資源簡介

第六節　函數的圖象
【課標解讀】 【命題說明】
【課程標準】 1.在實際情境中,會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數. 2.會運用函數圖象理解和研究函數的性質,解決方程解的個數與不等式解集的問題. 【核心素養】 邏輯推理、直觀想象、數學運算. 考向 考法 高考命題考查函數圖象的識別、函數圖象的畫法及應用函數圖象研究函數的性質,已知函數解析式選擇函數圖象是高考熱點,常以選擇題形式出現.
預測 預計2025年高考函數圖象仍會出題,一般在選擇題或填空題中出現,題目的難度起伏較大.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.利用描點法作函數圖象的方法步驟
(1)確定函數的定義域.
(2)化簡函數的解析式.
(3)討論函數的性質,即奇偶性、周期性、單調性、最值(甚至變化趨勢).
(4)描點連線,畫出函數的圖象.
2.利用圖象變換法作函數的圖象
(1)平移變換
(2)伸縮變換
①y=f(x)y=f(ax).
②y=f(x)y=af(x).
(3)對稱變換
①y=f(x)y=-f(x).
②y=f(x)y=f(-x).
③y=f(x)y=-f(-x).
④y=ax(a>0且a≠1)y=logax(a>0且a≠1).
(4)翻折變換
①y=f(x)y=|f(x)|.
②y=f(x)y=f(|x|).
微點撥函數圖象的左右變換都針對自變量“x”而言,如從f(-2x)的圖象到f(-2x+1)的圖象是向右平移個單位長度,其中是把x變成x-.
常用結論
1.記住幾個重要結論
(1)函數y=f(x)與y=f(2a-x)的圖象關于直線x=a對稱.
(2)函數y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖象關于點(a,b)中心對稱.
(3)若函數y=f(x)對定義域內任意自變量x滿足:f(a+x)=f(a-x),則函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱.
2.圖象的左右平移僅僅是相對于x而言,如果x的系數不是1,常需把系數提出來,再進行變換.
3.圖象的上下平移僅僅是相對于y而言的,利用“上加下減”進行.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)當x∈(0,+∞)時,函數y=|f(x)|與y=f(|x|)的圖象相同.(　×　)
(2)函數y=af(x)與y=f(ax)(a>0且a≠1)的圖象相同.(　×　)
(3)函數y=f(x)與y=-f(x)的圖象關于原點對稱.(　×　)
(4)函數y=lg x的圖象關于x=3對稱的圖象對應的函數是y=lg(6-x).(　√　)
提示:
(1) 令f(x)=-x,當x∈(0,+∞)時,y=|f(x)|=x,y=f(|x|)=-x,兩者圖象不同. ×
(2) 當a≠1時,y=af(x)與y=f(ax)是由y=f(x)分別進行縱坐標與橫坐標伸縮變換得到,兩圖象不同. ×
(3) y=f(x)與y=-f(x)的圖象關于x軸對稱. ×
2.(必修第一冊P85練習T1變條件、變設問)已知圖①中的圖象是函數y=f(x)的圖象,則圖②中的圖象對應的函數可能是(　　)
A.y=f(|x|) B.y=|f(x)|
C.y=f(-|x|) D.y=-f(-|x|)
3.(2022·全國乙卷)如圖是下列四個函數中的某個函數在區間[-3,3]的大致圖象,則該函數是(　　)
A.y= B.y=
C.y= D.y=
4.(看不懂圖象導致錯誤)若關于x的方程|x|=a-x只有一個解,則實數a的取值范圍是　　　　.
【核心考點·分類突破】
考點一作函數的圖象
[例1]作出下列函數的圖象:
(1)y=()|x|;
(2)y=|log2(x+1)|;
(3)y=x2-2|x|-1.
解題技法
函數圖象的常見畫法
(1)描點法作圖:當函數解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本初等函數時,可根據這些函數的特征描出圖象的關鍵點,進而直接作出函數圖象.
(2)圖象變換法:若函數圖象可由某個基本初等函數的圖象經過平移、伸縮、翻折、對稱得到,則可利用圖象變換作圖.
對點訓練
　作出下列各函數的圖象:
(1)y=x-|x-1|;
(2)y=|x2-4x+3|;
(3)y=()|x+2|;
(4)y=sin |x|.
考點二函數圖象的識別
考情提示
函數圖象作為高中數學的一個“重頭戲”,是研究函數性質、方程、不等式的重要武器,已經成為高考命題的一個熱點.在高考中經常以幾類初等函數圖象為基礎,結合函數性質綜合考查,多以選擇、填空題形式出現.
角度1　知式選圖——根據函數解析式辨別圖象
[例2](1)函數f(x)=的圖象大致為(　　)
(2)(2022·全國甲卷)函數y=cos x在區間的圖象大致為(　　)
解題技法
　根據函數解析式辨別圖象的基本方法
角度2　知圖選式——根據圖象辨別函數解析式
[例3](1)已知函數f(x)的部分圖象如圖所示,則函數f(x)的解析式可能為(　　)
A.f(x)=x+sin x B.f(x)=x2sin x
C.f(x)=x2+sin x D.f(x)=xsin x
(2)(2023·天津高考)函數f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的解析式可能為(　　)
A. B.
C. D.
解題技法
由函數圖象確定其解析式的基本方法
(1)將圖象的左右、上下分布情況與函數的定義域、值域進行對照.
(2)從圖象的增減變化趨勢,分析函數的單調性,與函數解析式對照.
(3)從圖象的對稱性特征,分析函數的奇偶性,與函數解析式對照.
(4)從圖象的循環往復特征,分析函數的周期性,與函數解析式對照.
角度3　知圖選圖——根據圖象辨別函數的圖象
[例4](2023·汕頭模擬)若函數y=f(x)的圖象如圖所示,則函數y=-f(x+1)的圖象大致為(　　)
解題技法
　若函數圖象可由某個基本函數的圖象經過平移、翻折、對稱得到,可利用圖象變換作出,并應注意平移變換與伸縮變換的順序對變換單位及解析式的影響.
角度4　借助動點探究函數的圖象
[例5]如圖,圓O的半徑為1,A是圓上的定點,P是圓上的動點,角x的始邊為射線OA,終邊為射線OP,過點P作直線OA的垂線,垂足為M,將點M到直線OP的距離表示成x的函數f(x),則y=f(x)在[0,π]的圖象大致為(　　)
解題技法
　根據實際背景、圖形判斷函數圖象的兩種方法
(1)定量計算法:根據題目所給條件確定函數解析式,從而判斷函數圖象.
(2)定性分析法:采用“以靜觀動”,即判斷動點處于不同的特殊位置時圖象的變化特征,從而利用排除法做出選擇.
對點訓練
1.(2023·安徽毛坦廠中學模擬)函數f(x)=的圖象大致為(　　)
2.已知函數f(x)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式可能為(　　)
A.f(x)=xsin πx
B.f(x)=(x-1)sin πx
C.f(x)=xcos[π(x+1)]
D.f(x)=(x-1)cos πx
3.函數f(x)=xln x的圖象如圖所示,則函數y=f(1-x)的大致圖象為(　　)
4.如圖,不規則四邊形ABCD中,AB和CD是線段,AD和BC是圓弧,直線l⊥AB交AB于E,當l從左至右移動(與線段AB有公共點)時,把四邊形ABCD分成兩部分,設AE=x,左側部分的面積為y,則y關于x的圖象大致是(　　)
[例6](1)已知函數f(x)=x|x|-2x,則下列結論正確的是(　　)
A.f(x)是偶函數,單調遞增區間是(0,+∞)
B.f(x)是偶函數,單調遞減區間是(-∞,1)
C.f(x)是奇函數,單調遞減區間是(-1,1)
D.f(x)是奇函數,單調遞增區間是(-∞,0)
(2)不等式log2(-x)(3)若直線y=x+m和曲線y=有兩個不同的交點,則實數m的取值范圍是　　　　.
解題技法
1.利用函數的圖象研究函數的性質
對于已知或易畫出其在給定區間上圖象的函數,其性質(單調性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點)常借助于圖象研究,但一定要注意性質與圖象特征的對應關系.
2.利用函數的圖象可解決方程和不等式的求解問題,如判斷方程是否有解,有多少個解.數形結合是常用的思想方法.不等式的求解可轉化為兩函數的上下關系問題.
對點訓練
1.定義max{a,b,c}為a,b,c中的最大值,設y=max{2x,2x-3,6-x},則y的最小值是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
2.函數f(x)是周期為4的偶函數,當x∈[0,2]時,f(x)=x-1,則不等式xf(x)>0在(-1,3)上的解集為(　　)
A.(1,3) B.(-1,1)
C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1)
3.已知函數f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有兩個不相等的實根,則實數k的取值范圍是　　　　. 第六節　函數的圖象
【課標解讀】 【命題說明】
【課程標準】 1.在實際情境中,會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數. 2.會運用函數圖象理解和研究函數的性質,解決方程解的個數與不等式解集的問題. 【核心素養】 邏輯推理、直觀想象、數學運算. 考向 考法 高考命題考查函數圖象的識別、函數圖象的畫法及應用函數圖象研究函數的性質,已知函數解析式選擇函數圖象是高考熱點,常以選擇題形式出現.
預測 預計2025年高考函數圖象仍會出題,一般在選擇題或填空題中出現,題目的難度起伏較大.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.利用描點法作函數圖象的方法步驟
(1)確定函數的定義域.
(2)化簡函數的解析式.
(3)討論函數的性質,即奇偶性、周期性、單調性、最值(甚至變化趨勢).
(4)描點連線,畫出函數的圖象.
2.利用圖象變換法作函數的圖象
(1)平移變換
(2)伸縮變換
①y=f(x)y=f(ax).
②y=f(x)y=af(x).
(3)對稱變換
①y=f(x)y=-f(x).
②y=f(x)y=f(-x).
③y=f(x)y=-f(-x).
④y=ax(a>0且a≠1)y=logax(a>0且a≠1).
(4)翻折變換
①y=f(x)y=|f(x)|.
②y=f(x)y=f(|x|).
微點撥函數圖象的左右變換都針對自變量“x”而言,如從f(-2x)的圖象到f(-2x+1)的圖象是向右平移個單位長度,其中是把x變成x-.
常用結論
1.記住幾個重要結論
(1)函數y=f(x)與y=f(2a-x)的圖象關于直線x=a對稱.
(2)函數y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖象關于點(a,b)中心對稱.
(3)若函數y=f(x)對定義域內任意自變量x滿足:f(a+x)=f(a-x),則函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱.
2.圖象的左右平移僅僅是相對于x而言,如果x的系數不是1,常需把系數提出來,再進行變換.
3.圖象的上下平移僅僅是相對于y而言的,利用“上加下減”進行.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)當x∈(0,+∞)時,函數y=|f(x)|與y=f(|x|)的圖象相同.(　×　)
(2)函數y=af(x)與y=f(ax)(a>0且a≠1)的圖象相同.(　×　)
(3)函數y=f(x)與y=-f(x)的圖象關于原點對稱.(　×　)
(4)函數y=lg x的圖象關于x=3對稱的圖象對應的函數是y=lg(6-x).(　√　)
提示:
(1) 令f(x)=-x,當x∈(0,+∞)時,y=|f(x)|=x,y=f(|x|)=-x,兩者圖象不同. ×
(2) 當a≠1時,y=af(x)與y=f(ax)是由y=f(x)分別進行縱坐標與橫坐標伸縮變換得到,兩圖象不同. ×
(3) y=f(x)與y=-f(x)的圖象關于x軸對稱. ×
2.(必修第一冊P85練習T1變條件、變設問)已知圖①中的圖象是函數y=f(x)的圖象,則圖②中的圖象對應的函數可能是(　　)
A.y=f(|x|) B.y=|f(x)|
C.y=f(-|x|) D.y=-f(-|x|)
【解析】選C .因為題圖②中的圖象是在題圖①的基礎上,去掉函數y=f(x)的圖象在y軸右側的部分,然后將y軸左側圖象翻折到y軸右側得到的,
所以題圖②中的圖象對應的函數可能是y=f(-|x|).
3.(2022·全國乙卷)如圖是下列四個函數中的某個函數在區間[-3,3]的大致圖象,則該函數是(　　)
A.y= B.y=
C.y= D.y=
【解析】選A.設f(x)=,則f(1)=0,故排除B;
設h(x)=,當x∈(0,)時,0所以h(x)=<≤1,故排除C;
設g(x)=,則g(3)=>0,故排除D.
4.(看不懂圖象導致錯誤)若關于x的方程|x|=a-x只有一個解,則實數a的取值范圍是　　　　.
【解析】由題意a=|x|+x,令y=|x|+x=圖象如圖所示,故要使a=|x|+x只有一解,則a>0,即實數a的取值范圍是(0,+∞).
答案:(0,+∞)
【核心考點·分類突破】
考點一作函數的圖象
[例1]作出下列函數的圖象:
(1)y=()|x|;
【解析】(1)先作出y=()x的圖象,保留y=()x圖象中x≥0的部分,再作出y=()x的圖象中x>0的部分關于y軸的對稱部分,
即得y=()|x|的圖象,如圖①實線部分.
(2)y=|log2(x+1)|;
【解析】(2)將函數y=log2x的圖象向左平移一個單位長度,再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去,即可得到函數y=|log2(x+1)|的圖象,如圖②.
(3)y=x2-2|x|-1.
【解析】(3)因為y=且函數為偶函數,先用描點法作出[0,+∞)上的圖象,
再根據對稱性作出(-∞,0)上的圖象,
得圖象如圖③.
解題技法
函數圖象的常見畫法
(1)描點法作圖:當函數解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本初等函數時,可根據這些函數的特征描出圖象的關鍵點,進而直接作出函數圖象.
(2)圖象變換法:若函數圖象可由某個基本初等函數的圖象經過平移、伸縮、翻折、對稱得到,則可利用圖象變換作圖.
對點訓練
　作出下列各函數的圖象:
(1)y=x-|x-1|;
【解析】(1)根據絕對值的意義,可將函數解析式化為分段函數y=
其圖象如圖①所示.
(2)y=|x2-4x+3|;
【解析】(2)函數解析式可化為
y=其圖象如圖②實線所示.
(3)y=()|x+2|;
【解析】(3)作出y=()x的圖象,保留y=()x的圖象中x≥0的部分,加上y=()x的圖象中x>0的部分關于y軸的對稱部分,即得y=()|x|的圖象,再向左平移2個單位長度,即得y=()|x+2|的圖象,如圖③所示.
(4)y=sin |x|.
【解析】(4)當x≥0時,y=sin |x|與y=sin x的圖象完全相同,又y=sin |x|為偶函數,圖象關于y軸對稱,故圖象如圖④所示.
考點二函數圖象的識別
考情提示
函數圖象作為高中數學的一個“重頭戲”,是研究函數性質、方程、不等式的重要武器,已經成為高考命題的一個熱點.在高考中經常以幾類初等函數圖象為基礎,結合函數性質綜合考查,多以選擇、填空題形式出現.
角度1　知式選圖——根據函數解析式辨別圖象
[例2](1)函數f(x)=的圖象大致為(　　)
【解析】選D.由題意可知,當x=0時,y=1,所以排除A,C;且f(-x)==ex(1-x2)≠f(x),所以函數f(x)不是偶函數,所以排除B.
(2)(2022·全國甲卷)函數y=cos x在區間的圖象大致為(　　)
【解析】選A.令f=cos x,x∈,
則f=cos=-(3x-3-x)cos x=-f(x),
所以f為奇函數,排除BD;
又當x∈時,3x-3-x>0,cos x>0,
所以f>0,排除C.
解題技法
　根據函數解析式辨別圖象的基本方法
角度2　知圖選式——根據圖象辨別函數解析式
[例3](1)已知函數f(x)的部分圖象如圖所示,則函數f(x)的解析式可能為(　　)
A.f(x)=x+sin x B.f(x)=x2sin x
C.f(x)=x2+sin x D.f(x)=xsin x
【解析】選B.若f(x)=x+sin x,則f'(x)=1+cos x≥0,所以f(x)=x+sin x在R上單調遞增,故排除A;因為f(x)=x2+sin x為非奇非偶函數,所以排除C;因為f(x)=xsin x為偶函數,所以排除D.
(2)(2023·天津高考)函數f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的解析式可能為(　　)
A. B.
C. D.
【解析】選D.由題干中函數圖象可知,f(x)圖象關于y軸對稱,其為偶函數,且f(-2)=f(2)<0,由=-,且定義域為R,即選項B中函數為奇函數,排除B;當x>0時,>0,>0,即A,C中函數在(0,+∞)上函數值為正,排除A,C.
解題技法
由函數圖象確定其解析式的基本方法
(1)將圖象的左右、上下分布情況與函數的定義域、值域進行對照.
(2)從圖象的增減變化趨勢,分析函數的單調性,與函數解析式對照.
(3)從圖象的對稱性特征,分析函數的奇偶性,與函數解析式對照.
(4)從圖象的循環往復特征,分析函數的周期性,與函數解析式對照.
角度3　知圖選圖——根據圖象辨別函數的圖象
[例4](2023·汕頭模擬)若函數y=f(x)的圖象如圖所示,則函數y=-f(x+1)的圖象大致為(　　)
【解析】選C.y=f(x)的圖象y=f(x+1)的圖象y=-f(x+1)的圖象.
解題技法
　若函數圖象可由某個基本函數的圖象經過平移、翻折、對稱得到,可利用圖象變換作出,并應注意平移變換與伸縮變換的順序對變換單位及解析式的影響.
角度4　借助動點探究函數的圖象
[例5]如圖,圓O的半徑為1,A是圓上的定點,P是圓上的動點,角x的始邊為射線OA,終邊為射線OP,過點P作直線OA的垂線,垂足為M,將點M到直線OP的距離表示成x的函數f(x),則y=f(x)在[0,π]的圖象大致為(　　)
【解析】選C.(排除法)由題圖可知:當x=時,OP⊥OA,
此時f(x)=0,排除A,D;
當x∈(0,)時,OM=cos x,
設點M到直線OP的距離為d,
則=sin x,即d=OMsin x=sin x·cos x,
所以f(x)=sin xcos x=sin 2x≤,排除B,故選C.
解題技法
　根據實際背景、圖形判斷函數圖象的兩種方法
(1)定量計算法:根據題目所給條件確定函數解析式,從而判斷函數圖象.
(2)定性分析法:采用“以靜觀動”,即判斷動點處于不同的特殊位置時圖象的變化特征,從而利用排除法做出選擇.
對點訓練
1.(2023·安徽毛坦廠中學模擬)函數f(x)=的圖象大致為(　　)
【解析】選A.易知函數f(x)=為奇函數,所以排除選項B,C,又當x>0時,f(x)最小的零點為x=,所以令x=,則有2x-sin x=>0,cos=>0,所以排除D.
2.已知函數f(x)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式可能為(　　)
A.f(x)=xsin πx
B.f(x)=(x-1)sin πx
C.f(x)=xcos[π(x+1)]
D.f(x)=(x-1)cos πx
【解析】選B.對于A,f(-x)=-xsin(-πx)=xsin πx=f(x),所以函數f(x)=xsin πx為偶函數,故排除A;對于C,f(x)=xcos[π(x+1)]=-xcos πx,則f(-x)=xcos πx=-f(x),所以函數f(x)=xcos[π(x+1)]為奇函數,故排除C;對于D,f(0)=-1≠0,故排除D.
3.函數f(x)=xln x的圖象如圖所示,則函數y=f(1-x)的大致圖象為(　　)
【解析】選D.方法一:函數f(x)的定義域為(0,+∞),由1-x>0得x<1,即函數y=f(1-x)的定義域為(-∞,1),排除A,C.f(1-x)=(1-x)ln(1-x),設g(x)=f(1-x)=(1-x)ln(1-x),則g(-1)=2ln 2>0,排除B.
方法二:將函數f(x)的圖象進行以y軸為對稱軸的翻折變換,得到函數y=f(-x)的圖象,再將圖象向右平移一個單位長度,即可得到函數y=f(-(x-1))=f(1-x)的圖象.
4.如圖,不規則四邊形ABCD中,AB和CD是線段,AD和BC是圓弧,直線l⊥AB交AB于E,當l從左至右移動(與線段AB有公共點)時,把四邊形ABCD分成兩部分,設AE=x,左側部分的面積為y,則y關于x的圖象大致是(　　)
【解析】選C.當l從左至右移動時,一開始面積的增加速度越來越快,過了D點后面積保持勻速增加,圖象呈直線變化,過了C點后面積的增加速度又逐漸減慢.
考點三函數圖象的應用
[例6](1)已知函數f(x)=x|x|-2x,則下列結論正確的是(　　)
A.f(x)是偶函數,單調遞增區間是(0,+∞)
B.f(x)是偶函數,單調遞減區間是(-∞,1)
C.f(x)是奇函數,單調遞減區間是(-1,1)
D.f(x)是奇函數,單調遞增區間是(-∞,0)
【解析】選C.將函數f(x)=x|x|-2x去掉絕對值,
得f(x)=
畫出函數f(x)的圖象,如圖所示,
觀察圖象可知,函數f(x)的圖象關于原點對稱,
故函數f(x)為奇函數,且在(-1,1)上單調遞減.
(2)不等式log2(-x)【解析】設f(x)=log2(-x),g(x)=x+1.
函數f(x),g(x)(x<0)在同一坐標系中的圖象如圖.
由圖象可知,
不等式log2(-x)答案:(-1,0)
(3)若直線y=x+m和曲線y=有兩個不同的交點,則實數m的取值范圍是　　　　.
【解析】曲線y=表示圓x2+y2=1的上半部分(包括端點),如圖.
要使y=x+m與曲線y=有兩個不同的交點,則直線只能在l1與l2之間(含l1)平移,故1≤m<.
答案:[1,)
解題技法
1.利用函數的圖象研究函數的性質
對于已知或易畫出其在給定區間上圖象的函數,其性質(單調性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點)常借助于圖象研究,但一定要注意性質與圖象特征的對應關系.
2.利用函數的圖象可解決方程和不等式的求解問題,如判斷方程是否有解,有多少個解.數形結合是常用的思想方法.不等式的求解可轉化為兩函數的上下關系問題.
對點訓練
1.定義max{a,b,c}為a,b,c中的最大值,設y=max{2x,2x-3,6-x},則y的最小值是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
【解析】選C.畫出y=max{2x,2x-3,6-x}的示意圖,如圖中實線部分所示.由圖可知,y的最小值為4.
2.函數f(x)是周期為4的偶函數,當x∈[0,2]時,f(x)=x-1,則不等式xf(x)>0在(-1,3)上的解集為(　　)
A.(1,3) B.(-1,1)
C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1)
【解析】選C.作出函數f(x)的圖象如圖所示,當x∈(-1,0)時,由xf(x)>0得x∈(-1,0);當x∈(0,3)時,由xf(x)>0得x∈(1,3).所以x∈(-1,0)∪(1,3).
3.已知函數f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有兩個不相等的實根,則實數k的取值范圍是　　　　.
【解析】由已知,函數f(x)=|x-2|+1與g(x)=kx的圖象有兩個公共點,畫圖可知當直線y=kx介于l1:y=x,l2:y=x之間時,符合題意.
答案: (,1)

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