資源簡介

第七節　函數的應用
第1課時　函數的零點與方程的解、二分法
【課標解讀】 【命題說明】
【課程標準】 1.會結合二次函數的圖象,判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數,了解函數的零點與方程根的關系. 2.根據具體函數的圖象,能夠借助計算工具利用二分法求相應方程的近似解. 【核心素養】 數學抽象、邏輯推理、直觀想象. 考向 考法 高考命題常以基本初等函數及其圖象為載體,考查函數零點是否存在、存在的區間及個數,利用零點的存在情況求參數是高考熱點,常以選擇題或填空題的形式出現.
預測 預計2025年高考函數與方程仍會出題,可能以選擇題或填空題考查三種形式的靈活轉化,也可能與導數結合考查,題目的難度較大.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.函數的零點與方程的解
(1)函數零點的概念
對于一般函數y=f(x),我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點.
(2)函數零點與方程實數解的關系
方程f(x)=0有實數解 函數y=f(x)有零點 函數y=f(x)的圖象與x軸有公共點.
(3)函數零點存在定理
如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條連續不斷的曲線,且有f(a)f(b)<0,那么,函數y=f(x)在區間(a,b)內至少有一個零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的解.
微點撥函數零點存在定理只能判斷函數在某個區間上的變號零點,而不能判斷函數的不變號零點,而且連續函數在一個區間的端點處函數值異號是這個函數在這個區間上存在零點的充分不必要條件.
2.二分法
對于在區間[a,b]上圖象連續不斷且f(a)f(b)<0的函數y=f(x),通過不斷地把它的零點所在區間一分為二,使所得區間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.
常用結論
1.若連續不斷的函數f(x)在定義域上是單調函數,則f(x)至多有一個零點.函數的零點不是一個“點”,而是方程f(x)=0的實根.
2.由函數y=f(x)(圖象是連續不斷的)在閉區間[a,b]上有零點不一定能推出f(a)·f(b)<0,如圖所示,
所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在閉區間[a,b]上有零點的充分不必要條件.
3.周期函數如果有零點,則必有無窮多個零點.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數f(x)=2x的零點為0.(　 　)
(2)函數f(x)的零點,即函數f(x)的圖象與x軸的交點.(　 　)
(3)二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0時沒有零點.(　 　)
(4)圖象連續的函數y=f(x)(x∈D)在區間(a,b) D內有零點,則f(a)·f(b)<0.(　 　)
2.(必修一P144T2·變形式)函數f(x)=log2x+x-2的零點所在的區間為(　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
3.(2022·北京高考)函數f(x)=的零點個數為(　　)
A.3 B.2 C.7 D.0
4.(忽視區間端點值)函數f(x)=kx+1在[1,2]上有零點,則k的取值范圍是　　　　.
【核心考點·分類突破】
考點一函數零點所在區間的判定
1.函數f(x)=ex+2x-6的零點所在的區間是(　　)
A.(3,4) B.(2,3)
C.(1,2) D.(0,1)
2.方程ln x=4-2x的根所在的區間是(　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
3.函數f(x)=2x--a的一個零點在區間(1,2)內,則實數a的取值范圍是(　　)
A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)
4.(2023·太原模擬)利用二分法求方程log3x=3-x的近似解,可以取的一個區間是(　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
5.用二分法求函數f(x)=3x-x-4的一個零點,其參考數據如下:
f(1.600 0) ≈0.200 f(1.587 5) ≈0.133 f(1.575 0) ≈0.067
f(1.562 5) ≈0.003 f(1.556 2) ≈-0.029 f(1.550 0) ≈-0.060
據此數據,可得方程3x-x-4=0的一個近似解為　　　　(精確度為0.01).
解題技法
確定函數零點所在區間的常用方法
(1)定理法:首先看函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是否連續,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,則函數y=f(x)在區間(a,b)內必有零點.
(2)圖象法:通過畫函數圖象,觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷.
考點二函數零點個數的判定
[例1](1)(一題多法)函數f(x)=2x+x3-2在區間(0,1)內的零點個數是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)(2023·唐山模擬)已知函數f(x)=則函數y=f(x)+3x的零點個數是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
(3)已知f(x)是定義在R上的奇函數,且當x∈(0,+∞)時,f(x)=2 024x+log2 024x,則函數f(x)的零點個數是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解題技法
函數零點個數的判斷方法
(1)直接求零點:令f(x)=0,有幾個解就有幾個零點.
(2)函數零點存在定理:首先確定函數f(x)在區間[a,b]上是連續不斷的曲線,且f(a)f(b)<0,再結合函數的圖象與性質確定函數零點個數.
(3)利用圖象交點個數:作出兩函數圖象,觀察其交點個數即得零點個數.
對點訓練
1.函數f(x)=的零點個數為(　　)
A.3 B.2 C.7 D.0
2.函數y=x3-()x的零點個數為　　　　.
3.函數f(x)= ()|x|-|log2x|的零點有　　　個.
考點三函數零點的應用
考情提示
函數的零點問題充分體現了函數與方程的聯系,蘊含了豐富的數形結合思想,因此函數的零點問題成為了近年來高考新的生長點和熱點,且形式逐漸多樣化,各種題型均可考查.
角度1　根據零點個數求參數
[例2](1)已知函數f(x)=若關于x的方程m-f(x)=0有兩個不同的解,則實數m的取值范圍為(　　)
A.(0,+∞) B.(-∞,0]∪[1,+∞)
C.(-∞,0] D.(0,1]
(2)若函數f(x)=恰有3個零點,則實數a的取值范圍
為　　　　.
解題技法
　已知函數零點(方程根)的個數,求參數取值范圍的常用的方法
(1)直接法:直接根據題設條件構建關于參數的不等式(組),再通過解不等式(組)確定參數范圍.
(2)分離參數法:先將參數分離,轉化成求函數值域問題加以解決.
(3)數形結合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數的圖象,然后數形結合求解.一是轉化為兩個函數y=g(x),y=h(x)的圖象的交點個數問題,畫出兩個函數的圖象,其交點的個數就是函數零點的個數,二是轉化為y=a,y=g(x)的圖象的交點個數問題.
角度2　根據零點范圍求參數
[例3](1)若關于x的方程x2-tx+1=0有兩個不相等的實根x1,x2,且滿足0A.(2,5)
B. (2,)
C.(-∞,2)∪(5,+∞)
D.(-∞,2)∪(,+∞)
(2)(2024·滄州模擬)若函數f(x)=ln x-+a在區間(1,e)上存在零點,則實數a的取值范圍為(　　)
A. (-2,2) B. (,2)
C.(0,1) D. (2-,2)
解題技法
　利用函數零點的情況求參數的值或取值范圍的方法
(1)利用零點存在定理構建不等式(組)求解.
(2)分離參數后轉化為函數的值域(最值)問題求解.
(3)轉化為兩個熟悉的函數圖象的上下關系問題,從而構建不等式(組)求解.
對點訓練
1.已知函數f(x)=(a∈R),若函數f(x)在R上有兩個零點,則a的取值范圍是(　　)
A.(-∞,-1) B.(-∞,1)
C.(-1,0) D.[-1,0)
2.已知函數f(x)=-a.若f(x)沒有零點,則實數a的取值范圍是(　　)
A.[0,e) B.(0,1)
C.(0,e) D.[0,1)
重難突破 復合函數的零點、方程的根的綜合
【本質】復合函數涉及內外兩層函數,問題的解決往往涵蓋函數方程、數形結合、分類討論和化歸轉化等數學思想.復合函數零點問題具有關系復雜、綜合性強的特點.
【常見方法】先將復合函數的解析式寫出,再根據函數的解析式畫出函數的圖象,根據函數的圖象研究零點問題.
類型一 判斷復合函數零點的個數
[例1]已知函數f(x)=則函數y=f[f(x)+1]的零點個數是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
解題技法
　求復合函數y=f(g(x))的零點的個數或方程解的個數的策略
(1)先換元解“套”,令t=g(x),則y=f(t),再作出y=f(t)與t=g(x)的圖象.
(2)由y=f(t)的圖象觀察有幾個t的值滿足條件,結合t的值觀察t=g(x)的圖象,求出每一個t被幾個x對應,將x的個數匯總后即為y=f(g(x))的根的個數,即“從外到內”.
對點訓練
已知f(x)=則函數y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零點個數是　　　　.
類型二 由復合函數零點情況求參數
[例2]已知函數f(x)=若方程f(f(x))-2=0恰有三個實數根,則實數k的取值范圍是(　　)
A.[0,+∞) B.[1,3]
C. (-1,-] D. [-1,-]
解題技法
已知復合函數y=f(g(x))零點的個數,求參數的取值范圍的問題的方法
(1)先換元解“套”,令t=g(x),則y=f(t),再作出y=f(t)與t=g(x)的圖象.
(2)由零點個數結合t=g(x)與y=f(t)的圖象特點,從而確定t的取值范圍,進而決定參數的范圍,即“從內到外”.此法稱為雙圖象法(換元法+數形結合).
對點訓練
　已知函數f(x)=-x2-2x,g(x)=若方程g(f(x))-a=0有4個不同的實數根,則實數a的取值范圍是　　　　　. 第七節　函數的應用
第1課時　函數的零點與方程的解、二分法
【課標解讀】 【命題說明】
【課程標準】 1.會結合二次函數的圖象,判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數,了解函數的零點與方程根的關系. 2.根據具體函數的圖象,能夠借助計算工具利用二分法求相應方程的近似解. 【核心素養】 數學抽象、邏輯推理、直觀想象. 考向 考法 高考命題常以基本初等函數及其圖象為載體,考查函數零點是否存在、存在的區間及個數,利用零點的存在情況求參數是高考熱點,常以選擇題或填空題的形式出現.
預測 預計2025年高考函數與方程仍會出題,可能以選擇題或填空題考查三種形式的靈活轉化,也可能與導數結合考查,題目的難度較大.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.函數的零點與方程的解
(1)函數零點的概念
對于一般函數y=f(x),我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點.
(2)函數零點與方程實數解的關系
方程f(x)=0有實數解 函數y=f(x)有零點 函數y=f(x)的圖象與x軸有公共點.
(3)函數零點存在定理
如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條連續不斷的曲線,且有f(a)f(b)<0,那么,函數y=f(x)在區間(a,b)內至少有一個零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的解.
微點撥函數零點存在定理只能判斷函數在某個區間上的變號零點,而不能判斷函數的不變號零點,而且連續函數在一個區間的端點處函數值異號是這個函數在這個區間上存在零點的充分不必要條件.
2.二分法
對于在區間[a,b]上圖象連續不斷且f(a)f(b)<0的函數y=f(x),通過不斷地把它的零點所在區間一分為二,使所得區間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.
常用結論
1.若連續不斷的函數f(x)在定義域上是單調函數,則f(x)至多有一個零點.函數的零點不是一個“點”,而是方程f(x)=0的實根.
2.由函數y=f(x)(圖象是連續不斷的)在閉區間[a,b]上有零點不一定能推出f(a)·f(b)<0,如圖所示,
所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在閉區間[a,b]上有零點的充分不必要條件.
3.周期函數如果有零點,則必有無窮多個零點.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數f(x)=2x的零點為0.(　√　)
(2)函數f(x)的零點,即函數f(x)的圖象與x軸的交點.(　×　)
(3)二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0時沒有零點.(　√　)
(4)圖象連續的函數y=f(x)(x∈D)在區間(a,b) D內有零點,則f(a)·f(b)<0.(　×　)
提示:
(2) 函數y=f(x)的零點,即函數y=f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標. ×
(4) f(a)·f(b)<0是連續函數y=f(x)在(a,b)內有零點的充分不必要條件. ×
2.(必修一P144T2·變形式)函數f(x)=log2x+x-2的零點所在的區間為(　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
【解析】選B.函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增,
則f(x)=0在(0,+∞)上只有一個根,
且f(1)=-1,f(2)=1,則f(1)f(2)<0,
故f(x)的零點所在的區間為(1,2).
3.(2022·北京高考)函數f(x)=的零點個數為(　　)
A.3 B.2 C.7 D.0
【解析】選B.由或
解得x=-2或x=e,故f(x)有2個零點.
4.(忽視區間端點值)函數f(x)=kx+1在[1,2]上有零點,則k的取值范圍是　　　　.
【解析】依題意函數f(x)=kx+1在[1,2]上有零點,所以k≠0,函數f(x)在定義域上是單調函數,
所以f(1)·f(2)≤0,即(k+1)(2k+1)≤0,
解得-1≤k≤-.
答案: [-1,-]
【核心考點·分類突破】
考點一函數零點所在區間的判定
1.函數f(x)=ex+2x-6的零點所在的區間是(　　)
A.(3,4) B.(2,3)
C.(1,2) D.(0,1)
【解析】選C.函數f(x)=ex+2x-6是R上的連續增函數,因為f(1)=e-4<0,f(2)=e2-2>0,可得f(1)f(2)<0,所以函數f(x)的零點所在的區間是(1,2).
2.方程ln x=4-2x的根所在的區間是(　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
【解析】選B.令f(x)=ln x+2x-4,顯然f(x)=ln x+2x-4在(0,+∞)上單調遞增,又因為f(1)=2-4=-2<0,f(2)=ln 2+4-4=ln 2>0,由零點存在定理可知f(x)=ln x+2x-4的零點所在的區間為(1,2),所以ln x=4-2x的根所在的區間為(1,2).
3.函數f(x)=2x--a的一個零點在區間(1,2)內,則實數a的取值范圍是(　　)
A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)
【解析】選C.因為函數f(x)=2x--a在區間(1,2)上單調遞增,又函數f(x)=2x--a的一個零點在區間(1,2)內,則有f(1)·f(2)<0,
所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,所以04.(2023·太原模擬)利用二分法求方程log3x=3-x的近似解,可以取的一個區間是(　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
【解析】選C.設f(x)=log3x-3+x,易知f(x)是(0,+∞)上的連續增函數,當x→0+時,f(x)→-∞,f(1)=-2,又f(2)=log32-1<0,f(3)=log33-3+3=1>0,故f(2)f(3)<0,故方程log3x=3-x在區間(2,3)上有解,
即利用二分法求方程log3x=3-x的近似解,可以取的一個區間是(2,3).
5.用二分法求函數f(x)=3x-x-4的一個零點,其參考數據如下:
f(1.600 0) ≈0.200 f(1.587 5) ≈0.133 f(1.575 0) ≈0.067
f(1.562 5) ≈0.003 f(1.556 2) ≈-0.029 f(1.550 0) ≈-0.060
據此數據,可得方程3x-x-4=0的一個近似解為　　　　(精確度為0.01).
【解析】注意到f(1.556 2)≈-0.029和f(1.562 5)≈0.003,顯然f(1.556 2)f(1.562 5)<0,
又|1.556 2-1.562 5|=0.006 3<0.01,所以近似解可取1.56.
答案:1.56
解題技法
確定函數零點所在區間的常用方法
(1)定理法:首先看函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是否連續,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,則函數y=f(x)在區間(a,b)內必有零點.
(2)圖象法:通過畫函數圖象,觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷.
考點二函數零點個數的判定
[例1](1)(一題多法)函數f(x)=2x+x3-2在區間(0,1)內的零點個數是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】選B.方法一:因為f(0)f(1)=(-1)×1=-1<0,且函數在定義域上單調遞增且連續,
所以函數f(x)在區間(0,1)內有且只有1個零點.
方法二:設y1=2x,y2=2-x3,
在同一坐標系中畫出兩函數的圖象如圖所示,
在區間(0,1)內,兩圖象的交點個數即為f(x)的零點個數.
故函數f(x)在區間(0,1)內有且只有1個零點.
(2)(2023·唐山模擬)已知函數f(x)=則函數y=f(x)+3x的零點個數是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】選C.令f(x)+3x=0,
則或
解得x=0或x=-1,所以函數y=f(x)+3x的零點個數是2.
(3)已知f(x)是定義在R上的奇函數,且當x∈(0,+∞)時,f(x)=2 024x+log2 024x,則函數f(x)的零點個數是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】選C.作出函數y=2 024x和y=-log2 024x的圖象如圖所示,
可知函數f(x)=2 024x+log2 024x在x∈(0,+∞)上只有一個零點,
又f(x)是定義在R上的奇函數,
所以f(x)在x∈(-∞,0)上只有一個零點,
又f(0)=0,所以函數f(x)的零點個數是3.
解題技法
函數零點個數的判斷方法
(1)直接求零點:令f(x)=0,有幾個解就有幾個零點.
(2)函數零點存在定理:首先確定函數f(x)在區間[a,b]上是連續不斷的曲線,且f(a)f(b)<0,再結合函數的圖象與性質確定函數零點個數.
(3)利用圖象交點個數:作出兩函數圖象,觀察其交點個數即得零點個數.
對點訓練
1.函數f(x)=的零點個數為(　　)
A.3 B.2 C.7 D.0
【解析】選B.方法一(直接法)
由f(x)=0得或
解得x=-2或x=e.
因此函數f(x)共有2個零點.
方法二(圖象法)
函數f(x)的圖象如圖所示,由圖象知函數f(x)共有2個零點.
2.函數y=x3-()x的零點個數為　　　　.
【解析】根據題意,令x3-()x=0,則x3=()x,作出函數y1=x3與y2=()x的圖象,由圖可知y1=x3與y2=()x的圖象只有一個交點,即方程x3=()x只有一個解,故函數y=x3-()x的零點個數為1.
答案:1
3.函數f(x)= ()|x|-|log2x|的零點有　　　個.
【解析】f(x)=()|x|-|log2x|的零點的個數即()|x|=|log2x|的根的個數,即為y=()|x|與y=|log2x|圖象交點的個數,畫出大致圖象如圖所示,則由圖象可知交點有2個,即函數f(x)的零點有2個.
答案:2
考點三函數零點的應用
考情提示
函數的零點問題充分體現了函數與方程的聯系,蘊含了豐富的數形結合思想,因此函數的零點問題成為了近年來高考新的生長點和熱點,且形式逐漸多樣化,各種題型均可考查.
角度1　根據零點個數求參數
[例2](1)已知函數f(x)=若關于x的方程m-f(x)=0有兩個不同的解,則實數m的取值范圍為(　　)
A.(0,+∞) B.(-∞,0]∪[1,+∞)
C.(-∞,0] D.(0,1]
【解析】選D.m-f(x)=0有兩個不同的解等價于f(x)的圖象與直線y=m有兩個不同的交點,作出f(x)的圖象及直線y=m如圖所示,由圖象可知,當m∈(0,1]時,f(x)的圖象與直線y=m有兩個不同的交點,所以實數m的取值范圍為(0,1].
(2)若函數f(x)=恰有3個零點,則實數a的取值范圍
為　　　　.
【解析】設g(x)=
由題意得f(x)有3個零點,等價于g(x)的圖象與直線y=a有3個交點.
g'(x)=
所以g(x)的極大值g(-2)=4,極小值g(1)=-1,
又g(0)=0,03-3×0+1=1,
故可作出此函數的圖象,如圖所示,
所以a∈(-1,0)∪[1,4).
答案:(-1,0)∪[1,4)
解題技法
　已知函數零點(方程根)的個數,求參數取值范圍的常用的方法
(1)直接法:直接根據題設條件構建關于參數的不等式(組),再通過解不等式(組)確定參數范圍.
(2)分離參數法:先將參數分離,轉化成求函數值域問題加以解決.
(3)數形結合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數的圖象,然后數形結合求解.一是轉化為兩個函數y=g(x),y=h(x)的圖象的交點個數問題,畫出兩個函數的圖象,其交點的個數就是函數零點的個數,二是轉化為y=a,y=g(x)的圖象的交點個數問題.
角度2　根據零點范圍求參數
[例3](1)若關于x的方程x2-tx+1=0有兩個不相等的實根x1,x2,且滿足0A.(2,5)
B. (2,)
C.(-∞,2)∪(5,+∞)
D.(-∞,2)∪(,+∞)
【解析】選B.令f(x)=x2-tx+1,則f(0)=1,所以只需滿足f(1)<0且f(2)>0即可,即1-t+1<0且4-2t+1>0,解得2(2)(2024·滄州模擬)若函數f(x)=ln x-+a在區間(1,e)上存在零點,則實數a的取值范圍為(　　)
A. (-2,2) B. (,2)
C.(0,1) D. (2-,2)
【解析】選A.由題意可知,函數f(x)=ln x-+a在區間(1,e)上為增函數,故f(1)=ln 1-1+a<0,f(e)=ln e-+a>0,解得-2解題技法
　利用函數零點的情況求參數的值或取值范圍的方法
(1)利用零點存在定理構建不等式(組)求解.
(2)分離參數后轉化為函數的值域(最值)問題求解.
(3)轉化為兩個熟悉的函數圖象的上下關系問題,從而構建不等式(組)求解.
對點訓練
1.已知函數f(x)=(a∈R),若函數f(x)在R上有兩個零點,則a的取值范圍是(　　)
A.(-∞,-1) B.(-∞,1)
C.(-1,0) D.[-1,0)
【解析】選D.當x>0時,f(x)=3x-1有一個零點x=.因此當x≤0時,f(x)=ex+a=0只有一個實根,
所以a=-ex(x≤0),則-1≤a<0.
2.已知函數f(x)=-a.若f(x)沒有零點,則實數a的取值范圍是(　　)
A.[0,e) B.(0,1)
C.(0,e) D.[0,1)
【解析】選A.方法一　設g(x)=,
則g'(x)=(x≠0).
所以g(x)的單調遞增區間為(1,+∞),
單調遞減區間為(-∞,0),(0,1),
所以g(x)的圖象如圖所示,故a的取值范圍為[0,e).
方法二　由f(x)=-a=0,得ex=ax.
當a<0時,顯然y=ex與y=ax有交點,
因此若f(x)無零點,必然有a≥0.當y=ax與y=ex相切時,設切點P(x0,),則a=且=ax0,
所以a=ax0,所以x0=1,
則切線斜率k==e.
因此,要使曲線y=ex與y=ax不相交,
則0≤a重難突破 復合函數的零點、方程的根的綜合
【本質】復合函數涉及內外兩層函數,問題的解決往往涵蓋函數方程、數形結合、分類討論和化歸轉化等數學思想.復合函數零點問題具有關系復雜、綜合性強的特點.
【常見方法】先將復合函數的解析式寫出,再根據函數的解析式畫出函數的圖象,根據函數的圖象研究零點問題.
類型一 判斷復合函數零點的個數
[例1]已知函數f(x)=則函數y=f[f(x)+1]的零點個數是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】選D.令t=f(x)+1=
當t>0時,f(t)=ln t-,
則函數f(t)在(0,+∞)上單調遞增,
因為f(1)=-1<0,f(2)=ln 2->0,
所以由函數零點存在定理可知,存在t1∈(1,2),使得f(t1)=0;
當t≤0時,f(t)=t2+2t,
由f(t)=t2+2t=0,解得t2=-2,t3=0.
作出函數t=f(x)+1的圖象,直線t=t1,t=-2,t=0如圖所示,
由圖象可知,直線t=t1與函數t=f(x)+1的圖象有兩個交點;
直線t=0與函數t=f(x)+1的圖象有兩個交點;
直線t=-2與函數t=f(x)+1的圖象有且只有一個交點.
綜上,函數y=f[f(x)+1]的零點個數為5.
解題技法
　求復合函數y=f(g(x))的零點的個數或方程解的個數的策略
(1)先換元解“套”,令t=g(x),則y=f(t),再作出y=f(t)與t=g(x)的圖象.
(2)由y=f(t)的圖象觀察有幾個t的值滿足條件,結合t的值觀察t=g(x)的圖象,求出每一個t被幾個x對應,將x的個數匯總后即為y=f(g(x))的根的個數,即“從外到內”.
對點訓練
已知f(x)=則函數y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零點個數是　　　　.
【解析】由2[f(x)]2-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1,作出函數y=f(x)的圖象.
由圖象知y=與y=f(x)的圖象有2個交點,y=1與y=f(x)的圖象有3個交點.
因此函數y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零點有5個.
答案:5
類型二 由復合函數零點情況求參數
[例2]已知函數f(x)=若方程f(f(x))-2=0恰有三個實數根,則實數k的取值范圍是(　　)
A.[0,+∞) B.[1,3]
C. (-1,-] D. [-1,-]
【解析】選C.因為f(f(x))-2=0,所以f(f(x))=2,所以f(x)=-1或f(x)=-(k≠0).
(ⅰ)當k=0時,作出函數f(x)的圖象如圖①所示,由圖象可知f(x)=-1無解,所以k=0不符合題意;
(ⅱ)當k>0時,作出函數f(x)的圖象如圖②所示,由圖象可知f(x)=-1無解且f(x)=-無解,即f(f(x))-2=0無解,不符合題意;
(ⅲ)當k<0時,作出函數f(x)的圖象如圖③所示,由圖象可知f(x)=-1有1個實根,
因為f(f(x))-2=0有3個實根,
所以f(x)=-有2個實根,
所以1<-≤3,
解得-1綜上,k的取值范圍是(-1,-].
解題技法
已知復合函數y=f(g(x))零點的個數,求參數的取值范圍的問題的方法
(1)先換元解“套”,令t=g(x),則y=f(t),再作出y=f(t)與t=g(x)的圖象.
(2)由零點個數結合t=g(x)與y=f(t)的圖象特點,從而確定t的取值范圍,進而決定參數的范圍,即“從內到外”.此法稱為雙圖象法(換元法+數形結合).
對點訓練
　已知函數f(x)=-x2-2x,g(x)=若方程g(f(x))-a=0有4個不同的實數根,則實數a的取值范圍是　　　　　.
【解析】令f(x)=t(t<1),則原方程化為g(t)=a,易知方程f(x)=t在t∈(-∞,1)時有2個不同的解,則原方程有4個不同的實數根等價于函數y=g(t)(t<1)與y=a的圖象有2個不同的交點,作出函數y=g(t)(t<1)的圖象如圖,由圖象可知,當1≤a<時,函數y=g(t)(t<1)與y=a有2個不同的交點,即所求a的取值范圍是[1,).
答案: [1,)

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