資源簡介

第二節　二項式定理
【課標解讀】
【課程標準】
1.能用多項式運算法則和計數原理證明二項式定理.
2.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.
【核心素養】
數學抽象、數學運算.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以二項式為載體,考查二項式定理、二項式系數、某一項的系數、二項式系數的性質;二項式定理是高考熱點,常以選擇題的形式出現.
預測 預計2025年二項式定理仍會出題,但形式比較靈活.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
二項式定理
(1)二項式定理:(a+b)n= an+an-1b1+…+bn　(n∈N*).
(2)二項展開式的通項:=　an-kbk　,它表示通項為展開式的第　k+1　項.
(3)二項式系數:二項展開式中各項的系數,,…,.
微點撥
1.二項展開式的三個重要特征
(1)字母a的指數按降冪排列由n到0.
(2)字母b的指數按升冪排列由0到n.
(3)每一項字母a的指數與字母b的指數的和等于n.
微思考某項的二項式系數與某項的系數相等嗎
提示:不一定相等.
2.二項式系數的性質
(1)對稱性:與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等.
(2)最大值:當n是偶數時,中間的一項取得最大值;當n是奇數時,中間的兩項與相等,且同時取得最大值.
常用結論
1.+++…=+++…=2n-1.
2.=+.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)an-kbk是(a+b)n的展開式中的第k項.(　 ×　)
提示:由二項展開式的通項可知,an-kbk是(a+b)n的展開式中的第k+1項,所以(1)錯誤;
(2)(a+b)n的展開式中各項的二項式系數與a,b無關.(　√　)
提示:因為(a+b)n的展開式中各項的二項式系數為,,…,,所以(2)正確;
(3)通項=an-kbk中的a和b不能互換.(　√　)
提示:由二項展開式的通項公式可知:通項公式=an-kbk中的a和b不能互換,所以(3)正確;
(4)二項式的展開式中系數最大的項與二項式系數最大項是相同的.(　 ×　)
提示:由二項展開式某一項的系數與某一項的二項式系數的定義可知(4)錯誤.
2.(選修第三冊P31練習T4)(x-y)n的二項展開式中,第m項的系數是(　　)
A. B.
C. D.(-1)m-1
【解析】選D.(x-y)n的展開式中,
第m項為Tm=xn-m+1·(-y)m-1=(-1)m-1·xn-m+1·ym-1,
所以第m項的系數為(-1)m-1.
3.(2023·北京高考)的展開式中,x的系數是(　　)
A.-40 B.40 C.-80 D.80
【解析】選D.由二項式定理可知展開式的第r+1項
Tr+1=(2x)5-r=(-1)r25-rx5-2r(r=0,1,…,5),
令5-2r=1,可得r=2,即含x的項為第3項,
所以T3=80x,故x的系數為80.
4.(混淆二項式系數與項的系數)(1-2)8展開式中x項的二項式系數為(　　)
A.28 B.-28 C.112 D.-112
【解析】選A.(1-2)8展開式的通項公式為Tk+1=(-2)k=(-2)k.
要求x項的二項式系數,只需=1,解得k=2,
所以x項的二項式系數為==28.
【核心考點·分類突破】
考點一通項公式的應用
角度1 形如(a+b)n(n∈N*)的展開式的特定項
[例1](1)設=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a2=a3,則n=(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】選A.(1+x)n展開式第r+1項Tr+1=xr,因為a2=a3,所以=,
所以n=2+3=5.
(2)(2023·南昌模擬)在(2x+1)4的展開式中,x2的系數為　　　　　.(用數字作答)
【解析】(2x+1)4的展開式通項為Tr+1=,令r=2,得T3==24x2,
故x2的系數為24.
答案:24
解題技法
形如(a+b)n(n∈N*)的展開式的特定項的求解策略
(1)寫出并化簡通項;
(2)令字母的指數符合要求(求常數項時,指數為零;求有理項時,指數為整數等),解出項數k+1;
(3)代入通項即可得出結論.
對點訓練
1.(2024·揚州模擬)展開式的常數項為　　　　.(用最簡分數表示)
【解析】展開式的通項為Tr+1=
=·x4-2r,r∈N,r≤4,
令4-2r=0,解得r=2,則T3=·=×6=,
所以展開式的常數項是.
答案:
2.在二項式(+x)9的展開式中,常數項是　　　;系數為有理數的項的個數是　　　　.
【解析】由題意得,(+x)9的通項為=()9-k·xk(k=0,1,2,…,9).當k=0時,可得常數項為T1=()9=16.若展開式的系數為有理數,則k=1,3,5,7,9,有T2,T4,T6,T8,T10,共5個.
答案:16　5
【補償訓練】
(x2-)5的展開式中x4的系數為(　　)
A.10 B.20 C.40 D.80
【解析】選C.由題意可得=·(x2)5-k·(-)k=(-1)k·2k·,
令10-3k=4,則k=2,
所以所求系數為(-1)2·22=40.
角度2 形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的展開式問題
[例2](2022·新高考Ⅰ卷) (1-)(x+y)8的展開式中x2y6的系數為　　　　　(用數字作答).
【解析】因為(x+y)8=(x+y)8-(x+y)8,
所以(x+y)8的展開式中含x2y6的項為x2y6-x3y5=-28x2y6,故(1-)(x+y)8的展開式中x2y6的系數為-28.
答案:-28
解題技法
形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的展開式問題的求解策略
(1)若m,n中有一個比較小,可先考慮將其展開,再結合題設要求逐項求出,求其代數和即可得出結論;
(2)觀察(a+b)(c+d)是否可以化成兩項或三項代數和,進而求解.
對點訓練
(2024·北海模擬)(1+2x)(1+x)3展開式中,x2的系數為(　　)
A.3 B.6 C.9 D.12
【解析】選C.(1+2x)(1+x)3=(1+2x)(1+3x+3x2+x3),故x2的系數為3+6=9.
角度3 形如(a+b+c)n(n∈N*)的展開式問題
[例3](x2-x+1)10的展開式中x3的系數為(　　)
A.-210 B.210 C.30 D.-30
【解析】選A.方法一:(x2-x+1)10的展開式中含x3項的構成有以下幾種可能:
①1個x2,1個(-x),8個1,所得項為x2·(-x)·18=-90x3.
②3個(-x),7個1,所得項為(-x)3·17=-120x3.所以x3的系數為-210.
方法二:(x2-x+1)10=[1+(x2-x)]10,展開式的通項為=(x2-x)k(k=0,1,2,3,…,10),要使(x2-x+1)10的展開式中含x3,則需要(x2-x)k的展開式中出現x3,而(x2-x)k展開式的通項為=x2(k-r)(-x)r=(-1)rx2k-r(r=0,1,2,3,…,k),令2k-r=3可知當或
時滿足題意,即(x2-x+1)10的展開式中x3的系數為
(-1)1+(-1)3=-90-120=-210.
解題技法
求形如(a+b+c)n展開式中特定項的方法
對點訓練
(x+y-2z)5的展開式中,xy2z2的系數是(　　)
A.120 B.-120 C.60 D.30
【解析】選A.由題意知(x+y-2z)5=[(x+y)-2z]5,展開式的第k+1項為(x+y)5-k(-2z)k,
令k=2,可得第3項為(-2)2(x+y)3z2,
(x+y)3的展開式的第m+1項為ym,
令m=2,可得第3項為xy2,所以(x+y-2z)5的展開式中,xy2z2的系數是(-2)2=120.
【補償訓練】
(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數為(　　)
A.10 B.20 C.30 D.60
【解析】選C.方法一:由二項展開式通項易知=(x2+x)5-kyk,令k=2,則T3=(x2+x)3y2,對于二項式(x2+x)3,展開式的通項為=(x2xt=x6-t,令t=1,所以x5y2的系數為=30.
方法二:因為(x2+x+y)5=(x2+x+y)(x2+x+y)·…·(x2+x+y),即共有5個括號相乘,所以展開式中要得到含x5y2的項,只需5個括號中有2個括號里出y,同時剩余的3個括號中2個括號里出x2,另一個括號里出x便可,故含x5y2的項為y2(x2)2x=x5y2,故x5y2的系數為=10×3=30.
考點二 二項式系數與項的系數問題
角度1 二項式系數和與系數和
[例4]若(1+x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,
則a2+a6+a8=　　　　;a1+2a2+3a3+…+10a10=　　　　.
【解析】由已知得(1+x)10展開式的通項為=xk,所以展開式中每一項的系數即為其二項式系數,故a2+a6+a8=++=300.
對原式兩邊求導得,10(1+x)9=a1+2a2x+3a3x2+…+10a10x9,
令x=1,得a1+2a2+3a3+…+10a10=10×29=5 120.
答案:300　5 120
解題技法
賦值法的應用
(1)對于多項式(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n,則(a+bx)n的展開式中各項的系數和為g(1).
(2)(a+bx)n的展開式中奇數項的系數和為[g(1)+g(-1)].
(3)(a+bx)n的展開式中偶數項的系數和為[g(1)-g(-1)].
對點訓練
在二項式(1-2x)n的展開式中,偶數項的二項式系數之和為128,則展開式的中間項的系數為(　　)
A.-960 B.960 C.1 120 D.1 680
【解析】選C.根據題意,奇數項的二項式系數之和也為128,所以在(1-2x)n的展開式中,二項式系數之和為256,即2n=256,得n=8,則(1-2x)8的展開式的中間項為第5項,且T5=(-2)4x4=1 120x4,即展開式的中間項的系數為1 120.
【補償訓練】 若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5,則a1=　　　　,
a1+a2+…+a5=　　　　.
【解析】因為x5=[2+(x-2)]5,則a1=·24=80.
令x=3,得a0+a1+a2+…+a5=35=243;
令x=2,得a0=25=32,
故a1+a2+…+a5=243-32=211.
答案:80　211
角度2 系數與二項式系數的最值問題
[例5](多選題)(2023·唐山模擬)下列關于(-2x)6的展開式的說法中正確的是(　　)
A.常數項為-160
B.第4項的系數最大
C.第4項的二項式系數最大
D.所有項的系數和為1
【解析】選ACD. (-2x)6展開式的通項為
=·()6-k·(-2x)k=(-2)k·x2k-6.
對于A,令2k-6=0,解得k=3,
所以常數項為(-2)3=-8×20=-160,A正確;
對于B,由通項公式知,若要系數最大,k所有可能的取值為0,2,4,6,
所以T1=x-6,T3=4x-2=60x-2,T5=(-2)4x2=240x2,T7=(-2)6x6=64x6,
所以展開式第5項的系數最大,B錯誤;
對于C,展開式共有7項,得第4項的二項式系數最大,C正確;
對于D,令x=1,則所有項的系數和為(1-2)6=1,D正確.
解題技法
1.二項式系數最大項的確定方法
(1)如果n是偶數,那么中間一項(第+1項)的二項式系數最大;
(2)如果n是奇數,那么中間兩項(第與第+1項)的二項式系數相等并最大.
2.展開式系數最大值的兩種求解思路
(1)由于展開式系數是離散的,因此求最大值可通過不等式組確定.
(2)由于二項展開式中的系數是關于正整數n的式子,可以看作關于n的數列,通過判斷數列單調性從而判斷系數的增減性,并根據系數的單調性求出系數的最值.
對點訓練
設m為正整數,(x+y展開式的二項式系數的最大值為a,(x+y展開式的二項式系數的最大值為b.若13a=7b,則m=(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】選B.由題意,得a=,b=,
則13=7,所以=,
所以=13,解得m=6.
經檢驗m=6為原方程的解.
考點三 二項式定理的綜合應用
[例6](1)設n為奇數,那么11n+·11n-1+·1+…+·11-1除以13的余數是(　　)
A.-3 B.2 C.10 D.11
【解析】選C.11n+·1+·1+…+·11-1
=·11n+·1+·1+…+·11+-2=(11+1)n-2
=12n-2=(13-1)n-2
=·13n-·1+…+(-1··13+(-1)n·-2,
因為n為奇數,則上式=
·13n-·1+…+(-1··13-3=[·13n-·1+…+(-1)n-1··13-13]+10,
所以11n+·1+·1+…+·11-1除以13的余數是10.
(2)利用二項式定理計算1.056,則其結果精確到0.01的近似值是(　　)
A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.34
【解析】選D.1.056=(1+0.05)6=+×0.05+×0.052+×0.053+…+×0.056
=1+0.3+0.037 5+0.002 5+…+0.056≈1.34.
解題技法
二項式定理綜合應用的題型及解法
(1)在證明整除問題或求余數問題時要進行合理的變形:①觀察除式與被除式間的關系;②將被除式拆成二項式;③結合二項式定理得出結論.
(2)二項式定理的一個重要用途是做近似計算:當n不是很大,|x|比較小時,(1+x)n≈1+nx.
對點訓練
1.設a∈Z,且0≤a≤13,若512 023+a能被13整除,則a等于(　　)
A.0 B.1 C.11 D.12
【解析】選B.因為a∈Z,且0≤a≤13,
所以512 023+a=(52-1)2 023+a
=522 023-522 022+522 021-…+52-+a,
因為512 023+a能被13整除,
所以-+a=-1+a能被13整除,結合選項,所以a=1.
2.0.9910的第一位小數為n1,第二位小數為n2,第三位小數為n3,則n1,n2,n3分別為(　　)
A.9,0,4 B.9,4,0 C.9,2,0 D.9,0,2
【解析】選A.0.9910=(1-0.01)10
=×110×(-0.01)0+×19×(-0.01)1+×18×(-0.01)2+…=1-0.1+0.004 5+…≈0.904 5.
【補償訓練】
1.已知+2+22+23+…+2n=243,則+++…+等于(　　)
A.31 B.32 C.15 D.16
【解析】選A.逆用二項式定理得+2+22+23+…+2n=(1+2)n=243,即3n=35,所以n=5,所以+++…+=25-1=31.
2.0.996的計算結果精確到0.001的近似值是(　　)
A.0.940 B.0.941 C.0.942 D.0.943
【解析】選B.0.996=(1-0.01)6=×1-×0.01+×0.012-×0.013+…+×0.016
=1-0.06+0.001 5-0.000 02+…+0.016≈0.941.第二節　二項式定理
【課標解讀】
【課程標準】
1.能用多項式運算法則和計數原理證明二項式定理.
2.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.
【核心素養】
數學抽象、數學運算.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以二項式為載體,考查二項式定理、二項式系數、某一項的系數、二項式系數的性質;二項式定理是高考熱點,常以選擇題的形式出現.
預測 預計2025年二項式定理仍會出題,但形式比較靈活.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
二項式定理
(1)二項式定理:(a+b)n= an+an-1b1+…+bn　(n∈N*).
(2)二項展開式的通項:=　an-kbk　,它表示通項為展開式的第　k+1　項.
(3)二項式系數:二項展開式中各項的系數,,…,.
微點撥
1.二項展開式的三個重要特征
(1)字母a的指數按降冪排列由n到0.
(2)字母b的指數按升冪排列由0到n.
(3)每一項字母a的指數與字母b的指數的和等于n.
微思考某項的二項式系數與某項的系數相等嗎
提示:不一定相等.
2.二項式系數的性質
(1)對稱性:與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等.
(2)最大值:當n是偶數時,中間的一項取得最大值;當n是奇數時,中間的兩項與相等,且同時取得最大值.
常用結論
1.+++…=+++…=2n-1.
2.=+.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)an-kbk是(a+b)n的展開式中的第k項.(　　)
(2)(a+b)n的展開式中各項的二項式系數與a,b無關.(　　)
(3)通項=an-kbk中的a和b不能互換.(　　)
(4)二項式的展開式中系數最大的項與二項式系數最大項是相同的.(　　)
2.(選修第三冊P31練習T4)(x-y)n的二項展開式中,第m項的系數是(　　)
A. B.
C. D.(-1)m-1
3.(2023·北京高考)的展開式中,x的系數是(　　)
A.-40 B.40 C.-80 D.80
4.(混淆二項式系數與項的系數)(1-2)8展開式中x項的二項式系數為(　　)
A.28 B.-28 C.112 D.-112
【核心考點·分類突破】
考點一通項公式的應用
角度1 形如(a+b)n(n∈N*)的展開式的特定項
[例1](1)設=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a2=a3,則n=(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
(2)(2023·南昌模擬)在(2x+1)4的展開式中,x2的系數為　　　　　.(用數字作答)
解題技法
形如(a+b)n(n∈N*)的展開式的特定項的求解策略
(1)寫出并化簡通項;
(2)令字母的指數符合要求(求常數項時,指數為零;求有理項時,指數為整數等),解出項數k+1;
(3)代入通項即可得出結論.
對點訓練
1.(2024·揚州模擬)展開式的常數項為　　　　.(用最簡分數表示)
2.在二項式(+x)9的展開式中,常數項是　　　;系數為有理數的項的個數是　　　　.
【補償訓練】
(x2-)5的展開式中x4的系數為(　　)
A.10 B.20 C.40 D.80
角度2 形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的展開式問題
[例2](2022·新高考Ⅰ卷) (1-)(x+y)8的展開式中x2y6的系數為　　　　　(用數字作答).
解題技法
形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的展開式問題的求解策略
(1)若m,n中有一個比較小,可先考慮將其展開,再結合題設要求逐項求出,求其代數和即可得出結論;
(2)觀察(a+b)(c+d)是否可以化成兩項或三項代數和,進而求解.
對點訓練
(2024·北海模擬)(1+2x)(1+x)3展開式中,x2的系數為(　　)
A.3 B.6 C.9 D.12
角度3 形如(a+b+c)n(n∈N*)的展開式問題
[例3](x2-x+1)10的展開式中x3的系數為(　　)
A.-210 B.210 C.30 D.-30
解題技法
求形如(a+b+c)n展開式中特定項的方法
對點訓練
(x+y-2z)5的展開式中,xy2z2的系數是(　　)
A.120 B.-120 C.60 D.30
【補償訓練】
(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數為(　　)
A.10 B.20 C.30 D.60
考點二 二項式系數與項的系數問題
角度1 二項式系數和與系數和
[例4]若(1+x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,
則a2+a6+a8=　　　　;a1+2a2+3a3+…+10a10=　　　　.
解題技法
賦值法的應用
(1)對于多項式(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n,則(a+bx)n的展開式中各項的系數和為g(1).
(2)(a+bx)n的展開式中奇數項的系數和為[g(1)+g(-1)].
(3)(a+bx)n的展開式中偶數項的系數和為[g(1)-g(-1)].
對點訓練
在二項式(1-2x)n的展開式中,偶數項的二項式系數之和為128,則展開式的中間項的系數為(　　)
A.-960 B.960 C.1 120 D.1 680
【補償訓練】 若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5,則a1=　　　　,
a1+a2+…+a5=　　　　.
角度2 系數與二項式系數的最值問題
[例5](多選題)(2023·唐山模擬)下列關于(-2x)6的展開式的說法中正確的是(　　)
A.常數項為-160
B.第4項的系數最大
C.第4項的二項式系數最大
D.所有項的系數和為1
解題技法
1.二項式系數最大項的確定方法
(1)如果n是偶數,那么中間一項(第+1項)的二項式系數最大;
(2)如果n是奇數,那么中間兩項(第與第+1項)的二項式系數相等并最大.
2.展開式系數最大值的兩種求解思路
(1)由于展開式系數是離散的,因此求最大值可通過不等式組確定.
(2)由于二項展開式中的系數是關于正整數n的式子,可以看作關于n的數列,通過判斷數列單調性從而判斷系數的增減性,并根據系數的單調性求出系數的最值.
對點訓練
設m為正整數,(x+y展開式的二項式系數的最大值為a,(x+y展開式的二項式系數的最大值為b.若13a=7b,則m=(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
考點三 二項式定理的綜合應用
[例6](1)設n為奇數,那么11n+·11n-1+·1+…+·11-1除以13的余數是(　　)
A.-3 B.2 C.10 D.11
(2)利用二項式定理計算1.056,則其結果精確到0.01的近似值是(　　)
A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.34
解題技法
二項式定理綜合應用的題型及解法
(1)在證明整除問題或求余數問題時要進行合理的變形:①觀察除式與被除式間的關系;②將被除式拆成二項式;③結合二項式定理得出結論.
(2)二項式定理的一個重要用途是做近似計算:當n不是很大,|x|比較小時,(1+x)n≈1+nx.
對點訓練
1.設a∈Z,且0≤a≤13,若512 023+a能被13整除,則a等于(　　)
A.0 B.1 C.11 D.12
2.0.9910的第一位小數為n1,第二位小數為n2,第三位小數為n3,則n1,n2,n3分別為(　　)
A.9,0,4 B.9,4,0 C.9,2,0 D.9,0,2
【補償訓練】
1.已知+2+22+23+…+2n=243,則+++…+等于(　　)
A.31 B.32 C.15 D.16
2.0.996的計算結果精確到0.001的近似值是(　　)
A.0.940 B.0.941 C.0.942 D.0.943

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