資源簡(jiǎn)介

第三節(jié)　隨機(jī)事件的概率與古典概型
【課標(biāo)解讀】
【課程標(biāo)準(zhǔn)】
1.結(jié)合具體實(shí)例,理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義,理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系.
2.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義,能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算.
3.理解古典概型,能計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率.
4.理解概率的性質(zhì),掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.
5.會(huì)用頻率估計(jì)概率.
【核心素養(yǎng)】
數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【命題說(shuō)明】
考向 考法 高考命題常以現(xiàn)實(shí)生活為載體,考查隨機(jī)事件、樣本點(diǎn)、事件間的關(guān)系、古典概型;古典概型是高考熱點(diǎn),常以選擇題的形式出現(xiàn).
預(yù)測(cè) 預(yù)計(jì)2025年高考古典概型知識(shí)點(diǎn)仍會(huì)出題.事件的互斥會(huì)與獨(dú)立事件交匯命題.
【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】
知識(shí)梳理·歸納
1.有限樣本空間與隨機(jī)事件
(1)樣本點(diǎn):隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果.
(2)樣本空間:全體樣本點(diǎn)的集合,一般用Ω表示.
(3)有限樣本空間:樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}.
(4)隨機(jī)事件(事件):樣本空間Ω的子集.
(5)基本事件:只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件.
2.兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算
項(xiàng)目 含義 符號(hào)表示
包含關(guān)系 A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生 　A B　
相等關(guān)系 B A且A B 　A=B　
并(和)事件 　A與B至少一個(gè)發(fā)生　 A∪B或A+B
交(積)事件 A與B同時(shí)發(fā)生 　A∩B或AB　
互斥 (互不相容) A與B不能同時(shí)發(fā)生 A∩B=
互為對(duì)立 A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生 　A∩B= ,且A∪B=Ω　
　微點(diǎn)撥互斥事件不一定是對(duì)立事件,但是對(duì)立事件一定是互斥事件.
3.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)
(1)概率的取值范圍:1≥P(A)≥0.
(2)P(Ω)=1,P( )=0.
(3)如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
(4)如果事件A與事件B互為對(duì)立事件,則P(A)=1-P(B).
(5)如果A B,那么P(A)≤P(B).
(6)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
微思考兩個(gè)互斥事件的概率之和等于1嗎
提示:兩個(gè)互斥事件概率之和小于或等于1,只有當(dāng)兩互斥事件為對(duì)立事件時(shí),其概率和等于1.
4.古典概型
(1)古典概型及其特點(diǎn)
①有限性:樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè);
②等可能性:每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.
具有以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱(chēng)為古典概型試驗(yàn),其數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為古典概型.
(2)古典概型的概率公式P(A)==.
其中,n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).
5.頻率與概率
(1)頻率的穩(wěn)定性
一般地,隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大,頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小,即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸　穩(wěn)定于　事件A發(fā)生的概率P(A),我們稱(chēng)頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.
(2)頻率穩(wěn)定性的作用
可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A).
微點(diǎn)撥
概率是一個(gè)常數(shù),是一個(gè)理論值,不隨試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變;而頻率是一個(gè)試驗(yàn)值,隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變,是一個(gè)變量.
基礎(chǔ)診斷·自測(cè)
類(lèi)型 辨析 改編 易錯(cuò) 高考
題號(hào) 1 2,3 4 5
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.(　×　)
提示:因?yàn)轭l率的穩(wěn)定值為概率,所以(1)錯(cuò)誤;
(2)兩個(gè)事件的和事件發(fā)生是指這兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生.(　√　)
提示:由兩個(gè)事件的和事件的定義可知,(2)正確;
(3)從-3,-2,-1,0,1,2中任取一個(gè)數(shù),取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.(　√　)
提示:因?yàn)閺?3,-2,-1,0,1,2中任取一個(gè)數(shù),不是小于0,就是不小于0,各有的可能,所以(3)正確;
(4)若A∪B是必然事件,則A與B是對(duì)立事件.(　×　)
提示:因?yàn)橹挥蠥∪B是必然事件,且A∩B= 時(shí),A與B是對(duì)立事件,所以(4)錯(cuò)誤.
2.(必修第二冊(cè)P235練習(xí)1改編)一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次,事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(　　)
A.至少有一次中靶 B.兩次都中靶
C.只有一次中靶 D.兩次都不中靶
【解析】選B.射擊兩次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或兩次都不中靶”,與該事件不能同時(shí)發(fā)生的是“兩次都中靶”.
3.(必修第二冊(cè)P246習(xí)題9改編)從某班學(xué)生中任意找出一人,如果該同學(xué)的身高小于160 cm的概率為0.2,該同學(xué)的身高在[160,175](單位:cm)的概率為0.5,那么該同學(xué)的身高超過(guò)175 cm的概率為(　　)
A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8
【解析】選B.由題意知該同學(xué)的身高小于160 cm的概率、該同學(xué)的身高在[160,175](單位:cm)的概率和該同學(xué)的身高超過(guò)175 cm的概率和為1,故所求概率為1-0.2-0.5=0.3.
4.(樣本點(diǎn)理解錯(cuò)誤)袋中有大小、形狀相同的紅球、黑球各一個(gè),現(xiàn)在有放回地隨機(jī)摸3次,每次摸取一個(gè),觀察摸出球的顏色,則此隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】選D.因?yàn)槭怯蟹呕氐仉S機(jī)摸3次,所以隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω={(紅,紅,紅),(紅,紅,黑),(紅,黑,紅),(紅,黑,黑),(黑,紅,紅),(黑,紅,黑),(黑,黑,紅),(黑,黑,黑)},共8個(gè).
5.(2023·全國(guó)甲卷)某校文藝部有4名學(xué)生,其中高一、高二年級(jí)各2名.從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演,則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選D.依題意,從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演,總的基本事件有=6件,其中這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的基本事件有=4件,
所以這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為=.
【核心考點(diǎn)·分類(lèi)突破】
考點(diǎn)一隨機(jī)事件的頻率與概率
[例1](1)(多選題)一部機(jī)器有甲、乙、丙三個(gè)易損零件,在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi),每個(gè)零件至多會(huì)出故障一次,工程師統(tǒng)計(jì)了近100個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)一部機(jī)器各類(lèi)型故障發(fā)生的次數(shù)得到如圖所示的柱狀圖,由頻率估計(jì)概率,在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi),下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.至少有一個(gè)零件發(fā)生故障的概率為0.8
B.有兩個(gè)零件發(fā)生故障的概率比只有一個(gè)零件發(fā)生故障的概率更大
C.乙零件發(fā)生故障的概率比甲零件發(fā)生故障的概率更大
D.已知甲零件發(fā)生了故障,此時(shí)丙零件發(fā)生故障的概率比乙零件發(fā)生故障的概率更大
【解析】選AD.由題圖可知,在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)機(jī)器正常的概率為=0.2,則至少有一個(gè)零件發(fā)生故障的概率為0.8,因此A正確;
有兩個(gè)零件發(fā)生故障的概率為=0.3,只有一個(gè)零件發(fā)生故障的概率為=0.45,因此有兩個(gè)零件發(fā)生故障的概率比只有一個(gè)零件發(fā)生故障的概率更小,B錯(cuò)誤;
乙零件發(fā)生故障的概率為=0.4,甲零件發(fā)生故障的概率為=0.45,則乙零件發(fā)生故障的概率比甲零件發(fā)生故障的概率更小,C錯(cuò)誤;
由題圖可知,丙和甲都故障的概率比乙和甲都故障的概率更大,D正確.
(2)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“米谷粒分”題:糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧,有人送來(lái)米1 534石,驗(yàn)得米內(nèi)夾谷,抽樣取米一把,數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒,則這批米內(nèi)夾谷約為(　　)
A.134石 B.169石
C.338石 D.1 365石
【解析】選B.這批米內(nèi)夾谷約為×1 534≈169(石).
解題技法
利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求隨機(jī)事件的概率
(1)利用頻率的計(jì)算公式計(jì)算出頻率;
(2)根據(jù)概率的定義確定頻率的穩(wěn)定值即為概率.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.某班要選一名學(xué)生做代表,每個(gè)學(xué)生當(dāng)選的概率是相同的,若“選出代表是男生”的概率是“選出代表是女生”的概率的,則這個(gè)班的女生人數(shù)占全班人數(shù)的百分比是　　　　　.
【解析】設(shè)“選出代表是女生”的概率為a,則“選出代表是男生”的概率為a,因?yàn)閍+a=1,所以a=,所以這個(gè)班的女生人數(shù)占全班人數(shù)的百分比為75%.
答案:75%
2.通過(guò)手機(jī)驗(yàn)證碼注冊(cè)某APP時(shí),收到的驗(yàn)證碼由四位數(shù)字隨機(jī)組成,如某人收到的驗(yàn)證碼(a1a2a3a4)滿(mǎn)足a1【解析】因?yàn)閍1=2,210 000(種),所以它是首位為2的遞增型驗(yàn)證碼的概率為=.
答案:
【加練備選】
1.假定某運(yùn)動(dòng)員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率:先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每?jī)蓚€(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表兩次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù):
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
據(jù)此估計(jì),該運(yùn)動(dòng)員兩次擲飛鏢恰有一次正中靶心的概率為　　　　　.
【解析】?jī)纱螖S飛鏢恰有一次正中靶心表示隨機(jī)數(shù)中有且只有一個(gè)數(shù)為1,2,3,4之一.它們分別是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35,共10個(gè),因此所求的概率為=.
答案:
2.某籃球運(yùn)動(dòng)員在同一條件下進(jìn)行投籃練習(xí),結(jié)果如表:
投籃次數(shù) 8 10 15 20 30 40 50
進(jìn)球次數(shù) 6 8 12 17 25 32 39
進(jìn)球頻率
(1)計(jì)算表中進(jìn)球的頻率.
【解析】(1)表中進(jìn)球的頻率分別為:
=0.75,=0.8,=0.8,=0.85,=,=0.8,=0.78.
(2)這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次,進(jìn)球的概率約是多少
【解析】(2)由于進(jìn)球頻率都在0.8左右擺動(dòng),
故這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次,進(jìn)球的概率約是0.8.
(3)若這位運(yùn)動(dòng)員進(jìn)球的概率是0.8,那么他投10次籃一定能投進(jìn)8次嗎
【解析】(3)不一定,一名運(yùn)動(dòng)員投籃進(jìn)球的概率是0.8,表示投籃成功的可能性,他在10次一組的投籃中,可能會(huì)投進(jìn)8次.
考點(diǎn)二 互斥事件與對(duì)立事件
[例2](1)(2024·長(zhǎng)春模擬)連續(xù)拋擲一枚硬幣3次,觀察正面出現(xiàn)的情況,事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對(duì)立事件是(　　)
A.只有2次出現(xiàn)反面
B.至少2次出現(xiàn)正面
C.有2次或3次出現(xiàn)正面
D.有2次或3次出現(xiàn)反面
【解析】選D.連續(xù)拋擲一枚硬幣3次,正面出現(xiàn)的次數(shù)有0,1,2,3,因此事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對(duì)立事件是“正面出現(xiàn)0次或1次”即“有2次或3次出現(xiàn)反面”.
(2)在拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn)中,事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”,事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”,則在一次試驗(yàn)中,事件A+發(fā)生的概率為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選C.擲一枚骰子有6種等可能的結(jié)果,依題意知P(A)==,P(B)==,
所以P()=1-P(B)=1-=,
因?yàn)楸硎尽俺霈F(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)”的事件,所以事件A與互斥,從而P(A+)=P(A)+P()=+=.
解題技法
1.求簡(jiǎn)單的互斥事件、對(duì)立事件的概率的方法
解此類(lèi)問(wèn)題,首先應(yīng)根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義分析出所給的兩個(gè)事件是互斥事件還是對(duì)立事件,再選擇相應(yīng)的概率公式進(jìn)行計(jì)算.
2.求復(fù)雜的互斥事件概率的兩種方法
(1)直接求法:將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和,運(yùn)用互斥事件概率的加法公式計(jì)算.
(2)間接求法:先求此事件的對(duì)立事件的概率,再用公式求解,即運(yùn)用逆向思維(正難則反),特別是“至多”“至少”型題目,用間接求法會(huì)較簡(jiǎn)便.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.(多選題)下列說(shuō)法中正確的有(　　)
A.若事件A與事件B是互斥事件,則P(AB)=0
B.若事件A與事件B是對(duì)立事件,則P(A+B)=1
C.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次,則事件“至少有兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對(duì)立事件
D.把紅、橙、黃3張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙3人,每人分得1張,則事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”是互斥事件
【解析】選ABC.事件A與事件B互斥,則A,B不可能同時(shí)發(fā)生,所以P(AB)=0,故A正確;
事件A與事件B是對(duì)立事件,則事件B即為事件,所以P(A+B)=1,故B正確;
事件“至少有兩次中靶”與“至多有一次中靶”不可能同時(shí)發(fā)生,且二者必有一個(gè)發(fā)生,所以為對(duì)立事件,故C正確;
事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”可能同時(shí)發(fā)生,即丙分得的是紅牌,所以不是互斥事件,故D錯(cuò)誤.
2.一只袋子中裝有7個(gè)紅球,3個(gè)綠球,從中不放回地任意抽取兩次,每次只取一個(gè),取得兩個(gè)紅球的概率為,取得兩個(gè)綠球的概率為,則取得兩個(gè)同顏色的球的概率為　　　　;至少取得一個(gè)紅球的概率為　　　　　.
【解析】由于“取得兩個(gè)紅球”與“取得兩個(gè)綠球”是互斥事件,取得兩個(gè)同色球,只需兩個(gè)互斥事件有一個(gè)發(fā)生即可,因而取得兩個(gè)同色球的概率為P=+=.由于事件A“至少取得一個(gè)紅球”與事件B“取得兩個(gè)綠球”是對(duì)立事件,則至少取得一個(gè)紅球的概率為P(A)=1-P(B)=1-=.
答案:　
【加練備選】
1.(多選題)對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次,每次發(fā)射一枚炮彈,設(shè)事件A={兩彈都擊中飛機(jī)},事件B={兩彈都沒(méi)擊中飛機(jī)},事件C={恰有一彈擊中飛機(jī)},事件D={至少有一彈擊中飛機(jī)},則下列關(guān)系正確的是(　　)
A.AD= B.BD=
C.A+C=D D.A+B=B+D
【解析】選BC.“恰有一彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中且第二枚沒(méi)中或第一枚沒(méi)中且第二枚擊中,“至少有一彈擊中飛機(jī)”包含兩種情況,一種是恰有一彈擊中,另一種是兩彈都擊中,故AD≠ ,BD= ,A+C=D,A+B≠B+D.
2.某河流A與河流B是水庫(kù)C的主要水源,只要河流A,B之一不缺水,水庫(kù)C就不缺水.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道河流A,B不缺水的概率分別是0.7和0.9,同時(shí)不缺水的概率是0.65.則水庫(kù)C不缺水的概率為　　　　　.
【解析】記“河流A不缺水”為事件A,
記“河流B不缺水”為事件B,
記“水庫(kù)C不缺水”為事件C,
則P(A)=0.7,P(B)=0.9,P(AB)=0.65,
故P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.9-0.65=0.95.
即水庫(kù)C不缺水的概率為0.95.
答案:0.95
考點(diǎn)三 古典概型
[例3](1)(2024·福州模擬)為培養(yǎng)學(xué)生“愛(ài)讀書(shū)、讀好書(shū)、普讀書(shū)”的良好習(xí)慣,某校創(chuàng)建了人文社科類(lèi)、文學(xué)類(lèi)、自然科學(xué)類(lèi)三個(gè)讀書(shū)社團(tuán).甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)社團(tuán),每位同學(xué)參加各個(gè)社團(tuán)的可能性相同,則這兩位同學(xué)恰好參加同一個(gè)社團(tuán)的概率為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選A.記人文社科類(lèi)、文學(xué)類(lèi)、自然科學(xué)類(lèi)三個(gè)讀書(shū)社團(tuán)分別為a,b,c,
則甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)社團(tuán)的基本事件有,,,,,,,,共9種,
而這兩位同學(xué)恰好參加同一個(gè)社團(tuán)包含的基本事件有,,共3種,
故這兩位同學(xué)恰好參加同一個(gè)社團(tuán)的概率P==.
(2)將5名支援某地區(qū)的醫(yī)生分配到A,B,C三所醫(yī)院,要求每所醫(yī)院至少安排1人,則其中甲、乙兩名醫(yī)生恰好分配到同一醫(yī)院的概率為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選B.由題意可知,分配情況分為兩類(lèi):3,1,1或2,2,1,其方法總數(shù)為+·=150.
其中甲、乙兩名醫(yī)生恰好分配到同一醫(yī)院的方法有·+·=36(種),則甲、乙兩名醫(yī)生恰好分配到同一醫(yī)院的概率為=.
解題技法
1.古典概型的概率求解步驟
(1)求出所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)n(樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的求解方法主要是利用排列組合知識(shí),也可以利用列舉法或列表法等);(2)求出事件A包含的所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)k;(3)代入公式P(A)=求解.
2.涉及“至多”或“至少”以及正面較復(fù)雜而對(duì)立面較簡(jiǎn)單的情況下可以利用對(duì)立事件的概率公式求解.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.杭州亞運(yùn)會(huì)的三個(gè)吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”.現(xiàn)將三張分別印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片(卡片的形狀、大小和質(zhì)地完全相同)放入盒子中.若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片,則一張為“琮琮”,一張為“宸宸”的概率是(　　)
A. B. C. D.
【解析】選C.記印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片分別為A,B,C,則樣本點(diǎn)有(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),共9個(gè),其中一張為“琮琮”,一張為“宸宸”的樣本點(diǎn)有(A,B),(B,A),共2個(gè),所以所求的概率P=.
2.(2024·蘇州模擬)一個(gè)袋中有6個(gè)大小形狀完全相同的小球,其中黃色球有4個(gè),紅色球有2個(gè),現(xiàn)在從中取出2個(gè)小球,則2個(gè)小球恰好一個(gè)紅色一個(gè)黃色的概率為　　　　　.
【解析】從中取2個(gè)球一共有種取法,其中恰好一個(gè)紅色一個(gè)黃色的有·種取法,所以概率P==.
答案:
【加練備選】
(2023·南通質(zhì)檢)我國(guó)數(shù)學(xué)家張益唐在“孿生素?cái)?shù)”研究方面取得突破,孿生素?cái)?shù)也稱(chēng)為孿生質(zhì)數(shù),就是指兩個(gè)相差2的素?cái)?shù),例如5和7.在大于3且不超過(guò)20的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù),恰好是一組孿生素?cái)?shù)的概率為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選D.大于3且不超過(guò)20的素?cái)?shù)為5,7,11,13,17,19,共6個(gè),隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù),分別為(5,7),(5,11),(5,13),(5,17),(5,19),(7,11),(7,13),(7,17),(7,19),(11,13),
(11,17),(11,19),(13,17),(13,19),(17,19),共15種選法,其中恰好是一組孿生素?cái)?shù)的有(5,7),(11,13),(17,19),共3種,故隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù),恰好是一組孿生素?cái)?shù)的概率為=.第三節(jié)　隨機(jī)事件的概率與古典概型
【課標(biāo)解讀】
【課程標(biāo)準(zhǔn)】
1.結(jié)合具體實(shí)例,理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義,理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系.
2.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義,能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算.
3.理解古典概型,能計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率.
4.理解概率的性質(zhì),掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.
5.會(huì)用頻率估計(jì)概率.
【核心素養(yǎng)】
數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【命題說(shuō)明】
考向 考法 高考命題常以現(xiàn)實(shí)生活為載體,考查隨機(jī)事件、樣本點(diǎn)、事件間的關(guān)系、古典概型;古典概型是高考熱點(diǎn),常以選擇題的形式出現(xiàn).
預(yù)測(cè) 預(yù)計(jì)2025年高考古典概型知識(shí)點(diǎn)仍會(huì)出題.事件的互斥會(huì)與獨(dú)立事件交匯命題.
【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】
知識(shí)梳理·歸納
1.有限樣本空間與隨機(jī)事件
(1)樣本點(diǎn):隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果.
(2)樣本空間:全體樣本點(diǎn)的集合,一般用Ω表示.
(3)有限樣本空間:樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}.
(4)隨機(jī)事件(事件):樣本空間Ω的子集.
(5)基本事件:只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件.
2.兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算
項(xiàng)目 含義 符號(hào)表示
包含關(guān)系 A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生 　A B　
相等關(guān)系 B A且A B 　A=B　
并(和)事件 　A與B至少一個(gè)發(fā)生　 A∪B或A+B
交(積)事件 A與B同時(shí)發(fā)生 　A∩B或AB　
互斥 (互不相容) A與B不能同時(shí)發(fā)生 A∩B=
互為對(duì)立 A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生 　A∩B= ,且A∪B=Ω　
　微點(diǎn)撥互斥事件不一定是對(duì)立事件,但是對(duì)立事件一定是互斥事件.
3.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)
(1)概率的取值范圍:1≥P(A)≥0.
(2)P(Ω)=1,P( )=0.
(3)如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
(4)如果事件A與事件B互為對(duì)立事件,則P(A)=1-P(B).
(5)如果A B,那么P(A)≤P(B).
(6)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
微思考兩個(gè)互斥事件的概率之和等于1嗎
提示:兩個(gè)互斥事件概率之和小于或等于1,只有當(dāng)兩互斥事件為對(duì)立事件時(shí),其概率和等于1.
4.古典概型
(1)古典概型及其特點(diǎn)
①有限性:樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè);
②等可能性:每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.
具有以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱(chēng)為古典概型試驗(yàn),其數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為古典概型.
(2)古典概型的概率公式P(A)==.
其中,n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).
5.頻率與概率
(1)頻率的穩(wěn)定性
一般地,隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大,頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小,即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸　穩(wěn)定于　事件A發(fā)生的概率P(A),我們稱(chēng)頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.
(2)頻率穩(wěn)定性的作用
可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A).
微點(diǎn)撥
概率是一個(gè)常數(shù),是一個(gè)理論值,不隨試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變;而頻率是一個(gè)試驗(yàn)值,隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變,是一個(gè)變量.
基礎(chǔ)診斷·自測(cè)
類(lèi)型 辨析 改編 易錯(cuò) 高考
題號(hào) 1 2,3 4 5
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.(　　)
(2)兩個(gè)事件的和事件發(fā)生是指這兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生.(　　)
(3)從-3,-2,-1,0,1,2中任取一個(gè)數(shù),取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.(　　)
(4)若A∪B是必然事件,則A與B是對(duì)立事件.(　　)
2.(必修第二冊(cè)P235練習(xí)1改編)一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次,事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(　　)
A.至少有一次中靶 B.兩次都中靶
C.只有一次中靶 D.兩次都不中靶
3.(必修第二冊(cè)P246習(xí)題9改編)從某班學(xué)生中任意找出一人,如果該同學(xué)的身高小于160 cm的概率為0.2,該同學(xué)的身高在[160,175](單位:cm)的概率為0.5,那么該同學(xué)的身高超過(guò)175 cm的概率為(　　)
A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8
4.(樣本點(diǎn)理解錯(cuò)誤)袋中有大小、形狀相同的紅球、黑球各一個(gè),現(xiàn)在有放回地隨機(jī)摸3次,每次摸取一個(gè),觀察摸出球的顏色,則此隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
5.(2023·全國(guó)甲卷)某校文藝部有4名學(xué)生,其中高一、高二年級(jí)各2名.從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演,則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為(　　)
A. B. C. D.
【核心考點(diǎn)·分類(lèi)突破】
考點(diǎn)一隨機(jī)事件的頻率與概率
[例1](1)(多選題)一部機(jī)器有甲、乙、丙三個(gè)易損零件,在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi),每個(gè)零件至多會(huì)出故障一次,工程師統(tǒng)計(jì)了近100個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)一部機(jī)器各類(lèi)型故障發(fā)生的次數(shù)得到如圖所示的柱狀圖,由頻率估計(jì)概率,在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi),下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.至少有一個(gè)零件發(fā)生故障的概率為0.8
B.有兩個(gè)零件發(fā)生故障的概率比只有一個(gè)零件發(fā)生故障的概率更大
C.乙零件發(fā)生故障的概率比甲零件發(fā)生故障的概率更大
D.已知甲零件發(fā)生了故障,此時(shí)丙零件發(fā)生故障的概率比乙零件發(fā)生故障的概率更大
(2)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“米谷粒分”題:糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧,有人送來(lái)米1 534石,驗(yàn)得米內(nèi)夾谷,抽樣取米一把,數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒,則這批米內(nèi)夾谷約為(　　)
A.134石 B.169石
C.338石 D.1 365石
解題技法
利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求隨機(jī)事件的概率
(1)利用頻率的計(jì)算公式計(jì)算出頻率;
(2)根據(jù)概率的定義確定頻率的穩(wěn)定值即為概率.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.某班要選一名學(xué)生做代表,每個(gè)學(xué)生當(dāng)選的概率是相同的,若“選出代表是男生”的概率是“選出代表是女生”的概率的,則這個(gè)班的女生人數(shù)占全班人數(shù)的百分比是　　　　　.
2.通過(guò)手機(jī)驗(yàn)證碼注冊(cè)某APP時(shí),收到的驗(yàn)證碼由四位數(shù)字隨機(jī)組成,如某人收到的驗(yàn)證碼(a1a2a3a4)滿(mǎn)足a1【加練備選】
1.假定某運(yùn)動(dòng)員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率:先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每?jī)蓚€(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表兩次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù):
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
據(jù)此估計(jì),該運(yùn)動(dòng)員兩次擲飛鏢恰有一次正中靶心的概率為　　　　　.
2.某籃球運(yùn)動(dòng)員在同一條件下進(jìn)行投籃練習(xí),結(jié)果如表:
投籃次數(shù) 8 10 15 20 30 40 50
進(jìn)球次數(shù) 6 8 12 17 25 32 39
進(jìn)球頻率
(1)計(jì)算表中進(jìn)球的頻率.
(2)這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次,進(jìn)球的概率約是多少
(3)若這位運(yùn)動(dòng)員進(jìn)球的概率是0.8,那么他投10次籃一定能投進(jìn)8次嗎
考點(diǎn)二 互斥事件與對(duì)立事件
[例2](1)(2024·長(zhǎng)春模擬)連續(xù)拋擲一枚硬幣3次,觀察正面出現(xiàn)的情況,事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對(duì)立事件是(　　)
A.只有2次出現(xiàn)反面
B.至少2次出現(xiàn)正面
C.有2次或3次出現(xiàn)正面
D.有2次或3次出現(xiàn)反面
(2)在拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn)中,事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”,事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”,則在一次試驗(yàn)中,事件A+發(fā)生的概率為(　　)
A. B. C. D.
解題技法
1.求簡(jiǎn)單的互斥事件、對(duì)立事件的概率的方法
解此類(lèi)問(wèn)題,首先應(yīng)根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義分析出所給的兩個(gè)事件是互斥事件還是對(duì)立事件,再選擇相應(yīng)的概率公式進(jìn)行計(jì)算.
2.求復(fù)雜的互斥事件概率的兩種方法
(1)直接求法:將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和,運(yùn)用互斥事件概率的加法公式計(jì)算.
(2)間接求法:先求此事件的對(duì)立事件的概率,再用公式求解,即運(yùn)用逆向思維(正難則反),特別是“至多”“至少”型題目,用間接求法會(huì)較簡(jiǎn)便.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.(多選題)下列說(shuō)法中正確的有(　　)
A.若事件A與事件B是互斥事件,則P(AB)=0
B.若事件A與事件B是對(duì)立事件,則P(A+B)=1
C.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次,則事件“至少有兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對(duì)立事件
D.把紅、橙、黃3張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙3人,每人分得1張,則事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”是互斥事件
2.一只袋子中裝有7個(gè)紅球,3個(gè)綠球,從中不放回地任意抽取兩次,每次只取一個(gè),取得兩個(gè)紅球的概率為,取得兩個(gè)綠球的概率為,則取得兩個(gè)同顏色的球的概率為　　　　;至少取得一個(gè)紅球的概率為　　　　　.
【加練備選】
1.(多選題)對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次,每次發(fā)射一枚炮彈,設(shè)事件A={兩彈都擊中飛機(jī)},事件B={兩彈都沒(méi)擊中飛機(jī)},事件C={恰有一彈擊中飛機(jī)},事件D={至少有一彈擊中飛機(jī)},則下列關(guān)系正確的是(　　)
A.AD= B.BD=
C.A+C=D D.A+B=B+D
2.某河流A與河流B是水庫(kù)C的主要水源,只要河流A,B之一不缺水,水庫(kù)C就不缺水.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道河流A,B不缺水的概率分別是0.7和0.9,同時(shí)不缺水的概率是0.65.則水庫(kù)C不缺水的概率為　　　　　.
考點(diǎn)三 古典概型
[例3](1)(2024·福州模擬)為培養(yǎng)學(xué)生“愛(ài)讀書(shū)、讀好書(shū)、普讀書(shū)”的良好習(xí)慣,某校創(chuàng)建了人文社科類(lèi)、文學(xué)類(lèi)、自然科學(xué)類(lèi)三個(gè)讀書(shū)社團(tuán).甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)社團(tuán),每位同學(xué)參加各個(gè)社團(tuán)的可能性相同,則這兩位同學(xué)恰好參加同一個(gè)社團(tuán)的概率為(　　)
A. B. C. D.
(2)將5名支援某地區(qū)的醫(yī)生分配到A,B,C三所醫(yī)院,要求每所醫(yī)院至少安排1人,則其中甲、乙兩名醫(yī)生恰好分配到同一醫(yī)院的概率為(　　)
A. B. C. D.
解題技法
1.古典概型的概率求解步驟
(1)求出所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)n(樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的求解方法主要是利用排列組合知識(shí),也可以利用列舉法或列表法等);(2)求出事件A包含的所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)k;(3)代入公式P(A)=求解.
2.涉及“至多”或“至少”以及正面較復(fù)雜而對(duì)立面較簡(jiǎn)單的情況下可以利用對(duì)立事件的概率公式求解.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.杭州亞運(yùn)會(huì)的三個(gè)吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”.現(xiàn)將三張分別印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片(卡片的形狀、大小和質(zhì)地完全相同)放入盒子中.若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片,則一張為“琮琮”,一張為“宸宸”的概率是(　　)
A. B. C. D.
2.(2024·蘇州模擬)一個(gè)袋中有6個(gè)大小形狀完全相同的小球,其中黃色球有4個(gè),紅色球有2個(gè),現(xiàn)在從中取出2個(gè)小球,則2個(gè)小球恰好一個(gè)紅色一個(gè)黃色的概率為　　　　　.
【加練備選】
(2023·南通質(zhì)檢)我國(guó)數(shù)學(xué)家張益唐在“孿生素?cái)?shù)”研究方面取得突破,孿生素?cái)?shù)也稱(chēng)為孿生質(zhì)數(shù),就是指兩個(gè)相差2的素?cái)?shù),例如5和7.在大于3且不超過(guò)20的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù),恰好是一組孿生素?cái)?shù)的概率為(　　)
A. B. C. D.

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