資源簡介

/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學
專題1.1 從自然數到有理數
1. 通過生活實例認識正數和負數及0的特殊性；
2. 會用正負數表示相反意義的量；會用正負數表示允許偏差及相關運算；
3. 知道有理數的定義；會判斷一個數是否為有理數；會對有理數進行分類；
4. 本節內容主要培養學生的符號意識、應用意識、創新意識等。
模塊1：知識梳理 2
模塊2：核心考點 3
考點1.正數、負數、零的概念辨析 3
考點2.正數、負數的分類 4
考點3.正負數表示相反意義的量 5
考點4.正負數的應用1-時差（時間）、溫差的相關運算 6
考點5.正負數的應用2-用正負數表示允許偏差 7
考點6.正負數的應用3-基準量的相關計算 8
考點7.有理數的相關概念辨析 10
考點8.有理數的分類 11
考點9.有理數中的新定義集合 13
模塊3：能力培優 15
1.正數與負數
1）正數：像8848，36，，，1.31等，這樣大于的數叫做正數。正數都大于。
2）負數：像-500，-60，-，-0.5等，這樣的數叫做負數。負數都小于。
3）符號：一個數前面的“”，“”號叫做它的符號．
正數前面的“” 號可以省略，注意與表示是同一個正數．負數前面的“”號不可省略．
注：不能簡單的根據符號來判斷正負，而需要根據正負數的定義判別。
2.用正數和負數表示具有相反意義的量：
如果正數表示某種意義，那么負數表示它的相反意義，反之亦然。
比如：用正數表示向南，那么向北可以用負數表示為。
“相反意義的量”包括兩個方面的含意：一是相反意義；二是要有量。
3.“0”的特殊性
1）既不是正數，也不是負數；2）是正數與負數的分界；3）是自然數；
4）的意義：
有時表示沒有，比如文具盒中有支鉛筆，表示沒有鉛筆；
有時是一個數，比如是一個確定的溫度；
有時也作為基準，比如海拔高度為表示的是海平面的平均高度。
4.常見名詞：非負數：正數和零統稱為非負數；非正數：負數和零統稱為非正數；
5.有理數的相關概念
1）整數：正整數、、負整數統稱為整數。
所有的正整數組成正整數集合，所有的負整數組成負整數集合。
2）分數：正分數、負分數統稱為分數。
有限小數和無限循環小數可以化為分數，所以我們也把它們看成分數。
3）有理數：整數和分數統稱為有理數。
4）有理數的分類：
（1）（2）
考點1.正數、負數、零的概念辨析
【解題方法】熟悉正負數的相關概念，特別注意是0的特殊性。
例1.（2023·武漢市七年級期中）下列結論正確的是（ ）
A．0既是.正數，又是負數 B．0是最小的正數 C．0是最小的整數 D．0既不是正數也不是負數
【答案】D
【分析】根據0的概念逐項判斷即可得．
【詳解】A、既不是正數，也不是負數，則此項錯誤；B、不是正數，則此項錯誤；
C、整數包括負整數、和正整數，且沒有最小的整數，則此項錯誤；
D、既不是正數也不是負數，則此項正確；故選：D．
【點睛】本題考查了0的概念，掌握理解0的概念是解題關鍵．
例2．（2023·重慶·七年級統考期中）下列語句中錯誤的有（　　）個
①不帶“-”號的數都是正數；②如果a是正數，那么一定是負數；③不存在既不是正數，也不是負數的數；④0℃表示沒有溫度．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據大于0的數是正數，小于0的數是負數，對各選項分析判斷即可解答
【詳解】解：①正數是大于0的數，與帶不帶“ ”無關，例如：0不帶“ ”，但不是正數，也不是負數，故①錯誤；②a是正數， a表示a的相反數，一定是負數，故②正確；
③0既不是正數，也不是負數，故③錯誤；④0℃就是表示溫度是0，不是沒有溫度，故④錯誤．故選C．
【點睛】本題考查正數與負數定義，熟練掌握大于0的數是正數、小于0的數是負數成為解答本題的關鍵．
變式1．（23-24七年級上·山西呂梁·期末）中國人最早使用負數，在中國古代一部數學著作中首次正式引入負數及其加減法運算法則，這部數學著作是（ ）
A．《算法統宗》 B．《算學啟蒙》 C．《九章算術》 D．《測圓海鏡》
【答案】C
【分析】本題考查學生的數學素養，數學試題不僅要考查數學核心內容與基本功，更要關注學生素養的培養與發展，促成學生情感體驗． 《九章算術》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數學專著，《方程》章在世界數學史上首次闡述了負數及其加減運算法則．
【詳解】解：在世界數學史上首次闡述了負數及其加減運算法則是中國古代一部著名數學著作《九章算術》中的“《方程》”一章．故選：C
變式2．（2024·河南開封·二模）北京冬季里某一天的氣溫為，的含義是 .
【答案】零下
【分析】本題考查了負數的定義，根據溫度的定義，聯系生活，想想我們看過的天氣預報，從而想到含義．
【詳解】解：含義是零下．故答案為：零下．
變式3．（23-24七年級上·山東青島·階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．一定是負數 B．一個數不是正數就是負數 C．0是負數 D．在正數前面加“”號，就成了負數
【答案】D
【分析】本題主要考查了正負數．根據正負數的定義，對各個選項中的說法進行判斷即可．
【詳解】解：A、可以表示正數、負數和0，可以是負數、正數和0，故此選項的說法錯誤，故此選項不符合題意；
B、一個數可以為正數，也可以為0，也可以是負數，此選項的說法錯誤，故此選項不符合題意；
C、既不是正數也不是負數，此選項的說法錯誤，故此選項不符合題意；
D、在正數的前面加“”號，就成了負數，此選項的說法正確，故此選項符合題意；故選：D．
考點2.正數、負數的分類
【解題方法】大于0的數叫做正數，在正數前面加負號“﹣”，叫做負數，一個數前面的“+”、“﹣”號叫做它的符號。0既不是正數也不是負數。0是正負數的分界點，正數是大于0的數，負數是小于0的數．
例1．（23-24七年級上·遼寧盤錦·期末）下列各數是負數的是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了負數的意義．根據負數的意義即可判斷．
【詳解】A．0既不是正數也不是負數，故本選項錯誤；B．是負數，故本選項正確；
C．是正數，故本選項錯誤；D．是正數，故本選項錯誤．故選：B．
變式1．（23-24七年級上·新疆·期末）在，π，0，11，，3這六個數中，正數的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本題主要考查了正數的識別，熟知正數是大于0的數是解題的關鍵．
【詳解】解：在，π，0，11，，3這六個數中，正數有π，11，3，共3個，故選；C．
變式2．（2024·江蘇常州·一模）下列實數中，負數是（ ）
A． B． C． D．2024
【答案】B
【分析】本題主要考查實數的基本概念，熟練掌握實數的基本概念是解題的關鍵．
根據負數的概念得出結論即可．
【詳解】解：A、是正數，故本選項不符合題意；
B、是負數，故本選項符合題意；C、是正數，故本選項不符合題意；
D、2024是正數，故本選項不符合題意．故選：B．
考點3.正負數表示相反意義的量
【解題方法】一般地，對于具有相反意義的量，我們可以把其中一種意義的量規定為正的，并用正數來表示，把與它意義相反的量規定為負的，并用負數來表示。
例1．（2024·廣東深圳·模擬預測）如果節約用電千瓦時記作千瓦時，那么浪費用電千瓦時可以記作（ ）
A．千瓦時 B．千瓦時 C．千瓦時 D．千瓦時
【答案】C
【分析】本題考查了負數的認識，用正負數表示一對相反意義的量，如果收入用正數表示，支出就用負數表示．根據正負數的意義即可求解．
【詳解】解：節約用電千瓦時記作千瓦時，那么浪費用電千瓦時可以記作千瓦時，故選：C．
變式1．（2024·湖北荊門·模擬預測）隨著智能手機的發展和普及，移動支付越來越盛行，很多人不再隨身攜帶現金，掃二維碼等移動支付手段成了許多人首選的支付方式．小明在媽媽微信零錢明細中看到收入180元被記作元，則元表示（ ）
A．收入40元 B．支出40元 C．收入140元 D．支出140元
【答案】B
【分析】本題考查了正負數，熟練掌握負數的意義是解題關鍵．根據正負數的意義即可得．
【詳解】解：∵180元被記作元，則元表示支出40元．故選：B．
變式2．（23-24七年級上·山東德州·期末）中國是最早采用正負數表示相反意義的量，并進行負數運算的國家．如果向東走10步記作步，那么向西走9步記作（ ）
A．步 B．步 C．步 D．步
【答案】B
【分析】本題考查了相反意義的量，正確理解定義是解題的關鍵．根據相反意義的量的意義解答即可．
【詳解】解：向東走10步記作步，那么向西走9步記作步，故選B．
變式3．（2024·福建龍巖·一模）鐘表是指針逆時針方向轉記作，順時針方向轉記作 ．
【答案】
【分析】
此題主要考查了正負數的意義，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，先規定其中一個為正，則另一個就用負表示．根據逆時針旋轉為正，則順時針旋轉為負解答．
【詳解】解：鐘表的指針逆時針方向轉記作，則順時針方向轉記作，故答案為：．
考點4.正負數的應用1-時差（時間）、溫差的相關運算
【解題方法】對于兩個具有相反意義的量，究竟哪個為正，哪個為負，并不是固定的，而是人們在實際生活和生產中根據情況規定的。
例1．（23-24七年級上·浙江杭州·階段練習）紐約、悉尼與北京的時差如下表（正數表示同一時刻比北京時間早的時數，負數表示同一時刻比北京時間晚的時數）：
城市 悉尼 紐約
時差/時
當北京10月9日23時，悉尼、紐約的時間分別是（ ）
A．10月10日1時；10月9日10時 B．10月10日1時；10月8日10時
C．10月9日21時；10月9日10時 D．10月9日21時；10月10日12時
【答案】A
【分析】本題主要考查了正數和負數，掌握題意是解題的關鍵．由統計表得出，悉尼比北京早小時，紐約比北京晚小時，計算即可．
【詳解】解：悉尼的時間：10月9日23時小時10月10日1時；
紐約的時間：10月9日23時小時10月9日10時．故選A．
變式1．（2023秋·湖北十堰·七年級統考期末）如圖是丹江口市2022年12月16日氣象預報截圖，預報顯示當天最高氣溫5℃，最低氣溫℃，這一天我市的溫差是______℃．
【答案】6
【分析】直接根據正負數的意義計算即可．
【詳解】∵當天最高氣溫5℃，最低氣溫℃，
∴這一天我市的溫差是（℃），故答案為:6．
【點睛】本題考查了正負數在現實生活的應用，熟練掌握正負數的意義是解答本題的關鍵．在一對具有相反意義的量中，規定其中一個為正，則另一個就用負表示．
變式2．（23-24七年級上·江蘇宿遷·期中）某地的國際標準時間是指該地與格林尼治的時差，以下同一時刻4個城市的國際標準時間（“＋”表示當地時間比格林尼治時間早，“－”表示當地時間比格林尼治時間晚）：則這四個城市中最先進入2024年的城市是（ ）
城市 東京 北京 多倫多 紐約
國際標準時間
A．東京 B．北京 C．多倫多 D．紐約
【答案】A
【分析】本題考查有理數的加減計算方法，以及正負數的意義，根據正負數的意義即可解決，搞清正負數的意義是解題的關鍵．
【詳解】根據正負數的意義，“”表示當地時間比格林尼治時間早，“”表示當地時間比格林尼治時間晚，，這四個城市中最先進入2024年的城市是東京，故選：A．
考點5.正負數的應用2-用正負數表示允許偏差
【解題方法】M±n的意義：最大值M+n，最小值：M-n。（注意M和n均為非負數）。
例1．（23-24七年級上·內蒙古赤峰·期末）圖紙上一個零件的標注為，這里的表示這個零件直徑的標準尺寸是，實際合格產品的直徑最小可以是，最大可以是，現有另一零件的標注為，這個標注中零件直徑的標準尺寸有些模糊，已知該零件的七個合格產品，直徑尺寸分別為：，，，，，，，則該零件的標準尺寸不可能是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查正負數的意義，根據題意得出最大為，最小尺寸為，
【詳解】給出的七個合格產品尺寸最大為，最小尺寸為，所以標準尺寸在和之間．故選：D．
變式1．（23-24七年級上·山東濰坊·期末）某零食包裝袋上標有如下文字：凈含量以下容量中不符合標注的是（ ）
A．220g B．209g C．210g D．217g
【答案】B
【分析】本題考查了正數和負數，根據標注的容量可知符合標注的容量為，分析判斷即可．
【詳解】∵零食包裝袋上標注的容量為
∴符合標注的容量為：．
∴容量中不符合標注的是209．故選：B．
變式2．（2024·河南駐馬店·一模）生活中常有用正負數表示范圍的情形，例如某種食品的說明書上標明保存溫度是，請你寫出一個適合該食品保存的溫度： ．
【答案】25（答案不唯一）．
【分析】
本題考查了正負數的意義，根據給出的范圍寫出符合題的溫度即可．
【詳解】因為某種食品的說明書上標明保存溫度是，
所以適合該食品保存的溫度可以是，故答案為：25（答案不唯一）．
考點6.正負數的應用3-基準量的相關計算
【解題方法】如果把兩個具有相反意義的量中的一個規定為正，那么另一個就必須規定為負，決不能把兩個具有相反意義的量同時規定為正的，或者同時規定為負的。在實際生活和生產中，人們習慣把上升幾米，零上幾攝氏度，前進幾米，收入多少元，盈利多少元，高于海平面多少千米等規定為正的，而把與這些量具有相反意義的量：下降幾米，零下幾攝氏度，后退幾米，支出多少元，虧損多少元，低于海平面多少千米等規定為負的。
例1．（23-24七年級上·河北滄州·期末）古人都講“四十不惑”，如果以40歲為基，張明60歲，記為歲，那么王橫25歲，記為（ ）
A．25歲 B．歲 C．歲 D．歲
【答案】C
【分析】本題考查了正數和負數，用正負數表示兩種具有相反意義的量．具有相反意義的量都是互相依存的兩個量，它包含兩個要素，一是它們的意義相反，二是它們都是數量．根據題意即可求解．
【詳解】解：由題意得：王橫25歲，記為歲，故選：C．
例2．（23-24七年級上·河北石家莊·階段練習）武漢市質量技術監督局從某食品廠生產的袋裝食品中抽出樣品20袋，檢測每袋的質量是否符合標準，把超過或不足的部分分別用正、負數來表示，記錄如下表：
與標準質量的差值（單位：克） 0 1 3 4
袋數 1 4 3 4 5 3
若標準質量為400克，則抽樣檢測的20袋食品的平均質量為（ ）
A．417 B．399.15 C．400.85 D．401
【答案】C
【分析】本題考查了正數和負數，掌握有理數的加法法則是解題關鍵．求出所有記錄的和的平均數，然后根據正負數的意義解答．
【詳解】解：
（克），
則抽樣檢測的20袋食品的平均質量為：（克），故選：C
變式1．（23-24七年級上·遼寧葫蘆島·期末）七年一班期末數學考試的平均成績是分，小歡得了分，記作分，小樂的成績記作分，則小樂得了（ ）
A．83分 B．85分 C．91分 D．92分
【答案】B
【分析】本題考查了正負數的意義，根據正負數的意義，用，即可求解．
【詳解】解：依題意，小樂得了分，故選：B．
變式2．（2023·浙江·七年級統考期中）某校七年級1至4班計劃每班購買數量相同的圖書布置班級讀書角，但是由于種種原因，實際購書量與計劃有出入，如表是實際購書情況：
班級 1班 2班 3班 4班
實際購書量（本） a 32 c 22
實際購書量與計劃購書量的差值（本） b
(1)直接寫出___， ___；(2)根據記錄的數據可知4個班實際購書共___本；(3)書店給出一種優惠方案：一次購買達到15本，其中2本書免費．若每本書售價為30元，求這4個班團體購書的最低費用．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】（1）由于4班實際購入本，且實際購買數量與計劃購買數量的差值為，即可得計劃購書量為，進而可把表格補充完整；（2）把每班實際數量相加即可；（3）根據已知求出總費用即可．
【詳解】（1）∵由于4班實際購入本，且實際購買數量與計劃購買數量的差值為，即可得計劃購書量為本，∴一班實際購入本，二班實際購入數量與計劃購入數量的差值本，
故答案依次為：，．
（2）4個班一共購入數量為：本，故答案為：
（3）∵，∴如果每次購買本，則可以購買次，且最后還剩本書需單獨購買，
∴最低總花費為：元．
【點睛】本題考查了正負數的應用．在生活實際中利用正負數的計算能力，并通過相關運算來比較大小，進而得出最佳方案；正確理解正負數的意義是解題的關鍵．
考點7.有理數的相關概念辨析
【解題技巧】正整數、零和負整數統稱整數；正分數和負分數統稱分數；整數和分數統稱有理數．
例1．（2023·重慶·七年級校考期末）下列說法中：①0是最小的整數；②有理數不是正數就是負數；③非負數就是正數和0；④整數和分數統稱有理數，其中正確的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根據有理數定義及其分類解答即可．
【詳解】沒有最小的整數，故①錯誤；有理數包括正數、0、負數，故②錯誤；
非負數就是正數和0，故③正確；整數和分數統稱有理數，故④正確；故選：C
【點睛】本題側重考查的是有理數，掌握有理數定義及其分類是解決此題的關鍵．
變式1．（23-24七年級上·山東·期末）下列說法正確的是（ ）
A．正整數、負整數、正分數、負分數統稱有理數 B．正整數和負整數統稱整數
C．一個有理數不是整數就是分數 D．不是有理數
【答案】C
【分析】本題主要考查的是有理數的概念和分類，依據有理數的概念和分類進行求解即可，掌握相關知識是解題的關鍵．
【詳解】、正整數、負整數、正分數、負分數和統稱為有理數，故本選項錯誤，不符合題意；
、正整數和負整數和統稱為整數，故本選項錯誤，不符合題意；
、一個有理數不是整數就是分數，故本選項正確，符合題意；
、是有理數，故本選項錯誤，不符合題意；故選：．
變式2．（23-24七年級上·廣西·期中）下列關于有理數的說法正確的是（　　）
A．有理數可分為正有理數和負有理數兩大類 B．正整數集合與負整數集合合在一起構成整數集合
C．0既不屬于整數也不屬于分數 D．整數和分數統稱為有理數
【答案】D
【分析】本題考查有理數的分類及定義，根據有理數的分類及定義逐項判斷即可．
【詳解】解：A、有理數可分為正有理數，0和負有理數，故本選項錯誤，不符合題意；
B、正整數集合，0與負整數集合合在一起構成整數集合，故本選項錯誤，不符合題意；
C、0是整數，但不是分數，故本選項錯誤，不符合題意；
D、整數和分數統稱為有理數，正確，符合題意；故選：D．
考點8.有理數的分類
【解題技巧】
正整數：像1，2，3，4等這樣的數叫作正整數；負整數：像－1，－2，－3等這樣的數叫作負整數；
正分數：像，0.24等這樣的數叫作正分數； 負分數：像－，－3.56等這樣的數叫作負分數；
整數：正整數、0、負整數統稱為整數； 分數：正分數、負分數統稱為分數；
有理數：整數和分數統稱為有理數。
例1．（23-24七年級上·山東青島·期中）把下面的有理數填在相應的大括號里：
，，，，，． （友情提示：將各數用逗號分開）
正數集合______…；負數集合______…；非負整數集合______…．
【答案】， ；，， ；
【分析】根據正數和負數以及非負整數的定義，即可求解，
本題考查了正數，負數以及有理數，解題的關鍵是：熟練掌握相關定義．
【詳解】解：，，，，，，
正數集合，；
負數集合，， ；
非負整數集合，
故答案為：， ；，， ； ．
例2．（23-24七年級上·海南海口·期中）(1)把下列各數分別填入表示它所在的數集圖里：
，，0，，，，，，
(2)圖中A區表示 數集，B區表示 數集．
【答案】(1)見詳解； (2) 正整數，負整數；
【分析】本題考查有理數的分類，根據幾個定義直接逐個判斷即可得到答案；
【詳解】（1）解：由題意可得，
（2）解：由（1）可得，A是正整數集，B為負整數集， 故答案為：正整數，負整數．
變式1．（23-24七年級上·江蘇無錫·期末）在0，，，，中，有理數的個數是（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查了有理數的定義，整數和分數統稱為有理數，其中分數可以化為有限小數或無限循環小數，據此即可求解．
【詳解】解：在0，，，，中，有理數有0，，三個．故選：C
變式2．（23-24七年級上·湖北襄陽·期中）下列說法中，錯誤的是（ ）
A．是負有理數 B．不是整數 C．是正有理數 D．是負分數
【答案】B
【分析】本題考查了有理數，熟練掌握有理數的分類是解題的關鍵．根據有理數的分類，逐一判斷即可解答．
【詳解】解：A、是負有理數，故A不符合題意；
B、是整數，故B符合題意；C、是正有理數，故C不符合題意；
D、是負分數，故D不符合題意；故選：B．
3．（22-23七年級上·山東濟南·期中）把下列各數填在相應的大括號里：
，，，，，，，，，．
整數集合：{ …}
正分數集合：{ …}
負分數集合：{ …}
【答案】，，，；，，；，，．
【分析】本題考查了有理數的概念及分類，根據定義直接求解即可，解題的關鍵是熟悉整數、正分數、負分數的定義，熟練掌握此題的特點并能熟練運用．
【詳解】
整數集合：{，，，，…}；
正分數集合：{，，，…}；
負分數集合：{，，，…}；
故答案為：，，，；，，；，，．
考點9.有理數中的新定義集合
【解題技巧】所謂新定義問題，就是在題目中給出一個從未接觸過的新概念，要求我們通過認真閱讀，現學現用，是近年來中考數學的新亮點、新題型，解決此類問題步驟如下：1）讀懂題意（最關鍵）；2）根據新定義進行運算、推理、遷移。
常見類型有：（1）定義一種新運算；（2）定義一種新法則。
例1．（2023·貴州遵義·七年級校考階段練習）我們把整數和分數統稱為“有理數”，那為什么叫有理數呢？有理數在英語中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中國近代譯著者在翻譯時參考了這種方法，而“rational”這個詞的詞根“ratio”源于古希臘，是“比率”的意思，這個詞的意思就是整數的“比”，所謂有理數，就是可以寫成兩個整數之比的形式的數．
(1)對于是不是有理數呢？我們不妨設，則，即，故，即，解得，由此得：無限循環小數 　 　有理數（填“是”或“不是”）；
(2)請仿照（1）的做法，將寫成分數的形式（寫出過程）；
(3)在中，屬于非負有理數的是 　 　．
【答案】(1)是(2)(3)，0，，16.2
【分析】（1）根據有理數的概念求解即可；（2）根據題目中給出的運算方法；
（3）根據有理數的概念求解即可．
【詳解】（1）由解題過程可知，無限循環小數是有理數，故答案為：是；
（2）設，則，即，故，即，解得，即；
（3）在中，屬于非負有理數的是，0，，，
故答案為：，0，，．
【點睛】此題考查有理數的概念，無限循環小數轉化為分數等知識，解題的關鍵是熟練掌握有理數的概念．
變式1.（2023 江陰市七年級期中）把幾個數用大括號圍起來，中間用逗號斷開，如：{1，2，﹣3}，我們稱之為集合，其中的數稱其為集合的元素．如果一個集合滿足：當有理數a是集合的元素時，有理數﹣a+10也必是這個集合的元素，這樣的集合我們稱為和諧的集合．例如集合{10，0}就是一個和諧集合．
（1）請你判斷集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和諧集合？
（2）請你再寫出兩個和諧的集合（至少有一個集合含有三個元素）．
（3）寫出所有和諧的集合中，元素個數最少的集合．
【分析】（1）根據和諧集合的定義，只要判斷兩數相加是否等于10即可．
（2）根據和諧集合的定義，即可寫出兩個和諧的集合（至少有一個集合含有三個元素）．
（3）根據和諧集合的定義，確定元素個數最少的集合．
【解答】解：（1）若a＝1，則﹣a+10＝9不在集合{1，2}內，∴{1，2}不是和諧集合．
∵-2+12＝10，1+9＝10，5+5＝10，∴{﹣2，1，5，9，12}是和諧集合．
（2）根據和諧集合的定義可知a+10﹣a＝10，只要集合中兩個數之和為10即可，∵1+9＝2+8＝3+7＝4+6，
∴{2，5，8}和{1，9，2，8，3，7}是和諧集合．
（3）∵5+5＝10，∴要使素個數最少，則集合{5}，滿足條件．
【點評】本題主要考查新定義，利用和諧集合的定義，只要確定集合元素之和等于10即可．
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·廣東·七年級統考期中）下列說法：（1）正數前加上一個負號就是負數；（2）不是正數的數就是負數；（3）只有帶“”號的數才是正數；（4）既不是正數也不是負數．其中正確的有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】B
【分析】根據正數和負數的定義進行判斷即可．
【詳解】（1）正數前加上一個負號就是負數，說法正確；
（2）不是正數的數就是負數，說法錯誤，0既不是正數，也不是負數；
（3）只有帶“”號的數才是正數，說法錯誤，如+（-2）是負數；
（4）既不是正數也不是負數，說法正確．
綜合上述可得：說法正確有（1）、（4），共計2個．故選：B．
【點睛】考查了正數與負數：像0.1、1、2、3…這樣的數叫做正數，在正數前面加負號“-”，叫做負數，既不是正數也不是負數．
2．（2023·四川成都·模擬預測）下列各數中，是負數的是（ ）
A．5 B． C．0 D．
【答案】D
【分析】根據小于零的數是負數，可得答案；本題考查了正數和負數，掌握負數的定義是解題的關鍵．
【詳解】根據小于零的數是負數，可得為負數，5，均為正數 0既不是正數也不是負數 故選：D．
3．（2023·江蘇·七年級校聯考階段練習）下列說法中：（1）一個整數不是正數就是負數；（2）最小的整數是零；（3）負數中沒有最大的數；（4）自然數一定是正整數；（5）有理數包括正有理數、零和負有理數；（6）整數就是正整數和負整數；（7）零是整數但不是正數；（8）正數、負數統稱為有理數；（9）非負有理數是指正有理數和0．正確的個數有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根據有理數的概念和有理數的分類，正、負數依次進行判斷即可．
【詳解】解：整數分為正整數，0和負整數，
∴一個整數不是正數就是負數錯誤，故（1）不符合題意；
沒有最小的整數，故（2）不符合題意；負數中沒有最大的數，故（3）符合題意；
自然數包括0，∴自然數一定是正整數錯誤，故（4）不符合題意；
有理數包括正有理數，零和負有理數，故（5）符合題意，
整數包括正整數，0和負整數，故（6）不符合題意；
零食整數但不是正數，故（7）符合題意；整數和分數統稱為有理數，故（8）不符合題意；
非負有理數是指正有理數和0，故（9）符合題意，
綜上所述，正確的有（3）（5）（7）（9），共4個，故選：D．
【點睛】本題考查了有理數的概念和分類，熟練掌握有理數的分類是解題的關鍵．
4．（23-24七年級上·云南文山·期末）在數，，，，，，中，其中整數有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】B
【分析】本題主要考查了有理數的分類，根據整數的定義解答即可；掌握整數包括正整數，0和負整數是解題的關鍵．
【詳解】解：整數有，，，共3個．故選：B．
5．（23-24七年級上·廣東肇慶·期末）在足球質量檢測中，我們規定超過標準質量的克數記為正數，不足標準質量的克數記為負數．如圖，以下檢測結果中最接近標準質量的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了正負數意義．熟練掌握正負數的意義是解題的關鍵．
由，可知最接近標準質量，然后作答即可．
【詳解】解：由題意知，，
∴最接近標準質量，故選：D．
6．（23-24七年級上·浙江臺州·期末）某品牌水筆筆管直徑的合格范圍是（單位：），下列筆管直徑不符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了正負數的實際意義，解題的關鍵是找出合格零件的直徑范圍為．
【詳解】解：∵水筆筆管直徑的合格范圍是，
∴水筆筆管直徑的合格范圍，
∴不符合要求的是，故選D．
7．（2024·七年級課時練習）我國是較早認識負數的國家，金元時期數學家李冶在算籌的個位數上用斜畫一杠表示負數，如“”寫成“”．下列算籌表示負數的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據正數和負數表示相反意義的量，可得答案．
【詳解】解：在算籌的個位數上用斜畫一杠表示負數，如“”寫成“”，
算籌表示負數的是選項“” ．故選：B．
【點睛】此題考查了正數與負數，熟練掌握負數的意義，以及題目中表示負數的符號是解本題的關鍵．
8．（2024·河北廊坊·二模）某運動項目比賽規定，勝一場記作“”分，平局記作“0分”，如果某隊在一場比賽中得分記作“”分，則該隊在這場比賽中（ ）
A．與對手打成平局 B．輸給對手 C．贏得對手 D．無法確定
【答案】B
【分析】根據正負數的概念即可得出答案．本題考查了正數和負數的概念，解題的關鍵是理解正數和負數的意義．
【詳解】解：由題意可知：勝一場記作“”分，平局記作“0”分，
∴某隊得到“”分，則球隊比賽輸給了對手．
故選：B．
9．（23-24七年級上·廣東廣州·期中）下列7個數中：，，，0，，，，有理數的個數是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本題主要考查了有理數的定義，有理數分為整數和分數，又分為正有理數，負有理數和0，據此求解即可．
【詳解】解：在，，，0，，，中，有理數有，，，0，，共5個．故選：B．
10．（2023·江蘇無錫·七年級校聯考期中）日常生活中，許多具有相反意義的量都可以用正數、負數來表示．例如：一只杯子的杯口“朝上”可記作“”，杯口“朝下”可記作“”．現在桌子上有11只杯口朝上的茶杯，如果每次翻轉3只，能否經過若干次翻轉使這11只杯子的杯口全部朝下？若能，至少經過多少次翻轉能使這11只茶杯的杯口全部朝下？運用數學知識解決實際問題，你的答案是（　　）
A．不能 B．能，4 C．能，5 D．能，6
【答案】C
【分析】通過翻轉嘗試可以得到答案．
【詳解】解：用“”表示杯口朝上，用“”表示杯口朝下，
第一次翻轉：，第二次翻轉：，第三次翻轉：，
第四次翻轉：，第五次翻轉：，故選：C．
【點睛】本題考查正負數的概念，關鍵是掌握正負數表示的實際意義．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·江蘇七年級期中）舉出一個數字“”表示正負之間分界點的實際例子，如__________．
【答案】0℃可以表示溫度正負分界等（答案不唯一）
【分析】根據數學中0表示數的意義解答即可．
【解析】在實際中，數字“0”表示正負之間分界點，如：0℃可以表示溫度正負分界等（答案不唯一）．
故答案為：0℃可以表示溫度正負分界等（答案不唯一）．
【點睛】此題考查了正數和負數的意義，熟練掌握既不是正數，也不是負數的0的意義是解本題的關鍵．0既不是正數也不是負數．0是正負數的分界點，正數是大于0的數，負數是小于0的數．
12．（2023秋·福建龍巖·七年級統考期末）綿陽冬季某日的最高氣溫是3℃，最低氣溫為-1℃，那么當天的溫差是__________℃．
【答案】4
【分析】求該日的溫差就是作減法，用最高氣溫減去最低氣溫，列式計算．
【詳解】解：3-（-1）=4（℃）
答：當天的溫差是4℃．故答案為4．
【點睛】本題主要考查了有理數的減法的應用，注意符號不要搞錯．
13．（23-24七年級上·江西南昌·期中）世界最大的高海拔宇宙線觀測站“拉索”位于我國甘孜稻城，其海拔記為“米”，表示高出海平面米；全球最大的超深水半潛式鉆井平臺“藍鯨2號”是我國自主設計制造的，其最大鉆深記為“米”，則“米”表示的意義為 ．
【答案】低于海平面15250米
【分析】本題考查了正負數所表示的意義，根據正負數表示具有相反意義的兩種量：“”表示高出海平面，則“”即為低于海平面，即可得出答案．
【詳解】解：“米”，表示高出海平面4410米，
則“米”，表示低于海平面米；
故答案為：低于海平面15250米．
14．（23-24七年級下·福建福州·期中）某蓄水池的標準水位記為，若表示水面高于標準水位，則水面低于標準水位，可記為 m．
【答案】
【分析】此題主要考查了正負數的意義，首先審清題意，明確“正”和“負”所表示的意義；再根據題意作答．
【詳解】解：若表示水面高于標準水位，則水面低于標準水位，可記為．
故答案為：．
15．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級校考階段練習）把下列各數填入相應集合的括號內．
，，，0，，13，，，，，
(1)正分數集合：{____________…}；(2)整數集合：{____________…}；(3)非負數集合：{____________…）．
【答案】(1)，，；(2)0，13，，；(3)，，0，13，，．
【分析】（1）根據正分數的定義：比0大的分數叫正分數，正數前面常有一個符號“”，通常可以省略不寫，據此逐一進行判斷即可得到答案；（2）根據整數的定義：整數是正整數、零、負整數的集合，據此逐一進行判斷即可得到答案；（3）根據非負數的定義：正數和零總稱為非負數，據此逐一進行判斷即可得到答案
【詳解】（1）解：根據正分數的定義，正分數有：，，，故答案為：，，；
（2）解：根據整數的定義，整數有：0，13，，，故答案為：0，13，，；
（3）據非負數的定義，非負數有：，，0，13，，，故答案為：，，0，13，，．
【點睛】本題考查了有理數的分類，解題關鍵是理解正分數，整數，非負數的定義，并正確區別．
16．（23-24七年級上·遼寧沈陽·階段練習）下表列出了國外幾個城市與首都北京的時差（帶正號的表示同一時刻比北京時間晚的時數，帶負號的表示同一時刻比北京時間早的時數），如北京時間的上午10時，東京時間的10時已過去了1小時，現在已是（時）．
城市 紐約 巴黎 東京 芝加哥
時差/時
如果現在是北京時間10月8日10：00時，那么現在的紐約時間是 ．
【答案】10月7日
【分析】根據正數和負數的實際意義即可求得答案．
【詳解】解：現在是北京時間10月8日時，且紐約與北京的時差是時，
則現在的紐約時間是10月7日，
故答案為：10月7日．
【點睛】本題考查正數和負數及有理數加法的實際應用，熟練掌握并理解正數和負數的實際意義是解題的關鍵．
17．（23-24七年級上·廣東廣州·期末）一袋大米的包裝袋上標示的重量是，由此可知符合標準的一袋大米重量應最小不能低于 ．
【答案】
【分析】本題考查了正負數，正確理解“”的含義是解題關鍵。根據正負數概念求解即可。
【詳解】解：的含義是比多或比少，
符合標準的一袋大米重量應最小不能低于 故答案為：29.8．
18．（2023·山東七年級課時練習）（1）桌子上有5只杯口朝上的茶杯，每次翻轉3只，經過次翻轉可使這5只杯子的杯口全部朝下，則的最小值為______．（2）桌子上有11只杯口朝上的茶杯，每次翻轉3只，經過次翻轉可使這11只杯子的杯口全部朝下，則的最小值為______．
【答案】 3 5
【分析】（1）用“正”表示杯口朝上，用“負”表示杯口朝下，根據翻轉要求逐步羅列即可得；
（2）用“正”表示杯口朝上，用“負”表示杯口朝下，根據翻轉要求逐步羅列即可得．
【詳解】（1）用“正”表示杯口朝上，用“負”表示杯口朝下，
剛開始時：正、正、正、正、正，
第一次翻轉結束后：負、負、負、正、正，
第二次翻轉結束后：負、正、正、負、正，
第三次翻轉結束后：負、負、負、負、負，則m的最小值為3；
（2）用“正”表示杯口朝上，用“負”表示杯口朝下，
剛開始時：正、正、正、正、正、正、正、正、正、正、正，
第一次翻轉結束后：負、負、負、正、正、正、正、正、正、正、正，
第二次翻轉結束后：負、負、負、負、負、負、正、正、正、正、正，
第三次翻轉結束后：負、負、負、負、負、負、負、負、負、正、正，
第四次翻轉結束后：負、負、負、負、負、負、負、正、正、負、正，
第五次翻轉結束后：負、負、負、負、負、負、負、負、負、負、負，
則n的最小值為5；故答案為：3，5．
【點睛】本題考查了相反意義的量，正確羅列翻轉后杯口的變化情況是解題關鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（23-24七年級上·江西上饒·階段練習）某中學開展“閱讀之星，書香班級”活動，七（1）班上周星期一至星期五的借書記錄如下表，超過冊的部分記為正，少于冊的部分記為負．
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
問：上周星期一至星期五該班一共借書多少冊？
【答案】上周星期一至星期五該班一共借書冊；
【分析】本題考查正負數意義的應用，用乘以天數加上各天的正負數即可得到答案．
【詳解】解：由題意可得，，
答：上周星期一至星期五該班一共借書冊．
20．（23-24七年級上·陜西咸陽·階段練習）近幾年，全球的新能源汽車發展迅猛，尤其對于我國來說，新能源汽車產銷量都大幅度增加．小明家新換了一輛新能源純電汽車，他連續7天記錄了每天行駛的路程（如表）．以為標準，多于的記為“＋”，不足的記為“－”，剛好的記為“0”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程（km）
(1)請求出小明家的新能源汽車這7天一共行駛了多少千米？
(2)已知汽油車每行駛需用汽油升，汽油價為元/升，而新能源汽車每行駛耗電量為15度，每度電為元，小明家換成新能源汽車后這7天的行駛費用比原來節省多少錢？
【答案】(1)小明家的新能源汽車這7天一共行駛了300千米
(2)小明家換成新能源汽車后這7天的行駛費用比原來節省110.1元
【分析】本題主要考查正負數的實際應用及有理數的混合運算，
（1）計算出表格中的和再加上7天每天求出總路程即可；
（2）利用（1）中的總路程計算總費用即可．
【詳解】（1）解：（千米），
答：小明家的新能源汽車這7天一共行駛了300千米．
（2）解：（元），
（元），
（元），
答：小明家換成新能源汽車后這7天的行駛費用比原來節省元．
21．（2023·廣東·七年級校考階段練習）把下列各數填入相應的圈子內：，，，，0，
【答案】見解析
【分析】根據有理數的分類逐項分析即可求解．
【詳解】解：如圖所示，
【點睛】本題考查了有理數的分類，掌握有理數的分類是解題的關鍵．
22．（2023·四川·七年級校考階段練習）把，0.3，，9，分成兩類，使兩類的數具有不同的特征，寫出你的分法．
【答案】分成整數與分數或正數與負數都可以
【分析】根據有理數的分類求解即可．
【詳解】分成整數和分數，即整數：，9；分數：0.3，，；
分成正數與負數，即正數：0.3，，9；負數：，．
【點睛】此題考查了有理數的分類，解題的關鍵是熟練掌握有理數的分類．
23．（2024 廣東七年級期中）如圖是李阿姨10月23日至10月25日微信零錢明細（不完整），其中正數表示收款，負數表示付款．
（1）圖中“﹣42.00”和“+200”分別表示什么意思？
（2）上圖中陰影部分是李阿姨已刪除的一條明細，李阿姨只能記得這條明細是10月24日掃二維碼付款37元，忘記了當時的余額，請你幫助李阿姨計算出付款37元后的余額為多少？
【分析】（1）根據“正數表示收款，負數表示付款”解答即可；（2）根據題意列式計算即可求解．
【解答】解：（1）圖中“﹣42.00”表示付款42元；“+200”表示收款200元；
（2）239.18﹣37＝202.18（元）．答：付款37元后的余額為202.18元．
【點睛】此題主要考查了正數與負數，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，先規定其中一個為正，則另一個就用負表示．
24.（2023 山西七年級月考）閱讀下面文字，根據所給信息解答下面問題：把幾個數用大括號括起來，中間用逗號隔開，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，其中大括號內的數稱其為集合的元素，如果一個集合滿足：只要其中有一個元素a，使得a+12也是這個集合的元素，這樣的集合就稱為對偶集合．
例如：{13，1}，因為1+12＝13，13恰好是這個集合的元素，所以{13，1}是對偶集合，例如：{12，3，0}，因為12+0＝12，12恰好是這個集合的元素，所以{12，3，0}是對偶集合．在對偶集合中，若所有元素的和為0，則稱這個集合為完美對偶集合，例如：{﹣2，0，2}，因為﹣2+2＝0，0恰好是這個集合的元素，所以{﹣2，0，2}是對偶集合，又因為﹣2+0+2＝0，所以這個集合是完美對偶集合．
（1）集合{﹣4，8}　 　（填“是”或“不是”）對偶集合．
（2）集合是否是完美對偶集合？請說明理由.
【分析】（1）依據一個集合滿足：如果一個集合滿足：只要其中有一個元素a，使得a+2也是這個集合的元素，這樣的集合就稱為對偶集合，即可得到結論；
（2）根據在對偶集合中，若所有元素的和為0，則稱這個集合為完美對偶集合，即可得到結論；
【解答】解：（1）因為﹣4+12＝8，所以集合{﹣4，8}是對偶集合，故答案為：是；
（2）不是；理由如下：
因為，所以是對偶集合，
又因為，所以不是完美對偶集合；
【點評】本題主要考查了有理數，解決問題的關鍵是依據條件集合的定義進行計算．
25．（2022·山西太原·七年級校考期末）閱讀與探究：我們把整數和分數統稱為“有理數”，那為什么叫有理數呢？有理數在英語中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中國近代譯著者在翻譯時參考了這種方法，而“rational”這個詞的詞根“ratio”源于古希臘，是“比率”的意思，這個詞的意思就是整數的“比”，所謂有理數，就是可以寫成兩個整數之比的形式的數．比如：整數5可以寫成，分數就是整數12和整數5的比．
(1)【探究】對于是不是有理數呢？我們不妨設，由，于是可得：；等式兩邊同乘以10，可得：；即：；
化簡，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理數（填“是”或“不是”）；
(2)【類比】請你把無限循環小數寫成兩個整數之比的形式即分數的形式，即_________；
(3)【遷移】你能化無限循環小數為分數嗎？請完成你的探究過程．
(4)【拓展】請按照這個方法把無限循環小數化為分數，即_________
(5)【應用】在中，屬于非負有理數的是__________________．
【答案】(1)是(2)(3)是，過程見解析(4)(5)，0，，16.2
【詳解】解：（1）是
（2） 設，由，得．
可知，，即，解得：，
（3）設，由， 可得：，
等式兩邊同乘以100，可得， 即：，
化簡，得： 解方程，得：．
（4） 由（1）知： 所以．
（5）在中，屬于非負有理數的是，0，，16.2，
故答案為：，0，，16.2．
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專題1.1 從自然數到有理數
1. 通過生活實例認識正數和負數及0的特殊性；
2.會用正負數表示相反意義的量；會用正負數表示允許偏差及相關運算；
3. 知道有理數的定義；會判斷一個數是否為有理數；會對有理數進行分類；
4.本節內容主要培養學生的符號意識、應用意識、創新意識等。
模塊1：知識梳理 2
模塊2：核心考點 3
考點1.正數、負數、零的概念辨析 3
考點2.正數、負數的分類 4
考點3.正負數表示相反意義的量 5
考點4.正負數的應用1-時差（時間）、溫差的相關運算 6
考點5.正負數的應用2-用正負數表示允許偏差 7
考點6.正負數的應用3-基準量的相關計算 8
考點7.有理數的相關概念辨析 10
考點8.有理數的分類 11
考點9.有理數中的新定義集合 13
模塊3：能力培優 15
1.正數與負數
1）正數：像8848，36，，，1.31等，這樣大于的數叫做正數。正數都大于。
2）負數：像-500，-60，-，-0.5等，這樣的數叫做負數。負數都小于。
3）符號：一個數前面的“”，“”號叫做它的符號．
正數前面的“” 號可以省略，注意與表示是同一個正數．負數前面的“”號不可省略．
注：不能簡單的根據符號來判斷正負，而需要根據正負數的定義判別。
2.用正數和負數表示具有相反意義的量：
如果正數表示某種意義，那么負數表示它的相反意義，反之亦然。
比如：用正數表示向南，那么向北可以用負數表示為。
“相反意義的量”包括兩個方面的含意：一是相反意義；二是要有量。
3.“0”的特殊性
1）既不是正數，也不是負數；2）是正數與負數的分界；3）是自然數；
4）的意義：
有時表示沒有，比如文具盒中有支鉛筆，表示沒有鉛筆；
有時是一個數，比如是一個確定的溫度；
有時也作為基準，比如海拔高度為表示的是海平面的平均高度。
4.常見名詞：非負數：正數和零統稱為非負數；非正數：負數和零統稱為非正數；
5.有理數的相關概念
1）整數：正整數、、負整數統稱為整數。
所有的正整數組成正整數集合，所有的負整數組成負整數集合。
2）分數：正分數、負分數統稱為分數。
有限小數和無限循環小數可以化為分數，所以我們也把它們看成分數。
3）有理數：整數和分數統稱為有理數。
4）有理數的分類：
（1）（2）
考點1.正數、負數、零的概念辨析
【解題方法】熟悉正負數的相關概念，特別注意是0的特殊性。
例1.（2023·武漢市七年級期中）下列結論正確的是（ ）
A．0既是.正數，又是負數 B．0是最小的正數 C．0是最小的整數 D．0既不是正數也不是負數
例2．（2023·重慶·七年級統考期中）下列語句中錯誤的有（　　）個
①不帶“-”號的數都是正數；②如果a是正數，那么一定是負數；③不存在既不是正數，也不是負數的數；④0℃表示沒有溫度．
A．1 B．2 C．3 D．4
變式1．（23-24七年級上·山西呂梁·期末）中國人最早使用負數，在中國古代一部數學著作中首次正式引入負數及其加減法運算法則，這部數學著作是（ ）
A．《算法統宗》 B．《算學啟蒙》 C．《九章算術》 D．《測圓海鏡》
變式2．（2024·河南開封·二模）北京冬季里某一天的氣溫為，的含義是 .
變式3．（23-24七年級上·山東青島·階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．一定是負數 B．一個數不是正數就是負數 C．0是負數 D．在正數前面加“”號，就成了負數
考點2.正數、負數的分類
【解題方法】大于0的數叫做正數，在正數前面加負號“﹣”，叫做負數，一個數前面的“+”、“﹣”號叫做它的符號。0既不是正數也不是負數。0是正負數的分界點，正數是大于0的數，負數是小于0的數．
例1．（23-24七年級上·遼寧盤錦·期末）下列各數是負數的是（ ）
A．0 B． C． D．
變式1．（23-24七年級上·新疆·期末）在，π，0，11，，3這六個數中，正數的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
變式2．（2024·江蘇常州·一模）下列實數中，負數是（ ）
A． B． C． D．2024
考點3.正負數表示相反意義的量
【解題方法】一般地，對于具有相反意義的量，我們可以把其中一種意義的量規定為正的，并用正數來表示，把與它意義相反的量規定為負的，并用負數來表示。
例1．（2024·廣東深圳·模擬預測）如果節約用電千瓦時記作千瓦時，那么浪費用電千瓦時可以記作（ ）
A．千瓦時 B．千瓦時 C．千瓦時 D．千瓦時
變式1．（2024·湖北荊門·模擬預測）隨著智能手機的發展和普及，移動支付越來越盛行，很多人不再隨身攜帶現金，掃二維碼等移動支付手段成了許多人首選的支付方式．小明在媽媽微信零錢明細中看到收入180元被記作元，則元表示（ ）
A．收入40元 B．支出40元 C．收入140元 D．支出140元
變式2．（23-24七年級上·山東德州·期末）中國是最早采用正負數表示相反意義的量，并進行負數運算的國家．如果向東走10步記作步，那么向西走9步記作（ ）
A．步 B．步 C．步 D．步
變式3．（2024·福建龍巖·一模）鐘表是指針逆時針方向轉記作，順時針方向轉記作 ．
考點4.正負數的應用1-時差（時間）、溫差的相關運算
【解題方法】對于兩個具有相反意義的量，究竟哪個為正，哪個為負，并不是固定的，而是人們在實際生活和生產中根據情況規定的。
例1．（23-24七年級上·浙江杭州·階段練習）紐約、悉尼與北京的時差如下表（正數表示同一時刻比北京時間早的時數，負數表示同一時刻比北京時間晚的時數）：
城市 悉尼 紐約
時差/時
當北京10月9日23時，悉尼、紐約的時間分別是（ ）
A．10月10日1時；10月9日10時 B．10月10日1時；10月8日10時
C．10月9日21時；10月9日10時 D．10月9日21時；10月10日12時
變式1．（2023秋·湖北十堰·七年級統考期末）如圖是丹江口市2022年12月16日氣象預報截圖，預報顯示當天最高氣溫5℃，最低氣溫℃，這一天我市的溫差是______℃．
變式2．（23-24七年級上·江蘇宿遷·期中）某地的國際標準時間是指該地與格林尼治的時差，以下同一時刻4個城市的國際標準時間（“＋”表示當地時間比格林尼治時間早，“－”表示當地時間比格林尼治時間晚）：則這四個城市中最先進入2024年的城市是（ ）
城市 東京 北京 多倫多 紐約
國際標準時間
A．東京 B．北京 C．多倫多 D．紐約
考點5.正負數的應用2-用正負數表示允許偏差
【解題方法】M±n的意義：最大值M+n，最小值：M-n。（注意M和n均為非負數）。
例1．（23-24七年級上·內蒙古赤峰·期末）圖紙上一個零件的標注為，這里的表示這個零件直徑的標準尺寸是，實際合格產品的直徑最小可以是，最大可以是，現有另一零件的標注為，這個標注中零件直徑的標準尺寸有些模糊，已知該零件的七個合格產品，直徑尺寸分別為：，，，，，，，則該零件的標準尺寸不可能是( )
A． B． C． D．
變式1．（23-24七年級上·山東濰坊·期末）某零食包裝袋上標有如下文字：凈含量以下容量中不符合標注的是（ ）
A．220g B．209g C．210g D．217g
變式2．（2024·河南駐馬店·一模）生活中常有用正負數表示范圍的情形，例如某種食品的說明書上標明保存溫度是，請你寫出一個適合該食品保存的溫度： ．
考點6.正負數的應用3-基準量的相關計算
【解題方法】如果把兩個具有相反意義的量中的一個規定為正，那么另一個就必須規定為負，決不能把兩個具有相反意義的量同時規定為正的，或者同時規定為負的。在實際生活和生產中，人們習慣把上升幾米，零上幾攝氏度，前進幾米，收入多少元，盈利多少元，高于海平面多少千米等規定為正的，而把與這些量具有相反意義的量：下降幾米，零下幾攝氏度，后退幾米，支出多少元，虧損多少元，低于海平面多少千米等規定為負的。
例1．（23-24七年級上·河北滄州·期末）古人都講“四十不惑”，如果以40歲為基，張明60歲，記為歲，那么王橫25歲，記為（ ）
A．25歲 B．歲 C．歲 D．歲
例2．（23-24七年級上·河北石家莊·階段練習）武漢市質量技術監督局從某食品廠生產的袋裝食品中抽出樣品20袋，檢測每袋的質量是否符合標準，把超過或不足的部分分別用正、負數來表示，記錄如下表：
與標準質量的差值（單位：克） 0 1 3 4
袋數 1 4 3 4 5 3
若標準質量為400克，則抽樣檢測的20袋食品的平均質量為（ ）
A．417 B．399.15 C．400.85 D．401
變式1．（23-24七年級上·遼寧葫蘆島·期末）七年一班期末數學考試的平均成績是分，小歡得了分，記作分，小樂的成績記作分，則小樂得了（ ）
A．83分 B．85分 C．91分 D．92分
變式2．（2023·浙江·七年級統考期中）某校七年級1至4班計劃每班購買數量相同的圖書布置班級讀書角，但是由于種種原因，實際購書量與計劃有出入，如表是實際購書情況：
班級 1班 2班 3班 4班
實際購書量（本） a 32 c 22
實際購書量與計劃購書量的差值（本） b
(1)直接寫出___， ___；(2)根據記錄的數據可知4個班實際購書共___本；(3)書店給出一種優惠方案：一次購買達到15本，其中2本書免費．若每本書售價為30元，求這4個班團體購書的最低費用．
考點7.有理數的相關概念辨析
【解題技巧】正整數、零和負整數統稱整數；正分數和負分數統稱分數；整數和分數統稱有理數．
例1．（2023·重慶·七年級校考期末）下列說法中：①0是最小的整數；②有理數不是正數就是負數；③非負數就是正數和0；④整數和分數統稱有理數，其中正確的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
變式1．（23-24七年級上·山東·期末）下列說法正確的是（ ）
A．正整數、負整數、正分數、負分數統稱有理數 B．正整數和負整數統稱整數
C．一個有理數不是整數就是分數 D．不是有理數
變式2．（23-24七年級上·廣西·期中）下列關于有理數的說法正確的是（　　）
A．有理數可分為正有理數和負有理數兩大類 B．正整數集合與負整數集合合在一起構成整數集合
C．0既不屬于整數也不屬于分數 D．整數和分數統稱為有理數
考點8.有理數的分類
【解題技巧】
正整數：像1，2，3，4等這樣的數叫作正整數；負整數：像－1，－2，－3等這樣的數叫作負整數；
正分數：像，0.24等這樣的數叫作正分數； 負分數：像－，－3.56等這樣的數叫作負分數；
整數：正整數、0、負整數統稱為整數； 分數：正分數、負分數統稱為分數；
有理數：整數和分數統稱為有理數。
例1．（23-24七年級上·山東青島·期中）把下面的有理數填在相應的大括號里：
，，，，，． （友情提示：將各數用逗號分開）
正數集合______…；負數集合______…；非負整數集合______…．
例2．（23-24七年級上·海南海口·期中）(1)把下列各數分別填入表示它所在的數集圖里：
，，0，，，，，，
(2)圖中A區表示 數集，B區表示 數集．
變式1．（23-24七年級上·江蘇無錫·期末）在0，，，，中，有理數的個數是（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
變式2．（23-24七年級上·湖北襄陽·期中）下列說法中，錯誤的是（ ）
A．是負有理數 B．不是整數 C．是正有理數 D．是負分數
3．（22-23七年級上·山東濟南·期中）把下列各數填在相應的大括號里：
，，，，，，，，，．
整數集合：{ …} 正分數集合：{ …}
負分數集合：{ …}
考點9.有理數中的新定義集合
【解題技巧】所謂新定義問題，就是在題目中給出一個從未接觸過的新概念，要求我們通過認真閱讀，現學現用，是近年來中考數學的新亮點、新題型，解決此類問題步驟如下：1）讀懂題意（最關鍵）；2）根據新定義進行運算、推理、遷移。
常見類型有：（1）定義一種新運算；（2）定義一種新法則。
例1．（2023·貴州遵義·七年級校考階段練習）我們把整數和分數統稱為“有理數”，那為什么叫有理數呢？有理數在英語中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中國近代譯著者在翻譯時參考了這種方法，而“rational”這個詞的詞根“ratio”源于古希臘，是“比率”的意思，這個詞的意思就是整數的“比”，所謂有理數，就是可以寫成兩個整數之比的形式的數．
(1)對于是不是有理數呢？我們不妨設，則，即，故，即，解得，由此得：無限循環小數 　 　有理數（填“是”或“不是”）；
(2)請仿照（1）的做法，將寫成分數的形式（寫出過程）；
(3)在中，屬于非負有理數的是 　 　．
變式1.（2023 江陰市七年級期中）把幾個數用大括號圍起來，中間用逗號斷開，如：{1，2，﹣3}，我們稱之為集合，其中的數稱其為集合的元素．如果一個集合滿足：當有理數a是集合的元素時，有理數﹣a+10也必是這個集合的元素，這樣的集合我們稱為和諧的集合．例如集合{10，0}就是一個和諧集合．
（1）請你判斷集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和諧集合？
（2）請你再寫出兩個和諧的集合（至少有一個集合含有三個元素）．
（3）寫出所有和諧的集合中，元素個數最少的集合．
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·廣東·七年級統考期中）下列說法：（1）正數前加上一個負號就是負數；（2）不是正數的數就是負數；（3）只有帶“”號的數才是正數；（4）既不是正數也不是負數．其中正確的有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
2．（2023·四川成都·模擬預測）下列各數中，是負數的是（ ）
A．5 B． C．0 D．
3．（2023·江蘇·七年級校聯考階段練習）下列說法中：（1）一個整數不是正數就是負數；（2）最小的整數是零；（3）負數中沒有最大的數；（4）自然數一定是正整數；（5）有理數包括正有理數、零和負有理數；（6）整數就是正整數和負整數；（7）零是整數但不是正數；（8）正數、負數統稱為有理數；（9）非負有理數是指正有理數和0．正確的個數有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（23-24七年級上·云南文山·期末）在數，，，，，，中，其中整數有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
5．（23-24七年級上·廣東肇慶·期末）在足球質量檢測中，我們規定超過標準質量的克數記為正數，不足標準質量的克數記為負數．如圖，以下檢測結果中最接近標準質量的是（ ）

A． B． C． D．
6．（23-24七年級上·浙江臺州·期末）某品牌水筆筆管直徑的合格范圍是（單位：），下列筆管直徑不符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·七年級課時練習）我國是較早認識負數的國家，金元時期數學家李冶在算籌的個位數上用斜畫一杠表示負數，如“”寫成“”．下列算籌表示負數的是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2024·河北廊坊·二模）某運動項目比賽規定，勝一場記作“”分，平局記作“0分”，如果某隊在一場比賽中得分記作“”分，則該隊在這場比賽中（ ）
A．與對手打成平局 B．輸給對手 C．贏得對手 D．無法確定
9．（23-24七年級上·廣東廣州·期中）下列7個數中：，，，0，，，，有理數的個數是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（2023·江蘇無錫·七年級校聯考期中）日常生活中，許多具有相反意義的量都可以用正數、負數來表示．例如：一只杯子的杯口“朝上”可記作“”，杯口“朝下”可記作“”．現在桌子上有11只杯口朝上的茶杯，如果每次翻轉3只，能否經過若干次翻轉使這11只杯子的杯口全部朝下？若能，至少經過多少次翻轉能使這11只茶杯的杯口全部朝下？運用數學知識解決實際問題，你的答案是（　　）
A．不能 B．能，4 C．能，5 D．能，6
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·江蘇七年級期中）舉出一個數字“”表示正負之間分界點的實際例子，如__________．
12．（2023秋·福建龍巖·七年級統考期末）綿陽冬季某日的最高氣溫是3℃，最低氣溫為-1℃，那么當天的溫差是__________℃．
13．（23-24七年級上·江西南昌·期中）世界最大的高海拔宇宙線觀測站“拉索”位于我國甘孜稻城，其海拔記為“米”，表示高出海平面米；全球最大的超深水半潛式鉆井平臺“藍鯨2號”是我國自主設計制造的，其最大鉆深記為“米”，則“米”表示的意義為 ．
14．（23-24七年級下·福建福州·期中）某蓄水池的標準水位記為，若表示水面高于標準水位，則水面低于標準水位，可記為 m．
15．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級校考階段練習）把下列各數填入相應集合的括號內．
，，，0，，13，，，，，
(1)正分數集合：{____________…}；(2)整數集合：{____________…}；(3)非負數集合：{____________…）．
16．（23-24七年級上·遼寧沈陽·階段練習）下表列出了國外幾個城市與首都北京的時差（帶正號的表示同一時刻比北京時間晚的時數，帶負號的表示同一時刻比北京時間早的時數），如北京時間的上午10時，東京時間的10時已過去了1小時，現在已是（時）．
城市 紐約 巴黎 東京 芝加哥
時差/時
如果現在是北京時間10月8日10：00時，那么現在的紐約時間是 ．
17．（23-24七年級上·廣東廣州·期末）一袋大米的包裝袋上標示的重量是，由此可知符合標準的一袋大米重量應最小不能低于 ．
18．（2023·山東七年級課時練習）（1）桌子上有5只杯口朝上的茶杯，每次翻轉3只，經過次翻轉可使這5只杯子的杯口全部朝下，則的最小值為______．（2）桌子上有11只杯口朝上的茶杯，每次翻轉3只，經過次翻轉可使這11只杯子的杯口全部朝下，則的最小值為______．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（23-24七年級上·江西上饒·階段練習）某中學開展“閱讀之星，書香班級”活動，七（1）班上周星期一至星期五的借書記錄如下表，超過冊的部分記為正，少于冊的部分記為負．
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
問：上周星期一至星期五該班一共借書多少冊？
20．（23-24七年級上·陜西咸陽·階段練習）近幾年，全球的新能源汽車發展迅猛，尤其對于我國來說，新能源汽車產銷量都大幅度增加．小明家新換了一輛新能源純電汽車，他連續7天記錄了每天行駛的路程（如表）．以為標準，多于的記為“＋”，不足的記為“－”，剛好的記為“0”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程（km）
(1)請求出小明家的新能源汽車這7天一共行駛了多少千米？
(2)已知汽油車每行駛需用汽油升，汽油價為元/升，而新能源汽車每行駛耗電量為15度，每度電為元，小明家換成新能源汽車后這7天的行駛費用比原來節省多少錢？
21．（2023·廣東·七年級校考階段練習）把下列各數填入相應的圈子內：，，，，0，
22．（2023·四川·七年級校考階段練習）把，0.3，，9，分成兩類，使兩類的數具有不同的特征，寫出你的分法．
23．（2024 廣東七年級期中）如圖是李阿姨10月23日至10月25日微信零錢明細（不完整），其中正數表示收款，負數表示付款．
（1）圖中“﹣42.00”和“+200”分別表示什么意思？
（2）上圖中陰影部分是李阿姨已刪除的一條明細，李阿姨只能記得這條明細是10月24日掃二維碼付款37元，忘記了當時的余額，請你幫助李阿姨計算出付款37元后的余額為多少？
24.（2023 山西七年級月考）閱讀下面文字，根據所給信息解答下面問題：把幾個數用大括號括起來，中間用逗號隔開，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，其中大括號內的數稱其為集合的元素，如果一個集合滿足：只要其中有一個元素a，使得a+12也是這個集合的元素，這樣的集合就稱為對偶集合．
例如：{13，1}，因為1+12＝13，13恰好是這個集合的元素，所以{13，1}是對偶集合，例如：{12，3，0}，因為12+0＝12，12恰好是這個集合的元素，所以{12，3，0}是對偶集合．在對偶集合中，若所有元素的和為0，則稱這個集合為完美對偶集合，例如：{﹣2，0，2}，因為﹣2+2＝0，0恰好是這個集合的元素，所以{﹣2，0，2}是對偶集合，又因為﹣2+0+2＝0，所以這個集合是完美對偶集合．（1）集合{﹣4，8}　 　（填“是”或“不是”）對偶集合．（2）集合是否是完美對偶集合？請說明理由.
25．（2022·山西太原·七年級校考期末）閱讀與探究：我們把整數和分數統稱為“有理數”，那為什么叫有理數呢？有理數在英語中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中國近代譯著者在翻譯時參考了這種方法，而“rational”這個詞的詞根“ratio”源于古希臘，是“比率”的意思，這個詞的意思就是整數的“比”，所謂有理數，就是可以寫成兩個整數之比的形式的數．比如：整數5可以寫成，分數就是整數12和整數5的比．
(1)【探究】對于是不是有理數呢？我們不妨設，由，于是可得：；等式兩邊同乘以10，可得：；即：；
化簡，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理數（填“是”或“不是”）；
(2)【類比】請你把無限循環小數寫成兩個整數之比的形式即分數的形式，即_________；
(3)【遷移】你能化無限循環小數為分數嗎？請完成你的探究過程．
(4)【拓展】請按照這個方法把無限循環小數化為分數，即_________
(5)【應用】在中，屬于非負有理數的是__________________
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