等差數列前n項和公式及運用；④拆項求和法及運用。
【解題思路】（1）根據等差數列的性質，運用等差數列通項公式與前n項和公式，結合問題條件得到關于首項，公差d的方程組，求解方程組求出首項，公差d的值，就可求出數列{}的通項公式；（2）根據數列{}通項公式，數列{}的通項公式和等差數列的性質，結合問題條件得到關于首項為，公差d的等式，從而得到首項為關于d的表示式，運用等差數列前n項和公式，拆項求和的基本方法得到關于d的方程，求解方程就可求出d的值。
【詳細解答】（1）設等差數列｛｝的首項為，等差數列｛｝的公差為d，且d>1，=，3=3+，+=21，3+3d=4+2d①，3+3d+++
=21②，聯立①②解得：=3，d=3，=+3（n-1）=3n；（2）設等差數列｛｝的首項為，等差數列｛｝的公差為d，且d>1，=，=，
=，=，｛｝為等差數列，=+，（-d）（-2d）=0，=d或=2d，當=d時，===+，=99d+9949d
=9950d，=（1+2+------+99）+=，-=9950d-=99，
50d-=1，（50d-51）(d+1)=0， d=1或d=，d＞1， d=；=2d時，===，=299d+9949d=9951d，=（1+2+------+99）=，-=9951d-=99，51d-=1，（51d+50）(d-1)=0，d=-，d=1與題意不符，綜上所述，若｛｝為等差數列，且-=99，則d=。
3、數列｛｝為等差數列，= -6，n為奇數，記，分別為｛｝，｛｝的
2，n為偶數，前n項和，=32，=16。
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）證明：當n>5時，>（2023全國高考新高考II）
【解析】
【考點】①等差數列定義與性質；②等差數列通項公式及運用；③等差數列前n項和公式及運用；④拆項求和法及運用。
【解題思路】（1）根據等差數列的性質，運用等差數列通項公式與前n項和公式，結合問題條件得到關于首項，公差d的方程組，求解方程組求出首項，公差d的值，就可求出數列{}的通項公式；（2）根據數列{}通項公式得到數列{}的通項公式，運用拆項求和的基本方法就可求出數列{}的前n項和關于n的表示式，運用等差數列前n項和公式得到關于n的表示式，就可證明結論。
【詳細解答】（1）設等差數列｛｝的首項為，公差為d，=32，=16，2
+3d=16①，+d-3=4②，聯立①②解得：=5，d=2，=+（n-1）d=5+2n-2=2n+3；
（2）當n為奇數時，= -6=2n+3-6=2n-3，當n為偶數時，=2=4n+6，當n為奇數時，=2（1+3+------+n-2）++4(2+4+-------+n-1)++2n-3=+
n-8，當n為奇數時，=2（1+3+------+n-1）+n+4(2+4+-------+n)+3n=+n，
=5n+2=+4n，當n為奇數時，-=+n-8--4n=+n-8>
+-8=20-8=12>0；當n為偶數時，-=+n--4n=+n>0，綜上所述，當n>5時，>。
〖思考問題4〗
（1）【典例4】是等差數列，等比數列之間的綜合問題，解答這類問題需要理解等差數列，
等比數列的定義，通項公式，前n項和公式等基本概念，掌握等差數列，等比數列的通項公式與前n項和公式，并能熟練運用公式解答相關問題；
（2）第一小題一般是求通項公式的問題，解答時只需根據題給條件求出數列的首項和公差d（或公比q），再運用通項公式就可以得出結果；第二小題是求一般數列的前n項和的問題，解答時注意數列通項是幾項的和，每一項分離出來之后可構成基本數列，具有這個特征的數列，求和都采用拆項和法；
（3）拆項求和法的基本方法是：①將通項中的相應項分離出來構成基本數列；②運用基本數列前n項和公式求出各基本數列的前n項和；③把各基本數列前n項和相加；④得出所求數列的前n項和。
[練習4]解答下列問題：
1、（理）已知數列｛｝滿足：=-2，=2+4.
（1）證明數列｛+4｝是等比數列；
（2）求數列｛｝的前n項和。
（文）在等比數列｛｝中，已知=8，且，+1，成等差數列。
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）求數列｛|-4|｝的前n項和（2017成都市一珍）
（答案：（理）（1）提示：證明數列｛+4｝相鄰兩項的比為常數；（2）=-4n-2。
（文）（1）數列｛｝的通項公式為=；（2）=-4n-2。）
2、已知數列｛｝的前n項和= (n)。
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）設= + ，求數列｛｝的前2n項和。
（答案：（1）數列｛｝的通項公式為=n；（2）=+n-2。）
【典例5】解答下列問題：
1、記為數列{}的前n項和，已知+n=2+1。
（1）證明：數列{}是等差數列；
（2）若，，成等比數列，求的最小值（2022全國高考甲卷）
【解析】
【考點】①等差數列定義與性質；②數列通項公式與前n項和公式之間的關系及運用；③證明數列是等差數列的基本方法；④等差數列通項公式及運用；⑤等比中項定義與性質；⑥等差數列前n項和公式及運用；⑦求一元二次函數最值的基本方法。
【解題思路】（1）根據等差數列的性質，運用證明數列是等差數列的基本方法，結合問題條件就可證明數列{}是等差數列；（2）根據等差數列通項公式表示出，，關于的式子，運用等比中項的性質得到關于的方程，求解方程求出的值，由等差數列前n和公式得到關于n的一元二次函數，利用一元二次函數求最值的基本方法就可求出的最小值。
【詳細解答】（1）證明：當n2時， +n=2+1， 2=2n+n-①，2=2（n-1）+n-1-②，①-②得：2（-）=2=2n+n--2（n-1）-n+1
+，2（n-1）-2（n-1）=2（n-1），-=1（n2，n），當n=2時，- =1，數列{}是以為首項，1為公差的等差數列；（2）由（1）知，=+3，=+6，=+8，，，成等比數列， =（+3）（+8），=-12，數列{}是以-12為首項，1為公差的等差數列，=-12n+1=-n，當且僅當n=-==13（或n=12）時，取得最小值為= = =（13-25）=-78，若，，成等比數列，則的最小值為-78。
2、設為等差數列｛｝的前n項和，已知=-7，=-15。
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）求，并求的最小值（2018全國高考新課標II卷（理））
【解析】
【考點】①等差數列的定義與性質；②等差數列前n項和公式及運用；③等差數列通項公式及運用；④求函數最值的基本方法。
【解題思路】（1）運用等差數列｛｝的前n項和公式得到關于公差d的方程，求解方程求出公差d的值，從而求出數列｛｝的通項公式；（2）由（1）得到關于n的函數，
利用求函數最值的基本方法就可求出的最小值。
【詳細解答】（1）設等差數列｛｝的公差為d，=-7，=3+3d=-15，d=2，數列｛｝的通項公式為：=-7+（n-1）2=2n-9；（2）由（1）得=-7n+2
=-8n，當且僅當n=-=4時，=16-84=-16為最小，的最小值是-16。
〖思考問題5〗
（1）【典例5】是等差數列，等比數列之間的綜合與求等差數列前n項和的最值問題，解答這類問題需要理解等差數列，等比數列的定義，通項公式，前n項和公式等基本概念，掌握等差數列，等比數列的通項公式與前n項和公式，并能熟練運用公式解答相關問題，注意等差數列前n項和是關于n的二次函數，運用求函數最值的基本方法就可求出結果；
（2）第一小題一般是求通項公式的問題，解答時只需根據題給條件求出數列的首項和公差d（或公比q），再運用通項公式就可以得出結果；第二小題是求等差數列前n項和的最值問題，解答時注意等差數列前n項和是關于n的二次函數，利用求函數最值的基本方法就可求出等差數列的前n項和的最值。
[練習5]解答下列問題：
1、設{ }是等差數列，=-10，+10，+8，+6成等比數列。
（1）求數列{ }的通項公式；
（2）記{ }的前n項和為，求的最小值（2019全國高考北京（文））
（答案：（1）數列{ }的通項公式為：=2n-12；（2）的最小值是-25。）

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