資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
九年級數(shù)學(xué)上點撥與訓(xùn)練
二十一章 一元二次方程
21.1一元二次方程
第二課時 一元二次方程有關(guān)概念的應(yīng)用
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.會利用一元二次方程的定義確定字母的值；
2.會利用一元二次方程的項的定義求字母的值；
3.會利用一元二次方程的根的定義求字母或代數(shù)式的值；
4.會利用根的定義求方程的根。
二、老師告訴你
一元二次方程及其相關(guān)概念的定義的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在利用一元二次方程或項的定義求字母的值；利用根的定義求字母或代數(shù)式的值；利用根的定義求方程的根等。
三、課堂導(dǎo)練
應(yīng)用1 利用一元二次方程的定義確定字母取值
【新知導(dǎo)學(xué)】
例1-1．若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為______________.
【對應(yīng)導(dǎo)練】
1．已知關(guān)于x的方程.
（1）當(dāng)m取何值時，此方程是一元二次方程？并求出此時方程的解.
（2）當(dāng)m取何值時，此方程是一元一次方程？
2．已知關(guān)于的方程.
（1）當(dāng)取何值時，該方程是一元二次方程？
（2）當(dāng)取何值時，該方程是一元一次方程？
應(yīng)用2 利用一元二次方程項的定義求字母的值
【新知導(dǎo)學(xué)】
例2-1．關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2=0的常數(shù)項為0，求m的值．
例2-2．若關(guān)于x的一元二次方程中，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項，且滿足條件（a-2）2+|b-3|+=0，試寫出這個一元二次方程．
【對應(yīng)導(dǎo)練】
1．求關(guān)于x的一元二次方程m2-3mx+m（2x2-1）=（m+1）x的二次項及二次項系數(shù)、一次項及一次項系數(shù)、常數(shù)項．
2．若關(guān)于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+m2-4=0的常數(shù)項為0，求m的值．
應(yīng)用3 利用一元二次方程的定義及一般形式解新定義問題
【新知導(dǎo)學(xué)】
例3-1 .將4個數(shù)a，b，c，d排成2行2列，兩邊各加一條豎線，記成，定義＝ad﹣bc．上述記法就叫做二階行列式．那么＝22表示的方程是一元二次方程嗎？請寫出它的一般形式．
例3-2 .閱讀理解：
定義：如果關(guān)于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常數(shù)）與（a2≠0，a2、b2、c2是常數(shù)），其中方程中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個方程互為“對稱方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“對稱方程”，這樣思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根據(jù)a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能確定這個方程的“對稱方程”．
請用以上方法解決下面問題：
（1）填空：寫出方程x2﹣4x+3＝0的“對稱方程”是 　﹣x2﹣4x﹣3＝0　．
（2）若關(guān)于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0與﹣5x2﹣x＝1互為“對稱方程”，求（m+n）2的值．
【對應(yīng)導(dǎo)練】
閱讀與理解
已知ax2+bx+c是關(guān)于x的多項式，記為P（x）．我們規(guī)定：P（x）的導(dǎo)出多項式為2ax+b，記為Q（x）．例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，則P（x）的導(dǎo)出多項式Q（x）＝2 3x﹣2＝6x﹣2．
根據(jù)以上信息，回答問題：
（1）若P（x）＝x2﹣2x，則它的導(dǎo)出多項式Q（x）＝　 　；
（2）設(shè)Q（x）是P（x）的導(dǎo)出多項式．
①若P（x）＝2x2+4（2x﹣1），求關(guān)于x的方程Q（x）＝0的解；
②已知P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2是關(guān)于x的二次多項式，且關(guān)于x的方程Q（x）＝﹣x的解為整數(shù)，求正整數(shù)a的值．
2 .已知ax2+bx+c是關(guān)于x的多項式，記為P（x）．
我們規(guī)定：P（x）的導(dǎo)出多項式為2ax+b，記為Q（x）．
例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，則P（x）的導(dǎo)出多項式Q（x）＝2 3x﹣2＝6x﹣2．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）若P（x）＝x2﹣2x，則Q（x）＝　 　；
（2）若P（x）＝2x2+4（2x﹣1），求關(guān)于x的方程Q（x）＝2x的解；
（3）已知P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2是關(guān)于x的二次多項式，Q（x）為P（x）的導(dǎo)出多項式，若關(guān)于x的方程Q（x）＝﹣x的解為整數(shù)，求正整數(shù)a的值．
應(yīng)用4 利用一元二次方程的根的定義求字母或代數(shù)式的值
【新知導(dǎo)學(xué)】
例4-1．關(guān)于x的一元二次方程x2-5x+p2-2p+5=0的一個根為1，則實數(shù)p的值是（　　）
A. 4 B. 0或2 C. 1 D. -1
例4-2．已知a是方程x2﹣2020x+4＝0的一個解，則的值為（　　）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【對應(yīng)導(dǎo)練】
1．已知一元二次方程x2-2x-1=0的一個根為a,則3a2-6a-1=_____
2．已知t2-3t+1=0，則t+=_____．
3．先化簡，再求值： ，其中m是方程 的根．
應(yīng)用5 利用一元二次方程某項系數(shù)求方程的根
【新知導(dǎo)學(xué)】
例5-1 .若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項為0,求（1）a的值；（2）方程的解
例5-2．定義：如果兩個一元二次方程有且只有一個相同的實數(shù)根，我們稱這兩個方程為“好友方程”，如果關(guān)于的一元二次方程與為“友好方程”，求的值.
【對應(yīng)導(dǎo)練】
1．已知、、均是有理數(shù),試判斷關(guān)于的方程是不是一元二次方程.若是,請指出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項;若不是,請說明理由.
牛刀小試
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．若0是一元二次方程（m-1）x2+6x+m2-1=0的一個根，則m取值為（　　）
A. 1 B. -1
C. ±1 D. 以上都不是
2．方程（m-2）-mx+5=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為（　　）
A. -3 B. 2 C. 3 D. 2或-3
3．一元二次方程（a-2）x2-2x+a2-4=0的一個根是0，則a的值是（　　）
A. 2 B. 1 C. 2或-2 D. -2
4．關(guān)于x的一元二次方程（m-3）x2+m2x=9x+5化為一般形式后不含一次項，則m的值為（　　）
A. 0 B. ±3 C. 3 D. -3
5．若x=1是方程（m+3）x2-mx+m2-12=0的根，則m的值為（　　）
A. 3 B. -3 C. ±3 D. 2
6．關(guān)于x的一元二次方程mx2+5x+m2-2m=0的常數(shù)項為0，則m的值為（　　）
A. 1 B. 2 C. 0或2 D. 0
7．若x=1是方程（k-1）x2+（k2-1）x-k+1=0的一個根，則k值滿足（　　）
A. k=±1 B. k=1 C. k=-1 D. k≠±1
8．若m是方程x2-x-1=0的一個根，則m2-m+2020的值為（　　）
A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．已知關(guān)于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+a2-1=0有一個根為x=0，則a=_____．
10．在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算“*”，其運算法則為a*b=ab-a2．根據(jù)這個法則，下列結(jié)論中錯誤的是 _____．（只填寫序號）
①-3；
②若a+b=0，則a*b=b*a；
③（x-3）*（x+2）=0是一元二次方程；
④方程（x+2）*2=3有一個解是x=-3．
11．若關(guān)于的方程是一元二次方程，則________．
12．拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a＞0）的對稱軸是直線x=1，圖象與x軸交于點（-1，0）．下列四個結(jié)論：
①方程ax2+bx+c=0的解為x1=-1，x2=3；
②3a+c=0；
③對于任意實數(shù)t,總有at2+bt≥a+b；
④不等式ax2+（b-k）x+c-k≥0（k為常數(shù)）的解集為x＜-1或x＞3+．
其中正確的結(jié)論是_____（填寫序號）．
13．已知a是方程x2-4x+2=0的一個實數(shù)根，則a2-4a+2025的值是 _____．
三、解答題（共6小題，48分）
14．（6分）已知x=0是關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+mx+4m2-4=0的一個根，求直線y=mx-2經(jīng)過哪些象限．
15．（7分）若（a+1）x|2a-1|=5是關(guān)于x的一元二次方程，則a是多少，且該一元二次方程的解為多少？
16．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2-2bx+（a-c）=0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．
（1）如果x=1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．
17．（6分）先化簡，再求值：1-，其中a是方程a2+2a=0的一個根．
18．（7分）關(guān)于x的一元二次方程mx2-（m-4）x-m2=0的一個根是1，求m及另一個根．
19．（7分）已知x=1是一元二次方程ax2+bx-40=0的一個解，且a≠b,求的值．
20 .（8分）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一個實數(shù)根，求代數(shù)式（m2﹣m）（m﹣+2015）的值．
九年級數(shù)學(xué)上點撥與訓(xùn)練
二十一章 一元二次方程
21.1一元二次方程
第二課時 一元二次方程有關(guān)概念的應(yīng)用
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.會利用一元二次方程的定義確定字母的值；
2.會利用一元二次方程的項的定義求字母的值；
3.會利用一元二次方程的根的定義求字母或代數(shù)式的值；
4.會利用根的定義求方程的根。
二、老師告訴你
一元二次方程及其相關(guān)概念的定義的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在利用一元二次方程或項的定義求字母的值；利用根的定義求字母或代數(shù)式的值；利用根的定義求方程的根等。
三、課堂導(dǎo)練
應(yīng)用1 利用一元二次方程的定義確定字母取值
【新知導(dǎo)學(xué)】
例1-1．若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為______________.
答案：
解析：方程是關(guān)于x的一元二次方程，
，
解得，
故答案為：.
例1-2．已知是關(guān)于x的一元二次方程，則___________.
答案：-1
解析：方程是關(guān)于x的一元二次方程，
，，
解得：.
故答案為： 1.
【對應(yīng)導(dǎo)練】
1．已知關(guān)于x的方程.
（1）當(dāng)m取何值時，此方程是一元二次方程？并求出此時方程的解.
（2）當(dāng)m取何值時，此方程是一元一次方程？
答案：解：（1）當(dāng)時，關(guān)于x的方程是一元二次方程，
方程的解為，.
（2）當(dāng)或0時，關(guān)于x的方程是一元一次方程.
解析：
2．已知關(guān)于的方程.
（1）當(dāng)取何值時，該方程是一元二次方程？
（2）當(dāng)取何值時，該方程是一元一次方程？
答案：（1）是一元二次方程，
則，解得.
當(dāng)時，方程是一元二次方程.
（2）是一元一次方程，
①，解得；
②，解得.
當(dāng)或時，方程是一元一次方程.
應(yīng)用2 利用一元二次方程項的定義求字母的值
【新知導(dǎo)學(xué)】
例2-1．關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2=0的常數(shù)項為0，求m的值．
【解析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a,b,c是常數(shù)且a≠0），a、b、c分別是二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項．
解：由題意，得
m2+3m+2=0，且m+1≠0，
解得m=-2，
m的值是-2．
例2-2．若關(guān)于x的一元二次方程中，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項，且滿足條件（a-2）2+|b-3|+=0，試寫出這個一元二次方程．
【解析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的和等于零，可得每個非負(fù)數(shù)同時為零，可得a、b、c的值，根據(jù)二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項，可得答案．
解：由（a-2）2+|b-3|+=0，得
，
解得，
關(guān)于x的一元二次方程中，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項，得4x2+3x-7=0．
【對應(yīng)導(dǎo)練】
1．求關(guān)于x的一元二次方程m2-3mx+m（2x2-1）=（m+1）x的二次項及二次項系數(shù)、一次項及一次項系數(shù)、常數(shù)項．
【解析】把右邊的項移到左邊，去括號，合并同類項，得到關(guān)于x的一元二次方程的一般形式，確定二次項系數(shù)，一次項及一次項系數(shù)，常數(shù)項．
解：m2-3mx+2mx2-m-（m+1）x=0
2mx2+（-3m-m-1）x+m2-m=0
2mx2+（-4m-1）x+m2-m=0
故二次項是2mx2，
二次項系數(shù)是：2m；
一次項是：（-4m-1）x,
一次項系數(shù)是：-4m-1，
常數(shù)項是：m2-m.
2．若關(guān)于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+m2-4=0的常數(shù)項為0，求m的值．
【解析】根據(jù)常數(shù)項為0，二次項系數(shù)不為0，確定出m的值即可．
解：∵關(guān)于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+m2-4=0的常數(shù)項為0，
∴m-2≠0，m2-4=0，
解得：m=-2．
應(yīng)用3 利用一元二次方程的定義及一般形式解新定義問題
【新知導(dǎo)學(xué)】
例3-1 .將4個數(shù)a，b，c，d排成2行2列，兩邊各加一條豎線，記成，定義＝ad﹣bc．上述記法就叫做二階行列式．那么＝22表示的方程是一元二次方程嗎？請寫出它的一般形式．
【分析】根據(jù)二階行列式計算方法列出方程．
【解答】解：根據(jù)題意，得：（x+1） 2x﹣（x+2）（x﹣2）＝22，
整理，得2x2+2x﹣x2+4＝22，
即：x2+2x﹣18＝0，
它符合一元二次方程的定義．
【點評】考查了一元二次方程的定義和一元二次方程的一般形式，有理數(shù)的混合運算，掌握新定義運算法則是解題的關(guān)鍵．
例3-2 .閱讀理解：
定義：如果關(guān)于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常數(shù)）與（a2≠0，a2、b2、c2是常數(shù)），其中方程中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個方程互為“對稱方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“對稱方程”，這樣思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根據(jù)a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能確定這個方程的“對稱方程”．
請用以上方法解決下面問題：
（1）填空：寫出方程x2﹣4x+3＝0的“對稱方程”是 　﹣x2﹣4x﹣3＝0　．
（2）若關(guān)于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0與﹣5x2﹣x＝1互為“對稱方程”，求（m+n）2的值．
【分析】（1）根據(jù)對稱方程的定義可得答案；
（2）由題意得m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，再解即可．
【解答】解：（1）由題意得：方程x2﹣4x+3＝0的“對稱方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0，
故答案為：﹣x2﹣4x﹣3＝0；
（2）由﹣5x2﹣x＝1，
移項可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0，
∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0與﹣5x2﹣x﹣1＝0為對稱方程，
∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，
解得：m＝0，n＝﹣1，
∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，
答：（m+n）2的值是1．
【點評】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關(guān)鍵是正確理解題意，理解對稱方程的定義．
【對應(yīng)導(dǎo)練】
閱讀與理解
已知ax2+bx+c是關(guān)于x的多項式，記為P（x）．我們規(guī)定：P（x）的導(dǎo)出多項式為2ax+b，記為Q（x）．例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，則P（x）的導(dǎo)出多項式Q（x）＝2 3x﹣2＝6x﹣2．
根據(jù)以上信息，回答問題：
（1）若P（x）＝x2﹣2x，則它的導(dǎo)出多項式Q（x）＝　 　；
（2）設(shè)Q（x）是P（x）的導(dǎo)出多項式．
①若P（x）＝2x2+4（2x﹣1），求關(guān)于x的方程Q（x）＝0的解；
②已知P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2是關(guān)于x的二次多項式，且關(guān)于x的方程Q（x）＝﹣x的解為整數(shù)，求正整數(shù)a的值．
【分析】（1）利用題目已知的規(guī)定：P（x）的導(dǎo)出多項式為2ax+b，記為Q（x），即可解答；
（2）①根據(jù)題目已知的規(guī)定，求出P（x）＝2x2+4（2x﹣1）導(dǎo)出的多項式Q（x），進(jìn)行計算即可；
②根據(jù)題目已知的規(guī)定，求出P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2導(dǎo)出的多項式Q（x），再根據(jù)關(guān)于x的方程Q（x）＝﹣x的解為整數(shù)，進(jìn)行計算即可．
【解答】解：（1）∵P（x）＝x2﹣2x，
∴它的導(dǎo)出多項式Q（x）＝2 x+（﹣2）＝2x﹣2，
故答案為：2x﹣2，
（2）①∵P（x）＝2x2+4（2x﹣1）＝2x2+8x﹣4，
∴它的導(dǎo)出多項式Q（x）＝2 2x+8＝4x+8，
∵Q（x）＝0，
∴4x+8＝0，
∴x＝﹣2，
∴關(guān)于x的方程Q（x）＝0的解為：x＝﹣2；
②∵P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2，
∴它的導(dǎo)出多項式Q（x）＝2 （a﹣2）x+（﹣6）＝2x（a﹣2）﹣6，
∵Q（x）＝﹣x，
∴2x（a﹣2）﹣6＝﹣x，
∴（2a﹣3）x＝6，
∵關(guān)于x的方程Q（x）＝﹣x的解為整數(shù)，
∴2a﹣3≠0，
∴x＝，
∴2a﹣3的值為：±1，±2，±3，±6，
∴a的值為：2，1，，，0，3，，，
∴正整數(shù)a的值為：2，1，3，
又∵a﹣2≠0，
∴a≠2，
∴正整數(shù)a的值為：1，3，
【點評】本題考查了一元二次方程的定義，一元一次方程的解，根據(jù)題目的已知理解P（x），Q（x）是解題的關(guān)鍵．
2 .已知ax2+bx+c是關(guān)于x的多項式，記為P（x）．
我們規(guī)定：P（x）的導(dǎo)出多項式為2ax+b，記為Q（x）．
例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，則P（x）的導(dǎo)出多項式Q（x）＝2 3x﹣2＝6x﹣2．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）若P（x）＝x2﹣2x，則Q（x）＝　 　；
（2）若P（x）＝2x2+4（2x﹣1），求關(guān)于x的方程Q（x）＝2x的解；
（3）已知P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2是關(guān)于x的二次多項式，Q（x）為P（x）的導(dǎo)出多項式，若關(guān)于x的方程Q（x）＝﹣x的解為整數(shù)，求正整數(shù)a的值．
【分析】（1）利用題目已知的規(guī)定：P（x）的導(dǎo)出多項式為2ax+b，記為Q（x），即可解答；
（2）根據(jù)題目已知的規(guī)定，求出P（x）＝2x2+4（2x﹣1）導(dǎo)出的多項式Q（x），進(jìn)行計算即可；
（3）根據(jù)題目已知的規(guī)定，求出P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2導(dǎo)出的多項式Q（x），再根據(jù)關(guān)于x的方程Q（x）＝﹣x的解為整數(shù)，進(jìn)行計算即可．
【解答】解：（1）∵P（x）＝x2﹣2x，
∴它的導(dǎo)出多項式Q（x）＝2 x+（﹣2）＝2x﹣2，
故答案為：2x﹣2；
（2）∵P（x）＝2x2+4（2x﹣1）＝2x2+8x﹣4，
∴它的導(dǎo)出多項式Q（x）＝2 2x+8＝4x+8，
∵Q（x）＝2x，
∴4x+8＝2x，
∴x＝﹣4，
∴關(guān)于x的方程Q（x）＝2x的解為：x＝﹣4；
（3）∵P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2，
∴它的導(dǎo)出多項式Q（x）＝2 （a﹣2）x+（﹣6）＝2x（a﹣2）﹣6，
∵Q（x）＝﹣x，
∴2x（a﹣2）﹣6＝﹣x，
∴（2a﹣3）x＝6，
∵關(guān)于x的方程Q（x）＝﹣x的解為整數(shù)，
∴2a﹣3≠0，
∴x＝，
∴2a﹣3的值為：±1，±2，±3，±6，
∴a的值為：2，1，，，0，3，，，
∴正整數(shù)a的值為：2，1，3，
又∵a﹣2≠0，
∴a≠2，
∴正整數(shù)a的值為：1，3．
【點評】本題考查了一元二次方程的定義，一元一次方程的解，根據(jù)題目的已知理解P（x），Q（x）是解題的關(guān)鍵．
應(yīng)用4 利用一元二次方程的根的定義求字母或代數(shù)式的值
【新知導(dǎo)學(xué)】
例4-1．關(guān)于x的一元二次方程x2-5x+p2-2p+5=0的一個根為1，則實數(shù)p的值是（　　）
A. 4 B. 0或2 C. 1 D. -1
【答案】C
【解析】本題根據(jù)一元二次方程的根的定義、一元二次方程的定義求解．
解：∵x=1是方程的根，由一元二次方程的根的定義，可得p2-2p+1=0，解此方程得到p=1．故本題選C．
例4-2．已知a是方程x2﹣2020x+4＝0的一個解，則的值為（　　）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到a2﹣2020a+4＝0，變形得到a2＝2020a﹣4，a2+4＝2020a，然后利用整體代入的方法進(jìn)行計算．
【解答】解：由題意得：a2﹣2020a+4＝0，
∴a2＝2020a﹣4，a2+4＝2020a，
∴原式＝2020a﹣4﹣2019a++7
＝a﹣4++7
＝+3
＝+3
＝2023．
故選：A．
【點評】本題考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解是關(guān)鍵．
【對應(yīng)導(dǎo)練】
1．已知一元二次方程x2-2x-1=0的一個根為a,則3a2-6a-1=_____
【答案】2
【解析】利用一元二次方程的解的定義得到a2-2a=1，再變形得到3a2-6a-1=3（a2-2a）-1，然后利用整體代入的方法計算．
解：∵一元二次方程x2-2x-1=0的一個根為a,
∴a2-2a-1=0，即a2-2a=1，
∴3a2-6a-1=3（a2-2a）-1=3×1-1=2．
故答案為2．
2．已知t2-3t+1=0，則t+=_____．
【答案】3
【解析】根據(jù)方程的解的定義得到t≠0，根據(jù)等式的性質(zhì)計算，得到答案．
解：∵t2-3t+1=0，
∴t≠0，
等式兩邊同時除以t,得t-3+=0，
解得：t+=3，
故答案為：3．
3．先化簡，再求值： ，其中m是方程 的根．
【答案】，
【解析】先應(yīng)用分式的混合運算將式子化簡為；再由是方程的根可得：，即，最后將“”整體代入中可求得原式的值.
解：原式
.
∵是方程的根，
∴，即，
∴原式==.
應(yīng)用5 利用一元二次方程某項系數(shù)求方程的根
【新知導(dǎo)學(xué)】
例5-1 .若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項為0,求（1）a的值；（2）方程的解
答案：（1）（2）x=0,或x=-3
解析:（1）一元二次方程程的常數(shù)項為0,
,
,
解得,
a=2時，原方程為x2+3x=0 即 x(x+3)=0
解得x=0,x=-3
例5-2．定義：如果兩個一元二次方程有且只有一個相同的實數(shù)根，我們稱這兩個方程為“好友方程”，如果關(guān)于的一元二次方程與為“友好方程”，求的值.
答案：解：解方程，得.
①若是兩個方程相同的實數(shù)根.
將代入方程，得，
，此時原方程為，
解得，符合題意，
；
②若是兩個方程相同的實數(shù)根.
將代入方程，得，
，此時原方程為，
解得，符合題意。
.
綜上所述：的值為1或.
【對應(yīng)導(dǎo)練】
1．已知、、均是有理數(shù),試判斷關(guān)于的方程是不是一元二次方程.若是,請指出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項;若不是,請說明理由.
答案：是.原方程整理得,∵是有理數(shù),∴,∴原方程是一元二次方程.其中二次項系數(shù)為,一次項系數(shù)為,常數(shù)項為.
2．已知關(guān)于的一元二次方程.
1.若,求證:必是該方程的一個根.
2.當(dāng),,之間的關(guān)系是__________時,方程必有一根是
答案：（1）.必是方程的一個根.
（2）.
解析：（1）.∵∴
當(dāng)時,
∴必是方程的一個根.
（2）.當(dāng)時,
∴當(dāng)時,方程的一個根是
牛刀小試
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．若0是一元二次方程（m-1）x2+6x+m2-1=0的一個根，則m取值為（　　）
A. 1 B. -1
C. ±1 D. 以上都不是
【答案】B
【解析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．把x=0代入方程，即可得到一個關(guān)于m的方程，從而求得m的值，還要注意一元二次方程的系數(shù)不能等于0．
解：把x=0代入（m-1）x2+6x+m2-1=0中得：
m2-1=0，
解得：m=1或m=-1，
∵m-1≠0，
∴m≠1，
∴m=-1，
故選：B．
2．方程（m-2）-mx+5=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為（　　）
A. -3 B. 2 C. 3 D. 2或-3
【答案】A
【解析】根據(jù)一元二次方程的定義得出m-2≠0且m2+m-4=2，求出m即可．
解：∵方程（m-2）-mx+5=0是關(guān)于x的一元二次方程，
∴m-2≠0且m2+m-4=2，
解得：m=-3，
故選：A．
3．一元二次方程（a-2）x2-2x+a2-4=0的一個根是0，則a的值是（　　）
A. 2 B. 1 C. 2或-2 D. -2
【答案】D
【解析】把x=0代入方程（a-2）x2-2x+a2-4=0得a2-4=0，解得a1=2，a2=-2，然后根據(jù)一元二次方程的定義確定滿足條件的a的值．
解：把x=0代入方程（a-2）x2-2x+a2-4=0得a2-4=0，解得a1=2，a2=-2，
因為方程為一元二次方程，
所以a-2≠0，
所以a=-2．
故選：D．
4．關(guān)于x的一元二次方程（m-3）x2+m2x=9x+5化為一般形式后不含一次項，則m的值為（　　）
A. 0 B. ±3 C. 3 D. -3
【答案】D
【解析】把原方程化為一般形式，根據(jù)一元二次方程的定義、一次項的概念列式計算即可．
解：（m-3）x2+m2x=9x+5，
（m-3）x2+（m2-9）x-5=0，
由題意得：m-3≠0，m2-9=0，
解得：m=-3，
故選：D．
5．若x=1是方程（m+3）x2-mx+m2-12=0的根，則m的值為（　　）
A. 3 B. -3 C. ±3 D. 2
【答案】C
【解析】根據(jù)方程的解的定義把x=1代入方程（m+3）x2-mx+m2-12=0得到關(guān)于m的方程，然后解此一次方程即可．
解：把x=1代入方程（m+3）x2-mx+m2-12=0，得（m+3）-m+m2-12=0，
解得m=±3，
故選：C．
6．關(guān)于x的一元二次方程mx2+5x+m2-2m=0的常數(shù)項為0，則m的值為（　　）
A. 1 B. 2 C. 0或2 D. 0
【答案】B
【解析】根據(jù)二次項系數(shù)非零及方程的常數(shù)項為0，可得出關(guān)于m的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可求出m的值．
解：∵關(guān)于x的一元二次方程mx2+5x+m2-2m=0的常數(shù)項為0，
∴，
解得：m=2，
∴m的值為2．
故選：B．
7．若x=1是方程（k-1）x2+（k2-1）x-k+1=0的一個根，則k值滿足（　　）
A. k=±1 B. k=1 C. k=-1 D. k≠±1
【答案】C
【解析】方程的根就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值；利用這一知識點求出未知字母系數(shù)后，要善于觀察未知數(shù)的系數(shù)；將x=1代入原方程即可解得k的值．
解：把x=1代入方程（k-1）x2+（k2-1）x-k+1=0，
可得k-1+k2-1-k+1=0，
即k2=1，
解得k=-1或1；
但當(dāng)k=1時k-1和k2-1均等于0，故應(yīng)舍去；
所以，取k=-1；
故選：C．
8．若m是方程x2-x-1=0的一個根，則m2-m+2020的值為（　　）
A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022
【答案】C
【解析】根據(jù)一元二次方程根的定義，把x=m代入方程得：m2-m=1，
把m2-m=1代入m2-m+2020得，m2-m+2020=1+2020=2021
故選C
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．已知關(guān)于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+a2-1=0有一個根為x=0，則a=_____．
【答案】-1
【解析】根據(jù)一元二次方程的解的定義把x=0代入原方程得到關(guān)于a的一元二次方程，解得a=±1，然后根據(jù)一元二次方程的定義確定a的值．
解：把x=0代入（a-1）x2-2x+a2-1=0得a2-1=0，解得a=±1，
∵a-1≠0，
∴a=-1．
故答案為-1．
10．在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算“*”，其運算法則為a*b=ab-a2．根據(jù)這個法則，下列結(jié)論中錯誤的是 _____．（只填寫序號）
①-3；
②若a+b=0，則a*b=b*a；
③（x-3）*（x+2）=0是一元二次方程；
④方程（x+2）*2=3有一個解是x=-3．
【答案】①③④
【解析】根據(jù)運算法則為a*b=ab-a2，一一判斷即可．
解：①，故①符合題意；
②若a+b=0，則b=-a,∴a*b=a*（-a）=a×（-a）-a2=-2a2，b*a=（-a）*a=（-a）×a-（-a）2=-2a2，
∴a*b=b*a,故②不符合題意；
③（x-3）*（x+2）=（x-3）（x+2）-（x-3）2=x2-x-6-x2+6x-9=5x-15=0，是一元一次方程，故③符合題意；
④方程（x+2）*2=3，即2（x+2）-（x+2）2=3，
整理得x2+2x+3=0，由于a=1，b=2，c=3，
∴Δ=b2-4ac=22-12=-8＜0，
方程無實數(shù)解，故④符合題意；
綜上，①③④符合題意；
故答案為：①③④．
11．若關(guān)于的方程是一元二次方程，則________．
【答案】
【解析】一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進(jìn)行分析即可．
解：由關(guān)于x的方程是一元二次方程，得
|k|+1=2且k-1≠0．
解得k=-1．
故答案為：-1．
【點睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
12．拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a＞0）的對稱軸是直線x=1，圖象與x軸交于點（-1，0）．下列四個結(jié)論：
①方程ax2+bx+c=0的解為x1=-1，x2=3；
②3a+c=0；
③對于任意實數(shù)t,總有at2+bt≥a+b；
④不等式ax2+（b-k）x+c-k≥0（k為常數(shù)）的解集為x＜-1或x＞3+．
其中正確的結(jié)論是_____（填寫序號）．
【答案】①②③
【解析】由拋物線與x軸的交點關(guān)于對稱軸對稱可以判斷①；根據(jù)x=-1時y=0和對稱軸等于1即可判斷②；由拋物線開口向上，拋物線在頂點處去的最小值a+b+c,再由拋物線的性質(zhì)對于任意t都有at2+bt+c≥a+b+c恒成立，即可判斷③；設(shè)y=ax2+（b-k）x+c-k,由②得c=-3a,b=-2a,即y=ax2-（2a+k）x-3a-k,再由當(dāng)x=-1時，y=0，對稱軸，可求出y=ax2-（2a+k）x-3a-k與x軸的另一交點，然后分情況討論即可判斷④．
解：∵拋錢與x軸交于點（-1，0），且拋物線的對稱軸：x=1，
∴拋物線與x軸的另一交點為（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的解即為拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo)：x1=-1，x2=3，
故①正確；
將（-1，0）代入拋物線得：a-b+c=0，
又∵拋物線的對稱軸x=-=1，即：2a+b=0，
∴3a+c=0，
故②正確；
∵拋物線的對稱軸x=1，且a＞0，拋物線開口向上，
∴拋物線的最小值為a+b+c,
∴對任意t,at2+bt+c≥a+b+c,
即at2+bt≥a+b,
故③正確；
由②可知：c=-3a,b=-2a,
∴y=ax2+（b-k）x+c-k=ax2-（2a+k）x-3a-k,
對稱軸x=-=1+，
當(dāng)x=-1時，y=0，
設(shè)y=ax2-（2a+k）x-3a-k與x軸另一交點橫坐標(biāo)為t,
則=1+，
得：t=3+，
當(dāng)3+＜-1，即k＜-4a時，
ax2-（2a+k）x-3a-k≥0的解集為：x≤3+或x≥-1，
當(dāng)k≥-4a時，ax2-（2a+k）x-3a-k≥0的解集為：x≥3+或x≤-1，
故④錯誤．
故答案為：①②③．
13．已知a是方程x2-4x+2=0的一個實數(shù)根，則a2-4a+2025的值是 _____．
【答案】2023
【解析】先利用一元二次方程根的定義得到a2-4a=-2，然后利用整體代入的方法計算代數(shù)式的值．
解：∵a是方程x2-4x+2=0的一個實數(shù)根，
∴a2-4a+2=0，
∴a2-4a=-2，
∴a2-4a+2025=-2+2025=2023．
故答案為：2023．
三、解答題（共6小題，48分）
14．（6分）已知x=0是關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+mx+4m2-4=0的一個根，求直線y=mx-2經(jīng)過哪些象限．
【解析】把x=0代入已知方程，列出關(guān)于m的新方程，通過解新方程來求m的值．從而確定直線y=mx所經(jīng)過的象限．
解：∵x=0是關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+mx+4m2-4=0的一個根，
∴4m2-4=0，
解得：m=±1，
根據(jù)題意，得m-1≠0，
∴m≠1，
∴m=-1＜0．
∴直線y=mx-2經(jīng)過的象限是第二、三、四象限．
15．（8分）若（a+1）x|2a-1|=5是關(guān)于x的一元二次方程，則a是多少，且該一元二次方程的解為多少？
【解析】本題根據(jù)一元二次方程的定義求解．一元二次方程必須滿足兩個條件：
（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；
（2）二次項系數(shù)不為0．由這兩個條件得到相應(yīng)的關(guān)系式，再求解即可．
解：由題意得：|2a-1|=2且a+1≠0，
解得：a=或a=-．
當(dāng)a=時，該方程是x2=5，此時x=±．
當(dāng)a=-時，該方程是x2=5，此時x=±．
綜上所述，a的值是或-；該方程的解為x=±或x=±．
16．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2-2bx+（a-c）=0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．
（1）如果x=1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．
【解析】（1）把x=1代入方程（a+c）x2-2bx+（a-c）=0得ca+c-2b+a-c=0，整理后根據(jù)等腰三角形的判定判斷即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出a=b=c,代入方程，即可得出x2-x=0，再解方程即可．
解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由是：∵把x=1代入方程（a+c）x2-2bx+（a-c）=0得：a+c-2b+a-c=0，
∴2a=2b,
∴a=b,
∴△ABC的形狀是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等邊三角形，
∴a=b=c,
∵（a+c）x2-2bx+（a-c）=0，
∴（a+a）x2-2ax+a-a=0，
即x2-x=0，
解得：x1=0，x2=1，
即這個一元二次方程的根是x1=0，x2=1．
17．（8分）先化簡，再求值：1-，其中a是方程a2+2a=0的一個根．
【解析】先把分子分母因式分解和除法運算化為乘法運算，再約分得到原式=-，接著利用因式分解法解方程，然后利用分式有意義的條件得到a的值，最后把a的值代入計算即可．
解：原式=1-
=1-
=
=-，
解方程a2+2a=0得a1=0，a2=-2，
∵a+2≠0，
∴a=0，
當(dāng)a=0時，原式=-=1．
18．（9分）關(guān)于x的一元二次方程mx2-（m-4）x-m2=0的一個根是1，求m及另一個根．
【解析】首先將方程的根代入方程得到有關(guān)m的方程，從而求得m的值，然后得到方程，求解即可得到方程的另一根．
解：∵關(guān)于x的一元二次方程mx2-（m-4）x-m2=0的一個根是1，
∴m-（m-4）-m2=0，
解得：m=±2，
∴方程變?yōu)閤2-3x+2=0或x2+x-2=0，
解得：x=1，x=2或x=1，x=-2，
∴方程的另一根為±2，
∴m的值為±2，另一根為±2．
19．（9分）已知x=1是一元二次方程ax2+bx-40=0的一個解，且a≠b,求的值．
【解析】方程的解是使方程左右兩邊成立的未知數(shù)的值．同時注意根據(jù)分式的基本性質(zhì)化簡分式．
解：由x=1是一元二次方程ax2+bx-40=0的一個解，
得：a+b=40，又a≠b,
得：．
故的值是20．
20 .（8分）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一個實數(shù)根，求代數(shù)式（m2﹣m）（m﹣+2015）的值．
【答案】4032
【詳解】試題分析：由于m是方程x2﹣x﹣2=0的一個實數(shù)根，所以m2﹣m﹣2=0，所以m2﹣m=2，m2﹣2=﹣m，然后代入原式即可求出答案．
試題解析：由題意可知：m2﹣m﹣2=0，
∴m2﹣m=2，m2﹣2=m，
∴m﹣=1，
∴原式=2×（1+2015）=4032
【點評】掌握一元二次方程的解的定義是解題關(guān)鍵。
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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