資源簡介

第3課時　函數性質的綜合應用
【核心考點·分類突破】
考點一函數的奇偶性與單調性
[例1](1)(多選題)(2024·遼寧師大附中模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數,且在(-∞,0)上單調遞增,若f(-1)=f(2)=1,則下列不等式成立的是(　　)
A.f(-)>-1 B.f(-1)>f(1)
C.f(3)>1 D.f()>-1
【解析】選ABC.根據題意可得函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增,由f(-1)=f(2)=1可得f(1)=f(-2)=-1.由f(x)在(-∞,0)上單調遞增,得f(-)>f(-2)=-1,故A正確;由f(-1)=1,f(1)=-1,得f(-1)>f(1),故B正確;由函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增,得f(3)>f(2)=1,故C正確;由函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增,得f()(2)(2024·宜賓模擬)若函數f(x)=a-為奇函數,則關于x的不等式f(x2)+f(2x-3)>a的解集為　　　　　.
【解析】由f(-x)=-f(x),得a=0,
即f(x)=-=
當x≥0時,f(x)=-1+在[0,+∞)上單調遞減,又f(x)為奇函數,
故f(x)在R上單調遞減.
由f(x)為奇函數,則不等式f(x2)+f(2x-3)>0可化為f(x2)>f(3-2x),得x2<3-2x,解得x∈(-3,1).
答案:(-3,1)
解題技法
綜合應用奇偶性與單調性解題的技巧
(1)比較大小:先利用奇偶性,將不在同一單調區間上的兩個或多個自變量的函數值轉化為同一單調區間上的自變量的函數值,然后利用單調性比較大小.
(2)解不等式:先將所給的不等式轉化為兩個函數值的大小關系,再利用奇偶性得出區間上的單調性,再利用單調性“脫去”函數的符號“f”,轉化為解不等式(組)的問題.
對點訓練
1.已知函數f(x)=e|x|,設a=f(ln ),b=f(lg 5),c=f(log63),則a,b,c的大小關系是(　　)
A.cC.a【解析】選A.顯然函數f(x)=e|x|為偶函數,當x>0時,f(x)=e|x|=ex單調遞增,因為
lg 5=1-lg 2,log63=1-log62,1>log62>lg 2>0,所以1>lg 5>log63>0,因為a=f(ln )=
f(-ln 3)=f(ln 3),ln 3>1,所以f(ln 3)>f(lg 5)>f(log63),即c2.已知函數f(x)=,則不等式f(2x-3)<2的解集是(　　)
A.(1,2)
B. (,)
C.(-∞,1)∪(2,+∞)
D. (-∞,)∪(,+∞)
【解析】選A.顯然f(x)是偶函數,當x≥0時,f(x)===4-是增函數.
又f(1)=2,所以f(2x-3)<2可化為f(2x-3)考點二 函數的奇偶性與周期性
[例2](1)已知函數f(x)為奇函數,且周期為4,f(3)=-2,則f(2 025)=(　　)
A.2 B.0 C.-2 D.-4
【解析】選A.依題意,函數f(x)是奇函數,
又f(x)的周期為4,且f(3)=-2,
則有f(2 025)=f(-3+507×4)=f(-3)=-f(3)=2,所以f(2 025)=2.
(2)(多選題)(2023·青島質檢)已知函數f(x)的定義域為R,且f(2x+1)是偶函數,f(x-1)是奇函數,則下列結論正確的是(　　)
A.f(x)=f(x-16) B.f(19)=0
C.f(2 024)=f(0) D.f(2 023)=f(1)
【解析】選ABC.因為f(2x+1)是偶函數,所以f(-2x+1)=f(1+2x),
即f(1-x)=f(1+x),即函數關于x=1對稱,則f(x)=f(2-x).
因為f(x-1)是奇函數,所以f(-x-1)=-f(x-1),則f(-x-2)=-f(x)=-f(2-x),
即f(x-2)=-f(2+x),則f(x)=-f(x+4),即f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即函數的周期是8,
則f(x)=f(x-16)成立,故A正確;
令x=0,由f(-x-1)=-f(x-1),得f(-1)=-f(-1),得f(-1)=0,f(3)=0,
則f(19)=f(3)=0,故B正確;
f(2 024)=f(8×253+0)=f(0)成立,故C正確;
f(2 023)=f(8×253-1)=f(-1),故D錯誤.
解題技法
綜合應用奇偶性與周期性解題的技巧
(1)根據已知條件及相關函數的奇偶性推出函數的周期;
(2)利用函數的周期性將自變量較大的函數值轉化為自變量較小的函數值,直到自變量的值進入已知解析式的區間內或與已知的函數值相聯系,必要時可再次運用奇偶性將自變量的符號進行轉化;
(3)代入已知的解析式求解,即得欲求的函數值.
對點訓練
1.(多選題)(2023·湖州模擬)函數f(x)的定義域為R,若f(x+1)與f(x-1)都是偶函數,則(　　)
A.f(x)是偶函數 B.f(x)是奇函數
C.f(x+3)是偶函數 D.f(x)=f(x+4)
【解析】選CD.因為f(x+1)是偶函數,
所以f(-x+1)=f(x+1),從而f(-x)=f(x+2).
因為f(x-1)是偶函數,所以f(-x-1)=f(x-1),從而f(-x)=f(x-2),
所以f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4為周期的周期函數.
因為f(-x-1)=f(x-1),所以f(-x-1+4)=f(x-1+4),
即f(-x+3)=f(x+3),所以f(x+3)是偶函數.
2.函數y=f(x)對任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函數y=f(x-1)的圖象關于點(1,0)對稱,f(1)=4,則f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)的值為　　　　.
【解析】因為y=f(x-1)的圖象關于點(1,0)對稱,所以函數y=f(x)的圖象關于原點對稱,即函數f(x)是R上的奇函數,所以f(0)=0.
因為f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期為4,
所以f(2 021)=f(505×4+1)=f(1)=4,f(2 020)=f(0)=0,f(2 022)=f(2)=-f(0)=0,所以f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)=4.
答案:4
考點三 函數的奇偶性與對稱性
[例3](1)(2023·拉薩模擬)已知函數f(x)的定義域為R,且y=f(x+1)的圖象關于點(-1,0)成中心對稱.當x>0時,f(x)=,則f(-2)=(　　)
A.1 B.3 C.-1 D.-3
【解析】選C.因為將y=f(x+1)的圖象向右平移1個單位長度后得到函數y=f(x)的圖象且y=f(x+1)的圖象關于點(-1,0)成中心對稱,
所以y=f(x)的圖象關于原點成中心對稱,
則y=f(x)在R上是奇函數,所以f(-2)=-f(2)=-=-1.
(2)(多選題)已知定義域為R的函數f(x)滿足f(-x)+f(x)=0,且f(1-x)=f(1+x),則下列結論一定正確的是(　　)
A.f(x+2)=f(x)
B.函數y=f(x)的圖象關于點(2,0)對稱
C.函數y=f(x+1)是偶函數
D.f(2-x)=f(x-1)
【解析】選BC.對于A選項,因為f(-x)+f(x)=0,且f(1-x)=f(1+x),
則f(1-(1+x))=f(1+(1+x)),即f(x+2)=-f(x),A錯;
對于B選項,因為f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
因為f(-x)+f(x)=0,所以f(-(2+x))+f(2+x)=0,
即f(2+x)=-f(-2-x)=-f(2-x),即f(2+x)+f(2-x)=0,
故函數y=f(x)的圖象關于點(2,0)對稱,B對;
對于C選項,因為f(1-x)=f(1+x),所以函數y=f(x+1)是偶函數,C對;
對于D選項,因為f(1-x)=f(1+x),
所以f(1-(x-1))=f(1+(x-1)),即f(2-x)=f(x)≠f(x-1),D錯.
解題技法
由函數的奇偶性與對稱性可求函數的周期,常用于化簡求值、比較大小等.
對點訓練
已知函數f(x)是R上的偶函數,且f(x)的圖象關于點(1,0)對稱,當x∈[0,1]時,f(x)=2-2x,則f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 024)的值為(　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.1
【解析】選D.因為f(x)的圖象關于點(1,0)對稱,所以f(-x)=-f(2+x),
又f(x)為R上的偶函數,所以f(x)=f(-x),所以f(x+2)=-f(-x)=-f(x),
所以f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),
所以f(x)是周期為4的周期函數,
所以f(3)=f(-1)=f(1)=2-2=0.
又f(0)=1,f(2)=-f(0)=-1,
所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 024)=506[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+
f(2 024)=506×(1+0-1+0)+f(0)=1.
考點四函數的周期性與對稱性
[例4](1)(2023·新鄉模擬)定義在R上的函數f(x)滿足f(x+2)=-f(x),且f(x-)為偶函數,當x∈時,f(x)=x3,則f(2 023)=(　　)
A.0 B. C.- D.1
【解析】選A.因為f(x+2)=-f(x),所以f(x)的周期為4.
又f(x-)為偶函數,所以f(x)的圖象關于直線x=-對稱,
則f(2 023)=f(-1)=f(0)=0.
(2)(多選題)(2023·邯鄲模擬)已知f(x)是定義在R上的函數,f(x)-f(-x)=0,且滿足f(x+1)為奇函數,當x∈[0,1)時,f(x)=-cos ,則下列結論正確的是(　　)
A.f(1)=0
B.f(x)的周期為2
C.f(x)的圖象關于點(1,0)對稱
D.f()=-
【解析】選ACD.因為f(x+1)為奇函數,
所以f(-x+1)=-f(x+1),所以f(-0+1)=-f(0+1),所以f(1)=0,A正確;
因為當x∈[0,1)時,f(x)=-cos ,所以f(0)=-cos 0=-1.
因為f(-x+1)=-f(x+1),所以f(2)=-f(0)=1,故f(2)≠f(0),
所以2不是f(x)的周期,故B錯誤;
因為f(x+1)為奇函數,
所以函數f(x+1)的圖象關于原點對稱,
所以f(x)的圖象關于點(1,0)對稱,C正確;
由f(-x+1)=-f(x+1),f(x)-f(-x)=0,
可得f(x+2)=-f(-x-1+1)=-f(-x)=-f(x),
所以f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),
所以函數f(x)為周期函數,周期為4,
所以f()=f(4×253-)=f(-)=f(),又當x∈[0,1)時,f(x)=-cos ,
所以f()=-cos =-,D正確.
解題技法
區別兩個對應關系
函數f(x)滿足的關系f(a+x)=f(b-x)表明的是函數圖象的對稱性,函數f(x)滿足的關系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函數的周期性,在使用這兩個關系時不要混淆.
對點訓練
1.(多選題)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+2)=-f(x),且f(x)在[-1,0]上是增函數.則下列命題正確的是(　　)
A.f(x)是周期函數
B.f(x)的圖象關于直線x=1對稱
C.f(x)在[1,2]上是增函數
D.f(2)=f(0)
【解析】選ABD.因為f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期為4,即f(x)是周期函數,故A正確;
因為f(x+2)=-f(x),所以f(-x+2)=-f(-x).
又因為f(x)為奇函數,所以f(2-x)=f(x),所以函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱,故B正確;
因為f(x)是定義在R上的奇函數,所以f(0)=0.因為f(x)在[-1,0]上為增函數,且f(x)為奇函數,所以f(x)在[0,1]上為增函數.
因為f(x)關于直線x=1對稱,所以f(x)在[1,2]上為減函數,故C錯誤;
因為f(x+2)=-f(x),令x=0得f(2)=-f(0)=f(0),故D正確.
2.(多選題)已知f(x)是定義域為R的函數,滿足f(x+1)=f(x-3),f(1+x)=f(3-x),當0≤x≤2時,f(x)=x2-x,則下列說法正確的是(　　)
A.f(x)的周期為4
B.f(x)的圖象關于直線x=2對稱
C.當0≤x≤4時,函數f(x)的最大值為2
D.當6≤x≤8時,函數f(x)的最小值為-
【解析】選ABC.對于A,因為f(x+1)=f(x-3),所以f(x+3+1)=f(x+3-3),則f(x)=f(x+4),即f(x)的周期為4,故A正確;
對于B,由f(1+x)=f(3-x)知,f(x)的圖象關于直線x=2對稱,故B正確;
對于C,當0≤x≤2時,f(x)=x2-x在(0,)上單調遞減,在(,2)上單調遞增,
根據對稱性可知,函數f(x)在(0,), (2,)上單調遞減,在(,2), (,4)上單調遞增,則函數f(x)在[0,4]上的最大值為f(2)=4-2=2,故C正確;
對于D,根據周期性以及單調性可知,函數f(x)在(6,)上單調遞減,在(,8)上單調遞增,則函數f(x)在[6,8]上的最小值為f()=f(4+)=f()=f()=-=-,故D錯誤.第3課時　函數性質的綜合應用
【核心考點·分類突破】
考點一函數的奇偶性與單調性
[例1](1)(多選題)(2024·遼寧師大附中模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數,且在(-∞,0)上單調遞增,若f(-1)=f(2)=1,則下列不等式成立的是(　　)
A.f(-)>-1 B.f(-1)>f(1)
C.f(3)>1 D.f()>-1
(2)(2024·宜賓模擬)若函數f(x)=a-為奇函數,則關于x的不等式f(x2)+f(2x-3)>a的解集為　　　　　.
解題技法
綜合應用奇偶性與單調性解題的技巧
(1)比較大小:先利用奇偶性,將不在同一單調區間上的兩個或多個自變量的函數值轉化為同一單調區間上的自變量的函數值,然后利用單調性比較大小.
(2)解不等式:先將所給的不等式轉化為兩個函數值的大小關系,再利用奇偶性得出區間上的單調性,再利用單調性“脫去”函數的符號“f”,轉化為解不等式(組)的問題.
對點訓練
1.已知函數f(x)=e|x|,設a=f(ln ),b=f(lg 5),c=f(log63),則a,b,c的大小關系是(　　)
A.cC.a2.已知函數f(x)=,則不等式f(2x-3)<2的解集是(　　)
A.(1,2)
B. (,)
C.(-∞,1)∪(2,+∞)
D. (-∞,)∪(,+∞)
考點二 函數的奇偶性與周期性
[例2](1)已知函數f(x)為奇函數,且周期為4,f(3)=-2,則f(2 025)=(　　)
A.2 B.0 C.-2 D.-4
(2)(多選題)(2023·青島質檢)已知函數f(x)的定義域為R,且f(2x+1)是偶函數,f(x-1)是奇函數,則下列結論正確的是(　　)
A.f(x)=f(x-16) B.f(19)=0
C.f(2 024)=f(0) D.f(2 023)=f(1)
解題技法
綜合應用奇偶性與周期性解題的技巧
(1)根據已知條件及相關函數的奇偶性推出函數的周期;
(2)利用函數的周期性將自變量較大的函數值轉化為自變量較小的函數值,直到自變量的值進入已知解析式的區間內或與已知的函數值相聯系,必要時可再次運用奇偶性將自變量的符號進行轉化;
(3)代入已知的解析式求解,即得欲求的函數值.
對點訓練
1.(多選題)(2023·湖州模擬)函數f(x)的定義域為R,若f(x+1)與f(x-1)都是偶函數,則(　　)
A.f(x)是偶函數 B.f(x)是奇函數
C.f(x+3)是偶函數 D.f(x)=f(x+4)
2.函數y=f(x)對任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函數y=f(x-1)的圖象關于點(1,0)對稱,f(1)=4,則f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)的值為　　　　.
考點三 函數的奇偶性與對稱性
[例3](1)(2023·拉薩模擬)已知函數f(x)的定義域為R,且y=f(x+1)的圖象關于點(-1,0)成中心對稱.當x>0時,f(x)=,則f(-2)=(　　)
A.1 B.3 C.-1 D.-3
(2)(多選題)已知定義域為R的函數f(x)滿足f(-x)+f(x)=0,且f(1-x)=f(1+x),則下列結論一定正確的是(　　)
A.f(x+2)=f(x)
B.函數y=f(x)的圖象關于點(2,0)對稱
C.函數y=f(x+1)是偶函數
D.f(2-x)=f(x-1)
解題技法
由函數的奇偶性與對稱性可求函數的周期,常用于化簡求值、比較大小等.
對點訓練
已知函數f(x)是R上的偶函數,且f(x)的圖象關于點(1,0)對稱,當x∈[0,1]時,f(x)=2-2x,則f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 024)的值為(　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.1
考點四函數的周期性與對稱性
[例4](1)(2023·新鄉模擬)定義在R上的函數f(x)滿足f(x+2)=-f(x),且f(x-)為偶函數,當x∈時,f(x)=x3,則f(2 023)=(　　)
A.0 B. C.- D.1
(2)(多選題)(2023·邯鄲模擬)已知f(x)是定義在R上的函數,f(x)-f(-x)=0,且滿足f(x+1)為奇函數,當x∈[0,1)時,f(x)=-cos ,則下列結論正確的是(　　)
A.f(1)=0
B.f(x)的周期為2
C.f(x)的圖象關于點(1,0)對稱
D.f()=-
解題技法
區別兩個對應關系
函數f(x)滿足的關系f(a+x)=f(b-x)表明的是函數圖象的對稱性,函數f(x)滿足的關系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函數的周期性,在使用這兩個關系時不要混淆.
對點訓練
1.(多選題)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+2)=-f(x),且f(x)在[-1,0]上是增函數.則下列命題正確的是(　　)
A.f(x)是周期函數
B.f(x)的圖象關于直線x=1對稱
C.f(x)在[1,2]上是增函數
D.f(2)=f(0)
2.(多選題)已知f(x)是定義域為R的函數,滿足f(x+1)=f(x-3),f(1+x)=f(3-x),當0≤x≤2時,f(x)=x2-x,則下列說法正確的是(　　)
A.f(x)的周期為4
B.f(x)的圖象關于直線x=2對稱
C.當0≤x≤4時,函數f(x)的最大值為2
D.當6≤x≤8時,函數f(x)的最小值為-

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