資源簡介

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九年級數學上點撥與訓練
二十一章 一元二次方程
21.1一元二次方程
第一課時
學習目標：
1.經歷一元二次方程概念的形成過程，知道什么是一元二次方程.
2.會把一元二次方程化成一般形式，并知道各項及系數的名稱.
3.能說出什么是一元二次方程的解（根）
老師告訴你
判別一元二次方程的“兩方法”
1.根據定義要把握三點：
①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數；
②只含有一個未知數；
③未知數的最高次數是2．
2.根據一般形式要把握兩點：
①化成ax +bx+c=0的形式，且a≠0，b,c都可以為0
②判斷其是否一元二次方程與其有解無解無關。
課堂導練
知識點1.一元二次方程的定義
（1）一元二次方程的定義：
只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程
（2）概念解析：
一元二次方程必須同時滿足三個條件：
①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數；
②只含有一個未知數；
③未知數的最高次數是2．
（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數”；“未知數的最高次數是2”；“二次項的系數不等于0”；“整式方程”．
新知導學
【例1-1】下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A. x2-5x=0 B. x+1=0 C. y-2x=0 D. 2x3-2=0
【例1-2】若方程是關于x的一元二次方程，則a的值為 　　．
對應導練
1.下列關于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x24＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的個數是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若方程是關于x的一元二次方程，則m的值為（ ）
A. 0 B.
C. 1 D.
知識點2.一般形式：ax +bx+c=0（a≠0）。
.其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項；c叫做常數項．一次項系數b和常數項c可取任意實數，二次項系數a是不等于0的實數，這是因為當a＝0時，方程中就沒有二次項了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要確定二次項系數，一次項系數和常數項，必須先把一元二次方程化成一般形式．
新知導學
【例2-1】將一元二次方程3x2﹣3＝6x化成一般形式后，二次項系數和一次項系數分別是（　　）
A．3，﹣3 B．3，0 C．3，6 D．3，﹣6
對應導練
1.將一元二次方程2x2+x=3化成一般形式之后，若二次項的系數是2，則一次項系數和常數項分別是（　　）
A. -1，3 B. 1，1 C. 1，-3 D. 1，3
2.若關于 的一元二次方程 沒有一次項，則 的值為___________．
知識點3..一元二次方程的根
使方程兩邊相等的未知數的值，就是這個一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
新知導學
【例3-1】已知a是一元二次方程的根．求代數式的值．
【例3-2】若關于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值為_____．
對應導練
1.若1是關于x的一元二次方程ax2-a2x=0的一個根，則a的值為（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 0或1
2.若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=-3，則關于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c=0的解是（　　）
A. y1=2，y2=-4 B. y1=0，y2=-4 C. y1=3，y2=-3 D. y1=1，y2=-3
知識點4.實際生活中的一元二次方程模型
完整地系統審清題意;
把握住問題中的等量關系;
正確地用代數式表示其等量關系.
【新知導學】
【例4-1】臺山某學校某個宿舍同學畢業時都將自己的照片向全宿舍其他同學各送一張表示留念，全宿舍共送56張照片，設該宿舍共有x名同學，根據題意，列出方程為（　　）
A. x（x+1）=56 B. x（x-1）=56
C. 2x（x+1）=56 D. x（x-1）=56×2
對應導練
1．已知矩形的面積是54cm2，當把這個矩形的長減少1cm,寬增加2cm后，所得四邊形是正方形，若矩形的寬為xcm,則根據題意，列方程為 _____．
2．九年級舉行籃球賽，初賽采用單循環制（每兩個班之間都進行一場比賽），據統計，比賽共進行了28場，求九年級共有多少個班．若設九年級共有x個班，根據題意列出的方程是 _____．
當堂訓練
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A. B. ax2+bx+c=0（b≠0）
C. D.
2．把方程x（x+2）=5x化成一般式，則a、b、c的值分別是（　　）
A. 1，3，5 B. 1，-3，0 C. -1，0，5 D. 1，3，0
3．關于x的方程是一元二次方程，則a的值是（　　）
A. a=±2 B. a=-2
C. a=2 D.
4．方程x2-x=0的二次項系數、一次項系數、常數項分別是（　　）
A. 1，1，0 B. 0，1，0 C. 0，-1，0 D. 1，-1，0
5．若1是關于x的一元二次方程ax2-a2x=0的一個根，則a的值為（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 0或1
6．已知a是方程x2-2x-2023=0的根，則代數式2a2-4a-2的值為（　　）
A. 4044 B. -4044 C. 2024 D. -2024
7．在某次聚會上，每兩人都握了一次手，所有人共握手10次，設有x人參加這次聚會，則列出方程正確的是（　　）
A. x（x-1）=10 B. =10
C. x（x+1）=10 D. =10
8．一個兩位數比它的十位上的數字與個位上的數字之積大40，已知十位上的數字比個位上的數字大2．則這個兩位數是（　　）
A. 64 B. 75 C. 53或75 D. 64或75
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．若x=2是關于x的方程x2-x+m2-5=0的一個根，則m=_____．
10．寫出以x1=4為一個根的一個一元二次方程 _____．
11．若關于的方程是一元二次方程，則________．
12．若關于x的方程（k-1）x|k-3|+2x=3是一元二次方程，則k的值為 _____．
13．若方程ax2+bx+c=0（a≠0），滿足3a-b+c=0，則方程必有一根為_____．
三、解答題（共6小題，48分）
14．（10分）x2a+b-2xa+b+3=0是關于x的一元二次方程，求a與b的值．
15．（6分）把下列方程化為一元二次方程的一般形式，并指出它的二次項系數、一次項系數和常數項
（1）2x2=1-3x
（2）5x（x-2）=4x2-3x.
16．（6分）若關于x的一元二次方程中，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項，且滿足條件（a-2）2+|b-3|+=0，試寫出這個一元二次方程．
17．（8分）閱讀與思考：閱讀下面內容并完成任務．
小明同學在解一元二次方程（x-3）2=x-3時，兩邊同時除以x-3，得到x-3=1，于是得到原方程根為x=4；小華同學的解法是：將x-3移到等號左邊，得到（x-3）2-（x-3）=0，提公因式，得（x-3）（x-3-1）=0即x-3=0或x-4=0，進而得到原方程的兩個根x1=3，x2=4．
任務一：請對小明、小華同學的解法是否正確作出判斷；
任務二：若有不正確，請說明其理由；
任務三：直接寫出方程（x-5）3-4（x-5）2=0的根．
18.（8分）已知a是方程的一個根，求代數式的值．
19.（10分）如圖，在中，，從點為圓心，長為半徑畫弧交線段于點，以點為圓心長為半徑畫弧交線段于點，連結．
(1)若，求的度數：
(2)設．
①請用含的代數式表示與的長；
②與的長能同時是方程的根嗎？說明理由．
九年級數學上點撥與訓練
二十一章 一元二次方程（解析版）
21.1一元二次方程
第一課時
學習目標：
1.經歷一元二次方程概念的形成過程，知道什么是一元二次方程.
2.會把一元二次方程化成一般形式，并知道各項及系數的名稱.
3.能說出什么是一元二次方程的解（根）
老師告訴你
判別一元二次方程的“兩方法”
1.根據定義要把握三點：
①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數；
②只含有一個未知數；
③未知數的最高次數是2．
2.根據一般形式要把握兩點：
①化成ax +bx+c=0的形式，且a≠0，b,c都可以為0
②判斷其是否一元二次方程與其有解無解無關。
課堂導練
知識點1.一元二次方程的定義
（1）一元二次方程的定義：
只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程
（2）概念解析：
一元二次方程必須同時滿足三個條件：
①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數；
②只含有一個未知數；
③未知數的最高次數是2．
（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數”；“未知數的最高次數是2”；“二次項的系數不等于0”；“整式方程”．
新知導學
【例1-1】下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A. x2-5x=0 B. x+1=0 C. y-2x=0 D. 2x3-2=0
【答案】A
【解析】只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程．
解：A、x2-5x=0是一元二次方程；
B、x+1=0是一元一次方程；
C、y-2x=0是二元一次方程；
D、2x3-2=0不是一元二次方程．
故選：A．
【例1-2】若方程是關于x的一元二次方程，則a的值為 　　．
【分析】利用一元二次方程的定義判斷即可求出a的值．
【解答】解：∵方程是關于x的一元二次方程，
∴a2﹣14＝2且a+4≠0，
解得：a＝4．
故答案為：4．
【點評】此題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解本題的關鍵．
對應導練
1.下列關于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x24＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的個數是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A．
【解析】考查一元二次方程的概念．只有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．
①ax2+bx+c＝0，當a＝0時，該方程不是一元二次方程；
②x24＝0屬于分式方程；
③2x2﹣3x+1＝0符合一元二次方程的定義；
④x2﹣2+x3＝0的最高次數是3，屬于一元三次方程；
綜上所述，其中一元二次方程的個數是1個．
2．若方程是關于x的一元二次方程，則m的值為（ ）
A. 0 B.
C. 1 D.
【答案】C
【解析】根據一元二次方程的定義，x的最高次數是2，且二次項系數不等于0，從而得出答案．
解：根據題意得：，
∴，
故選：C．
【點睛】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特別要注意的條件．
知識點2.一般形式：ax +bx+c=0（a≠0）。
.其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項；c叫做常數項．一次項系數b和常數項c可取任意實數，二次項系數a是不等于0的實數，這是因為當a＝0時，方程中就沒有二次項了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要確定二次項系數，一次項系數和常數項，必須先把一元二次方程化成一般形式．
新知導學
【例2-1】將一元二次方程3x2﹣3＝6x化成一般形式后，二次項系數和一次項系數分別是（　　）
A．3，﹣3 B．3，0 C．3，6 D．3，﹣6
【答案】D
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次項系數和一次項系數即可．
【詳解】解：3x2﹣3＝6x，
移項得：3x2-6x-3=0，
二次項系數和一次項系數分別是3和-6，
故選：D．
【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式，多項式的項和單項式的系數等知識點，能熟記一元二次方程的一般形式是解此題的關鍵，注意：①一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c為常數，a≠0），②找項的系數帶著前面的符號．
對應導練
1.將一元二次方程2x2+x=3化成一般形式之后，若二次項的系數是2，則一次項系數和常數項分別是（　　）
A. -1，3 B. 1，1 C. 1，-3 D. 1，3
【答案】C
【解析】先把一元二次方程化為一般式，然后問題可求解．
解：∵一元二次方程2x2+x=3可得2x2+x-3=0，
∴一次項系數和常數項分別為1，-3；
故選：C．
2.若關于 的一元二次方程 沒有一次項，則 的值為___________．
【答案】
【分析】根據一元二次方程的一般形式可知一次項為，由方程沒有一次項可得，即可得答案．
【詳解】∵關于 的一元二次方程 沒有一次項，
∴，
解得：．
故答案為：．
【點評】本題考查一元二次方程的一般形式，解題的關鍵是掌握一元二次方程的一般形式．一元二次方程：只含有一個未知數（一元），并且未知數項的最高次數是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程經過整理都可化成一般形式．
知識點3..一元二次方程的根
使方程兩邊相等的未知數的值，就是這個一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
新知導學
【例3-1】已知a是一元二次方程的根．求代數式的值．
【答案】6
【解析】解：
，
∵a是一元二次方程的根，
∴，即，
∴原式．
【例3-2】若關于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值為_____．
【答案】1
【分析】將代入方程中結合一元二次方程的二次項系數不為即可得出答案．
【詳解】解：將代入方程中得，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點評】本題考查了一元二次方程的定義以及一元二次方程解的定義，熟記相關定義是解本題的關鍵．
對應導練
1.若1是關于x的一元二次方程ax2-a2x=0的一個根，則a的值為（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 0或1
【答案】C
【解析】將x=1代入方程ax2-a2x=0得到關于a的方程，然后解方程即可．
解：將x=1代入一元二次方程ax2-a2x=0，
得：a-a2=0，
解得：a=0，或者a=1，
∵ax2-a2x=0是關于x的一元二次方程，
∴a≠0，
∴a=1，
故選：C．
2.若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=-3，則關于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c=0的解是（　　）
A. y1=2，y2=-4 B. y1=0，y2=-4 C. y1=3，y2=-3 D. y1=1，y2=-3
【答案】B
【解析】觀察兩個方程可得出方程a（y+1）2+b（y+1）+c=0的解是y1+1=1，y2+1=-3，進而可求出y1=0，y2=-4．
解：∵關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=-3，
∴關于（y+1）的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c=0的解是y1+1=1，y2+1=-3，
∴關于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c=0的解是y1=0，y2=-4．
故選：B．
知識點4.實際生活中的一元二次方程模型
完整地系統審清題意;
把握住問題中的等量關系;
正確地用代數式表示其等量關系.
【新知導學】
【例4-1】臺山某學校某個宿舍同學畢業時都將自己的照片向全宿舍其他同學各送一張表示留念，全宿舍共送56張照片，設該宿舍共有x名同學，根據題意，列出方程為（　　）
A. x（x+1）=56 B. x（x-1）=56
C. 2x（x+1）=56 D. x（x-1）=56×2
【答案】B
【解析】根據該宿舍人數，可得出每名同學需送出（x-1）張照片，結合全宿舍共送56張照片，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．
解：∵該宿舍同學畢業時都將自己的照片向全宿舍其他同學各送一張表示留念，且該宿舍共有x名同學，
∴每名同學需送出（x-1）張照片．
根據題意得：x（x-1）=56．
故選：B．
對應導練
1．已知矩形的面積是54cm2，當把這個矩形的長減少1cm,寬增加2cm后，所得四邊形是正方形，若矩形的寬為xcm,則根據題意，列方程為 _____．
【答案】x（x+2+1）=54或x（x+3）=54
【解析】首先理解題意找出題中存在的等量關系：長方形的面積=長×寬，根據此列方程即可．
解：這個矩形的寬為xcm,則長為（x+2+1）cm,
根據題意得：x（x+2+1）=54．
∴x（x+3）=54．
故答案為：x（x+2+1）=54或x（x+3）=54．
2．九年級舉行籃球賽，初賽采用單循環制（每兩個班之間都進行一場比賽），據統計，比賽共進行了28場，求九年級共有多少個班．若設九年級共有x個班，根據題意列出的方程是 _____．
【答案】x（x-1）=28
【解析】設該中學九年級共有x個班級，賽制為單循環形式（每兩班之間都賽一場），則每個隊參加（x-1）場比賽，則共有 x（x-1）場比賽，可以列出一元二次方程．
解：設九年級共有x個班，每個班都要賽（x-1）場，但兩班之間只有一場比賽，
故 x（x-1）=28．
故答案為： x（x-1）=28．
當堂訓練
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A. B. ax2+bx+c=0（b≠0）
C. D.
【答案】C
【解析】本題根據一元二次方程的定義求解．
一元二次方程必須滿足兩個條件：
（1）未知數的最高次數是2；
（2）二次項系數不為0；
（3）是整式方程；
（4）含有一個未知數．
由這兩個條件對四個選項進行逐一判斷即可．
解：A、錯誤，是分式方程；
B、錯誤，當a=0時，是一元一次方程；
C、正確，符合一元二次方程的定義；
D、錯誤，是無理方程．
故選：C．
2．把方程x（x+2）=5x化成一般式，則a、b、c的值分別是（　　）
A. 1，3，5 B. 1，-3，0 C. -1，0，5 D. 1，3，0
【答案】B
【解析】一元二次方程的一般式是：ax2+bx+c=0（a,b,c是常數且a≠0），ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項；其中a,b,c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．把方程x（x+2）=5x化成一般式，問題可求．
解：∵x（x+2）=5x,∴x2+2x-5x=0，
∴x2-3x=0；∴a=1，b=-3，c=0．
故選：B．
3．關于x的方程是一元二次方程，則a的值是（　　）
A. a=±2 B. a=-2
C. a=2 D.
【答案】C
【解析】本題根據一元二次方程的定義求解．
一元二次方程必須滿足兩個條件：
（1）未知數的最高次數是2；
（2）二次項系數不為0．
由這兩個條件得到相應的關系式，再求解即可．
解：根據題意得，解得a=2．
故選：C．
4．方程x2-x=0的二次項系數、一次項系數、常數項分別是（　　）
A. 1，1，0 B. 0，1，0 C. 0，-1，0 D. 1，-1，0
【答案】D
【解析】根據一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a,b,c是常數且a≠0）中，ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項．其中a,b,c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項，直接進行判斷即可．
解：方程x2-x=0的二次項系數是1，一次項系數為-1，常數項為0．
故選：D．
5．若1是關于x的一元二次方程ax2-a2x=0的一個根，則a的值為（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 0或1
【答案】C
【解析】將x=1代入方程ax2-a2x=0得到關于a的方程，然后解方程即可．
解：將x=1代入一元二次方程ax2-a2x=0，
得：a-a2=0，
解得：a=0，或者a=1，
∵ax2-a2x=0是關于x的一元二次方程，
∴a≠0，
∴a=1，
故選：C．
6．已知a是方程x2-2x-2023=0的根，則代數式2a2-4a-2的值為（　　）
A. 4044 B. -4044 C. 2024 D. -2024
【答案】A
【解析】先根據一元二次方程解的定義得到a2-2a=2023，再把2a2-4a-2變形為2（a2-2a）-2，然后利用整體代入的方法計算．
解：∵a是方程x2-2x-2023=0的根，
∴a2-2a-2023=0，
即a2-2a=2023，
∴2a2-4a-2=2（a2-2a）-2=2×2023-2=4046-2=4044．
故選：A．
7．在某次聚會上，每兩人都握了一次手，所有人共握手10次，設有x人參加這次聚會，則列出方程正確的是（　　）
A. x（x-1）=10 B. =10
C. x（x+1）=10 D. =10
【答案】B
【解析】如果有x人參加了聚會，則每個人需要握手（x-1）次，x人共需握手x（x-1）次；而每兩個人都握了一次手，因此要將重復計算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手10次”，據此可列出關于x的方程．
解：設x人參加這次聚會，則每個人需握手：x-1（次）；
依題意，可列方程為：=10；
故選：B．
8．一個兩位數比它的十位上的數字與個位上的數字之積大40，已知十位上的數字比個位上的數字大2．則這個兩位數是（　　）
A. 64 B. 75 C. 53或75 D. 64或75
【答案】D
【解析】可設個位數字為x,則十位上的數字是（x+2）．等量關系：十位上的數字與個位上的數字的積+40=這個兩位數．
解：設個位數字為x,則十位上的數字是（x+2），根據題意得
x（x+2）+40=10（x+2）+x,
整理，得x2-9x+20=0，即（x-4）（x-5）=0，
解得 x1=4，x2=5（不合題意，舍去），
當x1=4時，x+2=6，這個兩位數是64；
當x1=5時，x+2=7，這個兩位數是75．
答：這兩位數是64或75．
故選：D．
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．若x=2是關于x的方程x2-x+m2-5=0的一個根，則m=_____．
【答案】
【解析】把x=2代入關于的x方程x2-x+m2-5=0，得到關于m的新方程，通過解新方程來求m的值．
解：∵x=2是關于的x方程x2-x+m2-5=0的一個根，
∴22-2+m2-5=0，
解得 m=±．
故答案為：±．
10．寫出以x1=4為一個根的一個一元二次方程 _____．
【答案】x2-4x=0（答案不唯一）
【解析】根據一元二次方程解的定義，以及一元二次方程的定義即可求解．
解：依題意得x2-4x=0，
解得x1=4，x2=0，
故答案為：x2-4x=0（答案不唯一）．
11．若關于的方程是一元二次方程，則________．
【答案】
【解析】一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數的最高次數是2；（2）二次項系數不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數．由這四個條件對四個選項進行分析即可．
解：由關于x的方程是一元二次方程，得
|k|+1=2且k-1≠0．
解得k=-1．
故答案為：-1．
【點睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數且未知數的最高次數是2．
12．若關于x的方程（k-1）x|k-3|+2x=3是一元二次方程，則k的值為 _____．
【答案】5
【解析】根據一元二次方程的定義即可求解．
解：依題意得：|k-3|=2且k-1≠0，
解得k=5．
故答案是：5．
13．若方程ax2+bx+c=0（a≠0），滿足3a-b+c=0，則方程必有一根為_____．
【答案】-3
【解析】把x=-3代入方程ax2+bx+c=0能得9a-3b+c=0，即可得出答案．
解：當把x=-3代入方程ax2+bx+c=0能得出9a-3b+c=0，即3a-b+c=0，
即方程一定有一個根為x=-3，
故答案是：-3．
三、解答題（共6小題，48分）
14．（10分）x2a+b-2xa+b+3=0是關于x的一元二次方程，求a與b的值．
【解析】本題根據一元二次方程的定義求解．分5種情況分別求解即可．
解：∵x2a+b-2xa+b+3=0是關于x的一元二次方程，
∴①，解得；
②，解得；
③，解得；
④，解得；
⑤，解得．
綜上所述，，，，．
15．（6分）把下列方程化為一元二次方程的一般形式，并指出它的二次項系數、一次項系數和常數項
（1）2x2=1-3x
（2）5x（x-2）=4x2-3x.
【解析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a,b,c是常數且a≠0）的a、b、c分別是二次項系數、一次項系數、常數項．
解：（1）2x2=1-3x一般形式為2x2+3x-1=0，二次項系數為2，一次項系數為3，常數項為-1；
（2）5x（x-2）=4x2-3x.一般形式為x2-7x=0，二次項系數為1，一次項系數為-7，常數項為0．
16．（6分）若關于x的一元二次方程中，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項，且滿足條件（a-2）2+|b-3|+=0，試寫出這個一元二次方程．
【解析】根據非負數的和等于零，可得每個非負數同時為零，可得a、b、c的值，根據二次項系數、一次項系數、常數項，可得答案．
解：由（a-2）2+|b-3|+=0，得
，
解得，
關于x的一元二次方程中，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項，得4x2+3x-7=0．
17．（8分）閱讀與思考：閱讀下面內容并完成任務．
小明同學在解一元二次方程（x-3）2=x-3時，兩邊同時除以x-3，得到x-3=1，于是得到原方程根為x=4；小華同學的解法是：將x-3移到等號左邊，得到（x-3）2-（x-3）=0，提公因式，得（x-3）（x-3-1）=0即x-3=0或x-4=0，進而得到原方程的兩個根x1=3，x2=4．
任務一：請對小明、小華同學的解法是否正確作出判斷；
任務二：若有不正確，請說明其理由；
任務三：直接寫出方程（x-5）3-4（x-5）2=0的根．
【解析】任務一：根據解題過程即可判斷；
任務二：當x-3=0時，方程的兩邊不能同時除以x-3．
任務三：移項后分解因式，即可得出三個一元一次方程，再求出方程的解即可．
解：任務一：小明同學的解法錯誤；小華同學的解法正確；
任務二：當x-3=0時，方程的兩邊不能同時除以x-3．
任務三：（x-5）3-4（x-5）2=0，
（x-5）2（x-5-4）=0，
x-5=0或x-9=0，
解得：x1=x2=5，x3=9．
18.（8分）已知a是方程的一個根，求代數式的值．
【答案】，3
【分析】根據方程根的定義，化簡代入計算即可．
【詳解】解：
，
∵a是方程的一個根，
∴，
即．
∴原式．
【點評】本題考查了一元二次方程的根即使得方程左右兩邊相等的未知數的值，正確理解定義是解題的關鍵．
19.（10分）如圖，在中，，從點為圓心，長為半徑畫弧交線段于點，以點為圓心長為半徑畫弧交線段于點，連結．
(1)若，求的度數：
(2)設．
①請用含的代數式表示與的長；
②與的長能同時是方程的根嗎？說明理由．
【答案】（1）；（2）①，；②是，理由見解析
【分析】（1）根據直角三角形、等腰三角形的性質，判斷出△DBC是等邊三角形，即可得到結論；
（2）①根據線段的和差即可得到結論；
②根據方程的解得定義，判斷AD是方程的解，則當AD=BE時，同時是方程的解，即可得到結論．
【詳解】解：（1）∵，
，
又，
是等邊三角形．
．
（2）①∵
又，
．
②∵
∴線段的長是方程的一個根．
若與的長同時是方程的根，則，
即，
，
，
∴當時，與的長同時是方程的根．
【點評】本題考查了勾股定理，一元二次方程的解；熟練掌握直角三角形和等腰三角形的性質求邊與角的方法，掌握判斷一元二次方程的解得方法是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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