資源簡介

第2課時　函數的奇偶性與周期性
【課標解讀】
【課程標準】
1.了解函數奇偶性的概念和幾何意義.
2.會運用基本初等函數的圖象分析函數的奇偶性.
3.了解函數周期性、最小正周期的含義,會判斷、應用簡單函數的周期性.
【核心素養】
數學抽象、邏輯推理、直觀想象.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以基本初等函數為載體,考查函數的奇偶性、周期性和圖象的對稱性及其應用.函數的奇偶性與單調性、周期性的綜合問題是高考熱點,常以選擇題的形式出現.
預測 預計2025年高考仍會考查函數的單調性、單調區間及函數最值的確定與應用;題型既有選擇題、填空題,又有解答題.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.函數的奇偶性
奇偶 性 定義 圖象
偶函 數 設函數f(x)的定義域為D,如果 x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函數f(x)就叫做偶函數 關于y軸對稱
奇函 數 設函數f(x)的定義域為D,如果 x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函數f(x)就叫做奇函數 關于原點對稱
微點撥 奇、偶函數定義域的特點是關于原點對稱,函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要不充分條件.
2.函數的周期性
(1)周期函數:設函數f(x)的定義域為D,如果存在一個非零常數T,使得對每一個x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函數f(x)就叫做周期函數.非零常數T叫做這個函數的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數,那么這個最小的正數就叫做f(x)的最小正周期(若不特別說明,T一般就是指最小正周期).
微點撥存在一個非零常數T,使f(x+T)=f(x)為恒等式,即自變量x每增加一個T后,函數值就會重復出現一次.
常用結論
1.函數周期性的常用結論
對f(x)定義域內任一自變量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),則T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)=,則T=2a(a>0).
(3)若f(x+a)=-,則T=2a(a>0).
2.對稱性的四個常用結論
(1)若函數y=f(x+a)是偶函數,則函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱.
(2)若函數y=f(x+b)是奇函數,則函數y=f(x)的圖象關于點(b,0)中心對稱.
(3)若函數y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x),則y=f(x)的圖象關于直線x=對稱;特別地,當a=b時,即f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)時,則y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱.
(4)若函數y=f(x)滿足f(x)+f(2a-x)=2b,則y=f(x)的圖象關于點(a,b)對稱.特別地,當b=0時,即f(a+x)+f(a-x)=0或f(x)+f(2a-x)=0時,則y=f(x)的圖象關于點(a,0)對稱.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 4 3 2
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數y=x2在x∈(0,+∞)上是偶函數.(　 　)
(2)若函數f(x)為奇函數,則一定有f(0)=0.(　 　)
(3)若T是函數f(x)的一個周期,則nT(n∈Z,n≠0)也是函數f(x)的周期.(　 　)
(4)若函數f(x)滿足關系f(a+x)=-f(b-x),則函數f(x)的圖象關于點(,0)對稱.(　 　)
提示:
(1) 由于偶函數的定義域關于原點對稱,故y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性. ×
(2) 由奇函數定義可知,若f(x)為奇函數,且在x=0處有意義時才滿足f(0)=0,故錯誤. ×
2.(2023·上海高考)下列函數是偶函數的是(　　)
A.y=sin x B.y=cos x
C.y=x3 D.y=2x
3.(忽略奇偶函數定義域關于原點對稱)已知f(x)=ax2+bx是定義在[a-1,2a]上的偶函數,那么a+b的值是(　　)
A.- B. C. D.-
4.(必修第一冊P86習題T11·變設問)已知函數f(x)是定義域為R的奇函數,當x≥0時,f(x)=x(1+x),則f(-1)=　　　　　.
【核心考點·分類突破】
考點一函數奇偶性的判斷
[例1]判斷下列函數的奇偶性.
(1)f(x)=x3-;
(2)f(x)=+;
(3)f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4];
(4)f(x)=;
(5)f(x)=(x-1),x∈(-1,1).
解題技法
1.判斷函數的奇偶性的方法
(1)定義法:若函數的定義域不是關于原點對稱的區間,則可立即判斷該函數既不是奇函數也不是偶函數;若函數的定義域是關于原點對稱的區間,再判斷f(-x)是否等于±f(x).
(2)圖象法:奇(或偶)函數的充要條件是它的圖象關于原點(或y軸)對稱.
(3)性質法:偶函數的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數;奇函數的和、差仍為奇函數;奇(偶)數個奇函數的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數;一個奇函數與一個偶函數的積為奇函數.(注:利用上述結論時要注意各函數的定義域)
2.一些重要類型的奇偶函數模型
(1)函數f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1)是偶函數.
(2)函數f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)是奇函數.
(3)函數f(x)=(a>0且a≠1)是奇函數.
(4)函數f(x)=loga(a>0且a≠1)是奇函數.
對點訓練
1.(多選題)下列命題中正確的是(　　)
A.奇函數的圖象一定過坐標原點
B.函數y=xsin x是偶函數
C.函數y=|x+1|-|x-1|是奇函數
D.函數y=是奇函數
2.已知函數f(x)=sin x,g(x)=ex+e-x,則下列結論正確的是(　　)
A.f(x)g(x)是偶函數
B.|f(x)|g(x)是奇函數
C.f(x)|g(x)|是奇函數
D.|f(x)g(x)|是奇函數
考點二函數奇偶性的應用
角度1　利用奇偶性求值(解析式)
[例2](1)(2023·海南模擬)已知函數f(x)為奇函數,g(x)為偶函數,且f(x)-g(x)=ex,則=(　　)
A. B. C. D.
(2)設f(x)為奇函數,且當x≥0時,f(x)=ex-1,則當x<0時,f(x)=(　　)
A.e-x-1 B.e-x+1
C.-e-x-1 D.-e-x+1
角度2　利用奇偶性解不等式
[例3](1)函數f(x)是定義域為R的奇函數,f(x)在(0,+∞)上單調遞增,且f(2)=0.則不等式>0的解集為(　　)
A.(-2,2)
B.(-∞,0)∪(0,2)
C.(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
(2)已知偶函數f(x)在區間[0,+∞)上單調遞增,則滿足f(2x-1)角度3　利用奇偶性求解析式中的參數
[例4](1)(一題多法)(2023·新高考Ⅱ卷)若函數f(x)=(x+a)ln()為偶函數,則a=(　　)
A.-1　 B.0　 C.　 D.1
(2)(2022·全國乙卷)若f(x)=ln|a+|+b是奇函數,則a=　　　　　,b=　　　　　.
解題技法
已知函數奇偶性可以解決的三個問題
(1)求函數值:將待求值利用奇偶性轉化為已知區間上的函數值求解.
(2)求解析式:將待求區間上的自變量轉化到已知區間上,再利用奇偶性求出.
(3)求解析式中的參數:利用待定系數法求解,根據f(x)±f(-x)=0得到關于參數的恒等式,由系數的對等性得參數的方程或方程組,進而得出參數的值.
對點訓練
1.(一題多法)(2023·全國乙卷)已知f(x)=是偶函數,則a=(　　)
A.-2 B. -1 C. 1 D. 2
2.若函數f(x-2)為奇函數,f(-2)=0,f(x)在區間[-2,+∞)上單調遞減,則f(3-x)>0的解集為　　　　　.
考點三函數周期性及應用
[例5](1)(2023·長沙模擬)定義在R上的函數f(x)滿足f(x+1)=f(x)-2,則下列是周期函數的是(　　)
A.y=f(x)-x B.y=f(x)+x
C.y=f(x)-2x D.y=f(x)+2x
(2)函數f(x)滿足f(x-2)=f(x+2),當x∈(0,2)時,f(x)=x2,則f(2 025)=　　　　.
(3)已知f(x)是定義在R上的函數,并且f(x+3)=-,當1則f(2 024)=　　　　.
解題技法
函數周期性有關問題的求解策略
(1)判斷函數的周期性只需證明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可得到函數是周期函數,且周期為T,函數的周期性常與函數的其他性質綜合命題.
(2)根據函數的周期性,可以由函數局部的性質得到函數的整體性質,即周期性與奇偶性都具有將未知區間上的問題轉化到已知區間的功能.
對點訓練
1.(2023·石家莊模擬)函數f(x)滿足f(x)f(x+2)=13,且f(1)=2,則f(2 023)=　　　　　.
2.設f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數,當x∈[0,1]時,f(x)=log2(x+1),則函數f(x)在[1,2]上的解析式是　　　　　　.
考點四函數的對稱性及應用
[例6](1)(多選題)已知函數y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱,則下列結論成立的是(　　)
A.f(x+1)為偶函數
B.f(1+x)=f(1-x)
C.f(1+x)+f(1-x)=0
D.f(1)=0
(2)(2023·海口模擬)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,函數g(x)=|x-2|·f(x)的圖象關于直線x=2對稱,若f(-1)=-1,則g(3)=(　　)
A.5 B.1 C.-1 D.-5
(3)已知函數y=f(x)-2為奇函數,g(x)=,且f(x)與g(x)圖象的交點分別為(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6),則y1+y2+…+y6=　　　　　　.
解題技法
函數對稱性問題的解題關鍵
(1)求解與函數的對稱性有關的問題時,應根據題目特征和對稱性的定義,求出函數的對稱軸或對稱中心.
(2)解決函數對稱性有關的問題,一般結合函數圖象,利用對稱性解決求值或參數問題.
(3)①若f(a+x)=f(a-x),對稱軸:x=a;
②若f(a+x)=f(b-x),對稱軸:x=;
③若f(a+x)+f(a-x)=0,對稱中心:(a,0);
④若f(a+x)+f(b-x)=c,對稱中心: (,).
對點訓練
若函數f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關于x=-2對稱,則a=　　　　,b=　　　　. 第2課時　函數的奇偶性與周期性
【課標解讀】
【課程標準】
1.了解函數奇偶性的概念和幾何意義.
2.會運用基本初等函數的圖象分析函數的奇偶性.
3.了解函數周期性、最小正周期的含義,會判斷、應用簡單函數的周期性.
【核心素養】
數學抽象、邏輯推理、直觀想象.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以基本初等函數為載體,考查函數的奇偶性、周期性和圖象的對稱性及其應用.函數的奇偶性與單調性、周期性的綜合問題是高考熱點,常以選擇題的形式出現.
預測 預計2025年高考仍會考查函數的單調性、單調區間及函數最值的確定與應用;題型既有選擇題、填空題,又有解答題.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.函數的奇偶性
奇偶 性 定義 圖象
偶函 數 設函數f(x)的定義域為D,如果 x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函數f(x)就叫做偶函數 關于y軸對稱
奇函 數 設函數f(x)的定義域為D,如果 x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函數f(x)就叫做奇函數 關于原點對稱
微點撥 奇、偶函數定義域的特點是關于原點對稱,函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要不充分條件.
2.函數的周期性
(1)周期函數:設函數f(x)的定義域為D,如果存在一個非零常數T,使得對每一個x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函數f(x)就叫做周期函數.非零常數T叫做這個函數的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數,那么這個最小的正數就叫做f(x)的最小正周期(若不特別說明,T一般就是指最小正周期).
微點撥存在一個非零常數T,使f(x+T)=f(x)為恒等式,即自變量x每增加一個T后,函數值就會重復出現一次.
常用結論
1.函數周期性的常用結論
對f(x)定義域內任一自變量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),則T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)=,則T=2a(a>0).
(3)若f(x+a)=-,則T=2a(a>0).
2.對稱性的四個常用結論
(1)若函數y=f(x+a)是偶函數,則函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱.
(2)若函數y=f(x+b)是奇函數,則函數y=f(x)的圖象關于點(b,0)中心對稱.
(3)若函數y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x),則y=f(x)的圖象關于直線x=對稱;特別地,當a=b時,即f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)時,則y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱.
(4)若函數y=f(x)滿足f(x)+f(2a-x)=2b,則y=f(x)的圖象關于點(a,b)對稱.特別地,當b=0時,即f(a+x)+f(a-x)=0或f(x)+f(2a-x)=0時,則y=f(x)的圖象關于點(a,0)對稱.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 4 3 2
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數y=x2在x∈(0,+∞)上是偶函數.(　×　)
(2)若函數f(x)為奇函數,則一定有f(0)=0.(　×　)
(3)若T是函數f(x)的一個周期,則nT(n∈Z,n≠0)也是函數f(x)的周期.(　√　)
(4)若函數f(x)滿足關系f(a+x)=-f(b-x),則函數f(x)的圖象關于點(,0)對稱.(　√　)
提示:
(1) 由于偶函數的定義域關于原點對稱,故y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性. ×
(2) 由奇函數定義可知,若f(x)為奇函數,且在x=0處有意義時才滿足f(0)=0,故錯誤. ×
2.(2023·上海高考)下列函數是偶函數的是(　　)
A.y=sin x B.y=cos x
C.y=x3 D.y=2x
【解析】選B.對于A,由正弦函數的性質可知,y=sin x為奇函數;對于B,由余弦函數的性質可知,y=cos x為偶函數;對于C,由冪函數的性質可知,y=x3為奇函數;對于D,由指數函數的性質可知,y=2x為非奇非偶函數.
3.(忽略奇偶函數定義域關于原點對稱)已知f(x)=ax2+bx是定義在[a-1,2a]上的偶函數,那么a+b的值是(　　)
A.- B. C. D.-
【解析】選B.因為f(x)=ax2+bx是定義在[a-1,2a]上的偶函數,所以a-1+2a=0,所以a=.
又f(-x)=f(x),所以b=0,所以a+b=.
4.(必修第一冊P86習題T11·變設問)已知函數f(x)是定義域為R的奇函數,當x≥0時,f(x)=x(1+x),則f(-1)=　　　　　.
【解析】f(1)=1×2=2,又f(x)為奇函數,所以f(-1)=-f(1)=-2.
答案:-2
【核心考點·分類突破】
考點一函數奇偶性的判斷
[例1]判斷下列函數的奇偶性.
(1)f(x)=x3-;
【解析】(1)函數的定義域為{x|x≠0},關于原點對稱,并且對于定義域內的任意一個x都有f(-x)=(-x)3-=-(x3-)=-f(x),所以f(x)為奇函數.
(2)f(x)=+;
【解析】(2)f(x)的定義域為{-1,1},關于原點對稱.
又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,
所以f(x)既是奇函數又是偶函數.
(3)f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4];
【解析】(3)因為f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]的定義域不關于原點對稱,所以f(x)是非奇非偶函數.
(4)f(x)=;
【解析】(4)方法一(定義法):
當x>0時,f(x)=-x2+2x+1,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);
當x<0時,f(x)=x2+2x-1,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x).
所以f(x)為奇函數.
方法二(圖象法):
作出函數f(x)的圖象,
由奇函數的圖象關于原點對稱的特征知函數f(x)為奇函數.
(5)f(x)=(x-1),x∈(-1,1).
【解析】(5)已知f(x)的定義域為(-1,1),關于原點對稱.
因為f(x)=(x-1)=-,
所以f(-x)=-=f(x),所以f(x)是偶函數.
解題技法
1.判斷函數的奇偶性的方法
(1)定義法:若函數的定義域不是關于原點對稱的區間,則可立即判斷該函數既不是奇函數也不是偶函數;若函數的定義域是關于原點對稱的區間,再判斷f(-x)是否等于±f(x).
(2)圖象法:奇(或偶)函數的充要條件是它的圖象關于原點(或y軸)對稱.
(3)性質法:偶函數的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數;奇函數的和、差仍為奇函數;奇(偶)數個奇函數的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數;一個奇函數與一個偶函數的積為奇函數.(注:利用上述結論時要注意各函數的定義域)
2.一些重要類型的奇偶函數模型
(1)函數f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1)是偶函數.
(2)函數f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)是奇函數.
(3)函數f(x)=(a>0且a≠1)是奇函數.
(4)函數f(x)=loga(a>0且a≠1)是奇函數.
對點訓練
1.(多選題)下列命題中正確的是(　　)
A.奇函數的圖象一定過坐標原點
B.函數y=xsin x是偶函數
C.函數y=|x+1|-|x-1|是奇函數
D.函數y=是奇函數
【解析】選BC.對于A,只有奇函數在x=0處有意義時,函數的圖象過原點,所以A不正確;
對于B,因為函數y=xsin x的定義域為R且f(-x)=(-x)sin(-x)=f(x),
所以該函數為偶函數,所以B正確;
對于C,函數y=|x+1|-|x-1|的定義域為R,關于原點對稱,
且滿足f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),
即f(-x)=-f(x),
所以函數為奇函數,所以C正確;
對于D,函數y=滿足x-1≠0,即x≠1,所以函數的定義域不關于原點對稱,
所以該函數為非奇非偶函數,所以D不正確.
2.已知函數f(x)=sin x,g(x)=ex+e-x,則下列結論正確的是(　　)
A.f(x)g(x)是偶函數
B.|f(x)|g(x)是奇函數
C.f(x)|g(x)|是奇函數
D.|f(x)g(x)|是奇函數
【解析】選C.選項A,f(x)g(x)=(ex+e-x)sin x,
f(-x)g(-x)=(e-x+ex)sin(-x)=-(ex+e-x)sin x=-f(x)g(x),是奇函數,結論錯誤;
選項B,|f(x)|g(x)=|sin x|(ex+e-x),
|f(-x)|g(-x)=|sin(-x)|(e-x+ex)=|sin x|(ex+e-x)=|f(x)|g(x),是偶函數,結論錯誤;
選項C,f(x)|g(x)|=|ex+e-x|sin x,
f(-x)|g(-x)|=|e-x+ex|sin(-x)=-|ex+e-x|sin x=-f(x)|g(x)|,是奇函數,結論正確;
選項D,|f(x)g(x)|=|(ex+e-x)sin x|,
|f(-x)g(-x)|=|(e-x+ex)sin(-x)|=|(ex+e-x)sin x|=|f(x)g(x)|,是偶函數,結論錯誤.
考點二函數奇偶性的應用
角度1　利用奇偶性求值(解析式)
[例2](1)(2023·海南模擬)已知函數f(x)為奇函數,g(x)為偶函數,且f(x)-g(x)=ex,則=(　　)
A. B. C. D.
【解析】選C.根據題意,f(x)-g(x)=ex,
則f(1)-g(1)=e①,f(-1)-g(-1)=-f(1)-g(1)=e-1=,變形可得f(1)+g(1)=-②,
聯立①②可得,f(1)=,g(1)=-,則有==.
(2)設f(x)為奇函數,且當x≥0時,f(x)=ex-1,則當x<0時,f(x)=(　　)
A.e-x-1 B.e-x+1
C.-e-x-1 D.-e-x+1
【解析】選D.依題意得,當x<0時,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(e-x-1)=-e-x+1.
角度2　利用奇偶性解不等式
[例3](1)函數f(x)是定義域為R的奇函數,f(x)在(0,+∞)上單調遞增,且f(2)=0.則不等式>0的解集為(　　)
A.(-2,2)
B.(-∞,0)∪(0,2)
C.(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
【解析】選D.因為f(x)是定義域為R的奇函數,
所以f(0)=0,
又f(x)在(0,+∞)上單調遞增,且f(2)=0,
所以f(x)的大致圖象如圖所示.
由f(-x)=-f(x)可得,==>0,
因為x在分母位置,所以x≠0.
當x<0時,只需f(x)<0,由圖象可知x<-2;
當x>0時,只需f(x)>0,由圖象可知x>2.
綜上,不等式的解集為(-∞,-2)∪(2,+∞).
(2)已知偶函數f(x)在區間[0,+∞)上單調遞增,則滿足f(2x-1)【解析】因為f(x)為偶函數,所以f(x)=f(|x|),
所以f(2x-1)又f(x)在[0,+∞)上單調遞增,
所以|2x-1|<,解得答案: (,)
角度3　利用奇偶性求解析式中的參數
[例4](1)(一題多法)(2023·新高考Ⅱ卷)若函數f(x)=(x+a)ln()為偶函數,則a=(　　)
A.-1　 B.0　 C.　 D.1
【解析】選B.解法一:由>0,得x>或x<-,因為f(x)是偶函數,所以f(-x)=f(x),得(-x+a)ln()=(x+a)ln(),
即(-x+a)ln ()=(x+a)ln (),
即(-x+a)ln()-1=(x+a)ln (),
則(x-a)ln ()=(x+a)ln (),
所以x-a=x+a,得-a=a,得a=0.
解法二:f(x)為偶函數,則有f(-1)=f(1),
即(-1+a)ln 3=(1+a)ln ,解得a=0.
解法三:g(x)=ln ,g(-x)=-g(x),
則g(x)為奇函數,若f(x)=(x+a)·ln 為偶函數,則h(x)=x+a為奇函數,得a=0.
(2)(2022·全國乙卷)若f(x)=ln|a+|+b是奇函數,則a=　　　　　,b=　　　　　.
【解析】若a=0,則函數f(x)的定義域為{x|x≠1},
不關于原點對稱,不具有奇偶性,所以a≠0.
由函數解析式有意義可得,x≠1且a+≠0,
所以x≠1且x≠1+.
因為函數f(x)為奇函數,
所以定義域必須關于原點對稱,
所以1+=-1,解得a=-,
所以f(x)=ln||+b,定義域為{x|x≠1且x≠-1}.
由f(0)=0得ln +b=0,
所以b=ln 2,
即f(x)=ln|-+|+ln 2=ln||,在定義域內滿足f(-x)=-f(x),符合題意.
綜上,a=-,b=ln 2.
答案:-　ln 2
解題技法
已知函數奇偶性可以解決的三個問題
(1)求函數值:將待求值利用奇偶性轉化為已知區間上的函數值求解.
(2)求解析式:將待求區間上的自變量轉化到已知區間上,再利用奇偶性求出.
(3)求解析式中的參數:利用待定系數法求解,根據f(x)±f(-x)=0得到關于參數的恒等式,由系數的對等性得參數的方程或方程組,進而得出參數的值.
對點訓練
1.(一題多法)(2023·全國乙卷)已知f(x)=是偶函數,則a=(　　)
A.-2 B. -1 C. 1 D. 2
【解析】選D.解法一:因為f(x)=的定義域為{x|x≠0},f(x)為偶函數,
所以f(-x)=f(x),
所以=,所以=,所以ax-x=x,所以a=2.
解法二:由f(x)為偶函數得f(-1)=f(1),故=①,
又-==,代入①得=,所以ea-1=e,從而a-1=1,
故a=2,經檢驗,滿足f(x)為偶函數.
2.若函數f(x-2)為奇函數,f(-2)=0,f(x)在區間[-2,+∞)上單調遞減,則f(3-x)>0的解集為　　　　　.
【解析】因為f(x-2)為奇函數,所以f(x-2)的圖象的對稱中心為(0,0).
又因為f(x)的圖象可由f(x-2)的圖象向左平移2個單位長度得到,
所以f(x)的圖象關于點(-2,0)中心對稱.因為f(x)在[-2,+∞)上單調遞減,
所以f(x)在(-∞,-2]上也單調遞減,
所以f(3-x)>0=f(-2),即3-x<-2,解得x>5,所以解集為(5,+∞).
答案:(5,+∞)
考點三函數周期性及應用
[例5](1)(2023·長沙模擬)定義在R上的函數f(x)滿足f(x+1)=f(x)-2,則下列是周期函數的是(　　)
A.y=f(x)-x B.y=f(x)+x
C.y=f(x)-2x D.y=f(x)+2x
【解析】選D.依題意,定義在R上的函數f(x)滿足f(x+1)=f(x)-2,所以f(x+1)+2(x+1)=f(x)+2x,所以y=f(x)+2x是周期為1的周期函數.
(2)函數f(x)滿足f(x-2)=f(x+2),當x∈(0,2)時,f(x)=x2,則f(2 025)=　　　　.
【解析】由f(x-2)=f(x+2)知f(x)的周期為4,故f(2 025)=f(506×4+1)=f(1)=1.
答案:1
(3)已知f(x)是定義在R上的函數,并且f(x+3)=-,當1則f(2 024)=　　　　.
【解析】由已知可得f(x+6)=f((x+3)+3)=-=-=f(x),
故函數f(x)的周期為6,
所以f(2 024)=f(6×337+2)=f(2).
又f(2)=cos =-,所以f(2 024)=-.
答案:-
解題技法
函數周期性有關問題的求解策略
(1)判斷函數的周期性只需證明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可得到函數是周期函數,且周期為T,函數的周期性常與函數的其他性質綜合命題.
(2)根據函數的周期性,可以由函數局部的性質得到函數的整體性質,即周期性與奇偶性都具有將未知區間上的問題轉化到已知區間的功能.
對點訓練
1.(2023·石家莊模擬)函數f(x)滿足f(x)f(x+2)=13,且f(1)=2,則f(2 023)=　　　　　.
【解析】因為f(x)f(x+2)=13,
所以f(x),f(x+2)均不為0,
所以f(x+2)=,所以f(x+4)===f(x),所以f(x)的周期為4,
所以f(2 023)=f(3)==.
答案:
2.設f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數,當x∈[0,1]時,f(x)=log2(x+1),則函數f(x)在[1,2]上的解析式是　　　　　　.
【解析】令x∈[-1,0],則-x∈[0,1],
結合題意可得f(x)=f(-x)=log2(-x+1),
令x∈[1,2],則x-2∈[-1,0],
故f(x)=f(x-2)=log2[-(x-2)+1]=log2(3-x),
故函數f(x)在[1,2]上的解析式是f(x)=log2(3-x).
答案:f(x)=log2(3-x)
考點四函數的對稱性及應用
[例6](1)(多選題)已知函數y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱,則下列結論成立的是(　　)
A.f(x+1)為偶函數
B.f(1+x)=f(1-x)
C.f(1+x)+f(1-x)=0
D.f(1)=0
【解析】選AB.由于y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱,則f(1+x)=f(1-x),所以f(x+1)為偶函數,故A,B選項正確,C選項錯誤;如f(x)=(x-1)2+1,函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱,但f(1)=1≠0,故D選項錯誤.
(2)(2023·海口模擬)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,函數g(x)=|x-2|·f(x)的圖象關于直線x=2對稱,若f(-1)=-1,則g(3)=(　　)
A.5 B.1 C.-1 D.-5
【解析】選B.因為g(x)的圖象關于直線x=2對稱,
則g(x+2)=|x|f(x+2)是偶函數,g(2-x)=|-x|f(2-x)=|x|f(2-x),
所以|x|f(2-x)=|x|f(x+2)對任意的x∈R恒成立,所以f(2-x)=f(2+x).
因為f(-1)=-1且f(x)為奇函數,
所以f(3)=f(2+1)=f(2-1)=-f(-1)=1,
因此g(3)=|3-2|f(3)=1.
(3)已知函數y=f(x)-2為奇函數,g(x)=,且f(x)與g(x)圖象的交點分別為(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6),則y1+y2+…+y6=　　　　　　.
【解析】因為函數y=f(x)-2為奇函數,
所以函數y=f(x)的圖象關于點(0,2)對稱,
又g(x)==+2,
其圖象也關于(0,2)對稱,
所以兩函數圖象交點關于(0,2)對稱,
則y1+y2+…+y6=3×4=12.
答案:12
解題技法
函數對稱性問題的解題關鍵
(1)求解與函數的對稱性有關的問題時,應根據題目特征和對稱性的定義,求出函數的對稱軸或對稱中心.
(2)解決函數對稱性有關的問題,一般結合函數圖象,利用對稱性解決求值或參數問題.
(3)①若f(a+x)=f(a-x),對稱軸:x=a;
②若f(a+x)=f(b-x),對稱軸:x=;
③若f(a+x)+f(a-x)=0,對稱中心:(a,0);
④若f(a+x)+f(b-x)=c,對稱中心: (,).
對點訓練
若函數f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關于x=-2對稱,則a=　　　　,b=　　　　.
【解析】f(x)最多有4個零點,顯然已有2個,x=±1,又由對稱性可知,另外兩個零點為-3和-5,所以x2+ax+b=0的兩根為-3和-5,所以a=8,b=15.
答案:8　15

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