資源簡介

第六節　二項分布與超幾何分布
【課標解讀】
【課程標準】
1.理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布.
2.理解兩點分布和超幾何分布的意義,并能進行簡單的應用.
【核心素養】
數據分析、數學運算、邏輯推理.
【命題說明】
考向 考法 二項分布、超幾何分布是高考命題的熱點.常以真實社會背景為命題情境,主要考查學生應用相關公式求解實際問題的能力.試題以選擇題、填空題、解答題形式呈現.
預測 預計2025年高考二項分布、超幾何分布仍會出題,且與現實生活聯系密切,注意數學建模的訓練.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
一、二項分布
1.伯努利試驗
只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗;將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.
2.二項分布
一般地,在n重伯努利試驗中,設每次試驗中事件A發生的概率為p(0如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機變量X服從二項分布,記作X~B(n,p).
微思考二項分布列公式與二項式定理通項公式是完全一樣的
提示:二者是不同的,二項分布列公式有它的實際意義,且兩者形式也是有區別的.
3.兩點分布與二項分布的均值、方差
(1)若隨機變量X服從兩點分布,則E(X)=p,
D(X)=p(1-p).
(2)若X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p).
二、超幾何分布
　一般地,假設一批產品共有N件,其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產品中的次品數,則X的分布列為
P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r,其中,n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機變量X服從超幾何分布.
微點撥
超幾何分布與二項分布的關系
若將超幾何分布的概率模型改成:若有N件產品,其中M件是次品,有放回地任意抽取n件,則其中恰有的次品件數X是服從二項分布的.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯
題號 1 2 3,4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)從4名男演員和3名女演員中選出4人,其中女演員的人數X服從超幾何分布.(　　)
(2)n重伯努利試驗中各次試驗的結果必須相互獨立.(　　)
(3)若X表示n次重復拋擲1枚骰子出現點數是3的倍數的次數,則X服從二項分布.(　　)
(4)二項分布是一個概率分布,其公式相當于(a+b)n二項展開式的通項公式,其中a=p,b=1-p.(　　)
2.(選擇性必修第三冊P77練習T2變條件、變設問)雞接種一種疫苗后,有90%不會感染某種病毒,如果有5只雞接種了疫苗,則恰好有4只雞沒有感染病毒的概率約為(　　)
A.0.33 B.0.66 C.0.5 D.0.45
3.(“至少”問題理解錯誤)投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立,則該同學通過測試的概率為(　　)
A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312
4.(二項分布應用不準致誤)在一次招聘中,主考官要求應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題,并獨立完成所抽取的3道題,乙能正確完成每道題的概率為,且每道題完成與否互不影響,記乙能答對題數為Y,則Y的數學期望為________.
【核心考點·分類突破】
考點一n重伯努利試驗及其概率
[例1](1)(2023·太原質檢)機械研究所對新研發的某批次機械元件進行壽命追蹤調查,隨機抽查的200個機械元件情況如表:
使用時 間/天 10~20 21~30 31~40 41~50 51~60
個數 10 40 80 50 20
若以頻率估計概率,現從該批次機械元件中隨機抽取3個,則至少有2個元件的使用壽命在30天以上的概率為(　　)
A. B. C. D.
(2)若某射手每次射擊擊中目標的概率均為,每次射擊的結果相互獨立,則在他連續4次射擊中,恰好有兩次擊中目標的概率為(　　)
A. B. C. D.
(3)一袋中裝有5個白球,3個紅球,則從袋中往外取球,每次取出一個,記下球的顏色,然后放回,直到紅球出現10次停止,用X表示取球的次數,則P(X=12)=____________(填表達式).
解題技法
n重伯努利試驗概率求解的策略
(1)先判斷問題中涉及的試驗是否為n重伯努利試驗,判斷時注意各次試驗之間是否相互獨立,并且每次試驗的結果是否只有兩種,在任何一次試驗中,某一事件發生的概率是否都相等,全部滿足n重伯努利試驗的要求才能用相關公式求解.
(2)解此類題時常用互斥事件概率加法公式,相互獨立事件概率乘法公式及對立事件的概率公式.
對點訓練
1.(2024·北海模擬)端午佳節,小明和小華各自帶了一只肉粽子和一只蜜棗粽子.現在兩人每次隨機交換一只粽子給對方,則兩次交換后,小明擁有兩只蜜棗粽子的概率為(　　)
A. B. C. D.
2.(2023·保定模擬)甲、乙兩人各進行3次射擊,甲每次擊中目標的概率為,乙每次擊中目標的概率為,他們每次射擊是否擊中目標互不影響,則甲恰好比乙多擊中目標1次的概率為______.
【加練備選】
　　 (2023·衡水模擬)一個口袋內有n個大小相同的球,其中3個紅球和個白球,已知從口袋中隨機取出1個球是紅球的概率為p,6p∈N,若有放回地從口袋中連續4次取球(每次只取1個球),在4次取球中恰好2次取到紅球的概率大于,則n=____________.
考點二二項分布
[例2](1)(2024·上海模擬)設X服從二項分布B(10,),則E(X)=________.
(2)(2023·武漢重點中學聯考)在一次國際大型體育運動會上,某運動員報名參加了其中3個項目的比賽.已知該運動員在這3個項目中,每個項目能打破世界紀錄的概率都是,那么在本次運動會上:
①求該運動員至少能打破2項世界紀錄的概率;
②若該運動員能打破世界紀錄的項目數為X,求X的分布列及均值.
解題技法
　判斷某隨機變量是否服從二項分布的關鍵點
(1)在每一次試驗中,事件發生的概率相同.
(2)各次試驗中的事件是相互獨立的.
(3)在每一次試驗中,試驗的結果只有兩個,即發生與不發生.
對點訓練
1.(2024·北京模擬)隨機變量ξ服從二項分布ξ~B(n,p),且E(ξ)=300,D(ξ)=200,則n等于________.
2.(2023·海南模擬)青花釉里紅,是我國珍貴的品種之一.釉里紅的燒制工藝難度較大,因此燒制成功率較低.假設釉里紅瓷器開窯后經檢驗分為成品和廢品兩類,從某工匠燒制的一批釉里紅瓷器中,有放回地抽取兩次,每次隨機抽取1件,取出的2件瓷器中至多有1件是成品的概率為.記從該批瓷器中任取1件是成品的概率為p.
(1)求p的值;
(2)假設該工匠燒制的任意1件這種瓷器是成品的概率均為p,且每件瓷器的燒制相互獨立,這種瓷器成品每件利潤為10萬元,廢品的利潤為0元.現他燒制3件這種瓷器,設這3件瓷器的總利潤為X萬元,求X的分布列及數學期望.
【加練備選】
　　 (2023·福州聯考)福州紙傘是歷史悠久的中國傳統手工藝品,屬于福州三寶之一,紙傘的制作工序大致分為三步:第一步削傘架,第二步裱傘面,第三步繪花刷油.一個優秀的作品除了需要有很好的素材外,更要有制作上的技術要求,已知某工藝師在每個環節制作合格的概率分別為,,,只有當每個環節制作都合格才認為是一次優秀制作.
(1)求該工藝師進行3次制作,恰有一件優秀作品的概率;
(2)若該工藝師制作4次,其中優秀作品數為X,求X的概率分布列及期望.
考點三超幾何分布
[例3](2023·天津模擬)某大學生志愿者協會有6名男同學,4名女同學.在這10名同學中,3名同學來自數學學院,其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院.現從這10名同學中隨機選取3名同學到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同).
(1)求選出的3名同學是來自互不相同的學院的概率;
(2)設X為選出的3名同學中女同學的人數,求隨機變量X的分布列及期望.
解題技法
1.超幾何分布的兩個特點
(1)超幾何分布是不放回抽樣問題.
(2)隨機變量為抽到的某類個體的個數.
2.超幾何分布的概率計算公式
從古典概型的角度加以理解更容易記憶:P(X=k)=(k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,N,
M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}),即恰取了k件次品的概率P=.
3.超幾何分布的應用
超幾何分布是一個重要分布,其理論基礎是古典概型,主要應用于正品與次品,白球與黑球,男生與女生等實踐中的由差別明顯的兩部分組成的問題.
對點訓練
(多選題)某單位推出了10道有關二十大的測試題供學習者學習和測試,乙能答對其中的6道題,規定每次測試都是從這10道題中隨機抽出4道,答對一題加10分,答錯一題或不答減5分,最終得分最低為0分,則下列說法正確的是(　　)
A.乙得40分的概率是
B.乙得25分的概率是
C.乙得10分的概率是
D.乙得0分的概率是
【加練備選】
　　 為推動乒乓球運動的發展,某乒乓球比賽允許不同協會的運動員組隊參加.現有來自甲協會的運動員3名,其中種子選手2名;乙協會的運動員5名,其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.
(1)設A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來自同一個協會”,求事件A發生的概率;
(2)設X為選出的4人中種子選手的人數,求隨機變量X的分布列,并求E(X).第六節　二項分布與超幾何分布
【課標解讀】
【課程標準】
1.理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布.
2.理解兩點分布和超幾何分布的意義,并能進行簡單的應用.
【核心素養】
數據分析、數學運算、邏輯推理.
【命題說明】
考向 考法 二項分布、超幾何分布是高考命題的熱點.常以真實社會背景為命題情境,主要考查學生應用相關公式求解實際問題的能力.試題以選擇題、填空題、解答題形式呈現.
預測 預計2025年高考二項分布、超幾何分布仍會出題,且與現實生活聯系密切,注意數學建模的訓練.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
一、二項分布
1.伯努利試驗
只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗;將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.
2.二項分布
一般地,在n重伯努利試驗中,設每次試驗中事件A發生的概率為p(0如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機變量X服從二項分布,記作X~B(n,p).
微思考二項分布列公式與二項式定理通項公式是完全一樣的
提示:二者是不同的,二項分布列公式有它的實際意義,且兩者形式也是有區別的.
3.兩點分布與二項分布的均值、方差
(1)若隨機變量X服從兩點分布,則E(X)=p,
D(X)=p(1-p).
(2)若X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p).
二、超幾何分布
　一般地,假設一批產品共有N件,其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產品中的次品數,則X的分布列為
P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r,其中,n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機變量X服從超幾何分布.
微點撥
超幾何分布與二項分布的關系
若將超幾何分布的概率模型改成:若有N件產品,其中M件是次品,有放回地任意抽取n件,則其中恰有的次品件數X是服從二項分布的.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯
題號 1 2 3,4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)從4名男演員和3名女演員中選出4人,其中女演員的人數X服從超幾何分布.(　 √　)
(2)n重伯努利試驗中各次試驗的結果必須相互獨立.(　 √　)
(3)若X表示n次重復拋擲1枚骰子出現點數是3的倍數的次數,則X服從二項分布.(　 √　)
(4)二項分布是一個概率分布,其公式相當于(a+b)n二項展開式的通項公式,其中a=p,b=1-p.(　 ×　)
2.(選擇性必修第三冊P77練習T2變條件、變設問)雞接種一種疫苗后,有90%不會感染某種病毒,如果有5只雞接種了疫苗,則恰好有4只雞沒有感染病毒的概率約為(　　)
A.0.33 B.0.66 C.0.5 D.0.45
【解析】選A.設5只接種疫苗的雞中沒有感染病毒的只數為X,則X~B,
所以P=×0.94×0.1≈0.33.
3.(“至少”問題理解錯誤)投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立,則該同學通過測試的概率為(　　)
A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312
【解析】選A.3次投籃投中2次的概率為P(k=2)=×0.62×(1-0.6),投中3次的概率為P(k=3)=0.63,所以通過測試的概率為P(k=2)+P(k=3)=×0.62×(1-0.6)+0.63=0.648.
4.(二項分布應用不準致誤)在一次招聘中,主考官要求應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題,并獨立完成所抽取的3道題,乙能正確完成每道題的概率為,且每道題完成與否互不影響,記乙能答對題數為Y,則Y的數學期望為________.
【解析】由題意Y~B(3,),所以E(Y)=3×=2.
答案:2
【核心考點·分類突破】
考點一n重伯努利試驗及其概率
[例1](1)(2023·太原質檢)機械研究所對新研發的某批次機械元件進行壽命追蹤調查,隨機抽查的200個機械元件情況如表:
使用時 間/天 10~20 21~30 31~40 41~50 51~60
個數 10 40 80 50 20
若以頻率估計概率,現從該批次機械元件中隨機抽取3個,則至少有2個元件的使用壽命在30天以上的概率為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選D.由題意可知,該批次每個機械元件使用壽命在30天以上的概率為,因此,從該批次機械元件中隨機抽取3個,至少有2個元件的使用壽命在30天以上的概率為P=×()2×+×()3=.
(2)若某射手每次射擊擊中目標的概率均為,每次射擊的結果相互獨立,則在他連續4次射擊中,恰好有兩次擊中目標的概率為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選B.在某射手連續4次射擊中,恰好有兩次擊中目標的概率為=.
(3)一袋中裝有5個白球,3個紅球,則從袋中往外取球,每次取出一個,記下球的顏色,然后放回,直到紅球出現10次停止,用X表示取球的次數,則P(X=12)=____________(填表達式).
【解析】一次取球取到紅球的概率為,取到白球的概率為,前11次取球是11次獨立重復試驗,“取到紅球”的事件發生9次,其概率是×()9×()2.第12次取到紅球的概率是,由相互獨立事件同時發生的概率乘法公式,得P(X=12)=×()9×()2×=×()2×()10.
答案:×()2×()10
解題技法
n重伯努利試驗概率求解的策略
(1)先判斷問題中涉及的試驗是否為n重伯努利試驗,判斷時注意各次試驗之間是否相互獨立,并且每次試驗的結果是否只有兩種,在任何一次試驗中,某一事件發生的概率是否都相等,全部滿足n重伯努利試驗的要求才能用相關公式求解.
(2)解此類題時常用互斥事件概率加法公式,相互獨立事件概率乘法公式及對立事件的概率公式.
對點訓練
1.(2024·北海模擬)端午佳節,小明和小華各自帶了一只肉粽子和一只蜜棗粽子.現在兩人每次隨機交換一只粽子給對方,則兩次交換后,小明擁有兩只蜜棗粽子的概率為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選D.由題意,只能第一次兩人交換相同的粽子,第二次小明用肉粽子換小華的蜜棗粽子,所以P=··=.
2.(2023·保定模擬)甲、乙兩人各進行3次射擊,甲每次擊中目標的概率為,乙每次擊中目標的概率為,他們每次射擊是否擊中目標互不影響,則甲恰好比乙多擊中目標1次的概率為______.
【解析】事件“甲恰好比乙多擊中目標1次”分為“甲擊中1次乙擊中0次”“甲擊中2次乙擊中1次”“甲擊中3次乙擊中2次”三種情形,其概率P=×
×()2××()3+×()2××××()2+×()3××()2×=.
答案:
【加練備選】
　　 (2023·衡水模擬)一個口袋內有n個大小相同的球,其中3個紅球和個白球,已知從口袋中隨機取出1個球是紅球的概率為p,6p∈N,若有放回地從口袋中連續4次取球(每次只取1個球),在4次取球中恰好2次取到紅球的概率大于,則n=____________.
【解析】因為4次取球中恰好2次取到紅球的概率大于,所以p2>,
所以p2>,
因為p>0,所以p>,
所以又因為6p∈N,所以6p=3,所以p=.
又因為從口袋中隨機取出1個球是紅球的概率為p=,所以=,
解得n=6.
答案:6
考點二二項分布
[例2](1)(2024·上海模擬)設X服從二項分布B(10,),則E(X)=________.
【解析】因為X服從二項分布B(10,),
所以E(X)=10×=.
答案:
(2)(2023·武漢重點中學聯考)在一次國際大型體育運動會上,某運動員報名參加了其中3個項目的比賽.已知該運動員在這3個項目中,每個項目能打破世界紀錄的概率都是,那么在本次運動會上:
①求該運動員至少能打破2項世界紀錄的概率;
②若該運動員能打破世界紀錄的項目數為X,求X的分布列及均值.
【解析】①依題意知,該運動員在每個項目上“能打破世界紀錄”為獨立事件,并且每個事件發生的概率相同.設“該運動員至少能打破2項世界紀錄”為事件A,則有
P(A)=()2(1-)+()3=.
②由①可知X~B(3,),則P(X=0)=(1-)3=,
P(X=1)=··(1-)2=,
P(X=2)=·()2·(1-)=,
P(X=3)=·()3=,所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以均值E(X)=0×+1×+2×+3×=2.
解題技法
　判斷某隨機變量是否服從二項分布的關鍵點
(1)在每一次試驗中,事件發生的概率相同.
(2)各次試驗中的事件是相互獨立的.
(3)在每一次試驗中,試驗的結果只有兩個,即發生與不發生.
對點訓練
1.(2024·北京模擬)隨機變量ξ服從二項分布ξ~B(n,p),且E(ξ)=300,D(ξ)=200,則n等于________.
【解析】由題意可得,解得.
答案:900
2.(2023·海南模擬)青花釉里紅,是我國珍貴的品種之一.釉里紅的燒制工藝難度較大,因此燒制成功率較低.假設釉里紅瓷器開窯后經檢驗分為成品和廢品兩類,從某工匠燒制的一批釉里紅瓷器中,有放回地抽取兩次,每次隨機抽取1件,取出的2件瓷器中至多有1件是成品的概率為.記從該批瓷器中任取1件是成品的概率為p.
(1)求p的值;
【解析】(1)設A表示事件“取出的2件瓷器中至多有1件是成品”,A1表示事件“取出的2件瓷器中無成品”,A2表示事件“取出的2件瓷器中恰有1件是成品”,則P(A)=P(A1)+P(A2)=(1-p)2+p(1-p)=1-p2=,解得p=.
(2)假設該工匠燒制的任意1件這種瓷器是成品的概率均為p,且每件瓷器的燒制相互獨立,這種瓷器成品每件利潤為10萬元,廢品的利潤為0元.現他燒制3件這種瓷器,設這3件瓷器的總利潤為X萬元,求X的分布列及數學期望.
【解析】(2)設這3件瓷器中成品的件數為Y.由題可知Y~B(3,).因為X=10Y,
所以P(X=0)=P(Y=0)=()0()3=,
P(X=10)=P(Y=1)=()1()2=,
P(X=20)=P(Y=2)=()2()1=,P(X=30)=P(Y=3)=()3()0=,
所以X的分布列為
X 0 10 20 30
P
所以E(X)=0×+10×+20×+30×=3.
【加練備選】
　　 (2023·福州聯考)福州紙傘是歷史悠久的中國傳統手工藝品,屬于福州三寶之一,紙傘的制作工序大致分為三步:第一步削傘架,第二步裱傘面,第三步繪花刷油.一個優秀的作品除了需要有很好的素材外,更要有制作上的技術要求,已知某工藝師在每個環節制作合格的概率分別為,,,只有當每個環節制作都合格才認為是一次優秀制作.
(1)求該工藝師進行3次制作,恰有一件優秀作品的概率;
【解析】(1)由題意可知,制作一件優秀作品的概率為××=,
所以該工藝師進行3次制作,恰有一件優秀作品的概率P=()()2=.
(2)若該工藝師制作4次,其中優秀作品數為X,求X的概率分布列及期望.
【解析】(2)該工藝師制作4次,其中優秀作品數為X,X的所有可能取值為0,1,2,3,4,
由題意可知,X~B(4,),
P(X=0)=()4=,
P(X=1)=()()3=,
P(X=2)=()2()2=,
P(X=3)=()3()=,
P(X=4)=()4=,
故X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
E(X)=4×=.
考點三超幾何分布
[例3](2023·天津模擬)某大學生志愿者協會有6名男同學,4名女同學.在這10名同學中,3名同學來自數學學院,其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院.現從這10名同學中隨機選取3名同學到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同).
(1)求選出的3名同學是來自互不相同的學院的概率;
【解析】(1)從這10名同學中隨機選取3名同學到希望小學進行支教,基本事件總數n=,
設“選出的3名同學是來自互不相同的學院”為事件A,事件A包含的基本事件個數m=+,
則選出的3名同學是來自互不相同的學院的概率為P(A)==.
(2)設X為選出的3名同學中女同學的人數,求隨機變量X的分布列及期望.
【解析】(2)隨機變量X的所有可能值為0,1,2,3,
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
所以隨機變量X的分布列為
X 0 1 2 3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×=.
解題技法
1.超幾何分布的兩個特點
(1)超幾何分布是不放回抽樣問題.
(2)隨機變量為抽到的某類個體的個數.
2.超幾何分布的概率計算公式
從古典概型的角度加以理解更容易記憶:P(X=k)=(k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,N,
M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}),即恰取了k件次品的概率P=.
3.超幾何分布的應用
超幾何分布是一個重要分布,其理論基礎是古典概型,主要應用于正品與次品,白球與黑球,男生與女生等實踐中的由差別明顯的兩部分組成的問題.
對點訓練
(多選題)某單位推出了10道有關二十大的測試題供學習者學習和測試,乙能答對其中的6道題,規定每次測試都是從這10道題中隨機抽出4道,答對一題加10分,答錯一題或不答減5分,最終得分最低為0分,則下列說法正確的是(　　)
A.乙得40分的概率是
B.乙得25分的概率是
C.乙得10分的概率是
D.乙得0分的概率是
【解析】選ABC.設乙的得分為X,
則由題意X的所有可能取值為0,10,25,40,
所以P==,
P==,
P==,
P==.
【加練備選】
　　 為推動乒乓球運動的發展,某乒乓球比賽允許不同協會的運動員組隊參加.現有來自甲協會的運動員3名,其中種子選手2名;乙協會的運動員5名,其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.
(1)設A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來自同一個協會”,求事件A發生的概率;
【解析】(1)由已知,有P(A)==.
所以事件A發生的概率為.
(2)設X為選出的4人中種子選手的人數,求隨機變量X的分布列,并求E(X).
【解析】(2)隨機變量X服從超幾何分布,X的所有可能取值為1,2,3,4,
P(X=k)=(k=1,2,3,4).
故P(X=1)==,P(X=2)==,
P(X=3)==,P(X=4)==,
所以隨機變量X的分布列為
X 1 2 3 4
P
所以E(X)=1×+2×+3×+4×=.

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