資源簡介

第四節　指數與指數函數
【課標解讀】 【命題說明】
【課程標準】 1.了解指數冪的拓展過程,掌握指數冪的運算性質. 2.了解指數函數的實際意義,理解指數函數的概念. 3.會畫出具體指數函數的圖象,理解指數函數的單調性與特殊點. 【核心素養】 數學抽象、邏輯推理、數學運算. 考向 考法 高考命題以考查指數冪的運算性質、指數函數的單調性與特殊點、指數冪的大小比較為主,常以選擇題或填空題的形式出現.
預測 預計2025年高考中利用指數函數的性質比較大小、指數型函數圖象的識別與應用以及指數型函數單調性的應用是考查的熱點,題型為選擇題或填空題.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.指數與指數運算
(1)根式的性質
①()n=a(a使有意義);
②當n是奇數時,=a;當n是偶數時,=|a|=
(2)分數指數冪的意義
①=(a>0,m,n∈N*,且n>1);
②==(a>0,m,n∈N*,且n>1);
③0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義.
(3)有理數指數冪的運算性質:ar·as=ar+s,(ar)s=ars(其中a>0,r,s∈Q),(ab)r=arbr(其中a>0,b>0,r∈Q).
微點撥化簡時,一定要注意區分n是奇數還是偶數.
2.指數函數的圖象與性質
項目 01
圖象
性質 定義域:R
值域:(0,+∞)
過定點(0,1)
當x>0時,01 當x>0時,y>1; 當x<0時,0在R上是減函數 在R上是增函數
微點撥(1)畫指數函數y=ax(a>0,a≠1)的圖象,應抓住三個關鍵點(0,1),(1,a), (-1,).
(2)討論指數函數的性質時,要注意分底數a>1和0常用結論
1.畫指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的圖象,應抓住三個關鍵點:(1,a),(0,1), (-1,).
2.如圖是指數函數①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的圖象,底數a,b,c,d與1之間的大小關系為c>d>1>a>b>0.由此我們可得到以下規律:在第一象限內,指數函數y=ax(a>0,a≠1)的圖象越高,底數越大.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯
題號 1 2 3,4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)分數指數冪可以理解為個a相乘.(　 　)
(2)函數y=是指數函數.(　 　)
(3)若am0,且a≠1),則m(4)函數y=(a>1)的值域是[a,+∞).(　 　)
2.(人A必修第一冊P119T6·變形式)已知a=0.750.1,b=1.012.7,c=1.013.5,則(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
3.(忽視函數的定義域)函數f(x)=的值域為　　　　　.
4.(忽視底數的取值)若函數f(x)=ax在[-1,1]上的最大值為2,則a=　　　　.
【核心考點·分類突破】
考點一指數冪的運算
1.已知x<0,y<0,化簡:=(　　)
A.-x2y B.x2y
C.-3x2y D.3x2y
2.已知3a+2b=1,則=　　　　.
3.計算: (2)0.5-0.752+6-2×()=　　　　.
4.已知x,y>0,化簡=　　　　.
5.若+=3,則x2+x-2=　　　　.
解題技法
　指數冪的運算
(1)運算順序:有括號先算括號內的,無括號先進行指數的乘方、開方,再乘除后加減,底數是負數的先確定符號.
(2)運算基本原則:①化負指數為正指數;②化根式為分數指數冪;③化小數為分數,化帶分數為假分數.
考點二指數函數的圖象及應用
[例1](1)函數f(x)= ()|x+1|的圖象大致為(　　)
(2)(多選題)(2023·福州調研)已知實數a,b滿足等式2 023a=2 024b,下列等式可以成立的是(　　)
A.a=b=0 B.aC.0(3)若函數y=|3x-1|在(-∞,k]上單調遞減,則實數k的取值范圍為　　　　.
解題技法
有關指數函數圖象問題的解題思路
(1)已知函數解析式判斷其圖象,一般是取特殊點,判斷選項中的圖象是否過這些點,若不滿足則排除;
(2)對于有關指數型函數的圖象問題,一般是從最基本的指數函數的圖象入手,通過平移、伸縮、對稱變換而得到.特別地,當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論;
(3)有關指數方程、不等式問題的求解,往往是利用相應的指數型函數圖象,數形結合求解;
(4)根據指數函數圖象判斷底數大小的問題,可以通過直線x=1與圖象的交點進行判斷.
對點訓練
1.(多選題)已知非零實數a,b滿足3a=2b,則下列不等關系中正確的是(　　)
A.aC.|a|<|b| D.若02.(2023·哈爾濱模擬)若存在正數x使ex(x+a)<1成立,則a的取值范圍是(　　)
A.(-∞,+∞) B.(-∞,1)
C. (-∞,-1) D.(-∞,-1)
3.若函數f(x)=|2x-2|-b有兩個零點,則實數b的取值范圍是　　　　　.
考點三指數函數的性質的應用
考情提示
指數函數的性質及應用是高考的命題熱點,多以選擇題或填空題的形式呈現,重點考查比較大小、解方程或不等式、求值域等問題,難度中檔或以下.
角度1　比較指數冪大小
[例2]已知a=0.30.6,b=0.30.5,c=0.40.5,則(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.c>b>a
角度2　解簡單的指數方程或不等式
[例3](1)若x滿足不等式≤()x-2,則函數y=2x的值域是(　　)
A. [,2) B. [,2]
C. (-∞,] D.[2,+∞)
(2)已知實數a≠1,函數f(x)=若f(1-a)=f(a-1),則a的值為　　　　.
角度3　指數函數性質的綜合應用
[例4](1)(多選題)(2023·廣州模擬)已知函數y=(),則下列說法正確的是(　　)
A.定義域為R
B.值域為(0,2]
C.在[-2,+∞)上單調遞增
D.在[-2,+∞)上單調遞減
(2)(多選題)(2023·杭州模擬)已知函數f(x)=,下列說法正確的有(　　)
A.f(x)的圖象關于原點對稱
B.f(x)的圖象關于y軸對稱
C.f(x)的值域為(-1,1)
D. x1,x2∈R,且x1≠x2,<0
解題技法
有關指數型函數性質的常考題型及求解策略
題型 求解策略
比較冪值的大小 (1)能化成同底數冪的先化成同底數冪再利用單調性比較大小 (2)不能化成同底數冪的,一般引入“1”等中間量比較大小
解簡單指數不等式 先利用冪的運算性質化為同底數冪,再利用單調性轉化為一般不等式求解
探究指數型函數的性質 與研究一般函數的定義域、單調性(區間)、奇偶性、最值(值域)等性質的方法一致
對點訓練
1.(2023·河南名校聯考)若a=21.9,b=21.5,c=31.9,則(　　)
A.c>a>b B.b>a>c
C.a>c>b D.a>b>c
2.(2023·青島模擬)已知y=4x-3·2x+3的值域為[1,7],則x的取值范圍可以是(　　)
A.[2,4] B.(-∞,0)
C.(0,1)∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2]
3.(多選題)已知函數f(x)=,則下列結論中正確的是(　　)
A.f(x)的定義域為R
B.f(x)是奇函數
C.f(x)在定義域上是減函數
D.f(x)無最小值,無最大值
4.已知函數f(x)=2|2x-m|(m為常數),若f(x)在區間[2,+∞)上是增函數,則m的取值范圍是　　　　. 第四節　指數與指數函數
【課標解讀】 【命題說明】
【課程標準】 1.了解指數冪的拓展過程,掌握指數冪的運算性質. 2.了解指數函數的實際意義,理解指數函數的概念. 3.會畫出具體指數函數的圖象,理解指數函數的單調性與特殊點. 【核心素養】 數學抽象、邏輯推理、數學運算. 考向 考法 高考命題以考查指數冪的運算性質、指數函數的單調性與特殊點、指數冪的大小比較為主,常以選擇題或填空題的形式出現.
預測 預計2025年高考中利用指數函數的性質比較大小、指數型函數圖象的識別與應用以及指數型函數單調性的應用是考查的熱點,題型為選擇題或填空題.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.指數與指數運算
(1)根式的性質
①()n=a(a使有意義);
②當n是奇數時,=a;當n是偶數時,=|a|=
(2)分數指數冪的意義
①=(a>0,m,n∈N*,且n>1);
②==(a>0,m,n∈N*,且n>1);
③0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義.
(3)有理數指數冪的運算性質:ar·as=ar+s,(ar)s=ars(其中a>0,r,s∈Q),(ab)r=arbr(其中a>0,b>0,r∈Q).
微點撥化簡時,一定要注意區分n是奇數還是偶數.
2.指數函數的圖象與性質
項目 01
圖象
性質 定義域:R
值域:(0,+∞)
過定點(0,1)
當x>0時,01 當x>0時,y>1; 當x<0時,0在R上是減函數 在R上是增函數
微點撥(1)畫指數函數y=ax(a>0,a≠1)的圖象,應抓住三個關鍵點(0,1),(1,a), (-1,).
(2)討論指數函數的性質時,要注意分底數a>1和0常用結論
1.畫指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的圖象,應抓住三個關鍵點:(1,a),(0,1), (-1,).
2.如圖是指數函數①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的圖象,底數a,b,c,d與1之間的大小關系為c>d>1>a>b>0.由此我們可得到以下規律:在第一象限內,指數函數y=ax(a>0,a≠1)的圖象越高,底數越大.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯
題號 1 2 3,4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)分數指數冪可以理解為個a相乘.(　×　)
(2)函數y=是指數函數.(　×　)
(3)若am0,且a≠1),則m(4)函數y=(a>1)的值域是[a,+∞).(　√　)
提示:
(1) 當<1時,不可以. ×
(2) 由于指數函數解析式為y=ax(a>0,且a≠1),故y=2x-1不是指數函數. ×
(3) m與n的大小關系與a的取值有關. ×
(4) 由于x2+1≥1,又a>1,所以≥a.故y=(a>1)的值域是[a,+∞). √
2.(人A必修第一冊P119T6·變形式)已知a=0.750.1,b=1.012.7,c=1.013.5,則(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
【解析】選C.因為函數y=1.01x在(-∞,+∞)上是增函數,且3.5>2.7,
故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1,即c>b>a.
3.(忽視函數的定義域)函數f(x)=的值域為　　　　　.
【解析】因為f(x)的定義域為{x|x≠1},所以≠0,故f(x)>0且f(x)≠1,即函數的值域為(0,1)∪(1,+∞).
答案:(0,1)∪(1,+∞)
4.(忽視底數的取值)若函數f(x)=ax在[-1,1]上的最大值為2,則a=　　　　.
【解析】若a>1,則f(x)max=f(1)=a=2;
若0答案:2或
【核心考點·分類突破】
考點一指數冪的運算
1.已知x<0,y<0,化簡:=(　　)
A.-x2y B.x2y
C.-3x2y D.3x2y
【解析】選A.由題意得==x2·|y|=-x2y.
2.已知3a+2b=1,則=　　　　.
【解析】因為3a+2b=1,所以a+b=,所以原式=====.
答案:
3.計算: (2)0.5-0.752+6-2×()=　　　　.
【解析】原式=[()2]-()2+×[()3]
=-()2+×()-2=-+×=1.
答案:1
4.已知x,y>0,化簡=　　　　.
【解析】原式==-10y.
答案:-10y
5.若+=3,則x2+x-2=　　　　.
【解析】由+=3,得x+x-1=7,再平方得x2+=47.
答案:47
解題技法
　指數冪的運算
(1)運算順序:有括號先算括號內的,無括號先進行指數的乘方、開方,再乘除后加減,底數是負數的先確定符號.
(2)運算基本原則:①化負指數為正指數;②化根式為分數指數冪;③化小數為分數,化帶分數為假分數.
考點二指數函數的圖象及應用
[例1](1)函數f(x)= ()|x+1|的圖象大致為(　　)
【解析】選B.作出函數y=()|x|的圖象,如圖所示,將y=()|x|的圖象向左平移1個單位得到f(x)= ()|x+1|的圖象.
(2)(多選題)(2023·福州調研)已知實數a,b滿足等式2 023a=2 024b,下列等式可以成立的是(　　)
A.a=b=0 B.aC.0【解析】選ABD.如圖,觀察易知,a(3)若函數y=|3x-1|在(-∞,k]上單調遞減,則實數k的取值范圍為　　　　.
【解析】函數y=|3x-1|的圖象是由函數y=3x的圖象向下平移一個單位長度后,再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的,函數圖象如圖所示.
由圖象知,其在(-∞,0]上單調遞減,所以實數k的取值范圍為(-∞,0].
答案:(-∞,0]
解題技法
有關指數函數圖象問題的解題思路
(1)已知函數解析式判斷其圖象,一般是取特殊點,判斷選項中的圖象是否過這些點,若不滿足則排除;
(2)對于有關指數型函數的圖象問題,一般是從最基本的指數函數的圖象入手,通過平移、伸縮、對稱變換而得到.特別地,當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論;
(3)有關指數方程、不等式問題的求解,往往是利用相應的指數型函數圖象,數形結合求解;
(4)根據指數函數圖象判斷底數大小的問題,可以通過直線x=1與圖象的交點進行判斷.
對點訓練
1.(多選題)已知非零實數a,b滿足3a=2b,則下列不等關系中正確的是(　　)
A.aC.|a|<|b| D.若0【解析】選BCD.如圖,
由指數函數的圖象可知,0所以A錯誤,B,C正確;
D選項中,0則有ab2.(2023·哈爾濱模擬)若存在正數x使ex(x+a)<1成立,則a的取值范圍是(　　)
A.(-∞,+∞) B.(-∞,1)
C. (-∞,-1) D.(-∞,-1)
【解析】選B.由題設知, x>0,使x+a令y=x+a,y1=e-x,所以當x>0時有y1=e-x∈(0,1),
而y=x+a∈(a,+∞),所以當a<1時, x>0,
使得ex(x+a)<1成立.
3.若函數f(x)=|2x-2|-b有兩個零點,則實數b的取值范圍是　　　　　.
【解析】在同一平面直角坐標系中畫出y=|2x-2|與y=b的圖象,如圖所示.
所以當0所以b的取值范圍是(0,2).
答案:(0,2)
考點三指數函數的性質的應用
考情提示
指數函數的性質及應用是高考的命題熱點,多以選擇題或填空題的形式呈現,重點考查比較大小、解方程或不等式、求值域等問題,難度中檔或以下.
角度1　比較指數冪大小
[例2]已知a=0.30.6,b=0.30.5,c=0.40.5,則(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.c>b>a
【解析】選D.方法一:由指數函數y=0.3x在定義域內單調遞減,得a由冪函數y=x0.5在定義域內單調遞增,得c>b.
方法二:因為=0.<1,
且=()0.5<1,
又a,b,c都為正數,所以c>b>a.
角度2　解簡單的指數方程或不等式
[例3](1)若x滿足不等式≤()x-2,則函數y=2x的值域是(　　)
A. [,2) B. [,2]
C. (-∞,] D.[2,+∞)
【解析】選B.將≤()x-2化為x2+1≤-2(x-2),即x2+2x-3≤0,解得x∈[-3,1],所以2-3≤2x≤21,所以函數y=2x的值域是[,2].
(2)已知實數a≠1,函數f(x)=若f(1-a)=f(a-1),則a的值為　　　　.
【解析】①當a<1時,由f(1-a)=f(a-1)得41-a=,即22-2a=2,所以2-2a=1,解得a=;
②當a>1時,由f(1-a)=f(a-1)得=4a-1,
即22a-1=22a-2,所以2a-1=2a-2,無解.
綜上可知,a=.
答案:
角度3　指數函數性質的綜合應用
[例4](1)(多選題)(2023·廣州模擬)已知函數y=(),則下列說法正確的是(　　)
A.定義域為R
B.值域為(0,2]
C.在[-2,+∞)上單調遞增
D.在[-2,+∞)上單調遞減
【解析】選ABD.函數y=()的定義域為R,A正確;
因為x2+4x+3=(x+2)2-1≥-1,
所以0<()≤2,
故函數y=()的值域為(0,2],B正確;
因為y=()u在R上是減函數,u=x2+4x+3在(-∞,-2]上是減函數,在[-2,+∞)上是增函數,
所以函數y=()在[-2,+∞)上單調遞減,C錯誤,D正確.
(2)(多選題)(2023·杭州模擬)已知函數f(x)=,下列說法正確的有(　　)
A.f(x)的圖象關于原點對稱
B.f(x)的圖象關于y軸對稱
C.f(x)的值域為(-1,1)
D. x1,x2∈R,且x1≠x2,<0
【解析】選AC.對于A,由f(-x)==-=-f(x),可得函數f(x)為奇函數,函數f(x)的圖象關于原點對稱,故選項A正確,選項B錯誤;
對于C,設y=,可得3x=,所以>0,即<0,解得-1對于D,對 x1,x2∈R,且x1≠x2,<0,可得函數f(x)為減函數,而f(x)==1-為增函數,所以D錯誤.
解題技法
有關指數型函數性質的常考題型及求解策略
題型 求解策略
比較冪值的大小 (1)能化成同底數冪的先化成同底數冪再利用單調性比較大小 (2)不能化成同底數冪的,一般引入“1”等中間量比較大小
解簡單指數不等式 先利用冪的運算性質化為同底數冪,再利用單調性轉化為一般不等式求解
探究指數型函數的性質 與研究一般函數的定義域、單調性(區間)、奇偶性、最值(值域)等性質的方法一致
對點訓練
1.(2023·河南名校聯考)若a=21.9,b=21.5,c=31.9,則(　　)
A.c>a>b B.b>a>c
C.a>c>b D.a>b>c
【解析】選A.因為指數函數y=2x在R上單調遞增,
且1.9>1.5,
所以21.9>21.5,即a>b.
因為冪函數y=x1.9在(0,+∞)上單調遞增,且3>2,
所以31.9>21.9,即c>a,所以c>a>b.
2.(2023·青島模擬)已知y=4x-3·2x+3的值域為[1,7],則x的取值范圍可以是(　　)
A.[2,4] B.(-∞,0)
C.(0,1)∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2]
【解析】選D.因為y=4x-3·2x+3的值域為[1,7],所以1≤4x-3·2x+3≤7.
所以0<2x≤1或2≤2x≤4.
所以x≤0或1≤x≤2.
3.(多選題)已知函數f(x)=,則下列結論中正確的是(　　)
A.f(x)的定義域為R
B.f(x)是奇函數
C.f(x)在定義域上是減函數
D.f(x)無最小值,無最大值
【解析】選BD.對于A,由ex-e-x≠0,解得x≠0,
故f(x)的定義域為{x|x≠0},故A錯誤;
對于B,函數f(x)的定義域關于原點對稱,
且f(-x)==-f(x),
故f(x)是奇函數,故B正確;
對于C,f(x)===1+,
故函數f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上分別單調遞減,
當x∈(-∞,0)時,f(x)<0,
當x∈(0,+∞)時,f(x)>0,
所以f(x)在定義域上不是減函數,故C錯誤;
對于D,由選項C的分析可知,函數f(x)的值域為(-∞,-1)∪(1,+∞),無最小值,無最大值,故D正確.
4.已知函數f(x)=2|2x-m|(m為常數),若f(x)在區間[2,+∞)上是增函數,則m的取值范圍是　　　　.
【解析】令t=|2x-m|,則t=|2x-m|在區間(,+∞)上單調遞增,在區間(-∞,]上單調遞減.
而y=2t為R上的增函數,
所以要使函數f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上單調遞增,則有≤2,即m≤4,
所以m的取值范圍是(-∞,4].
答案:(-∞,4]

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