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第五節　對數與對數函數
【課標解讀】 【命題說明】
【課程標準】 1.理解對數的概念及其運算性質,會用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數. 2.了解對數函數的概念.能畫出具體對數函數的圖象,了解對數函數的單調性與特殊點. 3.知道對數函數y=logax與指數函數y=ax(a>0,a≠1)互為反函數. 【核心素養】 數學抽象、邏輯推理、數學運算. 考向 考法 高考命題常以考查對數的運算性質為主,考查學生的運算能力;對數函數的單調性及應用是考查熱點,常以選擇題或填空題的形式出現.
預測 預計2025年高考會考查基本的對數運算、圖象與性質,另外對數運算還可能與其他知識綜合考查.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.對數的概念
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數x叫做以a為底N的對數,記作x=logaN,其中a叫做對數的底數,N叫做真數.
以10為底的對數叫做常用對數,記為lg N.
以e為底的對數叫做自然對數,記為ln N.
2.對數的性質與運算性質
(1)對數的性質:loga1=0,logaa=1,=N(a>0,且a≠1,N>0).
(2)對數的運算性質
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
①loga(MN)=logaM+logaN;
②loga=logaM-logaN;
③logaMn=nlogaM(n∈R).
(3)換底公式:logab=(a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1).
微點撥(1)換底公式的變形
①logab·logba=1,即logab=(a,b均大于0且不等于1).
②lobn=logab(a,b均大于0且不等于1,m≠0,n∈R).
③logNM==(a,b,N均大于0且不等于1,M>0).
(2)換底公式的推廣
logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d>0).
3.對數函數的圖象與性質
y=logax a>1 0圖象
定義域 (0,+∞)
值域 R
性質 過定點(1,0),即x=1時,y=0
當x>1時,y>0; 當01時,y<0; 當00
在(0,+∞)上是增函數 在(0,+∞)上是減函數
4.反函數
指數函數y=ax(a>0且a≠1)與對數函數y=logax(a>0且a≠1)互為反函數,它們的圖象關于直線y=x對稱.
常用結論
1.換底公式的兩個重要結論
(1)logab=(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1).
(2)lobn=logab(a>0,且a≠1;b>0;m,n∈R,且m≠0).
2.對數函數的圖象與底數大小的比較
如圖,
作直線y=1,則該直線與四個函數圖象交點的橫坐標為相應的底數.
故0由此我們可得到以下規律:在第一象限內從左到右底數逐漸增大.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)log2x2=2log2x.(　 　)
(2)若MN>0,則loga(MN)=logaM+logaN.(　 　)
(3)函數y=ln 與y=ln(1+x)-ln(1-x)的定義域相同.(　 　)
(4)當x>1時,若logax>logbx,則a2.(必修第一冊P126練習T1(2)改條件)計算:2lg-lg=(　　)
A.10 B.1 C.2 D.lg 5
3.(2022·浙江高考)已知2a=5,log83=b,則4a-3b=(　　)
A.25 B.5 C. D.
4.(忽視對數函數的單調性)函數y=logax(a>0,a≠1)在[2,4]上的最大值與最小值的差是1,則a的值為　　　　.
【核心考點·分類突破】
考點一對數的運算
1.(多選題)(2024·宜昌模擬)下列各式化簡運算結果為1的是(　　)
A.log53×log32×log25
B.lg +lg 5
C.loa2(a>0,且a≠1)
D.eln 3-0.12
2.計算:lg-lg+lg 7=　　　　.
3.計算:=　　　　.
4.若2a=3b=m,且+=2,則m=　　　　.
5.已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,則a=　　　　,b=　　　　.
6.葉廣泥是一種相對新興的物理吸附材料,是有多孔隙結構特點的除甲醛材料,它微小的孔隙能夠收納甲醛、甲苯等有害氣體分子,因此用來除甲醛基本上立竿見影.經研究發現,葉廣泥除甲醛的量Q與葉廣泥的質量m的關系是Q=2log2,當除甲醛的量為8個單位時,其質量m為　　　　個單位.
解題技法
解決對數運算問題的常用方法
(1)利用ab=N b=logaN(a>0,且a≠1)進行指數式與對數式互化,構造同底數的對數或指數式.
(2)將真數化為底數的指數冪的形式進行化簡.
(3)將同底對數的和、差、倍合并.
(4)利用換底公式將不同底的對數式轉化成同底的對數式,要注意換底公式的正用、逆用及變形應用.
(5)利用常用對數中的lg 2+lg 5=1進行化簡.
考點二對數函數的圖象及應用
[例1](1)函數f(x)=2log4(1-x)的大致圖象是(　　)
方法二(特值法):分別取x=及x=-1驗證即可.
(2) 易錯對對碰
①當x∈(0,]時,②當x∈(0,]時,方程=logax有解,則實數a的取值范圍為　　　　.
解題技法
對數函數圖象的識別及應用方法
(1)在識別函數圖象時,要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.
(2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題,利用數形結合法求解.
對點訓練
1.(2023·東城區質檢)函數y=logax與y=-x+a在同一平面直角坐標系中的圖象可能是(　　)
2.已知函數f(x)=|log2x|,實數a,b滿足0考點三對數函數的性質及應用
考情提示
對數函數的性質及應用是高考命題的熱點,多以選擇題或填空題的形式呈現,重點考查比較大小、解不等式等問題,難度中檔.
角度1　比較大小
[例2](1)設a=20.1,b=ln ,c=log3,則a,b,c的大小關系是(　　)
A.b>c>a B.a>c>b
C.b>a>c D.a>b>c
(2)設a,b,c均為正數,且2a=loa,=b,=log2c,則(　　)
A.aC.c角度2　解對數不等式
[例3]設函數f(x)=若f(a)>f(-a),則實數a的取值范圍是(　　)
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
角度3　對數函數性質的綜合應用
[例4](1)(2023·鄭州模擬)設函數f(x)=ln |x+3|+ln |x-3|,則f(x)(　　)
A.是偶函數,且在(-∞,-3)上單調遞減
B.是奇函數,且在(-3,3)上單調遞減
C.是奇函數,且在(3,+∞)上單調遞增
D.是偶函數,且在(-3,3)上單調遞增
(2)(2023·武漢模擬)函數f(x)=loga(3-2ax)在區間[1,2]上單調遞增,則實數a的取值范圍為(　　)
A.(0,1) B. (,1)
C. (0,) D.(1,+∞)
(3)(2023·惠州模擬)若函數f(x)=loga(x2-ax+)(a>0,且a≠1)有最小值,則實數a的取值范圍是　　　　.
解題技法
1.比較對數大小的類型及相應方法
2.求解對數不等式的兩種類型及方法
類型 方法
logax>logab 借助y=logax的單調性求解,如果a的取值不確定,那么需分a>1與0logax>b 需先將b化為以a為底的對數式的形式,再借助y=logax的單調性求解
3.在判斷對數型復合函數的單調性時,一定要明確底數a對單調性的影響,以及真數必須為正數的限制條件.
對點訓練
1.(2021·天津高考)設a=log20.3,b=lo0.4,c=0.40.3,則a,b,c的大小關系為(　　)
A.aC.b2.設函數f(x)=則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是　　　　　　.
3.已知函數f(x)=loga(8-ax)(a>0,且a≠1),若f(x)>1在區間[1,2]上恒成立,則實數a的取值范圍是　　　　. 第五節　對數與對數函數
【課標解讀】 【命題說明】
【課程標準】 1.理解對數的概念及其運算性質,會用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數. 2.了解對數函數的概念.能畫出具體對數函數的圖象,了解對數函數的單調性與特殊點. 3.知道對數函數y=logax與指數函數y=ax(a>0,a≠1)互為反函數. 【核心素養】 數學抽象、邏輯推理、數學運算. 考向 考法 高考命題常以考查對數的運算性質為主,考查學生的運算能力;對數函數的單調性及應用是考查熱點,常以選擇題或填空題的形式出現.
預測 預計2025年高考會考查基本的對數運算、圖象與性質,另外對數運算還可能與其他知識綜合考查.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.對數的概念
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數x叫做以a為底N的對數,記作x=logaN,其中a叫做對數的底數,N叫做真數.
以10為底的對數叫做常用對數,記為lg N.
以e為底的對數叫做自然對數,記為ln N.
2.對數的性質與運算性質
(1)對數的性質:loga1=0,logaa=1,=N(a>0,且a≠1,N>0).
(2)對數的運算性質
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
①loga(MN)=logaM+logaN;
②loga=logaM-logaN;
③logaMn=nlogaM(n∈R).
(3)換底公式:logab=(a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1).
微點撥(1)換底公式的變形
①logab·logba=1,即logab=(a,b均大于0且不等于1).
②lobn=logab(a,b均大于0且不等于1,m≠0,n∈R).
③logNM==(a,b,N均大于0且不等于1,M>0).
(2)換底公式的推廣
logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d>0).
3.對數函數的圖象與性質
y=logax a>1 0圖象
定義域 (0,+∞)
值域 R
性質 過定點(1,0),即x=1時,y=0
當x>1時,y>0; 當01時,y<0; 當00
在(0,+∞)上是增函數 在(0,+∞)上是減函數
4.反函數
指數函數y=ax(a>0且a≠1)與對數函數y=logax(a>0且a≠1)互為反函數,它們的圖象關于直線y=x對稱.
常用結論
1.換底公式的兩個重要結論
(1)logab=(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1).
(2)lobn=logab(a>0,且a≠1;b>0;m,n∈R,且m≠0).
2.對數函數的圖象與底數大小的比較
如圖,
作直線y=1,則該直線與四個函數圖象交點的橫坐標為相應的底數.
故0由此我們可得到以下規律:在第一象限內從左到右底數逐漸增大.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)log2x2=2log2x.(　×　)
(2)若MN>0,則loga(MN)=logaM+logaN.(　×　)
(3)函數y=ln 與y=ln(1+x)-ln(1-x)的定義域相同.(　√　)
(4)當x>1時,若logax>logbx,則a提示:
(1) log2x2=2log2|x|. ×
(2) 當M<0,N<0時,雖然MN>0,但loga(MN)=logaM+logaN不成立. ×
(4) 若01時,logax>logbx. ×
2.(必修第一冊P126練習T1(2)改條件)計算:2lg-lg=(　　)
A.10 B.1 C.2 D.lg 5
【解析】選B.原式=lg+lg=lg 5+lg 2=lg 10=1.
3.(2022·浙江高考)已知2a=5,log83=b,則4a-3b=(　　)
A.25 B.5 C. D.
【解析】選C.由2a=5兩邊取以2為底的對數,得a=log25.又b=log83==log23,所以a-3b=log25-log23=log2==2log4=log4,所以4a-3b==.
4.(忽視對數函數的單調性)函數y=logax(a>0,a≠1)在[2,4]上的最大值與最小值的差是1,則a的值為　　　　.
【解析】當a>1時,依題意得loga4-loga2=1,
解得a=2;當0答案:2或
【核心考點·分類突破】
考點一對數的運算
1.(多選題)(2024·宜昌模擬)下列各式化簡運算結果為1的是(　　)
A.log53×log32×log25
B.lg +lg 5
C.loa2(a>0,且a≠1)
D.eln 3-0.12
【解析】選AD.對于A,原式=××=1;對于B,原式=lg 2+lg 5=lg(2×5)=;對于C,原式=2loa=2×2=4;對于D,原式=3-=3-2=1.
2.計算:lg-lg+lg 7=　　　　.
【解析】原式=lg 4+lg 2-lg 7-lg 8+lg 7+lg 5=2lg 2+(lg 2+lg 5)-2lg 2=.
答案:
3.計算:=　　　　.
【解析】原式=
=
==
==1.
答案:1
4.若2a=3b=m,且+=2,則m=　　　　.
【解析】因為2a=3b=m,所以a=log2m,b=log3m,m>0,又+=2,
所以+=+=logm2+logm3=logm(2×3)=2,所以m2=6,所以m=.
答案:
5.已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,則a=　　　　,b=　　　　.
【解析】設logba=t,則t>1,因為t+=,
所以t=2,則a=b2.又ab=ba,
所以b2b=,即2b=b2,
又a>b>1,解得b=2,a=4.
答案:4　2
6.葉廣泥是一種相對新興的物理吸附材料,是有多孔隙結構特點的除甲醛材料,它微小的孔隙能夠收納甲醛、甲苯等有害氣體分子,因此用來除甲醛基本上立竿見影.經研究發現,葉廣泥除甲醛的量Q與葉廣泥的質量m的關系是Q=2log2,當除甲醛的量為8個單位時,其質量m為　　　　個單位.
【解析】由題意得8=2log2,所以log2=4,即24=,所以m=24×10=160.
答案:160
解題技法
解決對數運算問題的常用方法
(1)利用ab=N b=logaN(a>0,且a≠1)進行指數式與對數式互化,構造同底數的對數或指數式.
(2)將真數化為底數的指數冪的形式進行化簡.
(3)將同底對數的和、差、倍合并.
(4)利用換底公式將不同底的對數式轉化成同底的對數式,要注意換底公式的正用、逆用及變形應用.
(5)利用常用對數中的lg 2+lg 5=1進行化簡.
考點二對數函數的圖象及應用
[例1](1)函數f(x)=2log4(1-x)的大致圖象是(　　)
【解析】選C.方法一:函數f(x)=2log4(1-x)的定義域為(-∞,1),排除A,B;函數f(x)=2log4(1-x)在定義域上單調遞減,排除D.
方法二(特值法):分別取x=及x=-1驗證即可.
(2)金榜原創·易錯對對碰
①當x∈(0,]時,②當x∈(0,]時,方程=logax有解,則實數a的取值范圍為　　　　.
【解析】①若則所以解得即實數a的取值范圍是(,1).
答案: (,1)
②構造函數f(x)=和g(x)=logax,
當a>1時,不滿足條件;
當0則f()≥g(),即≥loga,得a≤,
所以a的取值范圍為(0,].
答案: (0,]
解題技法
對數函數圖象的識別及應用方法
(1)在識別函數圖象時,要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.
(2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題,利用數形結合法求解.
對點訓練
1.(2023·東城區質檢)函數y=logax與y=-x+a在同一平面直角坐標系中的圖象可能是(　　)
【解析】選A.當a>1時,函數y=logax的圖象為選項B,D中過點(1,0)的曲線,此時函數y=-x+a的圖象與y軸的交點的縱坐標a應滿足a>1,選項B,D中的圖象都不符合要求;
當02.已知函數f(x)=|log2x|,實數a,b滿足0【解析】因為f(x)=|log2x|,
所以f(x)的圖象如圖所示,
又f(a)=f(b)且0所以01且ab=1,
所以a2=-2log2a=2,
所以a=,所以b=2,所以+b=4.
答案:4
考點三對數函數的性質及應用
考情提示
對數函數的性質及應用是高考命題的熱點,多以選擇題或填空題的形式呈現,重點考查比較大小、解不等式等問題,難度中檔.
角度1　比較大小
[例2](1)設a=20.1,b=ln ,c=log3,則a,b,c的大小關系是(　　)
A.b>c>a B.a>c>b
C.b>a>c D.a>b>c
【解析】選D.因為a=20.1>20=1,0=ln 1b>c.
(2)設a,b,c均為正數,且2a=loa,=b,=log2c,則(　　)
A.aC.c【解析】選A.因為a,b,c均為正數,將a,b,c分別看成是函數圖象的交點的橫坐標.在同一平面直角坐標系內分別畫出y=2x,y=,y=log2x,y=lox的圖象如圖.
由圖可知a角度2　解對數不等式
[例3]設函數f(x)=若f(a)>f(-a),則實數a的取值范圍是(　　)
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
【解析】選C.由題意可得
或解得a>1或-1角度3　對數函數性質的綜合應用
[例4](1)(2023·鄭州模擬)設函數f(x)=ln |x+3|+ln |x-3|,則f(x)(　　)
A.是偶函數,且在(-∞,-3)上單調遞減
B.是奇函數,且在(-3,3)上單調遞減
C.是奇函數,且在(3,+∞)上單調遞增
D.是偶函數,且在(-3,3)上單調遞增
【解析】選A.函數f(x)的定義域為{x|x≠±3},
f(x)=ln |x+3|+ln |x-3|=ln |x2-9|,
令g(x)=|x2-9|,
則f(x)=ln g(x),
函數g(x)的單調區間由圖象(圖略)可知,
當x∈(-∞,-3),x∈(0,3)時,g(x)單調遞減,
當x∈(-3,0),x∈(3,+∞)時,g(x)單調遞增,
由復合函數單調性同增異減得單調區間.
由f(-x)=ln |(-x)2-9|=ln |x2-9|=f(x)得f(x)為偶函數.
(2)(2023·武漢模擬)函數f(x)=loga(3-2ax)在區間[1,2]上單調遞增,則實數a的取值范圍為(　　)
A.(0,1) B. (,1)
C. (0,) D.(1,+∞)
【解析】選C.設u(x)=3-2ax(a>0且a≠1),
則u(x)是減函數,要使得函數f(x)=loga(3-2ax)在[1,2]上單調遞增,只需y=logau為減函數,且滿足u(x)=3-2ax>0在x∈[1,2]上恒成立,所以解得0(3)(2023·惠州模擬)若函數f(x)=loga(x2-ax+)(a>0,且a≠1)有最小值,則實數a的取值范圍是　　　　.
【解析】令u(x)=x2-ax+=(x-)2+-,則u(x)有最小值-,
欲使函數f(x)=loga(x2-ax+)有最小值,
則有
解得1答案:(1,)
解題技法
1.比較對數大小的類型及相應方法
2.求解對數不等式的兩種類型及方法
類型 方法
logax>logab 借助y=logax的單調性求解,如果a的取值不確定,那么需分a>1與0logax>b 需先將b化為以a為底的對數式的形式,再借助y=logax的單調性求解
3.在判斷對數型復合函數的單調性時,一定要明確底數a對單調性的影響,以及真數必須為正數的限制條件.
對點訓練
1.(2021·天津高考)設a=log20.3,b=lo0.4,c=0.40.3,則a,b,c的大小關系為(　　)
A.aC.b【解析】選D.因為log20.3因為lo0.4=-log20.4=log2>log22=1,所以b>1.
因為0<0.40.3<0.40=1,所以0所以a2.設函數f(x)=則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是　　　　　　.
【解析】當x≤1時,由21-x≤2得1-x≤1,所以0≤x≤1;當x>1時,由1-log2x≤2得x≥,所以x>1.綜上,x的取值范圍為[0,+∞).
答案:[0,+∞)
3.已知函數f(x)=loga(8-ax)(a>0,且a≠1),若f(x)>1在區間[1,2]上恒成立,則實數a的取值范圍是　　　　.
【解析】當a>1時,f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是減函數,
由f(x)>1在區間[1,2]上恒成立,得f(x)min=loga(8-2a)>1,解得1當0由f(x)>1在區間[1,2]上恒成立,
得f(x)min=loga(8-a)>1,得8-2a<0,a>4,
故a不存在.
綜上可知,實數a的取值范圍是(1,).
答案: (1,)

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