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第三節(jié)　二次函數(shù)與冪函數(shù)
【課標(biāo)解讀】
【課程標(biāo)準(zhǔn)】
1.通過(guò)具體實(shí)例,結(jié)合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的圖象,理解它們的變化規(guī)律,了解冪函數(shù).
2.理解并掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、對(duì)稱性、最值、頂點(diǎn)等).
【核心素養(yǎng)】
數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象.
【命題說(shuō)明】
考向 考法 主要考查冪函數(shù)與二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),常與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)交匯命題.
預(yù)測(cè) 預(yù)計(jì)2025年高考對(duì)于冪函數(shù)以冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)應(yīng)用為主.對(duì)于二次函數(shù)的考查一般與其他知識(shí)綜合,題型一般為選擇題、填空題.
【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】
知識(shí)梳理·歸納
1.冪函數(shù)
(1)冪函數(shù)的定義
一般地,函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α為常數(shù).
(2)常見(jiàn)的五種冪函數(shù)的圖象
(3)冪函數(shù)的性質(zhì)
①冪函數(shù)在(0,+∞)上都有定義;
②當(dāng)α>0時(shí),冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
③當(dāng)α<0時(shí),冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1),且在(0,+∞)上單調(diào)遞減;
④當(dāng)α為奇數(shù)時(shí),y=xα為奇函數(shù);當(dāng)α為偶數(shù)時(shí),y=xα為偶函數(shù).
微點(diǎn)撥 冪函數(shù)的特征:(1)自變量x處在冪底數(shù)的位置,冪指數(shù)α為常數(shù);
(2)xα的系數(shù)為1;
(3)只有一項(xiàng).
2.二次函數(shù)
(1)二次函數(shù)解析式的三種形式
一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
頂點(diǎn)式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n).
零點(diǎn)式(或兩根式):f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2為f(x)的零點(diǎn).
(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
函數(shù) y=ax2+bx+c (a>0) y=ax2+bx+c (a<0)
圖象 (拋物線)
定義域 R
值域 [,+∞) (-∞,]
對(duì)稱軸 x=-
頂點(diǎn)坐標(biāo) (-,)
奇偶性 當(dāng)b=0時(shí)是偶函數(shù),當(dāng)b≠0時(shí)是非奇非偶函數(shù)
函數(shù) y=ax2+bx+c (a>0) y=ax2+bx+c (a<0)
單調(diào)性 在(-∞,-]上單調(diào)遞減; 在[-,+∞)上單調(diào)遞增 在(-∞,-]上單調(diào)遞增; 在[-,+∞)上單調(diào)遞減
微點(diǎn)撥 對(duì)于函數(shù)y=ax2+bx+c,要認(rèn)為它是二次函數(shù),就必須滿足a≠0,當(dāng)題目的條件中未說(shuō)明a≠0時(shí),就要討論a=0和a≠0兩種情況.
常用結(jié)論
1.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向和對(duì)稱軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān).
2.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則當(dāng)時(shí),恒有f(x)>0;當(dāng)時(shí),恒有f(x)<0.
3.(1)冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi),一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限.
(2)冪函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,1),如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交,則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).
(3)若冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則α>0;若在(0,+∞)上單調(diào)遞減,則α<0.
基礎(chǔ)診斷·自測(cè)
類型 辨析 改編 易錯(cuò)
題號(hào) 1 2 3,4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)函數(shù)y=2是冪函數(shù).(　×　)
(2)當(dāng)α>0時(shí),冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上是增函數(shù).(　√　)
(3)二次函數(shù)y=a(x-1)2+2的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞).(　×　)
(4)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象恒在x軸下方,則a<0且Δ<0.(　√　)
提示:
(1) 冪函數(shù)的解析式為f(x)=xα,故y=2不是冪函數(shù) ×
(3) 當(dāng)a>0時(shí),單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞) ×
2.(人A必修第一冊(cè)P91練習(xí)T1變條件、變?cè)O(shè)問(wèn))已知冪函數(shù)f(x)=k·xα的圖象過(guò)點(diǎn)(,),則k+α=(　　)
A. B.1 C. D.2
【解析】選C.由題意得k=1,又函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(,),所以=,解得α=,則k+α=.
3.(忽視冪函數(shù)的定義域)已知冪函數(shù)f(x)=,若f(a+1)【解析】f(x)=的定義域?yàn)?0,+∞),
且在定義域內(nèi)是減函數(shù),
所以a+1>10-2a>0,解得3答案:(3,5)
4.(忽視區(qū)間限制)已知函數(shù)f(x)=x2-x+1在區(qū)間[-1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　　　　　.
【解析】f(x)>2x+m等價(jià)于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,令g(x)=x2-3x+1-m,要使g(x)=x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立,只需使函數(shù)g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.
因?yàn)間(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上單調(diào)遞減,
所以g(x)min=g(1)=-m-1.由-m-1>0,得m<-1.
因此滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-1).
答案:(-∞,-1)
【核心考點(diǎn)·分類突破】
考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1.已知點(diǎn)(,)在冪函數(shù)f(x)的圖象上,則f(x)是(　　)
A.奇函數(shù)
B.偶函數(shù)
C.定義域內(nèi)的減函數(shù)
D.定義域內(nèi)的增函數(shù)
【解析】選A.設(shè)f(x)=xα,由已知得()α=,解得α=-1,因此f(x)=x-1,易知該函數(shù)為奇函數(shù).
2.若冪函數(shù)y=x-1,y=xm與y=xn在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示,則m與n的取值情況為(　　)
A.-1B.-1C.-1D.-1【解析】選D.冪函數(shù)y=xα,當(dāng)α>0時(shí),y=xα在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且0<α<1時(shí),圖象上凸,所以0綜上,-13.已知冪函數(shù)f(x)=mxn的圖象過(guò)點(diǎn)(,2),設(shè)a=f(m),b=f(n),c=f(ln 2),則(　　)
A.cC.b【解析】選B.因?yàn)閒(x)=mxn為冪函數(shù),故m=1.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=mxn的圖象過(guò)點(diǎn)(,2),所以=2,解得n=3.故函數(shù)f(x)=x3,且函數(shù)為增函數(shù).因?yàn)閚>m>ln 2,故c4.已知冪函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(-8,-2),且f(a+1)≤-f(a-3),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　　　　.
【解析】設(shè)f(x)=xα,則(-8)α=-2,解得α=,所以f(x)=,則f(x)在R上單調(diào)遞增,且為奇函數(shù),所以f(a+1)≤-f(a-3)等價(jià)于f(a+1)≤f(3-a),則a+1≤3-a,解得a≤1.
答案:(-∞,1]
解題技法
(1)冪函數(shù)圖象的特點(diǎn):掌握冪函數(shù)圖象,首先確定定義域,然后抓住三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域,即x=1,y=1,y=x分的區(qū)域.根據(jù)α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值確定位置后,其余象限部分由奇偶性決定.
(2)比較冪值大小的方法:在比較冪值的大小時(shí),必須結(jié)合冪值的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.
考點(diǎn)二 二次函數(shù)的解析式
[例1](1)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+1的圖象的對(duì)稱軸是直線x=1,并且圖象過(guò)點(diǎn)P(-1,7),則a,b的值分別是(　　)
A.2,4 B.-2,4
C.2,-4 D.-2,-4
【解析】選C.因?yàn)閥=ax2+bx+1的圖象的對(duì)稱軸是直線x=1,所以-=1①,
又圖象過(guò)點(diǎn)P(-1,7),所以a-b+1=7,即a-b=6②,
聯(lián)立①②解得a=2,b=-4.
(2)(一題多法)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,則f(x)的解析式為　　　　　　　　.
【解析】解法一(利用一般式):設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由題意得解得
所以所求二次函數(shù)的解析式為f(x)=-4x2+4x+7.
解法二(利用頂點(diǎn)式):
設(shè)f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
因?yàn)閒(2)=f(-1),所以拋物線的對(duì)稱軸為直線x==.所以m=.
又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8,所以n=8.所以f(x)=a(x-)2+8.
因?yàn)閒(2)=-1,所以a(2-)2+8=-1,解得a=-4,所以f(x)=-4(x-)2+8=-4x2+4x+7.
解法三(利用兩根式):
由已知f(x)+1=0的兩根為x1=2,x2=-1,
故可設(shè)f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.
又函數(shù)f(x)有最大值8,即=8,解得a=-4或a=0(舍去).
所以所求二次函數(shù)的解析式為f(x)=-4x2+4x+7.
答案:f(x)=-4x2+4x+7
(3)設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(x-2)=f(-x-2),且f(x)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,被x軸截得的線段長(zhǎng)為2,則f(x)的解析式為　　　　　　　,f(2)=　　　　.
【解析】設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由f(x-2)=f(-x-2),得4a-b=0①.
設(shè)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1,x2,
由|x1-x2|==2,所以b2-4ac=8a2②.由已知得c=1③.由①②③解得b=2,a=,c=1,所以f(x)=x2+2x+1,
所以f(2)=×22+2×2+1=2+4+1=7.
答案:f(x)=x2+2x+1　7
解題技法
確定二次函數(shù)解析式的方法
根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式,一般用待定系數(shù)法,選擇規(guī)律如下:
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.已知f(x)是二次函數(shù),且滿足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,則函數(shù)f(x)的解析式為　　　　　　　　　　.
【解析】由題意,設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
因?yàn)閒(0)=1,即c=1,所以f(x)=ax2+bx+1,
所以f(x+1)-f(x)=[a(x+1)2+b(x+1)+1]-(ax2+bx+1)=2ax+a+b=2x,
從而有解得
所以f(x)=x2-x+1.
答案:f(x)=x2-x+1
2.(2023·長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,且與直線y=x相切,則滿足上述條件的函數(shù)f(x)=　　　　.(寫一個(gè)即可)
【解析】已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,
所以對(duì)稱軸x=-=0,
所以b=0,所以f(x)=ax2+c,
聯(lián)立整理得ax2-x+c=0,
因?yàn)閒(x)的圖象與直線y=x相切,
所以Δ=1-4ac=0,所以ac=,
當(dāng)a=1時(shí),c=.
所以滿足條件的二次函數(shù)可以為f(x)=x2+.
答案:x2+(答案不唯一)
考點(diǎn)三 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
考情提示
二次函數(shù)是高考必考的重要考點(diǎn)之一.主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,尤其是二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式的綜合應(yīng)用,多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).
角度1　二次函數(shù)圖象的識(shí)別
[例2]設(shè)abc>0,則二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象可能是(　　)
【解析】選D.因?yàn)閍bc>0,
二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,那么可知,
在A中,a<0,b<0,c<0,不符合題意;
在B中,a<0,b>0,c>0,不符合題意;
在C中,a>0,b>0,c<0,不符合題意;
在D中,a>0,b<0,c<0,符合題意.
解題技法
識(shí)別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會(huì)“三看”
角度2　二次函數(shù)的單調(diào)性及最值
[例3](1)(2023·濟(jì)南模擬)若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a<0)滿足f(1)=f(3),則下列不等式成立的是(　　)
A.f(1)C.f(4)【解析】選B.因?yàn)閒(1)=f(3),所以二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=2,
又因?yàn)閍<0,所以f(4)又f(1)=f(3),所以f(4)(2)已知函數(shù)f(x)=x2+(2a-1)x-3,若函數(shù)f(x)在[-1,3]上的最大值為1,則實(shí)數(shù)a的值為　　　　　.
【解析】函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸為直線x=-.
當(dāng)-≤1,即a≥-時(shí),f(x)max=f(3)=6a+3,
所以6a+3=1,即a=-,滿足題意;
當(dāng)->1,即a<-時(shí),f(x)max=f(-1)=-2a-1,
所以-2a-1=1,即a=-1,滿足題意.
綜上可知,a=-或-1.
答案:-或-1
(3)已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值.
【解析】①當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-2x在[0,1]上單調(diào)遞減,所以f(x)min=f(1)=-2.
②當(dāng)a>0時(shí),f(x)=ax2-2x的圖象開口向上,且對(duì)稱軸為直線x=.
當(dāng)<1,即a>1時(shí),f(x)=ax2-2x圖象的對(duì)稱軸在[0,1]內(nèi),所以f(x)在[0,]上單調(diào)遞減,在[,1]上單調(diào)遞增.所以f(x)min=f()=-=-.
當(dāng)≥1,即0所以f(x)min=f(1)=a-2.
③當(dāng)a<0時(shí),f(x)=ax2-2x的圖象開口向下,且對(duì)稱軸為直線x=<0,在[0,1]的左側(cè),
所以f(x)=ax2-2x在[0,1]上單調(diào)遞減.
所以f(x)min=f(1)=a-2.
綜上所述,f(x)min=.
解題技法
1.對(duì)于二次函數(shù)的單調(diào)性
關(guān)鍵是開口方向與對(duì)稱軸的位置,若開口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定,則需要分類討論求解.
2.二次函數(shù)最值問(wèn)題的類型及求解策略
(1)類型:
①對(duì)稱軸、區(qū)間都是給定的;
②對(duì)稱軸動(dòng)、區(qū)間固定;
③對(duì)稱軸定、區(qū)間變動(dòng).
(2)求解策略:抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合,三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn),一軸指的是對(duì)稱軸,結(jié)合配方法,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成.
角度3　與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問(wèn)題
[例4]金榜原創(chuàng)·易錯(cuò)對(duì)對(duì)碰
已知兩函數(shù)f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k為實(shí)數(shù).
(1)對(duì)任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x),則k的取值范圍是　　　　　;
【解析】(1)設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x∈[-3,3]時(shí),h(x)≤0恒成立,故h(x)max≤0.
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知h(x)max=h(3)=86-k,
由86-k≤0,得k≥86,即k的取值范圍為[86,+∞).
答案:[86,+∞)
(2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,則k的取值范圍是　　　　　;
【解析】(2)由題意,存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,即h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k≤0在x∈[-3,3]上有解,故h(x)min≤0.
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知h(x)min=h(-1)=-10-k,由-10-k≤0,得k≥-10,即k的取值范圍為[-10,+∞).
答案:[-10,+∞)
(3)對(duì)任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),則k的取值范圍是　　　　　.
【解析】(3)對(duì)任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),所以f(x)max≤g(x)min,x∈[-3,3].
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-1)=2.
故有120-k≤2,得k≥118,即k的取值范圍為[118,+∞).
答案:[118,+∞)
解題技法
由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵
(1)一般有兩個(gè)解題思路:一是分離參數(shù);二是構(gòu)造新函數(shù).
(2)兩種思路都是將問(wèn)題歸結(jié)為求函數(shù)的最值,至于用哪種方法,關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個(gè)思路的依據(jù)是:a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.(多選題)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A.b=-2a B.a+b+c<0
C.a-b+c>0 D.abc<0
【解析】選AD.由題圖可知a<0,f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x=-=1,則b=-2a,則b>0,又f(0)=c>0,所以abc<0,由于f(-1)<0,則a-b+c<0,由于f(1)>0,則a+b+c>0.
2.(多選題)定義在R上的函數(shù)f(x)=-x3+m與函數(shù)g(x)=f(x)+x3+x2-kx在[-1,1]上具有相同的單調(diào)性,則k的取值可以是(　　)
A.1 B. C.2 D.3
【解析】選CD.易知f(x)=-x3+m在R上是減函數(shù).依題設(shè),函數(shù)g(x)=x2-kx+m在[-1,1]上單調(diào)遞減,所以函數(shù)g(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x=≥1,則k≥2.故k的取值可以是2,3.
3.(2023·石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)=-2x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集為(-1,3).若對(duì)任意的x∈[-1,0],f(x)+m≥4恒成立,則m的取值范圍是(　　)
A.(-∞,2] B.[4,+∞)
C.[2,+∞) D.(-∞,4]
【解析】選B.因?yàn)閒(x)>0的解集為(-1,3),
所以-2x2+bx+c=0的兩個(gè)根為-1,3,
所以即
令g(x)=f(x)+m,則g(x)=-2x2+4x+6+m=-2(x-1)2+8+m,
由x∈[-1,0]可得g(x)min=g(-1)=m,
又g(x)≥4在[-1,0]上恒成立,故m≥4.
4.(2023·太原模擬)函數(shù)f(x)=x2-4x+2在區(qū)間[a,b]上的值域?yàn)閇-2,2],則b-a的取值范圍是　　　　.
【解析】解方程f(x)=x2-4x+2=2,
解得x=0或x=4,
解方程f(x)=x2-4x+2=-2,解得x=2,
由于函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的值域?yàn)閇-2,2].
若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào),
則[a,b]=[0,2]或[a,b]=[2,4],此時(shí)b-a取得最小值2;若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上不單調(diào),
且當(dāng)b-a取最大值時(shí),[a,b]=[0,4],
所以b-a的最大值為4.
所以b-a的取值范圍是[2,4].
答案:[2,4]第三節(jié)　二次函數(shù)與冪函數(shù)
【課標(biāo)解讀】
【課程標(biāo)準(zhǔn)】
1.通過(guò)具體實(shí)例,結(jié)合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的圖象,理解它們的變化規(guī)律,了解冪函數(shù).
2.理解并掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、對(duì)稱性、最值、頂點(diǎn)等).
【核心素養(yǎng)】
數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象.
【命題說(shuō)明】
考向 考法 主要考查冪函數(shù)與二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),常與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)交匯命題.
預(yù)測(cè) 預(yù)計(jì)2025年高考對(duì)于冪函數(shù)以冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)應(yīng)用為主.對(duì)于二次函數(shù)的考查一般與其他知識(shí)綜合,題型一般為選擇題、填空題.
【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】
知識(shí)梳理·歸納
1.冪函數(shù)
(1)冪函數(shù)的定義
一般地,函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α為常數(shù).
(2)常見(jiàn)的五種冪函數(shù)的圖象
(3)冪函數(shù)的性質(zhì)
①冪函數(shù)在(0,+∞)上都有定義;
②當(dāng)α>0時(shí),冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
③當(dāng)α<0時(shí),冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1),且在(0,+∞)上單調(diào)遞減;
④當(dāng)α為奇數(shù)時(shí),y=xα為奇函數(shù);當(dāng)α為偶數(shù)時(shí),y=xα為偶函數(shù).
微點(diǎn)撥 冪函數(shù)的特征:(1)自變量x處在冪底數(shù)的位置,冪指數(shù)α為常數(shù);
(2)xα的系數(shù)為1;
(3)只有一項(xiàng).
2.二次函數(shù)
(1)二次函數(shù)解析式的三種形式
一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
頂點(diǎn)式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n).
零點(diǎn)式(或兩根式):f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2為f(x)的零點(diǎn).
(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
函數(shù) y=ax2+bx+c (a>0) y=ax2+bx+c (a<0)
圖象 (拋物線)
定義域 R
值域 [,+∞) (-∞,]
對(duì)稱軸 x=-
頂點(diǎn)坐標(biāo) (-,)
奇偶性 當(dāng)b=0時(shí)是偶函數(shù),當(dāng)b≠0時(shí)是非奇非偶函數(shù)
函數(shù) y=ax2+bx+c (a>0) y=ax2+bx+c (a<0)
單調(diào)性 在(-∞,-]上單調(diào)遞減; 在[-,+∞)上單調(diào)遞增 在(-∞,-]上單調(diào)遞增; 在[-,+∞)上單調(diào)遞減
微點(diǎn)撥 對(duì)于函數(shù)y=ax2+bx+c,要認(rèn)為它是二次函數(shù),就必須滿足a≠0,當(dāng)題目的條件中未說(shuō)明a≠0時(shí),就要討論a=0和a≠0兩種情況.
常用結(jié)論
1.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向和對(duì)稱軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān).
2.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則當(dāng)時(shí),恒有f(x)>0;當(dāng)時(shí),恒有f(x)<0.
3.(1)冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi),一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限.
(2)冪函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,1),如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交,則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).
(3)若冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則α>0;若在(0,+∞)上單調(diào)遞減,則α<0.
基礎(chǔ)診斷·自測(cè)
類型 辨析 改編 易錯(cuò)
題號(hào) 1 2 3,4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)函數(shù)y=2是冪函數(shù).(　)
(2)當(dāng)α>0時(shí),冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上是增函數(shù).(　　)
(3)二次函數(shù)y=a(x-1)2+2的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞).(　　)
(4)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象恒在x軸下方,則a<0且Δ<0.(　　)
2.(人A必修第一冊(cè)P91練習(xí)T1變條件、變?cè)O(shè)問(wèn))已知冪函數(shù)f(x)=k·xα的圖象過(guò)點(diǎn)(,),則k+α=(　　)
A. B.1 C. D.2
3.(忽視冪函數(shù)的定義域)已知冪函數(shù)f(x)=,若f(a+1)4.(忽視區(qū)間限制)已知函數(shù)f(x)=x2-x+1在區(qū)間[-1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　　　　　.
【核心考點(diǎn)·分類突破】
考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1.已知點(diǎn)(,)在冪函數(shù)f(x)的圖象上,則f(x)是(　　)
A.奇函數(shù)
B.偶函數(shù)
C.定義域內(nèi)的減函數(shù)
D.定義域內(nèi)的增函數(shù)
2.若冪函數(shù)y=x-1,y=xm與y=xn在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示,則m與n的取值情況為(　　)
A.-1B.-1C.-1D.-13.已知冪函數(shù)f(x)=mxn的圖象過(guò)點(diǎn)(,2),設(shè)a=f(m),b=f(n),c=f(ln 2),則(　　)
A.cC.b4.已知冪函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(-8,-2),且f(a+1)≤-f(a-3),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　　　　.
解題技法
(1)冪函數(shù)圖象的特點(diǎn):掌握冪函數(shù)圖象,首先確定定義域,然后抓住三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域,即x=1,y=1,y=x分的區(qū)域.根據(jù)α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值確定位置后,其余象限部分由奇偶性決定.
(2)比較冪值大小的方法:在比較冪值的大小時(shí),必須結(jié)合冪值的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.
考點(diǎn)二 二次函數(shù)的解析式
[例1](1)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+1的圖象的對(duì)稱軸是直線x=1,并且圖象過(guò)點(diǎn)P(-1,7),則a,b的值分別是(　　)
A.2,4 B.-2,4
C.2,-4 D.-2,-4
(2)(一題多法)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,則f(x)的解析式為　　　　　　　　.
(3)設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(x-2)=f(-x-2),且f(x)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,被x軸截得的線段長(zhǎng)為2,則f(x)的解析式為　　　　　　　,f(2)=　　　　.
解題技法
確定二次函數(shù)解析式的方法
根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式,一般用待定系數(shù)法,選擇規(guī)律如下:
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.已知f(x)是二次函數(shù),且滿足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,則函數(shù)f(x)的解析式為　　　　　　　　　　.
2.(2023·長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,且與直線y=x相切,則滿足上述條件的函數(shù)f(x)=　　　　.(寫一個(gè)即可)
考點(diǎn)三 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
考情提示
二次函數(shù)是高考必考的重要考點(diǎn)之一.主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,尤其是二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式的綜合應(yīng)用,多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).
角度1　二次函數(shù)圖象的識(shí)別
[例2]設(shè)abc>0,則二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象可能是(　　)
解題技法
識(shí)別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會(huì)“三看”
角度2　二次函數(shù)的單調(diào)性及最值
[例3](1)(2023·濟(jì)南模擬)若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a<0)滿足f(1)=f(3),則下列不等式成立的是(　　)
A.f(1)C.f(4)(2)已知函數(shù)f(x)=x2+(2a-1)x-3,若函數(shù)f(x)在[-1,3]上的最大值為1,則實(shí)數(shù)a的值為　　　　　.
(3)已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值.
解題技法
1.對(duì)于二次函數(shù)的單調(diào)性
關(guān)鍵是開口方向與對(duì)稱軸的位置,若開口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定,則需要分類討論求解.
2.二次函數(shù)最值問(wèn)題的類型及求解策略
(1)類型:
①對(duì)稱軸、區(qū)間都是給定的;
②對(duì)稱軸動(dòng)、區(qū)間固定;
③對(duì)稱軸定、區(qū)間變動(dòng).
(2)求解策略:抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合,三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn),一軸指的是對(duì)稱軸,結(jié)合配方法,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成.
角度3　與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問(wèn)題
[例4]金榜原創(chuàng)·易錯(cuò)對(duì)對(duì)碰
已知兩函數(shù)f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k為實(shí)數(shù).
(1)對(duì)任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x),則k的取值范圍是　　　　　;
(2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,則k的取值范圍是　　　　　;
(3)對(duì)任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),則k的取值范圍是　　　　　.
解題技法
由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵
(1)一般有兩個(gè)解題思路:一是分離參數(shù);二是構(gòu)造新函數(shù).
(2)兩種思路都是將問(wèn)題歸結(jié)為求函數(shù)的最值,至于用哪種方法,關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個(gè)思路的依據(jù)是:a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.(多選題)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A.b=-2a B.a+b+c<0
C.a-b+c>0 D.abc<0
2.(多選題)定義在R上的函數(shù)f(x)=-x3+m與函數(shù)g(x)=f(x)+x3+x2-kx在[-1,1]上具有相同的單調(diào)性,則k的取值可以是(　　)
A.1 B. C.2 D.3
3.(2023·石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)=-2x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集為(-1,3).若對(duì)任意的x∈[-1,0],f(x)+m≥4恒成立,則m的取值范圍是(　　)
A.(-∞,2] B.[4,+∞)
C.[2,+∞) D.(-∞,4]
4.(2023·太原模擬)函數(shù)f(x)=x2-4x+2在區(qū)間[a,b]上的值域?yàn)閇-2,2],則b-a的取值范圍是　　　　.

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