資源簡介

第七節　正態分布
【課標解讀】
【課程標準】
1.了解正態分布在實際生活中的意義和作用.
2.了解正態分布的定義,正態曲線的特征,會求服從正態分布的隨機變量的概率.
3.記住正態總體在常用區間上的取值的概率,并能在一些簡單的實際問題中應用.
【核心素養】
數據分析、數學運算、邏輯推理.
【命題說明】
考向 考法 正態分布是高考命題的熱點.常以真實社會背景為命題情境,主要考查學生應用相關公式求解實際問題的能力.試題以選擇題、填空題、解答題形式呈現.
預測 預計2025年高考正態分布可能還會出題,命題較靈活多變.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.正態分布的定義
若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x)=·,x∈R,其中μ∈R,σ>0為參數,
則稱隨機變量X服從正態分布,記為X~N(μ,σ2).
2.正態曲線的特點
(1)曲線是單峰的,它關于直線x=μ對稱;
(2)曲線在x=μ處達到峰值;
(3)當|x|無限增大時,曲線無限接近x軸.
3.3σ原則
(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;
(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;
(3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
4.正態分布的均值與方差
若X~N(μ,σ2),則E(X)=μ,D(X)=σ2.
微點撥
(1)當σ一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移;
(2)當μ一定時,曲線的形狀由σ確定,σ越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2 3 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)正態曲線關于直線x=μ對稱,在x軸上方.(　　)
(2)正態曲線關于直線x=σ對稱,只有當x∈(-3σ,3σ)時曲線才在x軸上方.(　　)
(3)正態曲線和x軸圍成的面積隨μ的變化而變化.(　　)
(4)正態曲線在x=μ時處于最高點,由這一點向左右兩邊延伸時,曲線逐漸降低.(　　)
2.(選擇性必修第三冊P87T3·變形式)隨機變量X服從正態分布N(μ,σ2),則P(μ-2σ≤X≤μ+σ)=(　　)
附:
概率 P(μ-σ≤ X≤μ+σ) P(μ-2σ≤ X≤μ+2σ) P(μ-3σ≤ X≤μ+3σ)
近似值 0.682 7 0.954 5 0.997 3
A.0.818 6 B.0.477 2 C.0.84 D.0.975 9
3.(對正態曲線的性質不清致誤)設隨機變量ξ服從正態分布N(0,1),若P(ξ>2)=p,則P(-2≤ξ≤0)=(　　)
A.+p B.1-p C.-p D.1-2p
4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知隨機變量X服從正態分布N(2,σ2),且P(22.5)=__________.
【核心考點·分類突破】
考點一正態分布的性質
[例1](1)設有一正態總體,它的正態密度曲線是函數f(x)的圖象,且f(x)=(x∈R),則這個正態總體的平均數與標準差分別是(　　)
A.10與8 B.10與2 C.8與10 D.2與10
(2)(多選題)甲、乙兩類水果的質量(單位:kg)分別服從正態分布N(μ1,),N(μ2,),其正態密度曲線如圖所示,則下列說法正確的是(　　)
A.甲類水果的平均質量為0.4kg
B.甲類水果的質量分布比乙類水果的質量分布更集中于均值左右
C.平均質量分布在[0.4,0.8]時甲類水果比乙類水果占比大
D.σ2=1.99
(3)(多選題)若隨機變量ξ~N(0,1),則下列結論正確的是(　　)
A.該正態曲線關于直線x=1對稱
B.若P(ξ≤1.52)=0.935 7,則P(ξ>1.52)=0.064 3
C.若P(ξ≤1.49)=0.931 9,則P(ξ≤-1.49)=0.931 9
D.當x>0時,若P(ξ≥x)=φ(x),則P(|ξ|≥x)=2φ(x)
解題技法
利用正態分布性質解題的關鍵點
對X~N(μ,σ2)中的μ,σ的意義不清楚,特別是對μ的認識不清楚,就會在解題時無從下手,導致隨便給出一個結果.這里μ是隨機變量X的均值,σ是標準差,x=μ是正態密度曲線的對稱軸.
對點訓練
1.(多選題)某次市教學質量檢測中,甲、乙、丙三科考試成績的直方圖如圖所示(由于人數眾多,成績分布的直方圖可視為正態分布),則由圖中曲線可得下列說法中正確的是(　　)
A.甲、乙、丙的總體的平均數相同
B.乙科總體的標準差及平均數都居中
C.丙科總體的平均數最小
D.甲科總體的標準差最大
2.(2024·寧德模擬)某地生產紅茶已有多年,選用本地兩個不同品種的茶青生產紅茶.根據其種植經驗,在正常環境下,甲、乙兩個品種的茶青每500克的紅茶產量(單位:克)分別為X,Y,且X~N,Y~N,其密度曲線如圖所示,則以下結論錯誤的是(　　)
A.Y的數據較X更集中
B.PC.甲種茶青每500克的紅茶產量超過μ2的概率大于
D.P(X>c)+P=1
考點二服從正態分布的概率計算
[例2](1)已知隨機變量ξ服從正態分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,則P(-2<ξ<1)=(　　)
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6
(2)(2023·運城質檢)在某項測量中,測量結果ξ服從正態分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ在(0,2)內取值的概率為0.6,則ξ在[2,+∞)內取值的概率為(　　)
A.0.8 B.0.4 C.0.3 D.0.2
(3)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的測量結果服從正態分布N(10,σ2),下列結論中不正確的是(　　)
A.σ越小,該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大
B.該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5
C.該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D.該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等
解題技法
正態分布的概率計算的關鍵點
正態分布的特點可結合圖象記憶,并可根據μ和σ的不同取值得到不同的圖象,特別地,當μ=0時,圖象關于y軸對稱.
對點訓練
1.已知隨機變量X服從正態分布N(5,4),且P(X>k)=P(XA.6 B.7 C.8 D.9
2.陜西洛川蘋果享譽國內外,據統計,陜西洛川蘋果(把蘋果近似看成球體)的直徑X(單位:mm)服從正態分布N(70,52),則直徑在(80,85]內的概率為(　　)
附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
A.0.021 4 B.0.043 0
C.0.818 5 D.0.682 6
3.(2024·長春模擬)若隨機變量X~N,
P=0.3,則P(0考點三正態分布的綜合應用
[例3](1)(2024·廣州模擬)某班有48名學生,一次考試的數學成績X(單位:分)服從正態分布N,且成績在的學生人數為16,則成績在90分以上的學生人數為__________.
(2)某工廠生產的產品的質量指標服從正態分布N(100,σ2).質量指標介于99至101之間的產品為良品,為使這種產品的良品率達到95.45%,則需調整生產工藝,使得σ至多為________.(若X~N(μ,σ2),則P{|X-μ|<2σ}≈0.954 5)
(3)從某企業生產的某種產品中抽取1 000件,測量這些產品的一項質量指標值,由測量結果得頻率分布表和頻率分布直方圖.
分組 頻數 頻率
[2.5,7.5) 2 0.002
[7.5,12.5) m 0.054
[12.5,17.5) 106 0.106
[17.5,22.5) 149 0.149
[22.5,27.5) 352 n
[27.5,32.5) 190 0.190
[32.5,37.5) 100 0.100
[37.5,42.5) 47 0.047
合計 1 000 1.000
①求m,n,a的值;
②求出這1 000件產品質量指標值的樣本平均數(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表);
③由直方圖可以認為,這種產品的質量指標值Z服從正態分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數x,σ2近似為樣本方差s2,其中已計算得σ2=52.6.如果產品的質量指標值位于區間(10.50,39.50),企業每件產品可以獲利10元,如果產品的質量指標值位于區間(10.50,39.50)之外,企業每件產品要損失100元,從該企業一天生產的產品中隨機抽取20件產品,記X為抽取的20件產品所獲得的總利潤,求E(X).
附:≈7.25.
解題技法
解決正態分布問題有三個關鍵點
(1)對稱軸x=μ;
(2)標準差σ;
(3)分布區間.
利用對稱性可求指定范圍內的概率值;由μ,σ,分布區間的特征進行轉化,使分布區間轉化為3σ特殊區間,從而求出所求概率.注意只有在標準正態分布下對稱軸才為x=0.
對點訓練
1.(2024·重慶模擬)若某種水果的果實橫徑X(單位:mm)服從正態分布N,則該種果實橫徑在的概率為______________.(附:若X~N,則P≈0.682 7, P≈0.954 5)
2.對一個物理量做n次測量并以測量結果的均值作為該物理量的最后結果.已知最后結果的誤差
εn~N(0,),為使誤差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.954 5,至少要測量________次.(若X~N(μ,σ2),則P(|X-μ|≤2σ)≈0.954 5)
3.在某質量檢測考試中,高二年級學生的數學成績X服從正態分布N(98,100).已知參加本次考試的全市高二年級學生約100 000人.某學生在這次考試中的數學成績是108分,那么他的數學成績大約排在全市第________名.
(參考數值:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)
重難突破 概率與統計中的決策問題
【考查形式】
試題多以相互獨立事件的概率、隨機變量的期望、二項分布等作為載體,考查數據處理能力、運算求解能力及數學的應用與創新意識.重點考查邏輯推理、數學建模、數學運算、數據分析等核心素養.
【解題關鍵】
(1)會“評價”:在數據分析的基礎上能夠基于數字特征給出統計意義上的評價結論.
(2)會“決策”:在基于數字特征給出有意義評價的基礎上,分析利弊、觀察風險,進而做出切實可行的合理決策方案或建議.
類型一 與回歸分析相關的預測性問題
[例1]2021年6月,公安部推出國家級反詐防騙“王炸”系統——“國家反詐中心APP”,這是一款能有效預防詐騙、快速舉報詐騙內容的軟件,用戶通過學習里面的防詐騙知識可以有效避免各種網絡詐騙的發生。某省自“國家反詐中心APP”推出后,持續采取多措并舉的推廣方式,積極推動全省“國家反詐中心APP”安裝注冊工作.經統計,省反詐中心發現全省每月網絡詐騙舉報件數y(單位:件)與推廣時間有關,并記錄了經推廣x個月后每月舉報件數的數據:
推廣月數x/個 1 2 3 4 5 6 7
y/件 891 888 351 220 200 138 112
(1)現用y=a+作為回歸方程模型,利用表中數據,求出該經驗回歸方程;
(2)分析該省一直加大力度推廣下去有可能將網絡詐騙舉報件數降至接近于零嗎
參考數據(其中ti=):
tiyi -7×
1 586 0.37 0.55
解題技法
預測問題的解題策略
(1)求經驗回歸方程;
(2)利用經驗回歸方程進行預測,把回歸直線方程看作一次函數,求函數值.
對點訓練
為了鞏固拓展脫貧攻堅的成果,某知名電商平臺決定為脫貧鄉村的特色水果開設直播帶貨專場.該特色水果的熱賣黃金時段為2023年7月10日至9月10日,為了解直播的效果和關注度,該電商平臺統計了已直播的2023年7月10日至7月14日時段中的相關數據,這5天的第x天到該電商平臺專營店購物的人數y(單位:萬人)的數據如下表:
日期 7月 10日 7月 11日 7月 12日 7月 13日 7月 14日
第x天 1 2 3 4 5
人數y (單位:萬人) 75 84 93 98 100
(1)依據表中的統計數據,請判斷該電商平臺的第x天與到該電商平臺專營店購物的人數y(單位:萬人)是否具有較高的線性相關程度;(參考:若0.3<|r|<0.75,則線性相關程度一般,若|r|>0.75,則線性相關程度較高,計算r時精確度為0.01)
(2)求購買人數y與直播的天數x的線性回歸方程,用樣本估計總體,請預測從2023年7月10日起的第38天到該專營店購物的人數(單位:萬人).
參考數據:(yi-)2=434,(xi-)·(yi-)=64,≈65.879.
類型二 與期望和方差相關的決策性問題
[例2]如圖,某市有南、北兩條城市主干道,在出行高峰期,北干道有N1,N2,N3,N4四個交通易堵塞路段,它們被堵塞的概率都是,南干道有S1,S2兩個交通易堵塞路段,它們被堵塞的概率分別為,.某人在高峰期駕車從城西開往城東,假設以上各路段是否被堵塞互不影響.
(1)求北干道的N1,N2,N3,N4四個易堵塞路段至少有一個被堵塞的概率;
(2)若南干道被堵塞路段的個數為X,求X的分布列及數學期望E(X);
(3)若按照“平均被堵塞路段少的路線是較好的高峰期出行路線”的標準,則從城西開往城東較好的高峰期出行路線是哪一條 請說明理由.
解題技法
決策問題的解題策略
(1)在實際問題中,已知兩個隨機變量ξ1,ξ2,當E(ξ1)=E(ξ2)或E(ξ1)與E(ξ2)較為接近時,就需要用D(ξ1)與D(ξ2)來比較兩個隨機變量的穩定程度.
(2)一般地,將期望最大(或最小)的方案作為最優方案,若各方案的期望相同,則選擇方差最小(或最大)的方案作為最優方案.
對點訓練
某財經雜志發起一項調查,旨在預測某地經濟前景,隨機訪問了100位業內人士,根據被訪問者的問卷得分(滿分10分)將經濟前景預期劃分為三個等級(悲觀、尚可、樂觀).分級標準及這100位被訪問者得分頻數分布情況如下:
經濟前景等級 悲觀 尚可 樂觀
問卷得分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
頻數 2 3 5 10 19 24 17 9 7 4
假設被訪問的每個人獨立完成問卷(互不影響),根據經驗,這100位人士的意見即可代表業內人士意見,且他們預測各等級的頻率可估計未來經濟各等級發生的可能性.
(1)該雜志記者又隨機訪問了兩名業內人士,試估計至少有一人預測經濟前景為“樂觀”的概率;
(2)某人有一筆資金,現有兩個備選的投資意向:物聯網項目或人工智能項目,兩種投資項目的年回報率都與經濟前景等級有關,根據經驗,大致關系如下(正數表示贏利,負數表示虧損):
經濟前景等級 樂觀 尚可 悲觀
物聯網項目年回報率(%) 12 4 -4
人工智能項目年回報率(%) 7 5 -2
根據以上信息,請分別計算這兩種投資項目的年回報率的期望與方差,并用統計學知識給出投資建議.第七節　正態分布
【課標解讀】
【課程標準】
1.了解正態分布在實際生活中的意義和作用.
2.了解正態分布的定義,正態曲線的特征,會求服從正態分布的隨機變量的概率.
3.記住正態總體在常用區間上的取值的概率,并能在一些簡單的實際問題中應用.
【核心素養】
數據分析、數學運算、邏輯推理.
【命題說明】
考向 考法 正態分布是高考命題的熱點.常以真實社會背景為命題情境,主要考查學生應用相關公式求解實際問題的能力.試題以選擇題、填空題、解答題形式呈現.
預測 預計2025年高考正態分布可能還會出題,命題較靈活多變.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.正態分布的定義
若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x)=·,x∈R,其中μ∈R,σ>0為參數,
則稱隨機變量X服從正態分布,記為X~N(μ,σ2).
2.正態曲線的特點
(1)曲線是單峰的,它關于直線x=μ對稱;
(2)曲線在x=μ處達到峰值;
(3)當|x|無限增大時,曲線無限接近x軸.
3.3σ原則
(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;
(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;
(3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
4.正態分布的均值與方差
若X~N(μ,σ2),則E(X)=μ,D(X)=σ2.
微點撥
(1)當σ一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移;
(2)當μ一定時,曲線的形狀由σ確定,σ越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2 3 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)正態曲線關于直線x=μ對稱,在x軸上方.(　 √　)
(2)正態曲線關于直線x=σ對稱,只有當x∈(-3σ,3σ)時曲線才在x軸上方.(　 ×　)
(3)正態曲線和x軸圍成的面積隨μ的變化而變化.(　 ×　)
(4)正態曲線在x=μ時處于最高點,由這一點向左右兩邊延伸時,曲線逐漸降低.(　 √　)
2.(選擇性必修第三冊P87T3·變形式)隨機變量X服從正態分布N(μ,σ2),則P(μ-2σ≤X≤μ+σ)=(　　)
附:
概率 P(μ-σ≤ X≤μ+σ) P(μ-2σ≤ X≤μ+2σ) P(μ-3σ≤ X≤μ+3σ)
近似值 0.682 7 0.954 5 0.997 3
A.0.818 6 B.0.477 2 C.0.84 D.0.975 9
【解析】選A.由題意可得,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,
所以P(μ-2σ≤X≤μ+σ)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)+P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.818 6.
3.(對正態曲線的性質不清致誤)設隨機變量ξ服從正態分布N(0,1),若P(ξ>2)=p,則P(-2≤ξ≤0)=(　　)
A.+p B.1-p C.-p D.1-2p
【解析】選C.由對稱性知P(ξ<-2)=p,
所以P(-2≤ξ≤0)==-p.
4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知隨機變量X服從正態分布N(2,σ2),且P(22.5)=__________.
【解析】因為X~N(2,σ2),所以P(X>2)=0.5,
所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(2答案:0.14
【核心考點·分類突破】
考點一正態分布的性質
[例1](1)設有一正態總體,它的正態密度曲線是函數f(x)的圖象,且f(x)=(x∈R),則這個正態總體的平均數與標準差分別是(　　)
A.10與8 B.10與2 C.8與10 D.2與10
【解析】選B.因為f(x)=,
所以σ=2,μ=10,即正態總體的平均數與標準差分別為10與2.
(2)(多選題)甲、乙兩類水果的質量(單位:kg)分別服從正態分布N(μ1,),N(μ2,),其正態密度曲線如圖所示,則下列說法正確的是(　　)
A.甲類水果的平均質量為0.4kg
B.甲類水果的質量分布比乙類水果的質量分布更集中于均值左右
C.平均質量分布在[0.4,0.8]時甲類水果比乙類水果占比大
D.σ2=1.99
【解析】選ABC.由題圖可知,甲類水果的平均質量為μ1=0.4kg,故A正確;由題圖可知,甲類水果的質量分布比乙類水果的質量分布更集中于均值左右,故B正確;由題圖可看出平均質量分布在[0.4,0.8]時甲類水果比乙類水果占比大,故C正確;乙類水果的質量服從的正態分布的參數滿足=1.99,則σ2≠1.99,故D錯誤.
(3)(多選題)若隨機變量ξ~N(0,1),則下列結論正確的是(　　)
A.該正態曲線關于直線x=1對稱
B.若P(ξ≤1.52)=0.935 7,則P(ξ>1.52)=0.064 3
C.若P(ξ≤1.49)=0.931 9,則P(ξ≤-1.49)=0.931 9
D.當x>0時,若P(ξ≥x)=φ(x),則P(|ξ|≥x)=2φ(x)
【解析】選BD.由題設知,該正態曲線關于直線x=0對稱,故A錯誤;由P(ξ>1.52)=1-P(ξ≤1.52)=0.0643,故B正確;由P(ξ≤-1.49)=P(ξ>1.49)=
1-P(ξ≤1.49)=0.068 1,故C錯誤;P(|ξ|≥x)=P(ξ≥x)+P(ξ≤-x),由對稱性知P(ξ≥x)=P(ξ≤-x),所以P(|ξ|≥x)=2φ(x),故D正確.
解題技法
利用正態分布性質解題的關鍵點
對X~N(μ,σ2)中的μ,σ的意義不清楚,特別是對μ的認識不清楚,就會在解題時無從下手,導致隨便給出一個結果.這里μ是隨機變量X的均值,σ是標準差,x=μ是正態密度曲線的對稱軸.
對點訓練
1.(多選題)某次市教學質量檢測中,甲、乙、丙三科考試成績的直方圖如圖所示(由于人數眾多,成績分布的直方圖可視為正態分布),則由圖中曲線可得下列說法中正確的是(　　)
A.甲、乙、丙的總體的平均數相同
B.乙科總體的標準差及平均數都居中
C.丙科總體的平均數最小
D.甲科總體的標準差最大
【解析】選AD.由題中圖象可知三科總體的平均數(均值)相同,由正態密度曲線的性質,可知σ越大,正態曲線越“矮胖”,σ越小,正態曲線越“瘦高”,故三科總體的標準差從大到小依次為甲、乙、丙.
2.(2024·寧德模擬)某地生產紅茶已有多年,選用本地兩個不同品種的茶青生產紅茶.根據其種植經驗,在正常環境下,甲、乙兩個品種的茶青每500克的紅茶產量(單位:克)分別為X,Y,且X~N,Y~N,其密度曲線如圖所示,則以下結論錯誤的是(　　)
A.Y的數據較X更集中
B.PC.甲種茶青每500克的紅茶產量超過μ2的概率大于
D.P(X>c)+P=1
【解析】選D.對于A,Y的密度曲線更尖銳,即數據更集中,正確;
對于B,因為c,μ2與密度曲線圍成的面積S1>c,μ1與密度曲線圍成的面積S2,
P=+S1,P=+S2,
所以P對于C,因為μ2<μ1,所以甲種茶青每500克的紅茶產量超過μ2的概率P=P>,正確;
對于D,由B知:P=-S2,
P=+S1,
所以P+P=1+S1-S2>1,錯誤.
考點二服從正態分布的概率計算
[例2](1)已知隨機變量ξ服從正態分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,則P(-2<ξ<1)=(　　)
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6
【解析】選C.由題意可知μ=1,正態分布曲線關于直線x=1對稱,P(ξ≥4)=1-P(ξ<4)=0.1.根據對稱性可知P(ξ≤-2)=P(ξ≥4)=0.1,
所以P(-2<ξ<1)=0.5-P(ξ≤-2)=0.5-0.1=0.4.
(2)(2023·運城質檢)在某項測量中,測量結果ξ服從正態分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ在(0,2)內取值的概率為0.6,則ξ在[2,+∞)內取值的概率為(　　)
A.0.8 B.0.4 C.0.3 D.0.2
【解析】選D.因為ξ服從正態分布N(1,σ2)(σ>0),所以曲線的對稱軸是直線x=1,又ξ在(0,2)內取值的概率為0.6,根據正態曲線的性質,則ξ在[2,+∞)內取值的概率為P(ξ≥2)==0.2.
(3)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的測量結果服從正態分布N(10,σ2),下列結論中不正確的是(　　)
A.σ越小,該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大
B.該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5
C.該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D.該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等
【解析】選D.對于A,σ2為數據的方差,所以σ越小,數據在μ=10附近越集中,所以測量結果落在(9.9,10.1)的概率越大,故A正確;對于B,由正態密度曲線的對稱性可知該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5,故B正確;對于C,由正態密度曲線的對稱性可知該物理量在一次測量中小于9.99的概率與大于10.01的概率相等,故C正確;對于D,該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)的概率與落在(10,10.3)的概率不同,故D錯誤.
解題技法
正態分布的概率計算的關鍵點
正態分布的特點可結合圖象記憶,并可根據μ和σ的不同取值得到不同的圖象,特別地,當μ=0時,圖象關于y軸對稱.
對點訓練
1.已知隨機變量X服從正態分布N(5,4),且P(X>k)=P(XA.6 B.7 C.8 D.9
【解析】選B.因為隨機變量X服從正態分布N(5,4),所以其圖象關于x=5對稱,又因為P(X>k)=P(X2.陜西洛川蘋果享譽國內外,據統計,陜西洛川蘋果(把蘋果近似看成球體)的直徑X(單位:mm)服從正態分布N(70,52),則直徑在(80,85]內的概率為(　　)
附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
A.0.021 4 B.0.043 0
C.0.818 5 D.0.682 6
【解析】選A.由題可設直徑在(80,85]內的概率為P,則P=
≈=0.021 4.
3.(2024·長春模擬)若隨機變量X~N,
P=0.3,則P(0【解析】由題意知:正態分布曲線關于X=1對稱,所以P(0答案:0.4
考點三正態分布的綜合應用
[例3](1)(2024·廣州模擬)某班有48名學生,一次考試的數學成績X(單位:分)服從正態分布N,且成績在的學生人數為16,則成績在90分以上的學生人數為__________.
【解析】由X(單位:分)服從正態分布N,知正態密度曲線的對稱軸為x=80,成績在上的學生人數為16,
由對稱性知成績在80分以上的學生人數為24人,所以90分以上的學生人數為24-16=8.
答案:8
(2)某工廠生產的產品的質量指標服從正態分布N(100,σ2).質量指標介于99至101之間的產品為良品,為使這種產品的良品率達到95.45%,則需調整生產工藝,使得σ至多為________.(若X~N(μ,σ2),則P{|X-μ|<2σ}≈0.954 5)
【解析】因為P{|X-μ|<2σ}≈0.954 5,且X~N(100,σ2),
所以P{100-2σ又質量指標介于99至101之間的產品為良品,且該產品的良品率達到95.45%,
所以(100-2σ,100+2σ) (99,101),即,解得σ≤,
所以σ至多為.
答案:
(3)從某企業生產的某種產品中抽取1 000件,測量這些產品的一項質量指標值,由測量結果得頻率分布表和頻率分布直方圖.
分組 頻數 頻率
[2.5,7.5) 2 0.002
[7.5,12.5) m 0.054
[12.5,17.5) 106 0.106
[17.5,22.5) 149 0.149
[22.5,27.5) 352 n
[27.5,32.5) 190 0.190
[32.5,37.5) 100 0.100
[37.5,42.5) 47 0.047
合計 1 000 1.000
①求m,n,a的值;
②求出這1 000件產品質量指標值的樣本平均數(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表);
③由直方圖可以認為,這種產品的質量指標值Z服從正態分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數x,σ2近似為樣本方差s2,其中已計算得σ2=52.6.如果產品的質量指標值位于區間(10.50,39.50),企業每件產品可以獲利10元,如果產品的質量指標值位于區間(10.50,39.50)之外,企業每件產品要損失100元,從該企業一天生產的產品中隨機抽取20件產品,記X為抽取的20件產品所獲得的總利潤,求E(X).
附:≈7.25.
【解析】①結合題中頻率分布表可以得到m=54,
n=0.352,a==0.038.
②抽取的1 000件產品質量指標值的樣本平均數
=5×0.002+10×0.054+15×0.106+20×0.149+25×0.352+30×0.19+35×0.1+40×0.047=25.
③因為≈7.25,由②知Z~N(25,52.6),從而P(10.50P(25-2×7.25設Y為隨機抽取20件產品質量指標值位于(10.50,39.50)之外的件數,依題意知Y~B(20,0.045 5),則E(Y)=20×0.045 5=0.91,所以E(X)=-100×E(Y)+10×20×0.954 5=99.9.
解題技法
解決正態分布問題有三個關鍵點
(1)對稱軸x=μ;
(2)標準差σ;
(3)分布區間.
利用對稱性可求指定范圍內的概率值;由μ,σ,分布區間的特征進行轉化,使分布區間轉化為3σ特殊區間,從而求出所求概率.注意只有在標準正態分布下對稱軸才為x=0.
對點訓練
1.(2024·重慶模擬)若某種水果的果實橫徑X(單位:mm)服從正態分布N,則該種果實橫徑在的概率為______________.(附:若X~N,則P≈0.682 7, P≈0.954 5)
【解析】由題意可得μ=70,σ=5,則65=μ-σ,80=μ+2σ,
所以,P=P
=≈=0.818 6.
答案:0.818 6
2.對一個物理量做n次測量并以測量結果的均值作為該物理量的最后結果.已知最后結果的誤差
εn~N(0,),為使誤差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.954 5,至少要測量________次.(若X~N(μ,σ2),則P(|X-μ|≤2σ)≈0.954 5)
【解析】根據正態曲線的對稱性知要使誤差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.954 5,
則(μ-2σ,μ+2σ) (-0.5,0.5),
又μ=0,σ=,
所以0.5≥2 n≥32.
答案:32
3.在某質量檢測考試中,高二年級學生的數學成績X服從正態分布N(98,100).已知參加本次考試的全市高二年級學生約100 000人.某學生在這次考試中的數學成績是108分,那么他的數學成績大約排在全市第________名.
(參考數值:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)
【解析】因為考試的成績X服從正態分布N(98,100),所以μ=98,σ=10,
所以108=μ+σ,則P(X>108)=P(X>μ+σ)=≈0.158 65,數學成績為108分的學生大約排在全市第100 000×0.158 65=15 865(名).
答案:15 865
重難突破 概率與統計中的決策問題
【考查形式】
試題多以相互獨立事件的概率、隨機變量的期望、二項分布等作為載體,考查數據處理能力、運算求解能力及數學的應用與創新意識.重點考查邏輯推理、數學建模、數學運算、數據分析等核心素養.
【解題關鍵】
(1)會“評價”:在數據分析的基礎上能夠基于數字特征給出統計意義上的評價結論.
(2)會“決策”:在基于數字特征給出有意義評價的基礎上,分析利弊、觀察風險,進而做出切實可行的合理決策方案或建議.
類型一 與回歸分析相關的預測性問題
[例1]2021年6月,公安部推出國家級反詐防騙“王炸”系統——“國家反詐中心APP”,這是一款能有效預防詐騙、快速舉報詐騙內容的軟件,用戶通過學習里面的防詐騙知識可以有效避免各種網絡詐騙的發生。某省自“國家反詐中心APP”推出后,持續采取多措并舉的推廣方式,積極推動全省“國家反詐中心APP”安裝注冊工作.經統計,省反詐中心發現全省每月網絡詐騙舉報件數y(單位:件)與推廣時間有關,并記錄了經推廣x個月后每月舉報件數的數據:
推廣月數x/個 1 2 3 4 5 6 7
y/件 891 888 351 220 200 138 112
(1)現用y=a+作為回歸方程模型,利用表中數據,求出該經驗回歸方程;
(2)分析該省一直加大力度推廣下去有可能將網絡詐騙舉報件數降至接近于零嗎
參考數據(其中ti=):
tiyi -7×
1 586 0.37 0.55
【解析】(1)由題意知=(891+888+351+220+200+138+112)=400,
令t=,設y關于t的經驗回歸方程為y=t+,
則===1 000,
則=400-1 000×0.37=30,所以y=1 000t+30,
又t=,所以y關于x的經驗回歸方程為y=+30.
(2)僅從現有統計數據所得回歸方程y=+30,可發現當推廣時間越來越長時,即x越來越大時,y的值會逐漸降至接近于30,可知該省一直加大力度推廣下去,網絡詐騙舉報件數大概會逐漸降至30件,但在使用經驗回歸方程進行預測時,方程只適用于所研究的樣本總體,一般具有時效性,不能期望回歸方程得到的預報值就是響應變量的精確值,所以若加大力度一直推廣下去,并隨著國家對網絡詐騙的嚴厲打擊和科技發展,再加上相關部門對個人信息防護手段的加強,人們對網絡詐騙犯罪的防范意識逐步提高,網絡詐騙舉報件數是有可能降至接近于零的.
解題技法
預測問題的解題策略
(1)求經驗回歸方程;
(2)利用經驗回歸方程進行預測,把回歸直線方程看作一次函數,求函數值.
對點訓練
為了鞏固拓展脫貧攻堅的成果,某知名電商平臺決定為脫貧鄉村的特色水果開設直播帶貨專場.該特色水果的熱賣黃金時段為2023年7月10日至9月10日,為了解直播的效果和關注度,該電商平臺統計了已直播的2023年7月10日至7月14日時段中的相關數據,這5天的第x天到該電商平臺專營店購物的人數y(單位:萬人)的數據如下表:
日期 7月 10日 7月 11日 7月 12日 7月 13日 7月 14日
第x天 1 2 3 4 5
人數y (單位:萬人) 75 84 93 98 100
(1)依據表中的統計數據,請判斷該電商平臺的第x天與到該電商平臺專營店購物的人數y(單位:萬人)是否具有較高的線性相關程度;(參考:若0.3<|r|<0.75,則線性相關程度一般,若|r|>0.75,則線性相關程度較高,計算r時精確度為0.01)
【解析】(1)由題表中數據可得=3,=90,
所以(xi-)2=10,
又(yi-)2=434,(xi-)(yi-)=64,
所以r==≈0.97>0.75,
所以該電商平臺直播黃金時段的天數x與購買人數y具有較高的線性相關程度.所以可用線性回歸模型擬合人數y與天數x之間的關系.
(2)求購買人數y與直播的天數x的線性回歸方程,用樣本估計總體,請預測從2023年7月10日起的第38天到該專營店購物的人數(單位:萬人).
參考數據:(yi-)2=434,(xi-)·(yi-)=64,≈65.879.
【解析】(2)求購買人數y與直播的第x天的經驗回歸方程.用樣本估計總體,預測從2023年7月10日起的第38天到該專營店購物的人數(單位:萬人).
由表中數據可得===6.4,
則=-=90-6.4×3=70.8,所以=6.4x+70.8.
令x=38,可得=6.4×38+70.8=314(萬人).
類型二 與期望和方差相關的決策性問題
[例2]如圖,某市有南、北兩條城市主干道,在出行高峰期,北干道有N1,N2,N3,N4四個交通易堵塞路段,它們被堵塞的概率都是,南干道有S1,S2兩個交通易堵塞路段,它們被堵塞的概率分別為,.某人在高峰期駕車從城西開往城東,假設以上各路段是否被堵塞互不影響.
(1)求北干道的N1,N2,N3,N4四個易堵塞路段至少有一個被堵塞的概率;
【解析】(1)記北干道的N1,N2,N3,N4四個易堵塞路段至少有一個被堵塞為事件A,
則P(A)=1-=1-=.
(2)若南干道被堵塞路段的個數為X,求X的分布列及數學期望E(X);
【解析】(2)由題意可知X的可能取值為0,1,2,
P(X=0)= (1-)×(1-)=,
P(X=1)=×(1-)+(1-)×=,
P(X=2)=×=,
隨機變量X的分布列為:
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=.
(3)若按照“平均被堵塞路段少的路線是較好的高峰期出行路線”的標準,則從城西開往城東較好的高峰期出行路線是哪一條 請說明理由.
【解析】(3)設北干道被堵塞路段的個數為Y,
則Y~B(4,),所以E(Y)=4×=,
因為E(X)所以高峰期選擇南干道路線較好.
解題技法
決策問題的解題策略
(1)在實際問題中,已知兩個隨機變量ξ1,ξ2,當E(ξ1)=E(ξ2)或E(ξ1)與E(ξ2)較為接近時,就需要用D(ξ1)與D(ξ2)來比較兩個隨機變量的穩定程度.
(2)一般地,將期望最大(或最小)的方案作為最優方案,若各方案的期望相同,則選擇方差最小(或最大)的方案作為最優方案.
對點訓練
某財經雜志發起一項調查,旨在預測某地經濟前景,隨機訪問了100位業內人士,根據被訪問者的問卷得分(滿分10分)將經濟前景預期劃分為三個等級(悲觀、尚可、樂觀).分級標準及這100位被訪問者得分頻數分布情況如下:
經濟前景等級 悲觀 尚可 樂觀
問卷得分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
頻數 2 3 5 10 19 24 17 9 7 4
假設被訪問的每個人獨立完成問卷(互不影響),根據經驗,這100位人士的意見即可代表業內人士意見,且他們預測各等級的頻率可估計未來經濟各等級發生的可能性.
(1)該雜志記者又隨機訪問了兩名業內人士,試估計至少有一人預測經濟前景為“樂觀”的概率;
【解析】(1)由題意可知100名被采訪者中,預測經濟前景為“樂觀”的人數為9+7+4=20(人),概率為0.2,若又隨機訪問兩名業內人士,至少有一個預測經濟前景為“樂觀”的概率為P=0.22+·0.2·(1-0.2)=0.36.
(2)某人有一筆資金,現有兩個備選的投資意向:物聯網項目或人工智能項目,兩種投資項目的年回報率都與經濟前景等級有關,根據經驗,大致關系如下(正數表示贏利,負數表示虧損):
經濟前景等級 樂觀 尚可 悲觀
物聯網項目年回報率(%) 12 4 -4
人工智能項目年回報率(%) 7 5 -2
根據以上信息,請分別計算這兩種投資項目的年回報率的期望與方差,并用統計學知識給出投資建議.
【解析】(2)由題意可知,預測經濟前景為“樂觀”的概率為=0.2,預測經濟前景為“尚可”的概率為=0.7,預測經濟前景為“悲觀”的概率為=0.1.
設投資物聯網和人工智能項目年回報率的期望分別為E(X1),E(X2),方差分別為D(X1),D(X2),
則E(X1)=0.2×12%+0.7×4%+0.1×(-4%)=4.8%,
E(X2)=0.2×7%+0.7×5%+0.1×(-2%)=4.7%,
D(X1)=0.2×(12%-4.8%)2+0.7×(4%-4.8%)2+0.1×(-4%-4.8%)2=0.001 856,
D(X2)=0.2×(7%-4.7%)2+0.7×(5%-4.7%)2+0.1×(-2%-4.7%)2=0.000 561,
則E(X1)>E(X2),所以投資物聯網項目比投資人工智能項目平均年回報率要高,但二者相差不大.
D(X1)>D(X2),所以投資人工智能項目比投資物聯網項目年回報率穩定性更高,風險要小,所以建議投資人工智能項目.

展開更多......

收起↑