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第3講 機械能守恒定律
第五章 機械能守恒定律
問：小明從1樓到3樓，哪種方式他的重力做功最少？
想一想
θ
L
h1
h2
Δh
A
A
A
B
B
B
一.探究重力做功的特點
物體豎直下落
物體沿斜線運動
物體沿曲線運動
= mg(h1－h2)
ＷＧ= mgΔh
=mgh1－mgh2
以上三種類型總結：
重力做功的特點：
物體運動時，重力對它做的功只跟它的起點和終點的位置有關，而跟物體運動的路徑無關。即重力做功數值等于重力與高度差的乘積。
表達式：
WG ＝ mgΔh =mgh1－mgh2
Δh
h2
h1
A
B
★不論光滑還是粗糙路徑，也不論是直線還是曲線運動，不論是否受到其他力的作用，只要初末狀態的高度差相同，重力做的功就相同．
1. 定義：物體由于被舉高而具有的能量叫重力勢能。
大?。何矬w的重力勢能等于它所受重力與所處高度的乘積。
（參考平面──零勢能面）
3. 單位：焦（耳）J 1 J = 1 kg m s-2 m = 1 N m
4. 重力勢能是標量：只有大小沒有方向，但有正、負，其正、負表示大小。
（h ─物體重心到零勢能面的高度）
Ep= mgh
二、重力勢能
【例題】如圖，質量 0.5 kg 的小球，從桌面以上 h1 = 1.2 m 的 A 點落到地面的 B 點，桌面高 h2 = 0.8 m。關于小球的重力勢能，請按要求填寫下表。( g = 10 m/s2 )
參考 平面 在A點 在 B點 下落過程重力做功 重力勢能變化
桌面
地面
6 J
10 J
─4 J
0
10 J
10 J
減少10 J
減少10 J
h1
h2
A
B
★選擇不同的參考平面，物體的重力勢能不同。
相對性
★重力做功和重力勢能的變化與參考平面的選擇無關。
絕對性
△Ep的絕對性
重力做功與重力勢能變化的關系：重力做的功等于重力勢能的減少量。
WG ＝ mgh1－ mgh2＝ EP1－EP2 ＝－ΔEP
表達式：
(1)物體下降，重力做正功，WG>0，則EP1>EP2 ,重力勢能減少，重力勢能減少的數量等于重力做的功。
(2)物體上升，重力做負功，WG<0，則EP1說明：
三、重力做功與重力勢能變化的關系
如圖所示，O 為彈簧的原長處．
(1)物體由 O 向 A 運動(壓縮)或由 O 向 A′運動(伸長)時，彈力做___功，彈性勢能______，其他形式的能轉化為彈性勢能.
負
增加
(2)物體由 A 向 O 運動，或者由 A′向 O 運動時，彈力做____功，彈性勢能______，彈性勢能轉化為其他形式的能.
正
減少
(3)彈力做功與彈性勢能變化的關系可表示為_______________
注意：彈力做功與彈性勢能變化有唯一的對應關系，彈力做多少正(負)功，彈性勢能就減少(增加)多少．
W＝－ΔEp
做一做
1.重力勢能與動能相互轉化
A→B：物體的速度增加，即物體的動能增加，說明物體的重力勢能轉化成了動能。
A
C
B
B→C：重力對物體做負功，物體的速度減小，即動能減少。但高度增加，即重力勢能增加。說明物體的動能轉化成了重力勢能。
結論: 物體的動能和重力勢能可以相互轉化。
2.彈性勢能與動能相互轉化
由小球接觸彈簧到速度為零的這一過程中，彈力做負功，彈簧的彈性勢能增加，而物體速度減小，動能減少。小球原來的動能轉化成了彈性勢能。
v=6m/s
v=0
被壓縮的彈簧具有彈性勢能，當彈簧恢復原來形狀時，就把跟它接觸的物體彈出去。這一過程中，彈力做正功，彈簧的彈性勢能減少，而物體得到一定的速度，動能增加。物體原來的彈性勢能轉化成了動能。
彈簧恢復原來形狀
v=6m/s
壓縮的彈簧
v=0
拉弓射箭的過程中，弓的彈性勢能轉化為箭的動能。
結論: 物體的動能和彈性勢能可以相互轉化。
運動員從蹦床上彈起的過程中，跳板的彈性勢能轉化為運動員的動能，動能再轉化為重力勢能。
結論: 物體的動能、彈性勢能和重力勢能可以相互轉化。
重力勢能、彈性勢能與動能都是機械運動中的能量形式，統稱為機械能（mechanical energy）。通過重力或彈力做功，機械能可以從一種形式轉化成另一種形式。
3.機械能
（2）機械能是標量，具有相對性
（1）表達式：
（只有在確定的參考系和零勢能參考平面情況下，機械能才有確定的物理意義）
1.內容：
在只有重力或彈力做功的物體系統內,動能和勢能可以互相轉化，而總的機械能保持不變。
條件
1.動能增加，勢能一定減小，且動能增加量等于勢能減小量。
2.動能減小，勢能一定增加，且動能減小量等于勢能增加量。
機械能守恒定律
2.適用對象：
單個質點、多個物體組成的系統
（1）EK2+EP2=EK1+EP1 即E2=E1
3、表達式：
守恒觀點
轉化觀點
轉移觀點
（2）ΔEk=-ΔEp
或 ΔEk增＝ΔEp減
（3）ΔEA=-ΔEB
或 ΔEA增＝ΔEB減
意義：初末狀態機械能相等
意義：系統勢能的減小量（增加量）等于動能的增加量（減小量）
意義：系統只有A、B兩物體（部分）時，A增加（減少）的機械能等于B減少（增加）的機械能。
（4）ΔE=0 意義：系統機械能變化量為0
只有重力做功或彈簧彈力做功
4、機械能守恒條件：
（1）物體只受重力或彈簧彈力，不受其他力
（2）物體除受重力或彈簧彈力外，還受其他力，但其他力不做功
（3）除受重力、彈力外，還受其他力，其他力做功，但做功代數和為零
1）物體做勻速運動，它的機械能一定守恒
2）物體所受合力為零，到機械能守恒
3）物體所受合力的功為零，則機械能守恒
判斷正誤
【典例】如圖，傾角為θ的光滑斜面體C固定于水平地面上，小物塊B置于斜面上，通過細繩跨過光滑的定滑輪與物體A相連接，釋放后，A將向下運動，則在A碰地前的運動過程中(　　)
A．A的加速度大小為g
B．物體A機械能守恒
C．由于斜面光滑，所以物塊B的機械能守恒
D．A、B組成的系統機械能守恒
D
【典例】(多選) 如圖所示，斜劈劈尖頂著豎直墻壁靜止于水平面上，現將一小球從圖示位置靜止釋放，不計一切摩擦，則在小球從釋放到落至地面的過程中，下列說法正確的是(　　)
A.斜劈對小球的彈力不做功
B.斜劈與小球組成的系統機械能守恒
C.斜劈的機械能守恒
D.小球機械能的減小量等于斜劈動能的增大量
BD
例1 (多選)如圖2所示，將一個內外側均光滑的半圓形槽置于光滑的水平面上，槽的左側有一固定的豎直墻壁(不與槽粘連)。現讓一小球自左端槽口A點的正上方由靜止開始下落，從A點與半圓形槽相切進入槽內，則下列說法正確的是(　　)
圖2
A.小球在半圓形槽內運動的全過程中，只有重力對它做功
B.小球從A點向半圓形槽的最低點運動的過程中，小球的機械能守恒
C.小球從A點經最低點向右側最高點運動的過程中，小球與半圓形槽組成的系統機械能守恒
D.小球從下落到從右側離開半圓形槽的過程中，機械能守恒
BC
連接體+輕繩
系統的機械能守恒
(1)分清兩物體是速度大小相等，還是沿繩方向的分速度大小相等。
(2)用好兩物體的位移大小關系或豎直方向高度變化的關系。
(3)對于單個物體，一般繩上的力要做功，機械能不守恒；但對于繩連接的系統，機械能則可能守恒。
【例題】如圖所示，一輕繩跨過定滑輪懸掛質量為mA、mB的A、B兩物塊，滑輪的質量以及所有摩擦不計，已知mB>mA初始時兩物塊均靜止，在兩物塊運動過程中，下列說法中正確的是（ ）
A、B減少的重力勢能等于A增加的重力勢能
B、B的機械能守恒
C、系統的機械能守恒，但兩物體各自的機械能都在變化
D、B機械能的減少等于A機械能的增加
CD
例3 質量均為m的物體A和B分別系在一根不計質量的細繩兩端，繩子跨過固定在傾角為30°的斜面頂端的定滑輪上，斜面固定在水平地面上，開始時把物體B拉到斜面底端，這時物體A離地面的高度為0.8 m，如圖6所示。若摩擦力均不計，從靜止開始放手讓它們運動(斜面足夠長，g取10 m/s2)。求：
圖6
(1)物體A著地時的速度大?。?br/>(2)物體A著地后物體B繼續沿斜面上滑的最大距離。
連接體+輕桿
1．常見模型
2．重點點撥
(1)平動時兩物體線速度相等，轉動時兩物體角速度相等。
(2)桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械能不守恒。
(3)對于桿和球組成的系統，忽略空氣阻力和各種摩擦且沒有其他力對系統做功，則系統機械能守恒。
系統的機械能守恒
例1　如圖1所示，斜面的傾角θ＝30°，另一邊與地面垂直，高為H，斜面頂點上有一定滑輪，物塊A和B的質量分別為m1和m2，物塊A和B均可視為質點，通過細繩連接并跨過定滑輪.開始時兩物塊都位于與地面距離為 H的位置上，釋放兩物塊后，A沿斜面無摩擦地上滑，B沿斜面的豎直邊下落，B落地后不反彈.若物塊A恰好能到達斜面的頂點，試求m1和m2的比值.滑輪的質量、半徑和摩擦以及空氣阻力均可忽略不計.
圖1
答案　1∶2
13.如圖12所示，半徑為R的光滑半圓弧軌道與高為10R的光滑斜軌道放在同一豎直平面內，兩軌道之間由一條光滑水平軌道CD相連，水平軌道與斜軌道間有一段圓弧過渡.在水平軌道上，輕質彈簧被a、b兩小球擠壓，處于靜止狀態.同時釋放小球，與彈簧分離后，a球恰好能通過圓弧軌道的最高點A，b球恰好能到達斜軌道的最高點B.已知a球質量為m1，b球質量為m2，重力加速度為g.求：
(1)a球離開彈簧時的速度大小va；
圖12
(2)b球離開彈簧時的速度大小vb；
(3)釋放小球前彈簧的彈性勢能Ep.
【例題】如圖所示，長為2L的輕桿OB，O端裝有轉軸，B端固定一個質量為m的小球B，OB 中點A固定一個質量為m的小球A，若OB 桿從水平位置靜止開始釋放轉到豎直位置的過程中，求
（1）A、B球擺到最低點的速度大小各是多少？
（2）輕桿對A、B球各做功多少？
（3）輕桿對A、B球所做的總功為多少？
【例題】如圖所示，一根輕彈簧下端固定，豎立在水平面上.其正上方A位置有一只小球.小球從靜止開始下落，在B 位置接觸彈簧的上端，在C位置小球所受彈力大小等于重力，在D 位置小球速度減小到零.對于小球下降階段，下列說法中正確的是(不計空氣阻力) (　　 )
A.在B位置小球動能最大
B.在C位置小球動能最大
C.從A→C位置小球重力勢能的減少等于小球動能的增加
D.整個過程中小球和彈簧組成的系統機械能守恒
BD
連接體+輕彈簧
【例題】長為L質量分布均勻的繩子，對稱地懸掛在輕小的定滑輪上，如圖所示，輕輕地推動一下，讓繩子滑下，那么當繩子離開滑輪的瞬間，繩子的速度？
L
4
L
2
【例題】長為L的均勻鏈條，放在光滑的水平桌面上，且使其長度的1/4垂在桌邊，松手后鏈條從靜止開始沿桌邊下滑，則鏈條滑至剛剛離開桌邊時的速度為多大？
【典例】 如圖，質量不計的硬直桿的兩端分別固定質量均為m的小球A和B，它們可以繞光滑軸O在豎直面內自由轉動.已知OA＝2OB＝2l，將桿從水平位置由靜止釋放.(重力加速度為g)
(1)在桿轉動到豎直位置時，小球A、B的速度大小分別為多少？
(2)在桿轉動到豎直位置的過程中，桿對A球做了多少功？
對點練3　連接體的機械能守恒問題
C
5.(多選)(2023·湖南長沙模擬)如圖5所示，一長為L的輕桿下端固定一質量為m的小球，上端連在光滑水平軸O上，輕桿可繞水平軸在豎直平面內運動。當小球在最低點時給它一個水平初速度，小球剛好能做完整的圓周運動。不計空氣阻力，重力加速度為g。則下列判斷正確的是(　　)
AC
6.(2023·河北邯鄲模擬)如圖6所示，半圓形光滑軌道固定在水平地面上，一物塊以速度v從軌道下端滑入軌道，并恰能從軌道上端水平飛出，則小物塊的落地點到軌道下端的距離為(重力加速度大小為g)(　　)
C
8.(多選)(2022·河南鄭州模擬)如圖8所示，一半圓形光滑軌道固定在豎直平面內，半圓頂點有大小可不計的定滑輪，O點為其圓心，A、B為半圓上兩點，OA處于水平方向，OB與豎直方向夾角為45°，一輕繩兩端連接大小可不計的兩個小球甲、乙，初始時使甲靜止在B點，乙靜止在O點，繩子處于拉直狀態。已知甲球的質量m1＝2 kg，乙球的質量m2＝1 kg，半圓軌道的半徑r＝1 m，當地重力加速度為g＝10 m/s2，忽略一切摩擦。解除約束后，兩球開始運動的過程中，下列說法正確的是(　　)
AD
3.如圖9所示，小球a被一根長為L的可繞O軸自由轉動的輕質細桿固定在其端點，同時又通過繩跨過光滑定滑輪與另一個質量為m的小球b相連，整個裝置平衡時桿和繩與豎直方向的夾角均為30°。若將小球a由水平位置(桿呈水平狀態)開始釋放，不計摩擦，豎直繩足夠長(重力加速度為g)，求：
(1)小球a的質量；
(2)當桿轉動到豎直位置時，小球b的速度大小(結果可用根式表示)。
10.如圖10所示，物體A的質量為M，圓環B的質量為m，由繩子通過定滑輪連接在一起，圓環套在光滑的豎直桿上。開始時連接圓環的繩子水平，長度l＝4 m。現從靜止釋放圓環，不計定滑輪和空氣的阻力，g取10 m/s2。若圓環下降h＝3 m時的速度v＝5 m/s，則A和B的質量關系為(　　)
A
11.如圖11所示，傾角為37°的斜面與一豎直光滑圓軌道相切于A點，軌道半徑R＝1 m，將滑塊由B點無初速度釋放，滑塊恰能運動到圓周的C點，OC水平，OD豎直，sAB＝2 m，滑塊可視為質點，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)滑塊在斜面上第一次下滑到A點的時間；
(2)若滑塊能從D點拋出，滑塊仍從斜面上無初速度釋放，釋放點至少應距A點多遠。

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