資源簡介

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新人教版七年級數學暑假自學課
第十五講 整式的加減
一、知識點導航
二、知識點梳理
知識點一、同類項
定義：所含字母相同，并且相同字母的指數也分別相等的項叫做同類項．幾個常數項也是同類項．
注意：
(1)判斷是否同類項的兩個條件：①所含字母相同；②相同字母的指數分別相等，同時具備這兩個條件的項是同類項，缺一不可．
(2)同類項與系數無關，與字母的排列順序無關．
(3)一個項的同類項有無數個，其本身也是它的同類項．
例1-1 . 下列兩項是同類項的是( )
A．與 B．與
C．與 D．與
總結：(1)判斷幾個單項式是否是同類項的條件：所含字母相同；相同字母的指數分別相同．(2)同類項與系數無關，與字母的排列順序無關．(3)常數項都是同類項．
例1-2 .下列各組整式中，不是同類項的是　　
A．與 B．與
C．與 D．與
知識點二、合并同類項
1. 概念：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項．
2．法則：合并同類項后，所得項的系數是合并前各同類項的系數的和，且字母部分不變．
注意：
合并同類項的根據是乘法分配律的逆運用，運用時應注意：
(1)不是同類項的不能合并，無同類項的項不能遺漏,在每步運算中都含有．
(2) 合并同類項，只把系數相加減，字母、指數不作運算.
3.升冪排列與降冪排列：把一個多項式按某一個字母的指數從大到小的順序排列起來,叫做把多項式按這個字母降冪排列；若按某一個字母的指數從小到大的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母升冪排列．
如:多項式2x3y2-xy3+x2y4-5x4-6是六次五項式,按x的降冪排列為
-5x4+2x3y2+x2y4-xy3-6,在這里只考慮x的指數,而不考慮其它字母;按y的升冪排列為-6-5x4+2x3y2-xy3+x2y4．
注意
①重新排列多項式時,每一項一定要連同它的正負號一起移動；
②含有兩個或兩個以上字母的多項式,常常按照其中某一個字母的升冪排列或降冪排列．
例2-1 .下列各式計算正確的是( )
A． B．
C． D．
總結：合并同類項的時候，為了不漏項，可用不同的符號(如直線、曲線、圓圈)標記不同的同類項。
例2-2.化簡
(1)；
(2)；
例2-3 .化簡求值：2a2b－2ab＋3－3a2b＋4ab，其中a＝－2，b＝.
總結：對多項式化簡求值時，一般先化簡，即先合并同類項，再代入值計算結果，在算式中代入負數時，要注意添加負號．
例2-4 .若多項式（m為常數）不含項，則______．
總結：對于多項式中不含某項問題，先合并同類項，由不含某項的系數和為0，得方程求解。
知識點三、去括號
去括號法則
如果括號外的因數是正數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相同；
如果括號外的因數是負數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相反．
注意：
(1)去括號法則實際上是根據乘法分配律推出的：當括號前為“+”號時，可以看作+1與括號內的各項相乘；當括號前為“-”號時，可以看作-1與括號內的各項相乘．
（2）去括號時，首先要弄清括號前面是“+”號，還是“-”號，然后再根據法則去掉括號及前面的符號．
(3)對于多重括號，去括號時可以先去小括號，再去中括號，也可以先去中括號．再去小括號．但是一定要注意括號前的符號．
（4）去括號只是改變式子形式，但不改變式子的值，它屬于多項式的恒等變形。
例3-1 .下列去括號正確的是　　
A． B．
C． D．
總結：本題考查去括號的方法：去括號時，運用乘法的分配律，先把括號前的數字與括號里各項相乘，再運用括號前是“＋”，去括號后，括號里的各項都不改變符號；括號前是“－”，去括號后，括號里的各項都改變符號．
例3-2.下列添括正確是（ ）
A． B．
C． D．
知識點四、整式的加減
一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項．
整式化簡求值，一般先化簡，再求值
注意：
（1）整式加減的一般步驟是：①先去括號；②再合并同類項．
（2）兩個整式相減時，減數一定先要用括號括起來．
(3)整式加減的最后結果的要求：①不能含有同類項，即要合并到不能再合并為止；②一般按照某一字母的降冪或升冪排列；③不能出現帶分數，帶分數要化成假分數．
例4-1 .化簡：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)．
總結：去括號時應注意：①不要漏乘；②括號前面是“－”，去括號后括號里面的各項都要變號．
例4-2 .）若，，則（ ）
A． B． C． D．
總結：解決本題是要注意去括號時符號的變化，并且不要漏乘．有多個括號時要注意去各個括號時的順序．
例4-3 .先化簡，再求值：，其中，．
例4-4 .已知：，．則比較A與B的大小（ ）
A． B． C． D．無法確定
例4-5 .一道求值題不小心弄污損了，嘉嘉隱約辨識：化簡，其中．系數“”看不清楚了．
(1)如果嘉嘉把“”中的數值看成2，求上述代數式的值；
(2)若無論m取任意的一個數，這個代數式的值都是，請通過計算幫助嘉嘉確定“”中的數值．
知識點五、整式的加減的實際應用
列出代數式；(2)去括號；(3)合并同類項.
例5-1 .如圖是長為30，寬為20的長方形紙片，將長方形紙片四個角分別剪去一個邊長為x的小正方形，用剩余部分圍成一個無蓋的長方體紙盒，則長方體紙盒底面周長為（ ）

A．100 B．50 C． D．
例5-2 .已知三角形的第一條邊的長是，第二條邊長是第一條邊長的2倍少3，第三條邊比第二條邊短5．
（1）用含、的式子表示這個三角形的周長；
（2）當，時，求這個三角形的周長；
（3）當，三角形的周長為39時，求各邊長．
三、易錯點點撥
易錯點1.判斷同類項時出現錯誤
易因兩個單項式字母的排列順序不同而誤認為這兩個單項式不是同類項
例1.下列各組中兩項屬于同類項的是　　
A．和 B．和
C．和 D．和
錯解：A
易錯點2.合并同類項時,對合并同類項的法則理解不透導致錯誤
在合并同類項時為避免錯誤的發生要注意兩點
(1)明確只有同類項才可以合并,不是同類項的不能合并;
(2)明確合并同類項中的“合并”是指同類項的系數相加,把所得的結果作為新的系數,字母和字母的指數不變
例2 .下列各算式中，合并同類項正確的是（　　）
A． B． C． D．
錯解：A、B
易錯點3.去括號時出現錯誤
去括號時,括號前面是“_”號時,常忘記改變括號內每一項的符號,出現錯誤;或者括號前有數字因數,去括號時沒把數字因數與括號內的每一項相乘出現漏乘現象,只有嚴格按照去括號法則運算,才可能避免上述錯誤
例3 .下列去括號與添括號變形中，正確的是（　　）
A． B．
C． D．
錯解：A、B
易錯點4.進行整式加減時忽略括號的作用
在多項式加法運算中，整式可以不加括號,在多項式減法運算中,被減式可以不加括號，但減式必須加上括號
例4 .下列計算正確的是（ ）．
A． B．
C． D．
錯解：B、D
四、針對訓練
1.同類項
1.在下列單項式中：①；②； ③； ④； ⑤；⑥，說法正確的是（　　　）
A．②③⑤是同類項 B．②與③是同類項 C．②與⑤是同類項 D．①④⑥是同類項
2.如果與是同類項，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
2.合并同類項
1. 合并同類項：
（1）；
（2）．
2 .計算：．
3 .已知．
（1）化簡；
（2）當，，時，求的值．
3.去括號法則
1．下列去括號正確的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在多項式中，對任意相鄰幾項（至少兩項）直接添加一個括號（每次只加一個括號），同時改變括起的部分最后一項的符號，然后按去括號法則進行去括號運算，稱此為“加括操作”．例如：，，…．
①有2種“加括操作”的運算結果與原多項式相等；
②若，則運算結果為0的共有兩種“加括操作”；
③所有的“加括操作”共有4種不同運算結果．
其中正確的個數是（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
4.整式的加減
1．已知：，且．
(1)求A等于多少？
(2)若，求A的值．
2．某位同學做一道題：已知兩個多項式、，若，求的值．他誤將看成，求得結果為．
(1)求多項式的表達式；
(2)求的正確答案．
．
3．化簡：．
4．已知，，．若，試比較m，q的大小關系．
5．已知，求的值．
5.整式加減的實際應用
1 .如圖，正方形和正方形的邊長分別為a和6，點C，D，E在一條直線上，點B、C、G在一條直線上，將依次連接D、E、F、B所圍成的陰影部分的面積記為．
(1)試用含a的代數式表示；
(2)當時，比較與面積的大小．
2..如圖是小剛家的樓梯示意圖，其水平距離(即的長度)為，一只螞蟻從點A出發沿著樓梯爬到點C，共爬了．小剛家樓梯的豎直高度(即的長度)為( )
A．m B．m C．m D．m
3 .如圖，為了方便學生停放自行車，學校建了一塊長邊靠墻的長方形停車場，其他三面用護欄圍起，其中停車場的長為米，寬比長少米．
（1）用含、的代數式表示護欄的總長度；
（2）若，，每米護欄造價80元，求建此停車場所需護欄的費用．
五、能力提升
提升1.同類項
1.如果，則下列式子正確的是（ ）
A． B． C． D．
2 .已知與是同類項，則　　
A．2 B． C．1 D．3
提升2.合并同類項
1.一個五次三項式，加一個五次三項式，可能是（ ）
A．十次六項式 B．十次三項式 C．六次二項式 D．四次二項式
2 .先化簡，再求值：，其中，．
3 .先化簡，再求代數式的值：
（1），其中；
（2），其中；
提升3.去括號法則
1．去括號合并同類項
(1)
(2)
2．我們知道，，類似地，我們也可以將看成一個整體，則．整體思想是數學解題中一種重要的思想方法，它在多項式的化簡和求值中有著廣泛的應用．請根據上面的提示和范例，解決下面的問題：
(1)把看成一個整體，則將 合并的結果為 　　．
(2)已知，求的值．
(3)已知，求的值．
提升4.整式的加減
1.先合并同類項，再求值．
(1)，其中；
(2)，其中．
2．已知整式．
(1)當，求整式的值；
(2)若整式比整式大，求整式．
．
3．已知： ，．
(1)化簡：；
(2)若的值與a的取值無關，求b的值．
4．小呂做一道題：“已知兩個多項式A、B，計算”，小黃誤將看成，結果得，若，請你幫助小黃求出的正確答案．
5．閱讀下面材料：
①在數軸上，有理數5與對應兩點間的距離為；
②在數軸上，有理數與3對應兩點之間的距離為；
③在數軸上，有理數與對應兩點之間的距離為；
④在數軸上點A、B分別表示數a，b，則A、B兩點之間的距離；
回答下列問題：
(1)①在數軸上表示與兩點間的距離是 　 　，
②在數軸上表示x與3兩點間的距離是 　 　；
③在數軸上表示x與________兩點之間的距離為．
(2)下面對式子進行探究：
①當表示數x的點在與3之間移動時，的值總是一個固定的值為：___________．
②要使，數軸上表示的數___________________．
(3)的最小值：__________________________________．
提升5.整式加減的實際應用
1..圖1是2022年1月份的日歷，用圖2所示的“九方格”在圖1中框住9個日期，并把其中被陰影方格覆蓋的四個日期分別記為．
(1)直接填空： ________；(填“>”、“<”或“=”)
(2) ________， ________， ________(用含a的代數式分別表示)；
(3)當圖2在圖1的不同位置時，代數式的值是否為定值？若是，請求出它的值，若不是，請說明理由．
2 .我們定義：對于數對，若，則稱為“和積等數對”．如：因為，，所以，都是“和積等數對”．
（1）下列數對中，是“和積等數對”的是　 　　；（填序號）
①；
②，；
③，．
（2）若是“和積等數對”，求的值；
（3）若是“和積等數對”，求代數式的值．
3 .如果一個矩形內部能用一些正方形鋪滿，既不重疊，又無縫隙，就稱為“優美矩形”，如圖所示，“優美矩形”的周長為52，則正方形的邊長為（ ）
A．3 B．13 C．6 D．8
新人教版七年級數學暑假自學課
第十五講 整式的加減
一、知識點導航
知識點梳理
知識點一、同類項
定義：所含字母相同，并且相同字母的指數也分別相等的項叫做同類項．幾個常數項也是同類項．
注意：
(1)判斷是否同類項的兩個條件：①所含字母相同；②相同字母的指數分別相等，同時具備這兩個條件的項是同類項，缺一不可．
(2)同類項與系數無關，與字母的排列順序無關．
(3)一個項的同類項有無數個，其本身也是它的同類項．
例1-1 . 下列兩項是同類項的是( )
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】C
【分析】本題考查同類項的定義，解題的關鍵是掌握同類項的定義：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項，即可．
【詳解】A、與不是同類項；
B、與不是同類項，不符合題意；
C、與是同類項，符合題意；
D、與不是同類項，不符合題意．
故選：C．
總結：(1)判斷幾個單項式是否是同類項的條件：所含字母相同；相同字母的指數分別相同．(2)同類項與系數無關，與字母的排列順序無關．(3)常數項都是同類項．
例1-2 .下列各組整式中，不是同類項的是　　
A．與 B．與
C．與 D．與
【分析】根據所含字母相同，并且相同字母的指數也相同，這樣的項叫做同類項，分別判斷即可．
【解答】解：．與，是同類項，故此選項不合題意；
．與，是同類項，故此選項不合題意；
．與，是同類項，故此選項不合題意；
．與，相同字母的指數不同，不是同類項，故此選項符合題意．
故選：．
【點評】此題主要考查了同類項，正確掌握同類項的定義是解題關鍵．
知識點二、合并同類項
1. 概念：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項．
2．法則：合并同類項后，所得項的系數是合并前各同類項的系數的和，且字母部分不變．
注意：
合并同類項的根據是乘法分配律的逆運用，運用時應注意：
(1)不是同類項的不能合并，無同類項的項不能遺漏,在每步運算中都含有．
(2) 合并同類項，只把系數相加減，字母、指數不作運算.
3.升冪排列與降冪排列：把一個多項式按某一個字母的指數從大到小的順序排列起來,叫做把多項式按這個字母降冪排列；若按某一個字母的指數從小到大的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母升冪排列．
如:多項式2x3y2-xy3+x2y4-5x4-6是六次五項式,按x的降冪排列為
-5x4+2x3y2+x2y4-xy3-6,在這里只考慮x的指數,而不考慮其它字母;按y的升冪排列為-6-5x4+2x3y2-xy3+x2y4．
注意
①重新排列多項式時,每一項一定要連同它的正負號一起移動；
②含有兩個或兩個以上字母的多項式,常常按照其中某一個字母的升冪排列或降冪排列．
例2-1 .下列各式計算正確的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
本題考查了合并同類項．根據合并同類項法則判斷即可．
【詳解】
解：A、，故本選項符合題意；
B、，故本選項不符合題意；
C、，故本選項不符合題意；
D、，故本選項不符合題意．
故選：A．
總結：合并同類項的時候，為了不漏項，可用不同的符號(如直線、曲線、圓圈)標記不同的同類項。
例2-2.化簡
(1)；
(2)；
【答案】(1) (2)
【分析】
根據合并同類項，去括號得運算法則，即可求解，
本題考查了整式的加減，解題的關鍵是：熟練掌握相關運算法則．
【詳解】(1)解：
，
(2)解：
，
例2-3 .化簡求值：2a2b－2ab＋3－3a2b＋4ab，其中a＝－2，b＝.
解析：原式合并同類項得到最簡結果，把a與b的值代入計算即可求出值．
解：2a2b－2ab＋3－3a2b＋4ab＝(2－3)a2b＋(－2＋4)ab＋3＝－a2b＋2ab＋3.將a＝－2，b＝代入得原式＝－(－2)2×＋2×(－2)×＋3＝－1.
總結：對多項式化簡求值時，一般先化簡，即先合并同類項，再代入值計算結果，在算式中代入負數時，要注意添加負號．
例2-4 .若多項式（m為常數）不含項，則______．
【答案】6
【分析】先將多項式合并同類項，然后令系數為零得到關于m的方程求解即可．
【詳解】解：∵為常數不含項，
∴，解得：．故答案為：6．
【點睛】本題主要考查了整式加減的無關性問題，掌握不含哪項、則哪項的系數為零是解題關鍵．
總結：對于多項式中不含某項問題，先合并同類項，由不含某項的系數和為0，得方程求解。
知識點三、去括號
去括號法則
如果括號外的因數是正數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相同；
如果括號外的因數是負數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相反．
注意：
(1)去括號法則實際上是根據乘法分配律推出的：當括號前為“+”號時，可以看作+1與括號內的各項相乘；當括號前為“-”號時，可以看作-1與括號內的各項相乘．
（2）去括號時，首先要弄清括號前面是“+”號，還是“-”號，然后再根據法則去掉括號及前面的符號．
(3)對于多重括號，去括號時可以先去小括號，再去中括號，也可以先去中括號．再去小括號．但是一定要注意括號前的符號．
（4）去括號只是改變式子形式，但不改變式子的值，它屬于多項式的恒等變形。
例3-1 .下列去括號正確的是　　
A． B．
C． D．
【分析】應用去括號法則逐個計算得結論．
【解答】解：，故選項錯誤；
，故選項正確；
，故選項錯誤；
，故選項錯誤．
故選：．
【點評】本題考查去括號的方法：去括號時，運用乘法的分配律，先把括號前的數字與括號里各項相乘，再運用括號前是“”，去括號后，括號里的各項都不改變符號；括號前是“”，去括號后，括號里的各項都改變符號．順序為先大后小．
總結：本題考查去括號的方法：去括號時，運用乘法的分配律，先把括號前的數字與括號里各項相乘，再運用括號前是“＋”，去括號后，括號里的各項都不改變符號；括號前是“－”，去括號后，括號里的各項都改變符號．
例3-2.下列添括正確是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據添括號法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變號，如果括號前面是負號，括號括號里的各項都改變符號可得答案．
【詳解】解：A、7x3-2x2-8x+6=7x3-（2x2+8x-6），故此選項錯誤；
B、a-b+c-d=（a-d）-（b-c），故此選項錯誤；C、a-2b+7c=a-（2b-7c），故此選項正確；
D、5a2-6ab-2a-3b=-（5a2+6ab+2a）-3b，故此選項錯誤．故選：C．
【點睛】此題主要考查了整式的加減，添括號，關鍵是掌握添括號法則，注意符號的變化．
知識點四、整式的加減
一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項．
整式化簡求值，一般先化簡，再求值
注意：
（1）整式加減的一般步驟是：①先去括號；②再合并同類項．
（2）兩個整式相減時，減數一定先要用括號括起來．
(3)整式加減的最后結果的要求：①不能含有同類項，即要合并到不能再合并為止；②一般按照某一字母的降冪或升冪排列；③不能出現帶分數，帶分數要化成假分數．
例4-1 .化簡：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)．
解析：先運用去括號法則去括號，然后合并同類項．注意去括號時，如果括號前是負號，那么括號中的每一項都要變號；合并同類項時，只把系數相加減，字母與字母的指數不變．
解：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)＝6x2－3y2－6y2＋4x2＝10x2－9y2.
總結：去括號時應注意：①不要漏乘；②括號前面是“－”，去括號后括號里面的各項都要變號．
例4-2 .）若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】去括號，合并同類項即可得出結果．
【詳解】解：，故選：B．
【點睛】本題考查整式的加減運算．熟練掌握去括號，合并同類項法則，是解題的關鍵
總結：解決本題是要注意去括號時符號的變化，并且不要漏乘．有多個括號時要注意去各個括號時的順序．
例4-3 .先化簡，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】先去括號，然后合并同類項化簡，最后代值計算即可．
【詳解】解：
當時，原式．
【點睛】本題主要考查了整式的化簡求值，正確計算是解題的關鍵．
例4-4 .已知：，．則比較A與B的大小（ ）
A． B． C． D．無法確定
【答案】A
【分析】根據整式的加減計算法計算出，由此即可得到答案．
【詳解】解：∵，，
∴，∴，
∵，∴，∴，故選A．
【點睛】本題主要考查了整式的加減計算，正確計算是解題的關鍵．
例4-5 .一道求值題不小心弄污損了，嘉嘉隱約辨識：化簡，其中．系數“”看不清楚了．
(1)如果嘉嘉把“”中的數值看成2，求上述代數式的值；
(2)若無論m取任意的一個數，這個代數式的值都是，請通過計算幫助嘉嘉確定“”中的數值．
【答案】(1)，(2)4
【分析】（1）化簡式子，再代入數值計算即可；（2）設中的數值為，則原式．根據題意可得方程，求解即可得到答案．
【詳解】（1）原式．
當時，原式；
（2）設中的數值為，則原式．
無論取任意的一個數，這個代數式的值都是，
．．答：“”中的數是4．
【點睛】此題考查的是整式的加減，掌握運算法則是解決此題關鍵．
知識點五、整式的加減的實際應用
列出代數式；(2)去括號；(3)合并同類項.
例5-1 .如圖是長為30，寬為20的長方形紙片，將長方形紙片四個角分別剪去一個邊長為x的小正方形，用剩余部分圍成一個無蓋的長方體紙盒，則長方體紙盒底面周長為（ ）

A．100 B．50 C． D．
【答案】C
【分析】根據題意可得：長方體紙盒底面長為，底面寬為，結合長方形的周長公式即可進行解答．
【詳解】解：根據題意可得：長方體紙盒底面長為，底面寬為，
∴長方體紙盒底面周長為，故選：C．
【點睛】本題考查了列代數式，整數的加減，解題的關鍵是正確理解題意，根據題意列出代數式，并計算．
例5-2 .已知三角形的第一條邊的長是，第二條邊長是第一條邊長的2倍少3，第三條邊比第二條邊短5．
（1）用含、的式子表示這個三角形的周長；
（2）當，時，求這個三角形的周長；
（3）當，三角形的周長為39時，求各邊長．
【分析】（1）根據題意表示出三角形的周長即可；
（2）把與的值代入計算即可求出值；
（3）根據周長求出各邊長即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）當，時，原式；
（3）當時，，，
則第一條邊為10，第二條邊為17，第三條邊為12．
【點評】此題考查了整式的加減，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
易錯點點撥
易錯點1.判斷同類項時出現錯誤
易因兩個單項式字母的排列順序不同而誤認為這兩個單項式不是同類項
例1.下列各組中兩項屬于同類項的是　　
A．和 B．和
C．和 D．和
錯解：A
正解：
【分析】根據同類項的定義逐個判斷即可．
【解答】解：．和，相同字母的指數分別不相等，不是同類項，故本選項不符合題意；
．和的字母不相同，不是同類項，故本選項不符合題意；
．和的字母相同，相同字母的指數也分別相等，是同類項，故本選項符合題意；
．和的字母不完全相同，不是同類項，故本選項不符合題意；
故選：．
【點評】本題考查了同類項的定義，能熟記同類項的定義是解此題的關鍵，所含字母相同，并且相同字母的指數也分別相同的項叫同類項，常數項是同類項．
易錯點2.合并同類項時,對合并同類項的法則理解不透導致錯誤
在合并同類項時為避免錯誤的發生要注意兩點
(1)明確只有同類項才可以合并,不是同類項的不能合并;
(2)明確合并同類項中的“合并”是指同類項的系數相加,把所得的結果作為新的系數,字母和字母的指數不變
例2 .下列各算式中，合并同類項正確的是（　　）
A． B． C． D．
錯解：A、B
正解
【答案】C
【分析】本題考查了合并同類型的法則：合并同類項時，把同類項的系數相加作為結果的系數，字母和字母的指數不變．根據合并同類型的法則把系數相加即可得出正確結果．
【詳解】解：A、，故A錯誤；
、，故錯誤；
C、，故C正確；
故選：C．
易錯點3.去括號時出現錯誤
去括號時,括號前面是“_”號時,常忘記改變括號內每一項的符號,出現錯誤;或者括號前有數字因數,去括號時沒把數字因數與括號內的每一項相乘出現漏乘現象,只有嚴格按照去括號法則運算,才可能避免上述錯誤
例3 .下列去括號與添括號變形中，正確的是（　　）
A． B．
C． D．
錯解：A、B
正解
【答案】C
【分析】本題考查了多項式的去括號及添括號，熟練掌握去括號及添括號的法則是關鍵．根據去括號與添括號法則逐一判斷即可．
【詳解】解：A、2，故本選項錯誤；
B、，故本選項錯誤；
C、，故本選項正確；
D、，故本選項錯誤．
故選：C．
易錯點4.進行整式加減時忽略括號的作用
在多項式加法運算中，整式可以不加括號,在多項式減法運算中,被減式可以不加括號，但減式必須加上括號
例4 .下列計算正確的是（ ）．
A． B．
C． D．
錯解：B、D
正解
【答案】C
【分析】本題考查了整式的運算，根據合并同類項，去括號法則以及整式的加減法則逐項分析即可．
【詳解】A．，故不正確，不符合題意；
B．與不是同類項，不能合并，故不正確，不符合題意；
C．，正確，符合題意；
D．，故不正確，不符合題意；
故選C．
針對訓練
1.同類項
1.在下列單項式中：①；②； ③； ④； ⑤；⑥，說法正確的是（　　　）
A．②③⑤是同類項 B．②與③是同類項 C．②與⑤是同類項 D．①④⑥是同類項
【答案】B
【分析】根據同類項的定義（所含字母相同，相同字母的指數相同），即可判斷．
【詳解】解：A、②③是同類項，⑤與②③不是同類項，故不符合題意；B、②與③是同類項，故符合題意；C、②和⑤所含字母相同，但相同字母的指數不相同，不是同類項，故不符合題意；
D、①④⑥所含字母不同，不是同類項．故不符合題意；故選：B．
【點睛】本題考查了同類項的判定，掌握同類項的定義，所含字母相同，且相同字母的指數相等，是判斷同類項的關鍵．
2.如果與是同類項，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【分析】根據同類項的概念，求得的值，再代入代數式中求解即可
【詳解】與是同類項解得：故選B
【點睛】本題考查了同類項的概念，代數式求值，理解同類項的概念是解題的關鍵．
2.合并同類項
1. 合并同類項：
（1）；
（2）．
【分析】（1）原式合并同類項即可得到結果；
（2）原式合并同類項即可得到結果．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【點評】此題考查了合并同類項，熟練掌握合并同類項法則是解本題的關鍵．
2 .計算：．
【分析】根據合并同類項“系數相加，字母及指數不變”，可得答案．
【解答】解：
．
【點評】本題考查了合并同類項，利用合并同類項“系數相加，字母及指數不變”是解題關鍵．
3 .已知．
（1）化簡；
（2）當，，時，求的值．
【分析】（1）根據合并同類項的法則進行解答即可；
（2）把、的值代入進行計算，即可得出答案．
【解答】解：（1）；
（2）把，代入上式得：
．
【點評】本題考查整式的加減，熟練掌握化簡整式的方法是本題的關鍵．
3.去括號法則
1．下列去括號正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查去括號的方法：去括號時，運用乘法的分配律，先把括號前的數字與括號里各項相乘，再運用括號前是“”，去括號后，括號里的各項都不改變符號；括號前是“”，去括號后，括號里的各項都改變符號．順序為先大后小．應用去括號法則逐個計算即可得到結論．
【詳解】解：A．，故此選項正確，符合題意；
B．，故此選項錯誤，不符合題意；
C．，故此選項錯誤，不符合題意；
D．，故此選項錯誤，不符合題意．
故選：A．
2．在多項式中，對任意相鄰幾項（至少兩項）直接添加一個括號（每次只加一個括號），同時改變括起的部分最后一項的符號，然后按去括號法則進行去括號運算，稱此為“加括操作”．例如：，，…．
①有2種“加括操作”的運算結果與原多項式相等；
②若，則運算結果為0的共有兩種“加括操作”；
③所有的“加括操作”共有4種不同運算結果．
其中正確的個數是（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】C
【分析】本題主要考查了整式的加減混合運算，解題關鍵理解已知條件中的“加括操作”的含義，列出所有“加括操作”的算式．逐一判斷即可．
【詳解】解：根據題意，所有可能的“加括操作”有：
第一種：；
第二種：；
第三種：；
第四種：；
第五種：；
第六種：；
∴共有6種不同運算結果，故③的說法錯誤；
其中，有2種“加括操作”的運算結果與原多項式相等，故①說法正確；
若，
第一種：；
第二種：；
第三種：；
第四種：；
第五種：；
第六種：；
則運算結果為0的共有兩種“加括操作”， 故②說法正確；
∴正確的有2個；
故選：C．
4.整式的加減
1．已知：，且．
(1)求A等于多少？
(2)若，求A的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查整式的加減，絕對值和平方的非負性，求代數式的值，
（1）根據等式的性質可得，再將代入，然后去括號合并同類項即可得出答案；
（2）利用非負數的性質求出與的值，再代入計算即可求出值；
掌握整式加減的運算法則是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵，
∴
；
（2）∵，
∴，，
解得：，，
∴
．
2．某位同學做一道題：已知兩個多項式、，若，求的值．他誤將看成，求得結果為．
(1)求多項式的表達式；
(2)求的正確答案．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查整式的加減，解答本題的關鍵是明確整式加減的計算方法．
（1）根據題意，可以計算出的值；
（2）根據（1）中的值和題意，可以計算出的正確答案．
【詳解】（1）解：由題意可得，
，，
；
（2），，
．
3．化簡：．
【答案】
【分析】此題主要考查了整式的加減，正確合并同類項是解題關鍵．直接去括號，再合并同類項，進而得出答案．
【詳解】解：原式
4．已知，，．若，試比較m，q的大小關系．
【答案】
【分析】本題考查了整式的加減，解答本題的關鍵是掌握去括號法則和合并同類項法則；
把p、m、q代入中，去括號合并得到最簡結果，根據即可做出判斷．
【詳解】由題意得：
∵
∴
∴
5．已知，求的值．
【答案】．
【分析】本題考查了去括號和合并同類項，將表示的多項式代入，然后去括號，合并同類項即可，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
【詳解】解：
．
5.整式加減的實際應用
1 .如圖，正方形和正方形的邊長分別為a和6，點C，D，E在一條直線上，點B、C、G在一條直線上，將依次連接D、E、F、B所圍成的陰影部分的面積記為．
(1)試用含a的代數式表示；
(2)當時，比較與面積的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了整式加減的應用，代數式求值：
(1)根據列式求解即可；
(2)根據，結合(1)所求分別計算出與面積即可得到答案．
【詳解】(1)解：由題意得
；
(2)解：當時，，
，
∴．
2..如圖是小剛家的樓梯示意圖，其水平距離(即的長度)為，一只螞蟻從點A出發沿著樓梯爬到點C，共爬了．小剛家樓梯的豎直高度(即的長度)為( )
A．m B．m C．m D．m
【答案】A
【分析】考查了整式的加減，整式的加減實質上就是合并同類項．從A點沿著樓梯爬到C點長度的和應該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，依此用減去，即可求得小明家樓梯的豎直高度．
【詳解】解：，
故選：A．
3 .如圖，為了方便學生停放自行車，學校建了一塊長邊靠墻的長方形停車場，其他三面用護欄圍起，其中停車場的長為米，寬比長少米．
（1）用含、的代數式表示護欄的總長度；
（2）若，，每米護欄造價80元，求建此停車場所需護欄的費用．
【分析】（1）先求出停車場的寬，然后再求出護欄的長度即可；
（2）把，代入求值即可．
【解答】解：（1）停車場的寬為：米，
護欄的長度為：米．
（2）當，時，
（元，
故建此停車場所需護欄的費用是19600元．
【點評】本題考查整式的加減，解題的關鍵是掌握去括號法則，合并同類項法則
能力提升
提升1.同類項
1.如果，則下列式子正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據已知等式可得和是同類項，從而可得m和n值．
【詳解】解：∵，∴n=2，m-1=2，解得：m=3，故選D．
【點睛】本題考查了同類項的定義，解題的關鍵是判斷出和是同類項．
2 .已知與是同類項，則　　
A．2 B． C．1 D．3
【分析】根據同類項的定義（所含字母相同，相同字母的指數相同）即可求得、的值，再相減即可．
【解答】解：與是同類項，
，，
，
故選：．
【點評】本題考查同類項的定義，同類項定義中的兩個“相同”：相同字母的指數相同，是一道基礎題，比較容易解答．
提升2.合并同類項
1.一個五次三項式，加一個五次三項式，可能是（ ）
A．十次六項式 B．十次三項式 C．六次二項式 D．四次二項式
【答案】D
【分析】根據整式的加減和多項式的定義解答即可．
【詳解】解：∵合并同類項時，把同類項的系數相加，所得和作為合并后的系數，字母和字母的指數不變，
∴一個五次三項式，加一個五次三項式，所得整式的次數不可能高于五次，故A，B，C不正確，D正確，
如：．故選D．
【點睛】本題考查了整式的加減和多項式的定義，熟練掌握整式的加減法法則是解答本題的關鍵．
2 .先化簡，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本題主要考查了整式化簡求值，解題的關鍵是先根據整式加減運算法則進行計算，然后再代入數據求值即可．
【詳解】解：
，
把，代入得：原式．
3 .先化簡，再求代數式的值：
（1），其中；
（2），其中；
【答案】（1）化簡結果，代入數值計算結果是；
化簡結果，代入數值計算結果是；
提升3.去括號法則
1．去括號合并同類項
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了整式混合運算中的去括號以及合并同類項．
（1）根據合并同類項得法則直接合并同類項即可， 合并同類項得法則：把同類項的系數相加減，字母及字母的指數不變，
（2）根據括號前是正號去括號不變號，括號前是負號去掉括號要變號，可去掉括號，再根據合并同類項法則合并同類項，可得答案；
【詳解】（1）解：
（2）
2．我們知道，，類似地，我們也可以將看成一個整體，則．整體思想是數學解題中一種重要的思想方法，它在多項式的化簡和求值中有著廣泛的應用．請根據上面的提示和范例，解決下面的問題：
(1)把看成一個整體，則將 合并的結果為 　　．
(2)已知，求的值．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)56
(3)
【分析】本題主要考查了合并同類項，代數式求值，去括號和添括號：
（1）仿照題意把看作一個整體，根據合并同類項的計算法則求解即可；
（2）根據，利用整體代入法求解即可；
（3）把所求式子去括號，變形為，利用整體代入法求解即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴；
（3）解：∵，
∴
．
提升4.整式的加減
1.先合并同類項，再求值．
(1)，其中；
(2)，其中．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本題考查了整式的運算，熟悉掌握合并同類項法則是解題的關鍵．
（1）合并同類項后代入運算即可；
（2）合并同類項后代入，，運算即可．
【詳解】（1）解：，
當時，原式；
（2）
，
當，時，原式
2．已知整式．
(1)當，求整式的值；
(2)若整式比整式大，求整式．
【答案】(1)3
(2)
【分析】本題考查了求代數式的值，整式的加減運算．
（1）將，代入計算即可求解；
（2）根據題意得，計算即可求解．
【詳解】（1）解：當時，；
（2）解：由題意得．
3．已知： ，．
(1)化簡：；
(2)若的值與a的取值無關，求b的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了整式加減，整式加減的無關型問題，這里與的取值無關即含的項的系數為0，據此來求解；
（1）根據整式的加減計算法則求解即可；
（2）先求出，根據的值與的取值無關，求出的式子中含的項的系數為0，據此求解即可．
【詳解】（1）解：
（2）解：
根據題意可得：
4．小呂做一道題：“已知兩個多項式A、B，計算”，小黃誤將看成，結果得，若，請你幫助小黃求出的正確答案．
【答案】
【分析】此題考查了整式的加減，涉及的知識有：去括號法則，以及合并同類項法則，熟練掌握法則是解本題的關鍵．將B代入中計算，根據結果為，求出A，列出正確的算式，去括號合并即可得到正確結果．
【詳解】解：根據題意：，
，
，
．
5．閱讀下面材料：
①在數軸上，有理數5與對應兩點間的距離為；
②在數軸上，有理數與3對應兩點之間的距離為；
③在數軸上，有理數與對應兩點之間的距離為；
④在數軸上點A、B分別表示數a，b，則A、B兩點之間的距離；
回答下列問題：
(1)①在數軸上表示與兩點間的距離是 　 　，
②在數軸上表示x與3兩點間的距離是 　 　；
③在數軸上表示x與________兩點之間的距離為．
(2)下面對式子進行探究：
①當表示數x的點在與3之間移動時，的值總是一個固定的值為：___________．
②要使，數軸上表示的數___________________．
(3)的最小值：__________________________________．
【答案】(1)①3；②；③
(2)①4；②5或
(3)8
【分析】（1）直接根據題干中兩點之間的距離公式計算即可；
（2）①分析出的意義，再結合數軸可得；②分析出的意義，再根據兩點之間的距離為8列式計算即可；
（3）分種情況去絕對值符號，計算各種不同情況的值，最后討論得出最小值．
【詳解】（1）解：①在數軸上表示與兩點間的距離是，
②在數軸上表示x與3兩點間的距離是；
③，
則在數軸上表示x與兩點之間的距離為；
（2）①當表示數x的點在與3之間移動時，
表示數軸上x與的距離和與3的距離之和，
則此時；
②表示數軸上x與的距離和與3的距離之和為8，
則x的值為或；
（3）表示數軸上x分別與3，2，，的距離之和，
時，原式，此時的最小值是10；
時，原式，此時的最小值是8；
時，原式，
時，原式，此時的最小值是8；
時，原式，此時的最小值是10，
綜上：的最小值為8．
【點睛】本題考查了絕對值的幾何意義是數軸上兩點之間的距離，理解絕對值的幾何意義是解題的關鍵．
提升5.整式加減的實際應用
1..圖1是2022年1月份的日歷，用圖2所示的“九方格”在圖1中框住9個日期，并把其中被陰影方格覆蓋的四個日期分別記為．
(1)直接填空： ________；(填“>”、“<”或“=”)
(2) ________， ________， ________(用含a的代數式分別表示)；
(3)當圖2在圖1的不同位置時，代數式的值是否為定值？若是，請求出它的值，若不是，請說明理由．
【答案】(1)=
(2)，，
(3)是，定值為
【分析】此題考查列代數式及整式加減的應用，解題的關鍵是理解題意，弄清楚數字的排列規律．
(1)分別用含n的式子表示，列出代數式，化簡后比較即可得出結論；
(2)根據(1)的結論，分別用含a的式子表示，列出代數式，化簡后比較即可得出結論；
(3)分別把代入，再化簡，即可解決問題．
【詳解】(1)解：設為正整數)，則，，，
則：，，
∴，
故答案為：；
(2)解：根據(1)得：，，；
故答案為：，，；
(3)解：代數式的值為定值，
．
2 .我們定義：對于數對，若，則稱為“和積等數對”．如：因為，，所以，都是“和積等數對”．
（1）下列數對中，是“和積等數對”的是　 　　；（填序號）
①；
②，；
③，．
（2）若是“和積等數對”，求的值；
（3）若是“和積等數對”，求代數式的值．
【分析】（1）根據“和積等數對”的定義即可得到結論；
（2）根據“和積等數對”的定義列方程即可得到結論；
（3）將原式去括號，合并同類項進行化簡，然后根據新定義內容列出等式并化簡，最后代入求值．
【解答】解：（1），
數對是“和積等數對”，
，
，不是“和積等數對”，
，
數對，是“和積等數對”，
故答案為：①③；
（2）是“和積等數對”，
，
解得：；
（3）
，
是“和積等數對”
，
原式
．
【點評】本題屬于新定義內容，考查解一元一次方程，整式的加減—化簡求值，理解“積差等數對”的定義，掌握解一元一次方程的步驟以及合并同類項（系數相加，字母及其指數不變）和去括號的運算法則（括號前面是“”號，去掉“”號和括號，括號里的各項不變號；括號前面是“”號，去掉“”號和括號，括號里的各項都變號）是解題關鍵．
3 .如果一個矩形內部能用一些正方形鋪滿，既不重疊，又無縫隙，就稱為“優美矩形”，如圖所示，“優美矩形”的周長為52，則正方形的邊長為（ ）
A．3 B．13 C．6 D．8
【答案】C
【分析】設正方形的邊長為，分別求得，，由“優美矩形”的周長得，列式計算即可求解．
【詳解】解：設正方形的邊長為，
“優美矩形”的周長為52，，
，，，
，，，正方形的邊長為6，故選：C．
【點睛】本題考查整式加減的應用，認真觀察圖形，根據長方形的周長公式推導出所求的答案是解題關鍵．
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